同济版大一高数下第十二章第二节数项级数及审敛法ppt课件.ppt
高等数学 第二十九讲1二、交错级数及其审敛法 三、绝对收敛与条件收敛 第二节一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法 第十二章 2一、正项级数及其审敛法若定理 1.正项级数 收敛部分和序列有界.若收敛,部分和数列有界,故从而又已知故有界.则称为正项级数.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”3定理2(比较审敛法)且存在对一切 有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证略则有收敛,也收敛;发散,也发散.两个正项级数,(常数 k 0),4解 1：发散,例1：判断下列级数的敛散性而 收敛由比较判别法可知原级数收敛解 2：而由比较判别发可知原级数发散。5证明级数 发散.证:因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例2.6例3.讨论 p 级数(常数 p 0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知 p 级数发散.发散,2）若顺序地把一项、两项、四项、八项括在一起此式由比较判别法可知 p1 时，p 级数收敛。7重要参考级数:几何级数,P-级数,调和级数.调和级数与 p 级数是两个常用的比较级数.若存在对一切8例49例510例611证例612定理3.(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当 l=0(3)当 l=+证明略！设两正项级数满足(1)当 0 l+时,13是两个正项级数,当 时,两个级数同时收敛或发散;特别取可得如下结论:对正项级数14比较审敛法的极限形式表明，无穷级数收敛与否最终取决于级数的一般项趋于零的速度，即无穷小量阶的大小。例如：与 为等价无穷小，发散，可以推得发散。与 为等价无穷小，收敛，可以推得收敛。可见，通过无穷小（大）的等价关系，简化 中的进而利用已知级数的敛散性来判断 的敛散性。15例716的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知原式收敛。例8.判别级数17的敛散性.例9.判别级数的敛散性.解:根据比较审敛法的极限形式知例10.判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知发散，收敛，18例12：1.判别级数的敛散性:解:(1)发散,故原级数发散.不是 p级数(2)故原级数发散.19故原级数收敛.（3）解取20（4）21定理4.比值审敛法(Dalembert 判别法)设 为正项级数,且 则(1)当(2)当时,级数收敛;或 时,级数发散.说明:当 时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数但级数收敛;级数发散.22例1：判断下列级数的敛散性解：解：由正项级数的比值判别法可知原级数收敛。由正项级数的比值判别法可知原级数发散。解：比值判别法失效！23解 因分母的最高次数与分子的最高次数之差为用比较法！则取为 p 级数，且 p1,则原级数收敛。24解：比值法失效，但故级数发散。25解：考虑以为通项的级数用比值法知级数收敛，例2：求证26定理5.根值审敛法(Cauchy 判别法)设 为正项级则证明:略！数,且时,级数可能收敛也可能发散.例如,p 级数 说明:但级数收敛;级数发散.27例1：判断下列级数的敛散性解：由正项级数的根值判别法可知原级数发散。解：由正项级数的根值判别法可知原级数收敛。解：由正项级数的根值与比较判别法可知原级数收敛。28定理6.（积分判别法）设 在上非负单调连续函数，则 与有相同的敛散性。证明 不妨设是单减函数，于是当有从而有以及即于是，若收敛，表示 为常数，29有可知有界，根据定理级数收敛。发散，因为 在 上非负，故当可推得无界，级数发散。只能有若30例2.判别级数 的敛散性.解:所以，当时，反常积分发散，原级数发散；时，反常积分收敛，原级数收敛；31二、交错级数及其审敛法 则各项符号正负相间的级数称为交错级数.定理7.(Leibnitz 判别法)若交错级数满足条件:则级数 收敛,且其和 其余项满足定义32证:是单调递增有界数列,又故级数收敛于S,且故33收敛收敛用Leibnitz 判别法判别下列级数的敛散性:收敛上述级数各项取绝对值后所成的级数是否收敛?发散收敛 收敛34(4)解 设由知 单调减少，从而有所以，交错级数收敛。35三、任意项级数的判敛法 定义:对任意项级数若若原级数收敛,但取绝对值以后的级数发散,收敛,则称原级数为条件收敛.均为绝对收敛。例如：绝对收敛；则称原级数条件收敛.可正可负可为零。36定理8.绝对收敛的级数一定收敛。证:设根据比较审敛法显然收敛,收敛也收敛。且收敛,令37例1.证明下列级数绝对收敛:证:(1)而 收敛,收敛因此 绝对收敛.38解因此 收敛,绝对收敛.例1.证明下列级数绝对收敛:39例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。分析：此为交错级数，是否绝对收敛用正项级数判别法，关键是将通项绝对值如何放大或缩小。解：原级数条件收敛！是发散的级数，即原级数非绝对收敛40例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。即原级数非绝对收敛41例2：判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。42例2.判断下列级数是绝对收敛、条件收敛还是发散。43例34445内容小结1.利用部分和数列的极限判别级数的敛散性2.利用正项级数审敛法必要条件不满足发 散满足比值审敛法根值审敛法收 敛 发 散不定 比较审敛法用它法判别积分判别法部分和极限463.任意项级数审敛法为收敛级数Leibniz 判别法:则交错级数收敛概念:绝对收敛条件收敛47思考与练习设正项级数 收敛,能否推出 收敛?提示:由比较判敛法可知收敛.注意:反之不成立.例如,收敛,发散.48备用题：则级数(A)发散;(B)绝对收敛;(C)条件收敛;(D)收敛性根据条件不能确定.分析:(B)错;又C49都有定理2(比较审敛法)且存在对一切 有1、若级数（2)则级数(1)2、若级数（1）则级数（2）证:设对一切则有收敛,也收敛;发散,也发散.分别表示级数（1）和级数（2）的部分和,两个正项级数,(常数 k 0),因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨501、若级数则有因此对一切 有由定理 1 可知,则有2、若级数因此这说明级数也发散.也收敛.发散,收敛,级数则有51由图可知52因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知 p 级数收敛.时,2)若53其和分别为 绝对收敛级数与条件收敛级数具有完全不同的性质.*定理8.绝对收敛级数不因改变项的位置而改变其和.*定理9.(绝对收敛级数的乘法)则对所有乘积 按任意顺序排列得到的级数也绝对收敛,设级数 与 都绝对收敛,其和为544、解：即令发散原级数条件收敛！55
