南京一中2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题.pdf

第1页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）高一高一12月月考数学试卷数学月月考数学试卷数学 2022.12 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.已知且，若集合，则（）A.B.C.D.2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.3.已知，若，则的大小关系为（）A.B.C.D 4.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为（）A.B.C.D.5.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）Mx xA=xB1,2,3,4,5,2,4,6,8AB=M=2,46,81,3,51,3,6,830,0 xxx+30,0 xxx+30,0 xxx+30,0 xxx$+30,0 xxx$+01x22log,2,xax bcx=,a b cabcacbcab.cba2 1CD=-2AB=ACB2p22pp2p()0,+ 第2页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A.B.C.D.6.已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.7.函数的图象如图所示，则（）A.B.C.D.8.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.二、多项选择题（本大题共二、多项选择题（本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，不选或有选错的得分，不选或有选错的得0分）分）9.下列给出的各角中，与终边相同的角有（）A.B.C.D.3yx=1yx=+21yx=-2xy-=,b cRx20 xbxc+1,12-11,2-()1,1,2-+()1,1,2-+()2()axbf xxc+=+0,0,0abc0,0,0abc-(0,1)aa(7,)+a113a103a103a53p-3p133p23p-173p- 第3页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）10.已知，则（）A.B C.D.11.下列说法正确的是（）A 若，则函数有最小值 B.若，则的最大值 1 C.若，则函数的最大值为 4 D.若，则的最小值为 4 12.已知函数，对于任意，则 A.的图象经过坐标原点 B.C.单调递增 D.三、填空题：（本题共三、填空题：（本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.）13.函数的图象恒过定点_.14.函数的定义域为_.15.已知角的终边经过点，且则的值为_ 16.已知正实数、满足，则的最小值为_ 四、解答题：（本题共四、解答题：（本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题：实数满足，其中.命题：实数满足.（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.18.（1）已知，求和的值；,0 x yxyR 且sinsinxy.xy21x y-11xyxy+=xy,0,2x yxy+=22xy+0,0,1abab+=11ab+(),yf xx=R()()(),x yf xyf xf y+=+R()f x()()33fxf x=()f x()()0fxf x-+=()log(3)1(0,1)af xxaa=+21log1yx=-q(),1(0)P xx tanxq=sinqxy22342xxyy+=95xy+p()()30 xaxa-qx302xx-1a=pqxpqa1tan2q= 第4页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（2）已知，求的值.19.求函数的值域.20.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过 5 百元时，且投入的肥料费用超过 5 百元且不超过 8 百元时此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 千克（即 16 百元 百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）（1）求利润的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？21.已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.22 已知，且（1）若，求的值；（2）求的最小值 sin2cos0qq+=222sin113cos+-qq()12281()loglog2,162f xxxx=的wx341wx=-+2111616wxx=-+2x/()L x()L x()2()21xxbf xbR-=+b()f xtR()()2210f ktfkt+-k.1abc1logloglog2ababcc+=+3ca=logabloglogabbc+ 第5页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 高一高一12月月考数学试卷数学月月考数学试卷数学 2022.12 一、单项选择题（本大题共一、单项选择题（本大题共8小题，每小题小题，每小题5分，共分，共40分分.在每小题给出的四个选项中，只有在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）一项是符合题目要求的）1.已知且，若集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据集合的定义求解即可【详解】因为集合，且，所以，故选：C 2.命题“”的否定是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由“改量词，否结论”，可得答案.【详解】由“改量词，否结论”,命题“”的否定是“”.故选：C 3.已知，若，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】Mx xA=xB1,2,3,4,5,2,4,6,8AB=M=2,46,81,3,51,3,6,8M1,2,3,4,5,2,4,6,8AB=Mx xA=xB1,3,5M=30,0 xxx+30,0 xxx+30,0 xxx+30,0 xxx$+30,0 xxx$+30,0 xxx+30,0 xxx$+01x22log,2,xax bcx=,a b 第6页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据指数函数对数函数及幂函数的性质，分别求出的范围，即可判断的大小关系.【详解】当时，故，故选：B.4.我国古代数学经典著作九章算术中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”现有一类似问题，不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示用锯去锯这木材，若锯口深，锯道，则图中的长度为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设圆的半径为，根据勾股定理可求得 的值，求出，利用扇形的弧长公式可求得结果.【详解】设圆半径为，则，由勾股定理可得，即，解得，所以，所以，故，因此，.故选：B.5.下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A.B.C.D.【答案】B,a b c,a b c01xacb2 1CD=-2AB=ACB2p22pp2prrAOB的r()21ODrCDr=-=-112ADAB=222ODADOA+=()22211rr-+=2r=2OAOB=2AB=222OAOBAB+=2AOBp=2222ACBpp=()0,+3yx=1yx=+21yx=-2xy-= 第7页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【解析】【分析】函数函数的初等函数的单调性和奇偶性，逐项判定，即可求解.【详解】对于 A 中，函数为奇函数，不符合题意；对于 B 中，函数的定义域为，且，所以为偶函数，当时，函数为单调递增函数，符合题意；对于 C 中，函数非奇非偶函数，不符合题意；对于 D 中，当时，函数单调递减函数，不符合题意.故选：B.6.已知，关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由利用韦达定理可得，代入所求不等式解不等式即可.【详解】因为不等式的解集为，所以即，不等式等价于，解得.故选：A.3yx=1yx=+R()()fxf x-=()0,x+1yx=+21yx=-为()0,x+112()2xy-=,b cRx20 xbxc+1,12-11,2-()1,1,2-+()1,1,2-+,b c20 xbxc+2210 xx-+112x- 第8页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 7.函数的图象如图所示，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】通过函数的定义域可求出的范围，由可判断的范围，由函数图象与轴的交点可判断的范围【详解】函数的定义域为，由图可知，则，由图可知，所以，由，得，由图可知，得，所以，综上，故选：D 8.已知函数的值域是，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先由分段函数值域的求法可得在恒成立，再结合不等式恒成立问题求解即可.()2()axbf xxc+=+0,0,0abc0,0,0abc0c 2(0)0bfc=0b 0ba0a 0b 0c -(0,1)aa(7,)+a113a103a103a(,2x- 第9页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【详解】解：由已知有，当时，即，又函数的值域是，则在恒有，即在恒成立，显然有，即，故选：D.【点睛】本题考查了分段函数值域的求法，重点考查了对数不等式恒成立问题，属中档题.二、多项选择题（二、多项选择题（本大题共本大题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.在每小题给出的四个选项中，有多在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得项符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得分，部分选对的得2分，不选或有选错的得分，不选或有选错的得0分）分）9.下列给出的各角中，与终边相同的角有（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用终边相同的角的定义判断.【详解】A.因为，故正确；B.因为，故正确；C.令，解得，故错误；D.因为，故正确；故选：ABD 10.已知，则（）A B.2x -()9f xx=+()7f x 2,2,()9,2,xaxf xxx-=+-(0,1)aa(7,)+()2xf xa=-(,2x-()7f x 9xa(,2x-2019aa-103a53p-3p133p23p-173p-5233ppp=-135633ppp=-25233kppp-=-12kZ=175433ppp-=-,0 x yxyR 且 第10页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 C.D.【答案】BCD【解析】【分析】取特殊值可说明 A错；根据指数函数以及幂函数的单调性，可判断 B,C的对错；利用作差法可判断 D的对错.【详解】对于 A，取 满足，但，故 A错；对于 B，是定义域上的增函数，故时，有成立，故 B正确；对于 C,故，故 C正确；对于 D，故，故 D正确，故选：BCD.11.下列说法正确的是（）A.若，则函数有最小值 B.若，则的最大值 1 C.若，则函数的最大值为 4 D.若，则的最小值为 4【答案】BD【解析】【分析】对于 A、C，利用基本不等式，可得答案；对于 B，利用基本不等式，建立不等式，结合二次不等式，可得答案；对于 D，根据基本不等式中“1”的妙用，可得答案.【详解】对于 A，当时，故 A错误；对于 B，由，则，当且仅当时等号成立，即，整理可得，解得，故 B正确；21x y-11xyxy+2,33xypp=,0 x yxyR 且sinsinxy=12yx=,0 x yxyR 且xy0 xy-0221x y-=011(1)(1)xyxyxyxy-=+11xyxy+=xy,0,2x yxy+=22xy+0,0,1abab+=11ab+0 x 2xyxy+xy=32xyxy-()()310+-xyxy1xy 第11页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 对于 C，由，则，即，当且仅当，即时等号成立，故 C错误；对于 D，当且仅当，即时等号成立，故 D正确.故选：BD.12.已知函数，对于任意，则 A.的图象经过坐标原点 B.C.单调递增 D.【答案】ABD【解析】【分析】对于 A，令可判断，对于 B，分别令和化简计算即可，对于 C，利用单调的定义判断，对于 D，令进行判断【详解】对于 A，令，则，得，所以的图象经过坐标原点，所以A 正确，对于 B，令，则，再令，则，所以 B正确，对于 D，令，则，因为，所以，所以 D正确，对于 C，任取，且，由 D选项可知，所以，而的符号不确定，所以不能确定函数的单调性，所以 C错误，故选：ABD 三、填空题：（本题共三、填空题：（本题共4小题，每小题小题，每小题5分，共分，共20分分.）13.函数的图象恒过定点_.【答案】(-2,1)【解析】,0 x y 2,21xy2222 222 22 24xyxyx y+=22xy=xy=()111111224aba babababbab a+=+=+=abba=ab=(),yf xx=R()()(),x yf xyf xf y+=+R()f x()()33fxf x=()f x()()0fxf x-+=0 xy=yx=2yx=yx=-0 xy=(0)2(0)ff=(0)0f=()f xyx=()()22fxf x=2yx=()()()32()2()3()fxf xfxf xf xf x=+=+=yx=-(0)()()ff xfx=+-(0)0f=()()0fxf x-+=12,x xR 第12页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【分析】根据对数函数的恒等式，可得答案.【详解】当时，故答案为：.14.函数的定义域为_.【答案】【解析】【详解】要使有意义，须，即，解得或，即函数的定义域为；故答案为.15.已知角的终边经过点，且则的值为_【答案】【解析】【分析】根据三角函数定义即可求解【详解】由于角的终边经过点，所以，得 所以 故答案为：16.已知正实数、满足，则的最小值为_【答案】【解析】【分析】分析可得，再利用基本不等式可求得最小值.【详解】因为正实数、满足，即，由基本不等式可得，2x=-()()2log2 31log 1 1 1aaf-=-+=+=()2,1-21log1yx=-()(),01,-+21log1yx=-110 x-10 xx-1x 0 x tanxq=sinq22q(),1(0)P xx 1tanxxq=1x=2212sin211q=+22xy22342xxyy+=95xy+4 3()()32xyxy+=95xy+的xy22342xxyy+=()()32xyxy+=()()()()952 332 2 334 3xyxyxyxyxy+=+= 第13页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 当且仅当时，等号成立，故的最小值为.故答案：.四、解答题：（本题共四、解答题：（本题共6小题，共小题，共70分分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设命题：实数满足，其中.命题：实数满足.（1）当时，命题，都为真，求实数的取值范围；（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由，化简命题，然后根据两个命题都为真求解.（2）化简命题：，：，根据是的充分不必要条件，由?求解.【详解】（1）时，：，：，因为，都为真，所以；（2）时：，：，因为是的充分不必要条件，所以?，则或，解得或，所以实数的取值范围是 18.（1）已知，求和的值；（2）已知，求的值.()()()()2 3332xyxyxyxy+=+=95xy+4 3为4 3p()()30 xaxa-qx302xx-1a=pqxpqa()2,3)20,3,3+1a=pqp(),3xaaq(),23,x-+pq(),3aa(),23,-+1a=p13xq23xp(),3xaaq(),23,x-+pq(),3aa(),23,-+32a 3a 203a3a a)20,3,3+1tan2q=sinqcosqsin2cos0qq+=222sin113cos+- 第14页/共19页 学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】根据同角三角函数的商式关系以及平方关系，建立方程，可得答案；【详解】（1）由同角三角函数的商式关系，则，即，由同角三角函数的平方关系，则，即，解得，由，可得，即可得或.（2）由，则，即，.19.求函数的值域.【答案】【解析】【分析】根据对数运算化简函数，利用换元法，结合对数函数的性质以及二次函数的性质，可得答案.【详解】，由，则，令，即，则，易知在上的值域为，5sin52 5cos5qq=5sin52 5cos5qq=-=-132sin1tancos2qqq=cos2sinqq=22sincos1qq+=22sin4sin1qq+=5sin5q=cos2sinqq=2 5cos5q=5sin52 5cos5qq=5sin52 5cos5qq=-=-sin2cos0qq+=sin2cosqq=-sintan2cosqqq=-222222222222222sin12sinsincos3sincos3tan11 3cossincos3cossin2costan2qqqqqqqqqqqqqq+=-+-()()2232112 11342222-+=-()12281()loglog2,162f xxxx=4,5-()()()()()12222222288loglog2loglog2loglog 8log 2logf xxxxxxx=-=-+()()()22222log3 log1log2log3xxxx=-+=-1,162x2log1,4x-2logtx=1,4t-()()()222314f xg tttt=-=-()g t1,4-4,5- 第15页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 故函数在上的值域为.20.某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：投入的肥料费用不超过 5 百元时，且投入的肥料费用超过 5 百元且不超过 8 百元时此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元已知这种水蜜桃的市场售价为 16 元 千克（即 16 百元 百千克），且市场需求始终供不应求记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）（1）求利润的函数解析式；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）；（2）当投入的肥料费用为 6.5 百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元【解析】【分析】（1）由题意分段求出利润的函数解析式，即可得解；（2）按照、分类，结合基本不等式、二次函数的性质即可得解.【详解】（1）由题意，化简得：；（2）当时，当且仅当即时，等号成立，所以当时，取得最大值 43；当时，()f x1,1624,5-wx341wx=-+2111616wxx=-+2x/()L x()L x248643,05()1131,58xxL xxxxx-=+-+1734()L x05x58x2316 43,051()16211163,581616xxxL xwxxxxxx-+=-=-+-248643,05()1131,58xxL xxxxx-=+-+05x484848()643673(1)6723(1)43111L xxxxxxx=-=-+-+=+483(1)1xx=+3x=3x=()L x58x2()131L xxx=-+ 第16页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 所以当时，取得最大值，最大值为；综上所述，当时，取得最大值，故当投入的肥料费用为 6.5 百元时，该水蜜桃树获得的利润最大，最大利润是百元 21.已知函数是奇函数.（1）求的值；（2）判断函数在定义域上的单调性并用定义证明；（3）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）函数在上单调递增；证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程关系即可求的值；（2），可判断在上单调递增，再利用函数单调性的定义证明；（3）根据函数奇偶性和单调性的性质,将不等式进行转化进行求解即可.【详解】（1）因为是奇函数，所以，即，经检验时，是上奇函数；（2），则在上单调递增.证明如下：任取且，则，因为，所以，所以，即，所以函数在上单调递增.（3）又因为是上奇函数，所以，132x=()L x1317324L=132x=()L x17341734()2()21xxbf xbR-=+b()f xtR()()2210f ktfkt+-k1b=()f x(),-+(1,0-ab，2()121xf x=-+()f x(),-+()f x()00f=002021b-=+1b=1b=21()21xxf x-=+R2121 22()1212121xxxxxf x+-=-+()f x(),-+12,x xR12xx()()121222112121xxf xf x-=-+()()()1221122 2222212121 21xxxxxx-=-=+12xx12022xx()()120f xf x-()()12f xf x()f x(),-+()f xR()()2210f ktfkt+- 第17页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 等价于，即，因为为上增函数，则对一切恒成立，即恒成立，显然成立，解得.综上所述，的取值范围是.【点睛】方法点晴：本题属于对函数单调性应用的考察，若函数在区间上单调递增，且时，则有且；若函数在区间上单调递减，且时，则有且；据此可以解不等式，由函数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.22.已知，且（1）若，求的值；（2）求的最小值【答案】（1）或 2 （2）【解析】【分析】（1）由对数的运算得，解方程可得答案；（2）由得，解不等式得，根据可得答案.【小问 1 详解】由题意，即，解得或 2【小问 2 详解】因为，所以，所以，()2(21)f ktfkt-()2(1 2)f ktfkt-()f xR21 2ktkt-tR2210ktkt+-0k=20440kkkD=+10k-12,x xD12xx()f xD()()12f xf x12,x xD12xx1abc1logloglog2ababcc+=+3ca=logabloglogabbc+3log2ab=22+37loglog2aabb+=1logloglog2 loglog2baaabcbcbc+=+()21log3log04aacc-+3log22ac+1logloglog2ababcc+=+331logloglog2ababaa+=+37loglog2aabb+=3log2ab=1abc1logloglog2 loglog2baaabcbcbc+=+ 第18页/共19页 学科网（北京）股份有限公司 因此，即，解得或，因为，所以，故，当时取等号，所以的最小值为 1log2 log2aacc+()21log3log04aacc-+3log22ac+3log22ac-log1ac 3log22ac+1logloglog222ababcc+=+2loglog12abbc=+loglogabbc+22+ 第19页/共19页 学科网（北京）股份有限公司