中华中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试卷.pdf

学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）2022-2023学年南京市中华中学高一下学年南京市中华中学高一下5月月考卷月月考卷 一选择题（共一选择题（共8小题小题，每题，每题5分，共分，共40分分）1已知复数（i 是虚数单位），z 的共轭复数记作，则（）A B C D 2已知，则 sin2 的值为（）A B C D 3已知，均为单位向量，且，则（）A B C D 4在正方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1B 异面且夹角成60的直线的条数为（）A2 B4 C5 D6 5如图，二面角 l 的大小是 60，线段 ABBl，AB 与 l 所成的角为 30求直线 AB 与平面 所成的角的正弦值 A B C D 6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4a+c 的最小值为（）A8 B9 C10 D7 7如图所示，某圆锥的高为，底面半径为 1，O 为底面圆心，OA，OB 为底面半径，且AOB，M 是母线 PA 的中点则在此圆锥侧面上，从 M 到 B 的路径中，最短路径的长度为（） 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A B1 C D+1 8 在锐角ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若+4cosC，则+（）A1 B C4 D2 二多选题（共二多选题（共4小题小题，每题，每题5分，共分，共20分分）9下列关于复数 z 的四个命题，真命题的为（）A若R，则 zR B若 z2R，则 zR C若|zi|1，则|z|的最大值为 2 D若 z310，则 z1 10 已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A若 tanA+tanB+tanC0，则ABC 是锐角三角形 B若 acosAbcosB，则ABC 是等腰直角三角形 C若 bcosC+ccosBb，则ABC 是直角三角形 D若，则ABC 是等边三角形 11如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是棱 CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（） 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A存在点 P，使 DP面 AB1D1 B二面角 PBB1D 的平面角为 60 CPB+PD1的最小值是 DP 到平面 AB1D1的距离最大值是 12已知四边形 ABCD 是等腰梯形（如图 1），AB3，DC1，BAD45，DEAB将ADE 沿 DE 折起，使得 AEEB（如图 2），连结 AC，AB，设 M 是 AB 的中点下列结论中正确的是（）ABCAD B点 E 到平面 AMC 的距离为 CEM平面 ACD D四面体 ABCE 的外接球表面积为 5 三填空题（共三填空题（共4小题小题，每题，每题5分，共分，共20分分）13ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若，则ABC的面积为 14已知ABC 中，三边为 AB2，BC1，AC，则 15已知底面半径为 1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，则此球的表面积为 16如图，ABCD 是正方形，E 是 AB 的中点，如将DAE 和CBE 分别沿虚线 DE 和 CE折起，使 AE 与 BE 重合，记 A 与 B 重合后的点为 P，则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为 度 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）四解答题（共四解答题（共6小题小题，共，共70分分）17已知复数 z（m2+5m6）+（m1）i，mR（1）若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围；（2）若 z 是纯虚数，求 m 的值 18等边三角形ABC，边长为 2，D 为 BC 的中点，动点 E 在边 AC 上，E 关于 D 的对称点为 F（1）若 E 为 AC 的中点，求（2）求的取值范围 19从下列条件中选择一个条件补充到题目中：，其中 S 为ABC 的面积，在ABC 中，角 A，B，C 对应边分别为 a，b，c，_（1）求角 A；（2）若 D 为边 AB 的中点，求 b+c 的最大值 20如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAAB4，G 为 PD 中点，E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PDC（）求证：AG平面 PCD； 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（）求证：AG平面 PEC；（）求直线 AC 与平面 PCD 所成角 21借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池 OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济如图所示，扇形荷花水池 OAB 的半径为 20 米，圆心角为设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台 MNPQ，另一部分是三角形观赏台 AOC现计划在弧 AB 上选取一点 M，作 MN 平行 OA 交 OB 于点 N，以 MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台 MNPQ，NP 长为 5 米；同时在水池岸边修建一个满足 AOOC 且COA2AOM 的三角形观赏台 AOC，记AOMx（）（1）当AOM时，求矩形观赏台 MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值 22如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，ADBP，APBD，E 为棱 AB 上任意一点（不包括端点），F 为棱 PD 上任意一点（不包括端点），且（1）证明：异面直线 CE 与 AP 所成角为定值（2）已知 ABAP1，BC2，当三棱锥 CBEF 的体积取得最大值时，求 PC 与平面CEF 所成角的正弦值 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信） 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）2022-2023学年南京市中华中学高一下学年南京市中华中学高一下5月月考卷月月考卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共8小题）小题）1已知复数（i 是虚数单位），z 的共轭复数记作，则（）A B C D【解答】解：，|z|，则，故选：A 2已知，则 sin2 的值为（）A B C D【解答】解：已知sincos，平方可得（1sin2），则 sin2，故选：B 3已知，均为单位向量，且，则（）A B C D【解答】解：，均为单位向量，且，设 与 的夹角为，+2 2+2 2+441+4cos+44cos，（+2）（+2）（+2）故选：C 4在正方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1B 异面且夹角成 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）60的直线的条数为（）A2 B4 C5 D6【解答】解：在正方体 ABCDA1B1C1D1的八个顶点中任取两个点作直线，与直线 A1B 异面且夹角成 60的直线有：AD1，AC，D1B1，B1C，共 4 条 故选：B 5如图，二面角 l 的大小是 60，线段 ABBl，AB 与 l 所成的角为 30求直线 AB 与平面 所成的角的正弦值 A B C D【解答】解：过点 A 作平面 的垂线，垂足为 C，在 内过 C 作 l 的垂线垂足为 D 连接 AD，有三垂线定理可知 ADl，故ADC 为二面角 l 的平面角，为 60 又由已知，ABD30 连接 CB，则ABC 为 AB 与平面 所成的角 设 AD2，则 AC，CD1，AB4 直线 AB 与平面 所成的角的正弦值 sinABC 故选：A 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）6在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4a+c 的最小值为（）A8 B9 C10 D7【解答】解：由题意得 acsin120asin60+csin60，即 aca+c，得+1，得 4a+c（4a+c）（+）+52+54+59，当且仅当，即 c2a 时，取等号，故选：B 7如图所示，某圆锥的高为，底面半径为 1，O 为底面圆心，OA，OB 为底面半径，且AOB，M 是母线 PA 的中点则在此圆锥侧面上，从 M 到 B 的路径中，最短路径的长度为（）A B1 C D+1【解答】解：由题意，在底面半径为 1，高为的圆锥中，O 是底面圆心，P 为圆锥顶点，圆锥的侧面展开图是半圆，如图，A，B 是底面圆周上的两点，所以在展开图中，APB，母线长为：2，M 为母线 PA 的中点，所以 PM1，所以从 B 到 M 的最短路径的长是 BM 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）故选：A 8 在锐角ABC 中，内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若+4cosC，则+（）A1 B C4 D2【解答】解：因为+4cosC，所以 a2+b24abcosC4ab，整理得 a2+b22c2，则+2 故选：D 二多选题（共二多选题（共4小题）小题）9下列关于复数 z 的四个命题，真命题的为（）A若R，则 zR B若 z2R，则 zR C若|zi|1，则|z|的最大值为 2 D若 z310，则 z1 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【解答】解：，若R，即 R，则 zR，所以 A 正确；取复数 zi，满足 z21R，但 zR，故 B 错误；|zi|1，z 的轨迹为以（0，1）为圆心，1 为半径的圆，则|z|的最大值为 2，所以 C 正确；取复数 z，z31，故 D 错误；故选：AC 10 已知 a，b，c 分别是ABC 三个内角 A，B，C 的对边，下列四个命题中正确的是（）A若 tanA+tanB+tanC0，则ABC 是锐角三角形 B若 acosAbcosB，则ABC 是等腰直角三角形 C若 bcosC+ccosBb，则ABC 是直角三角形 D若，则ABC 是等边三角形【解答】解：tanA+tanBtan（A+B）（1tanAtanB），tanA+tanB+tanCtan（A+B）（1tanAtanB）+tanCtanAtanBtanC0，A，B，C 是ABC 的内角，故内角都是锐角，故 A 正确；若 acoAbcosB，则 sinAcosAsinBcosB，则 2sinAcosA2sinBcosB，则 sin2Asin2B，则 AB，或 A+B90，即ABC 是等腰三角形或直角三角形，故 B 错误 若 bcosC+ccosBb，sinBcosC+sinCcosBsin（B+C）sinAsinB，即 AB，则ABC 是等腰三角形，故 C 错误；若，则，即 tanAtanBtanC，即 ABC，即ABC 是等边三角形，故 D 正确；故选：AD 11如图，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，点 P 是棱 CC1上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（） 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）A存在点 P，使 DP面 AB1D1 B二面角 PBB1D 的平面角为 60 CPB+PD1的最小值是 DP 到平面 AB1D1的距离最大值是【解答】解：当点 P 与 C1重合时，DPAB1，又 DP平面 AB1D1，AB1平面 AB1D1，所以 DP平面 AB1D1，故选项 A 正确；二面角 PBB1D 即二面角 CBB1D1的平面角为CBD45，故选项 B 错误；如图所示，PB+PD1PB+PD1BD1，当 D1，P，B共线时等号成立，故选项 C 正确；D1B1A1C1，D1B1C1C，且 A1C1C1CC1，所以 B1D1平面 A1C1C，A1C平面 A1C1C，则 B1D1A1C，同理可得，A1C平面 D1B1A，设 A1C 交平面 D1B1A 于 H，则 AHACcosACA1，当点 P 与点 C 重合时，点 P 到平面 AB1D1的距离为，故选项 D 错误 故选：BD 12已知四边形 ABCD 是等腰梯形（如图 1），AB3，DC1，BAD45，DEAB将ADE 沿 DE 折起，使得 AEEB（如图 2），连结 AC，AB，设 M 是 AB 的中点下列 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）结论中正确的是（）ABCAD B点 E 到平面 AMC 的距离为 CEM平面 ACD D四面体 ABCE 的外接球表面积为 5【解答】解：在图 1 中，过 C 作 CFEB DEEB，四边形 CDEF 是矩形，CD1，EF1 四边形 ABCD 是等腰梯形，AB3，AEBF1 BAD45，DECF1 连接 CE，则 CECB，EB2，BC2+EC2BE2，得BCE90，则 BCCE 在图 2 中，AEEB，AEED，EBEDE，AE平面 BCDE BC平面 BCDE，AEBC AECEE，BC平面 AEC 若 BCAD，又 BCAE，AEADA，BC平面 AED，过一点 E 与 BC 垂直的平面有两个，与过一点有且只有一个平面与已知直线垂直矛盾，故 A 错误；由 AE1，EC，得 AC，又 BC，而，设点 E 到平面 AMC 的距离为 h，由 VABCEVEABC，得，即 h，故 B 正确；假设 EM平面 ACD， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）EBCD，CD平面 ACD，EB平面 ACD，EB平面 ACD，又EBEME，平面 AEB平面 ACD，而 A平面 AEB，A平面 ACD，与平面 AEB平面 ACD 矛盾 假设不成立，故 EM 与平面 ACD 不平行，故 C 错误；连接 MC，AEB 为 Rt，ACB 为 Rt，且 M 为 AB 的中点，MAMBMEMC，即 M 为四面体 ABCE 的外接球的球心，四面体 ABCE 的外接球的半径为，则四面体 ABCE 的外接球表面积为，故 D 正确 故选：BD 三填空题（共三填空题（共4小题）小题）13ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c若，则ABC的面积为 【解答】解：由余弦定理，有 b2a2+c22accosB，c2，c，a 故答案为：14已知ABC 中，三边为 AB2，BC1，AC，则 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）4 【解答】解：ABC 的三边分别为 AB2，BC1，AC，a2+b2c2，ACBC，cosA，cosB，A，B cacos+abcosC+bccos21（）+10+2（）4；故答案为：4 15已知底面半径为 1，高为的圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，则此球的表面积为 【解答】解：画出圆锥的轴截面对应的三角形 BCD 如下图所示，由于圆锥的顶点和底面圆周都在球 O 的球面上，故球心为三角形 BCD 的外心，球的半径为三角形 BCD 外接圆半径，依题意，所以 BCCDBD2，即三角形 BCD 为等边三角形，内角为，由正弦定理得，故球的表面积为 故答案为： 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）16如图，ABCD 是正方形，E 是 AB 的中点，如将DAE 和CBE 分别沿虚线 DE 和 CE折起，使 AE 与 BE 重合，记 A 与 B 重合后的点为 P，则面 PCD 与面 ECD 所成的二面角为 30 度 【解答】解：设正方形的边长为 2，取 CD 的中点 M，连接 PM、EM，PDPC，PMCD EDEC，EMCD 故PME 即为面 PCD 与面 ECD 所成二面角的平面角 在PME 中：PE1，PM，EM2，cosPME PME30 故答案为：30 四解答题（共四解答题（共6小题）小题）17已知复数 z（m2+5m6）+（m1）i，mR（1）若 z 在复平面内对应的点在第四象限，求 m 的取值范围；（2）若 z 是纯虚数，求 m 的值【解答】解：（1）z 在复平面内对应的点在第四象限，解得 m6，故 m 的取值范围为（，6）（2）z 是纯虚数， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信），解得 m6，故 m6 18等边三角形ABC，边长为 2，D 为 BC 的中点，动点 E 在边 AC 上，E 关于 D 的对称点为 F（1）若 E 为 AC 的中点，求（2）求的取值范围 【解答】解：（1）D 为 BC 中点，又 E 为 AC 中点，；（2）根据题意可得 AD 为，又 E 关于 D 的对称点为 F，又动点 E 在 AC 上，当 DEAC 时，取最小值，当 E 与 A 重合时，取最大值， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信），的取值范围为 故的取值范围为 19从下列条件中选择一个条件补充到题目中：，其中 S 为ABC 的面积，在ABC 中，角 A，B，C 对应边分别为 a，b，c，_（1）求角 A；（2）若 D 为边 AB 的中点，求 b+c 的最大值【解答】解：（1）选，由余弦定理得：b2+c2a22bccosA，又，所以，得，因为，所以，选，因为，由正弦定理得：，整理得：b2+c2a2bc，由余弦定理得：，因为， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）所以 选，因为，由正弦定理得：，即，又因为 A+CB，所以 sinBsin（A+C）sinAcosC+sinCcosA，所以，因为 0C，所以 sinC0，所以，因为，所以，所以，即（2）在ACD 中，设ADC，由正弦定理得，所以 AC4sin，其中，当时取等号，所以 b+c 的最大值是 20如图，在四棱锥 PABCD 中，PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为正方形，PAAB4，G 为 PD 中点，E 点在 AB 上，平面 PEC平面 PDC（）求证：AG平面 PCD；（）求证：AG平面 PEC；（）求直线 AC 与平面 PCD 所成角 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）【解答】证明：（）CDAD，CDPA CD平面 PAD，CDAG，又 PDAG AG平面 PCD（4 分）（）证明：作 EFPC 于 F，因面 PEC面 PCD EF平面 PCD，又由（）知 AG平面 PCD EFAG，又 AG面 PEC，EF面 PEC，AG平面 PEC（4 分）（）连接 CG，AGCG，则ACG 为所求的角 在 Rt 三角形 ACG 中，AGC90 可得 AGAC，ACG302 分 21借助国家实施乡村振兴政策支持，某网红村计划在村内扇形荷花水池 OAB 中修建荷花观赏台，助推乡村旅游经济如图所示，扇形荷花水池 OAB 的半径为 20 米，圆心角为设计的荷花观赏台由两部分组成，一部分是矩形观赏台 MNPQ，另一部分是三角形观赏台 AOC现计划在弧 AB 上选取一点 M，作 MN 平行 OA 交 OB 于点 N，以 MN 为边在水池中修建一个矩形观赏台 MNPQ，NP 长为 5 米；同时在水池岸边修建一个满足 AOOC 且COA2AOM 的三角形观赏台 AOC，记AOMx（） 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（1）当AOM时，求矩形观赏台 MNPQ 的面积；（2）求整个观赏台（包括矩形观赏台和三角形观赏台两部分）面积的最大值 【解答】解：（1）当AOM时，过 M 作 OA 的垂线，交 AO 于点 E，在OMN 中，MNONMONOM，根据正弦定理可得，矩形观赏台 MNPQ 的面积 SMNNP50 平方米，矩形观赏台 MNPQ 的面积 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）（2）由题意可得，AOMx，在OMN 中，MNOMcosxOMsinx20（cosxsinx），矩形面积 MNPQ 的面积 S1MNNP520（cosxsinx）100（cosxsinx），观赏台AOC 的面积200sin2x，整个观赏台面积 SS1+S2100（cosxsinx）+200sin2x，设 tcosxsinx，t2（cosxsinx）21sin2x，sin2x1t2，S100t+200（1t2），当 t0，时，整个观赏台面积 S 的最大值为 212.5 平方米，整个观赏台面积 S 的最大值为 212.5 平方米 22如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 为矩形，ADBP，APBD，E 为棱 AB 上任意一点（不包括端点），F 为棱 PD 上任意一点（不包括端点），且（1）证明：异面直线 CE 与 AP 所成角为定值（2）已知 ABAP1，BC2，当三棱锥 CBEF 的体积取得最大值时，求 PC 与平面CEF 所成角的正弦值 【解答】证明：（1）四边形 ABCD 为矩形，ADAB，又ADBP，ABBPB，AB，BP平面 PAB，AD平面 PAB，又 AP平面 PAB，ADAP， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）又APBD，BDADD，BD，AD平面 ABCD，AP平面 ABCD，又 CE平面 ABCD，APCE，异面直线 CE 与 AP 所成角为定值，且该定值为 90；解：（2）如图，在 AD 上取点 G，使得 FGAP，由，设 AExAB，DFxPD，其中 0 x1，由 ABAP1，BC2，AP平面 ABCD，可得，FGAP，AP平面 ABCD，FG平面 ABCD，在APD 中，有，可得，可得 GFx，BCE 的面积为，可得当时，三棱锥 FBCE 体积的最大值为，当三棱锥 FBCE 的体积取得最大值时，此时 E 为 AB 的中点，F 为 DP 的中点，以 A 为坐标原点，的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则 设平面 CEF 的法向量为， 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）则，即，令 x4，得 y1，z6，则（4，1，6），因为，所以当三棱锥 CBEF 的体积取得最大值时，PC 与平面 CEF 所成角的正弦值为 学科网（北京）股份有限公司 学习资料分享/升学政策解读/优质师资推荐 咨询电话：18020133571（同微信）