2019年江苏省高三上学期期末数学试题分类：应用题-精品推荐.pdf

十、应用题 （一）试题细目表 地区+题号 类型 考点 思想方法 南通泰州期末18 解答 直线、圆、三角函数的定义、基本不等式 建模思想 无锡期末17 解答 镇江期末17 解答 扬州期末17 解答 常州期末17 解答 南京盐城期末17 解答 苏州期末17 解答 苏北四市期末17 解答 （二）试题解析 1.（南通泰州期末18）如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80cm的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：、为绿化区域（图中阴影部分），、为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.（道路宽度忽略不计）【答案】【解】以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系.（1）直线PB的方程为2yx，半圆O的方程为22240 xy(0)y，由2222,40(0),yxxyy得16 5y.所以，点P到AD的距离为16 5m.（2）由题意，得(40cos,40sin)P.直线PB的方程为 sin280(40)cos1yx，令0y，得 80cos8040sin2Ex80cos40sinsin2.直线PC的方程为sin280(40)cos1yx，令0y，得80cos8040sin2Fx80cos40sinsin2.所以，EF的长度为()FEfxx80sinsin2，0,2.区域、的面积之和为 1180sin80802sin2S 6400sin2，区域的面积为 2140sin2SEF 180sin40sin2sin2 21600sinsin2，所以2121600sin6400sin2SS(0)2.设sin2t，则23t，2121600(2)6400tSSt.81600(4)tt 1600(2 84)6400(21).当且仅当2 2t，即sin2 22时“”成立.所以，休闲区域、的面积12SS的最小值为26400(21)m.答：当sin2 22时，绿化区域、的面积之和最大.2.（无锡期末17）如图，点C为某沿海城市的高速公路出入口，直线BD为海岸线，3CAB，ABBD，BC是以A为圆心，半径为1km的圆弧型小路.该市拟修建一条从C通往海岸的观光专线CPPQ，其中P为BC上异于,B C的一点，PQ与AB平行，设PAB.（1）证明：观光专线CPPQ的总长度随的增大而减小；（2）已知新建道路PQ的单位成本是翻新道路CP的单位成本的 2 倍.当取何值时，观光专线CPPQ的修建总成本最低？请说明理由.【答案】解：（1）由题意，3CAP，所以3CP，又cos1cosPQABAP，所以观光专线的总长度()1 cos3f cos13 ，03，因为当03 时，()1sin0f，所以()f在(0,)3上单调递减，即观光专线CPPQ的总长度随的增大而减小.（2）设翻新道路的单位成本为(0)a a，则总成本()(22cos)3ga (2cos2)3a ，03，()(12sin)ga，令()0g，得1sin2，因为03，所以6，当06 时，()0g，当63 时，()0g.所以，当6时，()g最小.答：当6时，观光专线CPPQ的修建总成本最低.3.（镇江期末17）如图，准备在墙上钉一个支架，支架由两直杆AC与BD焊接而成，焊接点D把杆AC 分成 AD,CD 两段，其中两固定点 A，B间距离为 1 米，AB 与杆 AC 的夹角为60，杆AC 长为 1 米，若制作 AD 段的成本为 a 元/米，制作 CD 段的成本是2a 元/米，制作杆BD 成本是4a 元/米.设ADB，则制作整个支架的总成本记为 S 元.（1）求S关于的函数表达式，并求出的取值范围；（2）问AD段多长时，S最小？【答案】在ABD中,由正弦定理得12sinsinsin()33BDAD，所以33cos1,2sin2sin2BDAD，则3cos13cos13()2 1()4()2sin22sin22sinSaa 4 33cos3()2sin2a，由题意得2(,)33 （2）令214cos30sinSa，设01cos4 0(,)3 0 02()3，cos 1 1(,)4 2 14 1 1,)2 4 S 0 S 单调递减 极大值 单调递增 所以当1cos4时，S最小，此时153cos155sin,42sin210AD 答：（1）S关于的函数表达式为4 33cos3()2sin2Sa，且2(,)33；（2）当5510AD时 S 最小.4.（扬州期末17）如图，射线OA和OB均为笔直的公路，扇形OPQ区域（含边界）是一蔬菜种植园，其中P、Q分别在射线OA和OB上。经测量得，扇形OPQ的圆心角（即POQ）为32、半径为 1 千米。为了方便菜农经营，打算在扇形OPQ区域外修建一条公路MN，分别与射线OA、OB交于M、N两点，并要求MN与扇形弧PQ相切于点。设POS=（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.(1)试将公路MN的长度表示为 的函数，并写出 的取值范围：(2)试确定 的值，使得公路MN的长度最小，并求出其最小值.【答案】解：因为MN与扇形弧PQ相切于点S，所以OSMN.在RTOSM中，因为OS=1，MOS=，所以SM=tan，在RTOSN中，NOS=23，所以SN=2tan()3，所以223(tan1)tantan()33tan1MN，.4 分 其中62 .6 分 因为62，所以3tan10，令3tan10t，则3tan(1)3t，所以34(2)3MNtt，.8 分 由基本不等式得34(22)2 33MNtt ，10 分 当且仅当4tt即2t 时取“=”.1 2 分 此时tan3，由于62，故3.1 3 分 答：223(tan1)tantan()33tan1MN，其中62 当3时，MN长度的最小值为2 3千米 .14 分 注：第问中最小值对但定义域不对的扣 2 分 5.（常州期末17）已知小明（如图中AB所示）身高 1.8 米，路灯OM高 3.6 米，AB，OM均垂直于水平地面，分别与地面交于点A，O点光从M发出，小明在地面上的影子记作AB（1）小明沿着圆心为O，半径为 3 米的圆周在地面上走一圈，求AB扫过的图形面积；（2）若3OA米，小明从A出发，以 1 米/秒的速度沿线段1AA走到1A，31 OAA，且101AA米t秒时，小明在地面上的影子长度记为)(tf（单位：米），求)(tf的表达式与最小值 （第 17 题）【答案】解：（1）由题意ABOM，1.813.62ABABOBOM，3OA，所以 6OB，小明在地面上的身影AB扫过的图形是圆环，其面积为226327()平方米；（2）经 过t秒，小 明 走 到 了0A处，身 影 为00AB，由（1）知00012ABABOBOM，所 以22000000()2cosf tABOAOAAAOA AAOAA，化简得2()39,010f tttt，2327()24f tt，当32t 时，()f t的最小值为3 32，答：2()39,010f tttt，当32t（秒）时，()f t的最小值为3 32（米）6.（南京盐城期末17）.有一矩形硬纸板材料（厚度忽略不计），一边AB长为 6 分米，另一边足够长现从中截取矩形ABCD（如图甲所示），再剪去图中阴影部分，用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒（如图乙所示，重叠部分忽略不计），其中OEMF是以O为圆心、120EOF的扇形，且弧EF,GH分别与边BC,AD相切于点M,N（1）当BE长为 1 分米时，求折卷成的包装盒的容积；（2）当BE的长是多少分米时，折卷成的包装盒的容积最大？【答案】解：（1）在图甲中，连接MO交EF于点T设OEOFOMR，在Rt OET中，因为1602EOTEOF ，所以2ROT，则2RMTOMOT A D C B E G F O M N H 第 17 题-图甲 N E F G H 第 17 题-图乙 M N 从而2RBEMT，即22RBE.2 分 故所得柱体的底面积OEFOEFSSS扇形 22114sin1203323RR.4 分 又所得柱体的高4EG，所以VSEG 164 33.答：当BE长为 1 分米时，折卷成的包装盒的容积 为164 33立方分米.6 分（2）设BEx，则2Rx，所以所得柱体的底面积 OEFOEFSSS扇形222114sin120(3)323RRx.又所得柱体的高62EGx，所以VSEG 328(2 3)(3)3xx，其中03x.10 分 令32()3,(0,3)f xxxx ，则由2()363(2)0fxxxx x ，解得2x.12 分 列表如下：x(0,2)2(2,3)()fx 0 ()f x 增 极大值 减 所以当2x 时，()f x取得最大值.答：当BE的长为 2 分米时，折卷成的包装盒的容积最大.14 分 7.（苏州期末17）如图，B,C分别是海岸线上的两个城市，两城市间由笔直的海滨公路相连，B，C之间的距离为 100m，海岛A在城市B的正东方 50km 处 从海岛A到城市C，先乘船按北偏西 角（2 ，其中锐角的正切值为12）航行到海岸公路P处登陆，再换乘汽车到城市C已知船速为 25m/h，车速为 75m/h.（1）试建立由A经P到C所用时间与的函数解析式；（2）试确定登陆点P的位置，使所用时间最少，并说明理由 B C P 东 北 A A D C B E G F O M N H T 【答案】解（1）由题意，轮船航行的方位角为，所以90BAP，50AB，则5050cos(90)sinAP，50sin(90)50cos50tan(90)cos(90)sinBP 50cos100100sinPCBP 4 分（注：AP，BP写对一个给 2 分）由A到P所用的时间为1225sinAPt，由P到C所用的时间为250cos10042cossin7533sint，6 分 所以由A经P到C所用时间与 的函数关系为 12242cos62cos4()sin33sin3sin3tft 8 分 函数()f的定义域为(,2，其中锐角的正切值为12.（2）由（1），6 2 c o s4()3sin3f，(,2，2(13cos)()9si6nf，令()0f，解得1cos3，10 分 设 0(0,)2，使01cos3 0(,)0 0(,)2()f 0 ()f 减函数 极小值 增函数 12 分 所以，当0 时函数f()取得最小值，此时BP=0050cos25 2sin217.68 km，答：在BC上选择距离B为 17.68 km 处为登陆点，所用时间最少 14 分（注：结果保留根号，不扣分）8.（苏北四市期末17）某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品，该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成，圆锥的侧面用于艺术装饰，如图 1为了便于设计，可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转 180而成，如图 2 已知圆O的半径为 10cm，设BAO=，02，圆锥的侧面积为Scm2 求S关于 的函数关系式；为了达到最佳观赏效果，要求圆锥的侧面积S最大求S取得最大值时腰AB的长度 【答案】（1）设AO交BC于点D，过O作OEAB，垂足为E，在AOE中，10cosAE，220cosABAE，2 分 在ABD中，sin20cossinBDAB，4 分 所以1220sincos20cos2S 2400 sincos，(0)2 6 分（2）要使侧面积最大，由（1）得：23400sincos400(sinsin)S8 分 设3(),(01)f xxxx 则2()13fxx ，由2()130fxx 得：33x 当3(0,)3x时，()0fx，当3(,1)3x时，()0fx 所以()f x在区间3(0,)3上单调递增，在区间3(,1)3上单调递减，所以()f x在33x 时取得极大值，也是最大值；A B C O A B C O 图 1 图 2（第 17 题）D A B C O E 所以当3sin3时，侧面积S取得最大值，11 分 此时等腰三角形的腰长22320 620cos20 1sin20 1()33AB 答：侧面积S取得最大值时，等腰三角形的腰AB的长度为20 6cm314 分