2019年河北省保定市高考数学一模试卷.pdf

第 1 页（共 21 页）2019 年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1（5 分）若复数z，则（）A 1+3iB1 3iC1+3iD13i2（5 分）已知 cos，且 为第二象限角，则sin2的值为（）A BCD3（5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合PQ x|x P，且 x?Q，如果 P x|1 2x4，Q y|y2+sinx，x R，那么 PQ（）A x|0 x1B x|0 x2C x|1x2D x|0 x14（5 分）若方程1 表示双曲线，则m 的取值范围是（）A m2 或 m6B2m6Cm 6 或 m 2D 6m 25（5 分）在如图所示的程序框图中，如果输出p120，则输入的N（）A 3B4C5D66（5 分）已知向量，满足|3，|2，且，则与的夹角为（）A 30 B150 C60 D120 第 2 页（共 21 页）7（5 分）已知变量 x，y 满足约束条件则目标函数z的取值范围是（）A 0，2B0，CD0，+）8（5 分）一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M 是 AB 的中点，则几何体CMEF 的体积为（）A BCD9（5 分）设 ABC 的内角A、B、C，满足2sin2Asin2B+sinAsinB sin2Asin2B，则 cosC（）A BCD10（5 分）已知S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA平面ABC，AB BC，SA 1，ABBC 2，则球 O 的表面积为（）A 5BC9D11（5 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn，若 a11，Snan+1，则 a11（）A 410B348C349D321712（5 分）设函数f（x），则函数g（x）f（x）ln（x+e2）的零点个数为（）A 1 个B2 个C3 个D4 个二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13（5 分）函数 yx2+ex的图象在点 x0 处的切线方程为14（5 分）从由数字 1，2，3 所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为第 3 页（共 21 页）15（5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1 关收税金为总量的，第 2 关收税金为剩余的，第 3 关收税金为剩余的，第 4 关收税金为剩余的，第 5关收税金为剩余的，5 关所收税金之和恰好重1 斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则 x斤16（5 分）已知点O为 ABC所在平面内的一点，且满足|1，3，则三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分17（12 分）已知函数f（x）2sin xcosx+2cos2x1（x R）（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）在 ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且f（A）2，a4，求ABC 面积的最大值18（12 分）如图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD，AB 4，PAPD 2（1）若 M 为线段 AB 中点，N 为线段 PC 中点，求证：MN 平面 PAD；（2）若平面PAD平面ABCD，求三校锥APBD 的高19（12 分）已知椭圆C：1（ab0）的右焦点F2与抛物线y2 4x 的焦点重合，且其离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 中点为 P，问 kMN?kOP第 4 页（共 21 页）（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由20（12 分）为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40 个数据作为样本，并规定试验数据落在495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙490，495）62495，500）812500，505）1418505，510）86510，515）42（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试着估计从两个小组的试验数据中分别任取一个数据，则其恰好是理想数据的概率各是多少？（3）由以上统计数据完成下面22 列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据不理想数据合计第 5 页（共 21 页）附：K2，其中 na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821（12 分）已知函数f（x）alnx+1，a R（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若（x 1）f（x）0 恒成立，求a 的取值范围选考题：共 10 分请考生从第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知曲线C 的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线M 的参数方程是（为参数）（1）写出曲线C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，P 为曲线 M 上的动点，求 ABP 面积的最大值选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|x+a|，a R（1）若 a2，解不等式f（x）1；（2）若 x（2，4）时，|f（x）|2x+a 1|，求 a 的取值范围第 6 页（共 21 页）2019 年河北省保定市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的1（5 分）若复数z，则（）A 1+3iB1 3iC1+3iD13i【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案【解答】解：z，1+3i 故选：A【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2（5 分）已知 cos ，且 为第二象限角，则sin2的值为（）A BCD【分析】利用同角三角函数的基本关系求得sin的值，再利用二倍角公式求得sin2的值【解答】解：cos，且 为第二象限角，sin，则 sin2 2sin?cos 2?（），故选：B【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题3（5 分）设 P 和 Q 是两个集合，定义集合PQ x|x P，且 x?Q，如果 P x|1 2x4，Q y|y2+sinx，x R，那么 PQ（）A x|0 x1B x|0 x2C x|1x2D x|0 x1【分析】根据 PQ 的定义，可求出P，Q，然后即可求出PQ【解答】解：P x|0 x2，Q y|1y3；PQ x|0 x1 故选：D【点评】考查描述法的定义，指数函数的单调性，正弦函数的值域，以及 PQ 的定义第 7 页（共 21 页）4（5 分）若方程1 表示双曲线，则m 的取值范围是（）A m2 或 m6B2m6Cm 6 或 m 2D 6m 2【分析】利用方程表示双曲线的充要条件，列出不等式求解即可【解答】解：若方程1 表示双曲线，则（m2）（6m）0m2 或 m6，故选：A【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于基础题5（5 分）在如图所示的程序框图中，如果输出p120，则输入的N（）A 3B4C5D6【分析】根据条件进行模拟运算即可【解答】解：第一次p1，k N 成立，k 2，第二次 p2，kN 成立，k3，第三次 p6，kN 成立，k4，第五次 p24，kN 成立，k5，第六次 p120，kN 不成立，输出p120，故 k4 不成立，k5 成立，则 N5，第 8 页（共 21 页）故选：C【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键6（5 分）已知向量，满足|3，|2，且，则与的夹角为（）A 30 B150 C60 D120【分析】根据即可得出，从而得出，这样即可求出，根据向量夹角的范围即可求出夹角【解答】解：，；又；与的夹角为150 故选：B【点评】考查向量垂直的充要条件，向量的数量积运算，以及向量夹角的余弦公式7（5 分）已知变量 x，y 满足约束条件则目标函数z的取值范围是（）A 0，2B0，CD0，+）【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可【解答】解：变量x，y 满足约束条件的可行域如图阴影部分：目标函数z的几何意义是可行域内的点与原点连线的斜率：kOA2，则目标函数z的取值范围是：0，2故选：A第 9 页（共 21 页）【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键8（5 分）一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，M 是 AB 的中点，则几何体CMEF 的体积为（）A BCD【分析】利用棱柱的体积减去两个棱锥的体积，求解即可【解答】解：由题意可知几何体CMEF 的体积：VADFBCEVFAMCDVEMBC故选：D【点评】本题考查三视图求解几何体的体积，考查计算能力9（5 分）设 ABC 的内角A、B、C，满足2sin2Asin2B+sinAsinB sin2Asin2B，则 cosC（）A BCD【分析】利用二倍角的正弦函数公式化简已知等式，结合 sinAsinB 0，可得 2sinAsin B+12cosAcosB，进而根据两角和的余弦函数，诱导公式可得cosC 的值第 10 页（共 21 页）【解答】解：2sin2Asin2B+sin AsinBsin2Asin2B 2sinAcosAsinBcosB，又 sinAsinB 0，可得：2sinAsinB+1 2cosAcosB，可得：12cos（A+B）2cosC，解得：cosC 故选：B【点评】本题主要考查了二倍角的正弦函数公式，两角和的余弦函数，诱导公式在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题10（5 分）已知S、A、B、C 是球 O 表面上的点，SA平面ABC，AB BC，SA 1，ABBC 2，则球 O 的表面积为（）A 5BC9D【分析】由题意可得，S、A、B、C 四点均为长宽高分别SA，AB，BC 三边长的长方体的顶点，由长方体外接球的直径等于长方体对角线，可得球O 的半径，代入球的表面积公式即可得到答案【解答】解：SA平面 ABC，ABBC，四面体SABC 的外接球半径等于以长宽高分别SA，AB，BC 三边长的长方体的外接球的半径SA1，AB 2，BC 2，2R 3，即 R球 O 的表面积 S4?R29 故选：C【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的表面积公式，其中根据已知条件求出球 O 的半径是解答本题的关键，是中档题11（5 分）已知数列an 的前 n 项和为 Sn，若 a11，Snan+1，则 a11（）A 410B348C349D3217【分析】本题先根据题中公式推出前几项，然后根据公式anSnSn1得出数列 an 从第 2 项起是一个等比数列，即可得出数列 an 的通项公式，即可得到结果【解答】解：由题意，可知：当 n1 时，a1S11；第 11 页（共 21 页）当 n2 时，a23S13；当 n2 时，anSnSn1，即：an+14an数列 an从第 2 项起是以 3 为首项，4 为公比的等比数列a11349故选：C【点评】本题主要考查公式anSnSn1的应用，以及等比数列的判定，本题属中档题12（5 分）设函数f（x），则函数g（x）f（x）ln（x+e2）的零点个数为（）A 1 个B2 个C3 个D4 个【分析】由题意可得可令g（x）0，即求 yf（x）和 yln（x+e2）的图象交点个数，作出 yf（x）的图象和yln（x+e2）的图象，通过观察可得所求零点个数【解答】解：函数 g（x）f（x）ln（x+e2）的零点个数即为 g（x）0，即 yf（x）和 yln（x+e2）的图象交点个数，作出 yf（x）的图象和yln（x+e2）的图象，可得它们共有3 个交点，即零点个数为3故选：C【点评】本题考查函数的零点个数，注意运用转化思想和数形结合思想，考查判断能力和推理能力，属于基础题二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分第 12 页（共 21 页）13（5 分）函数yx2+ex的图象在点 x0 处的切线方程为y x+1【分析】求出函数的导数，然后求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程【解答】解：函数yx2+ex，可得 y2x+ex，切线的斜率为：1，切点坐标（0，1），函数 yx2+ex的图象在点 x0 处的切线方程为：yx+1 故答案为：yx+1【点评】本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力14（5 分）从由数字1，2，3 所组成的所有两位数中随机抽取一个数，则该数为没有重复数字的两位数的概率为【分析】基本事件个数n339，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m326，由此能求出该数为没有重复数字的两位数的概率【解答】解：从由数字1，2，3 所组成的所有两位数中随机抽取一个数，基本事件个数n339，该数为没有重复数字的两位数包含的基本事件个数m326，该数为没有重复数字的两位数的概率为p故答案为：【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题15（5 分）我国古代数学著作九章算术中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一并五关所税，适重一斤问本持金几何？“其意思为“今有人持金出五关，第1 关收税金为总量的，第 2 关收税金为剩余的，第 3 关收税金为剩余的，第 4 关收税金为剩余的，第 5关收税金为剩余的，5 关所收税金之和恰好重1 斤，问原本持金多少？假设原本持金x斤，则 x1.2斤【分析】计算每关过后的剩余量即，列方程求出答案【解答】解：由题意可知过第一关后剩余，过第二关后剩余?，第 13 页（共 21 页）过第三关后剩余，过第四关后剩余?，过第五关后剩余，x1，解得 x1.2故答案为：1.2【点评】本题考查了数学应用，属于基础题16（5 分）已知点O为 ABC所在平面内的一点，且满足|1，3，则【分析】由已知可知两边同时平方可求，然后结合，及，结合向量数量积的性质即可求解【解答】解：|1，3，两边同时平方可得，9+16+2425，0，则（）0，故答案为：【点评】本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，属于中档试题三、解答题：共70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23 题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共 60 分第 14 页（共 21 页）17（12 分）已知函数f（x）2sin xcosx+2cos2x1（x R）（1）求函数 f（x）的最小正周期；（2）在 ABC 中，a，b，c 分别为内角A，B，C 的对边，且f（A）2，a4，求ABC 面积的最大值【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数最小正周期（2）利用（1）的结论，进一步利用余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式的应用求出结果【解答】解：（1）函数 f（x）2sinxcosx+2cos2x1，所以：函数的最小正周期为（2）由于 f（A）2，故：，解得：A由余弦定理得：a2b2+c22bccosA，整理得：16 b2+c2+bc3bc，所以：则：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型18（12 分）如图，四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 为菱形，BAD，AB 4，PAPD 2（1）若 M 为线段 AB 中点，N 为线段 PC 中点，求证：MN 平面 PAD；（2）若平面PAD平面ABCD，求三校锥APBD 的高第 15 页（共 21 页）【分析】（1）取线段PD 的中点 H，连结 NH，AH，推导出 AM DC，AM，四边形 AMNH 为平行四边形，从而MN AH，由此能证明MN 平面 PAD（2）取 AD 中点 O，连结PO，则 PO AD，设三棱锥APBD 的高为h，由 VPABDVAPBD，能求出三棱锥A PBD 的高【解答】证明：（1）如图所示，取线段PD 的中点 H，连结 NH，AH，在 PDC 中，NHDC，NH，ABCD 是菱形，M 为中点，AMDC，AM，HN AM，HN AM，四边形AMNH 为平行四边形，MN AH，AH?面 PAD，MN?面 PAD，MN平面 PAD解：（2）PAPD 2，AD4，APPD，取 AD 中点 O，连结 PO，则 PO AD，面 PAD面 ABCD，PO 面 ABCD，则 PO 2，BD 4，在 RtPOB 中，PB4，SPBD2，设三棱锥 APBD 的高为 h，由 VPABDVAPBD，得，解得 h，三棱锥 APBD 的高为【点评】本题考查线面平行的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、第 16 页（共 21 页）面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题19（12 分）已知椭圆C：1（ab0）的右焦点F2与抛物线y2 4x 的焦点重合，且其离心率为（1）求椭圆C 的方程；（2）已知与坐标轴不垂直的直线l 与 C 交于 M，N 两点，线段 MN 中点为 P，问 kMN?kOP（O 为坐标原点）是否为定值？请说明理由【分析】（1）由抛物线方程求出焦点坐标，得到椭圆半焦距，再由离心率求得a，结合隐含条件求得 b，则椭圆方程可求；（2）由题意可知，直线 l 的斜率存在且不为0，设 l 的方程为 ykx+m，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系求得P 的坐标，再由斜率公式求得 OP 的斜率，可得kMN?kOP为定值【解答】解：（1）抛物线y24x 的焦点为（1，0），椭圆C 的半焦距为c1，又椭圆的离心率e，a2，则 b椭圆 C 的方程为；（2）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，设 l 的方程为ykx+m，联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2 120 0 即只需 n24k2+3 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则，P（），第 17 页（共 21 页）【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题20（12 分）为了尽快攻克一项科研课题，某生物研究所分别设立了甲、乙两个研究小组同时进行对比试验，现随机在这两个小组各抽取40 个数据作为样本，并规定试验数据落在495，510）之内的数据为理想数据，否则为不理想数据试验情况如表所示：抽查数据频数甲乙490，495）62495，500）812500，505）1418505，510）86510，515）42（1）根据表中数据作出两个小组样本数据的频率分布直方图；（2）若以频率作为概率，试着估计从两个小组的试验数据中分别任取一个数据，则其恰好是理想数据的概率各是多少？（3）由以上统计数据完成下面22 列联表，并回答有多大的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个研究小组的选择有关？甲小组乙小组合计理想数据第 18 页（共 21 页）不理想数据合计附：K2，其中 na+b+c+dP（K2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（1）根据题意画出甲、乙两个小组的频率分布直方图；（2）由题意计算甲、乙小组的理想数据和频率，由此得出结论；（3）由题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论【解答】解：（1）根据题意，画出甲、乙两个小组的频率分布直方图如下；（2）由题意知，甲小组的理想数据为8+14+8 30，故甲小组的理想数据频率为0.75；乙小组的理想数据为12+18+6 36，故乙小组中理想数据的频率为0.9；据此可以估计从甲组数据中任取1 个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.75，从乙组数据中任取1 个数据，该数据恰好为理想数据的概率为0.9；（3）甲小组的理想数据为30，乙小组的理想数据为36，由此填写列联表如下；甲小组乙小组合计理想数据303666不理想数据10414合计404080由表中数据，计算K23.117 2.706，第 19 页（共 21 页）所以有 90%的把握认为抽取的数据为理想数据与对两个小组的选择有关【点评】本题考查了频率分布直方图与独立性检验的应用问题，是基础题21（12 分）已知函数f（x）alnx+1，a R（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若（x 1）f（x）0 恒成立，求a 的取值范围【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）由（1）可得当 a0 时，f（x）在（0，+）递增，（x1）f（x）0 恒成立，当 a0 时，分 当，当1，当讨论【解答】解：（1）f（x）alnx+1 的定义域是（0，+），f（x），a 0 时，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，a 0 时，令 f（x）0，解得：0 x，令 f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减；（2）f（1）0由（1）可得当 a0 时，f（x）在（0，+）递增，x1 时，f（x）0，x1 时，f（x）0所以，此时（x1）f（x）0 恒成立，即 a0 符合题意当 a0 时，f（x）在（0，）递增，在（，+）递减，且f（1）0；当时，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，易知（x1）f（x）0不恒成立；当1 时，即 a1 时，f（x）在（0，1）上由 f（）f（1）0，易知（x1）f（x）0 不恒成立；当时，即 1a0 时，第 20 页（共 21 页），易知（x1）f（x）0 不恒成立；综上，（x1）f（x）0 恒成立时，a 的取值范围为 0，+）【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题选考题：共10 分请考生从第22、23 两题中任选一题作答，并用2B 铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）已知曲线C 的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为（t 为参数），曲线M 的参数方程是（为参数）（1）写出曲线C 和直线 l 的直角坐标方程；（2）若直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点，P 为曲线 M 上的动点，求 ABP 面积的最大值【分析】（1）消去参数t 可得直线l 的直角坐标方程，由 可得 23，可得 x2+y23；（2）利用参数的几何意义求弦长，利用掉到直线的距离求三角形的高，利用三角函数的性质求最大值【解答】解：（1）由题意可知 C：x2+y2 3，直线 l 的直角坐标方程为y x1（2）将直线 l 方程代入 C 的方程并整理得t2+20，设 A，B 对应的参数分别为t1，t2，则 t1+t2，t1t22，|AB|t1t2|，所以点 P 到直线 l 的距离d，所以当 sin（）1 时，d 的最大值为，第 21 页（共 21 页）即三角形ABP 面积最大值为【点评】本题考查了简单无线的极坐标方程，属中档题选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）|x1|x+a|，a R（1）若 a2，解不等式f（x）1；（2）若 x（2，4）时，|f（x）|2x+a 1|，求 a 的取值范围【分析】（1）分 3 段去绝对值姐不等式；（2）利用绝对值不等式取等的条件可得【解答】解：（1）当 a2 时，f（x），当 x 2 时，由 f（x）1，得 x 2；当 2x1 时，由 f（x）1 得 2x 1；当 x1 时，由 f（x）1，无解；所以不等式f（x）1 的解集为 x|x 1（2）因为|f（x）|x1|x+a|（x1）+（x+a）|2x+a 1|，当且仅当（x1）（x+a）0 时，等号成立当（x1）（x+a）0 时，|f（x）|2x+a 1|，记其解集为A，则（2，4）?A，若 a1，显然成立；若 a1，A（，1）（a，+），2a1，所以 a 的取值范围是 2，+）【点评】本题考查了绝对值不等式，属中档题