2023年内蒙古赤峰二中高一数学下学期第一次月考试题 理.pdf

内蒙古赤峰二中高一数学下学期第一次月考试题 理（含解析）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若，则的值为()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据诱导公式化简，再根据平方差公式以及二倍角余弦公式得结果.【详解】因为，所以,因此,选 D.【点睛】本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式，考查基本分析求解能力.属基本题.2.函数的最大值为 A.2 B.C.D.1 【答案】A【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式得：，由三角函数的有界性得：，可得解【详解】，因为，所以，故函数的最大值为 2，故选：A 【点睛】本题考查了两角和差的正余弦公式及三角函数的有界性，属简单题 3.已知数列是等比数列，其前 项和为，则（）A.B.C.2 D.4 【答案】A【解析】【分析】由题意，根据等比数列的通项公式和求和公式，求的公比，进而可求解，得到答案。【详解】由题意得，公比，则，故选 A。【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和求和公式的应用，其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。4.若 sin=，是第二象限角，则 sin（2+）=（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据，求出的值，再将所求式子展开，转化成关于和的式子，然后代值得出结果。【详解】因为且 为第二象限角，根据得，再根据二倍角公式得原式=，将，代入上式得，原式=故选 D。因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算【点睛】本题考查三角函数给值求值，在已知角的取值范围时可直接用同角公式求出正余弦值，再利用和差公式以及倍角公式将目标式转化成关于和的式子，然后代值求解就能得出结果。5.已知 为三角形的一个内角，若，则这个三角形的形状为（）A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定【答案】B【解析】由已知 为三角形的一个内角，则 又 且 故为钝角三角形 选 B 6.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去找回了 5 个伙伴；第 2 天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有蜜蜂()A.55986 只 B.46656 只 C.216 只 D.36 只【答案】B【解析】【分析】先由题得到an是公比为 6 的等比数列，再利用等比数列的通项求出 a6得解.【详解】设第 n 天所有的蜜蜂都归巢后共有 an只蜜蜂，则有 an16an，a16，则an是公比为 6 的等比数列，则 a6a1q566546656.故答案为：B【点睛】本题主要考查等比数列性质的判定和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.7.已知等差数列的公差和首项都不等于 0，且成等比数列，则（）A.2 B.3 C.5 D.7 【答案】B【解析】因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算【分析】由等差数列an的通项公式和等比中项的性质，化简得 da1，即可求出【详解】在等差数列an中，成等比数列，(3d)(d)(7d)，dd，d0，d，3.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比中项的性质，也考查了学生的计算能力，属于基础题 8.在中，内角，所对应的边分别为，若，且，则（）A.B.C.2 D.0 【答案】D【解析】【分析】由，利用正弦定理可得，由求得，由两角和的余弦公式可得，由两角差的余弦公式可得，可得，从而可得结果.【详解】因为，所以，由正弦定理可得，即，因为，因为，所以，所以，又因为，因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 所以，所以，故选 D.【点睛】本题主要考查两角和与差的余弦公式，以及正弦定理的应用，属于难题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）证明化简过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.9.函数的最大值为（）A.B.C.D.2 【答案】A【解析】由题意，得；故选 A.10.已知函数图象的一条对称轴是，则 的值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化简函数f（x）acosx+sinx为一个角的一个三角函数的形式，利用图象关于直线对 称，就是时，函数取得最值，求出a即可【详解】函数f（x）acosx+sinxsin（x+），其中 tan a，其图象关于直线对称，所以，所以 tan a，故答案为：D【点睛】本题考查正弦函数的对称性，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题 11.等差数列中，若其前 项和为，且有，那么当取最大值时，的值为（）A.8 B.9 C.10 D.11 【答案】D【解析】因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算【分析】根据 S14=S8，可得 a9+a10+a14=0，故有 a11+a12=0再由 a10，可得 d0，故 a110，a120，可得 S11最大【详解】S14=S8，a9+a10+a14=0，a11+a12=0 再由 a10，d0，故 a110，a120，S11最大 故选：D【点睛】本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的前 n 项和公式的应用，数列的函数特性，属于基础题 12.已知数列：；，；，；，；，则此数列的前 2036 项之和为（）A.1024 B.2048 C.1018 D.1022 【答案】C【解析】【分析】根据数列的规律，先将数列分组，第一组 个数，第二组 个数，第 组个数，分别计算出各组数的和.计算出 组数的项数和，令这个项数和等于列方程，解方程求出组数为.然后求出前组数的和得出正确选项.【详解】将此数列分组，第一组：；第二组：；第三组：；第组：.而由，得，所以.因此前 2036 项之和正好等于前 10 组之和，由于.故选 C.【点睛】本小题主要考查数列求和，考查观察能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.二、填空题.13.莱因德纸草书(Rhind Papyrus)是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把 100 个面包分给五人，使每人成等差数列，且使最大的三份之和的 是较小的两份之和，则最小 1 份的大小是_ 因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算【答案】【解析】设此等差数列为an，公差为 d，则 （a3+a4+a5）=a1+a2，即，解得 a1=，d=最小一份为 a1，故答案为：14.已知的内角 的对边分别为，若，且的面积为，则的周长为_【答案】【解析】【分析】先由余弦定理，结合，得到的关系式，再由的面积为，得到的关系式，两式联立可求出，进而可确定结果.【详解】因为，由余弦定理可得：；又的面积为，所以，所以，所以,所以周长为.故答案为【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记余弦定理和三角形面积公式即可求解，属于基础题型.15.在中，A60，则 c_.【答案】6【解析】【分析】利用三角形的面积公式直接计算即可得到答案.【详解】,解得 c=6,因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 故答案为：6【点睛】本题考查三角形面积公式的应用，属于简单题.16.数列中，（2，且），且，记数列的前 项和为，若对任意的恒成立，则实数 的最大值_【答案】【解析】由，变形为：an+1=，a1+1=2 数列an+1是等比数列，首项为 2，公比为 an+1=，可得 an=，Sn=n=n，则，当 n 为偶数时，恒成立，而，1 当 n 为奇数时，恒成立，而，综上所述，即 的最大值为 故答案为：三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 17.的内角，所对的边分别为，且的面积.（1）求；（2）若、成等差数列，的面积为，求.【答案】（1）；（2）.【解析】分析：（1）可得，求得 B值；（2）由 a、b、c 成等差数列，可得 2b=a+c，两边同时平方得：a2+c2=4b2-2ac，又由，可得 ac=6，a2+c2=4b2-12，由余弦定理 cosB 即可求得 b.详解：（1），即，.（2）、成等差数列，两边同时平方得：，又由（1）可知：，由余弦定理得，解，.点睛：本题考查了余弦定理、三角形面积计算公式、等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题 18.一支车队有辆车，某天依次出发执行运输任务。第一辆车于下午 时出发，第二辆车于下午 时分出发，第三辆车于下午 时分出发，以此类推。假设所有的司机都连续开车，并都在下午 时停下来休息.（1）到下午 时，最后一辆车行驶了多长时间？（2）如果每辆车的行驶速度都是,这个车队当天一共行驶了多少?【答案】（1）到下午 时，最后一辆车行驶了 小时分钟；（2）这个车队当天一共行驶了 因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 【解析】第一问中，利用第一辆车出发时间为下午 2 时，每隔 10 分钟即小时出发一辆 则第 15 辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第 15 辆车行驶时间为：小时（1 时 40 分）第二问中，设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：则行驶的总里程为：运用等差数列求和得到。解：（1）第一辆车出发时间为下午 2 时，每隔 10 分钟即小时出发一辆 则第 15 辆车在小时，最后一辆车出发时间为：小时 第 15 辆车行驶时间为：小时（1 时 40 分）5 分（2）设每辆车行驶的时间为:,由题意得到 是以为首项，为公差的等差数列 则行驶的总时间为：10 分 则行驶的总里程为：19.如图，在中，已知点D在边BC上，且，求 BD长；求【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 由已知利用诱导公式可求的值，利用余弦定理即可计算 BD的长 由可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理可求的值，根据诱导公式可求的值【详解】（1）由题意，因为，在中，由余弦定理得，即，得 由，得，在中，由正弦定理，得：，【点睛】本题主要考查了三角函数的诱导公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题 20.已知公差不为零的等差数列中，且成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.【答案】（1）an112n(nN*)（2）见解析【解析】【分析】(1)S216，成等比数列，解得首项和公差进而得到通项；（2）当n5 时，Tna1a2an,直接按照等差数列求和公式求和即可,n6,Tna1a2a5a6a7 an=n210n50,写成分段即可.【详解】（1）由S216，成等比数列，得解得 所以等差数列an的通项公式为an112n(nN*)（2）当n5 时，Tn|a1|a2|an|a1a2anSnn210n.因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 当n6 时，Tn|a1|a2|an|a1a2a5a6a7 an2S5Sn2(52105)(n210n)n210n50，故Tn【点睛】数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验 n=1 时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。21.在亚丁湾海域执行护航任务的中国海军“徐州”舰,在 A处收到某商船在航行中发出求救信号后,立即测出该商船在方位角方位角(是从某点的指北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角)为 45、距离 A处为 10 n mile的 C处,并测得该船正沿方位角为105的方向,以 9 n mile/h的速度航行,“徐州”舰立即以 21 n mile/h 的速度航行前去营救.(1)“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船?(2)在营救时间最少的前提下,“徐州”舰应按照怎样的航行方向前进?(角度精确到 0.1,时间精确到 1min,参考数据:sin68.20.9286)【答案】（1）最少需要 40min 才能靠近商船；（2）前进的方位角约为【解析】【分析】(1)由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在 B处靠近商船，从 A处到靠近商船所用的时间为 x h根据余弦定理，可得,解方程即得 x 的值，即得“徐州”舰最少需要多少时间才能靠近商船.(2)由余弦定理可得大小，再求“徐州”舰前进的方位角.【详解】（1）由题知舰艇沿直线航行时所需时间最少，设舰艇在 B处靠近商船，从 A处到靠近商船所用的时间为 x h 则，因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算 又，根据余弦定理，可得，即，即，解得，（舍去）故“徐州”舰最少需要 40min 才能靠近商船（2）由（1）知，由余弦定理可得，故“徐州”舰前进的方位角约为【点睛】本题主要考查余弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.22.已知公差不为零的等差数列中，且，成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的前 n 项之和；（3）设数列满足：，为的前 n 项和，求证：【答案】（I）；（II）；（III）详见解析.【解析】【分析】（I）根据等比中项的性质列方程，转化为的形式，解方程求得 的值，进而求得通项公式.（II）利用错位相减求和法求得数列的前 项和.（III）利用裂项求和法求得的值，由此证得.【详解】（）由于，成等比数列，所以，故，由于，解得，所以.（II）由（I）得，故，因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算，两式相减得 ，即.（III）由（I）得，故.【点睛】本小题主要考查等比中项的性质，考查等差数列基本量的计算以及等差数列通项公式的求解，考查错位相减求和法，考查裂项相消求和法.如果一个数列是由等差数列乘以等比数列所构成，那么可以利用错位相减法求得前 项和.如果一个数列的分母是由两个公差相同的等差数列相乘所得，可以考虑用裂项求和法求和.因此点睛本题考查诱导公式以及二倍角余弦公式考查基本分析求解能力属基本题选的最大值为函数答案解析分析由两差的正余弦公式及三角函数的有界性属简单题已知数列是等比数列其前项和为则答案解析分析由题意根据等比数列的公式和求和公式的应用其中解答中熟记等比数列的通项公式和求和公式准确运算是解答的关键着重考查了推理与运算