2020-2021学年数学北师大版必修3学案：第三章 概率 本章知识体系含解析.pdf
晨鸟教育 Earlybird 本章知识体系 专题一 互斥事件与对立事件 【例 1】甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有 5 个不同的题目 其中，选择题 3 个，判断题 2 个，甲、乙两人各抽一题(1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？【思路探究】用列举法把所有可能的情况列举出来，或考虑互斥及对立事件的概率公式【解答】把 3 个选择题记为 x1，x2，x3,2 个判断题记为 p1，p2.总的事件数为 20.晨鸟教育 Earlybird“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有：(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共 6 种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有：(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共 6 种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有：(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共 6 种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有：(p1，p2)，(p2，p1)，共 2 种 (1)“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的概率为620310，“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的概率为620310，故“甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题”的概率为31031035.(2)“甲、乙两人都抽到判断题”的概率为220110，故“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”的概率为 1110910.【规律方法】“互斥事件”和“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个要发生的互斥事件，因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件当一个事件包含几种情况时，可把事件转化为几个互斥事件的并事件，再利用概率的加法公式计算求“至多”“至少”型的概率问题时，先理解题意，明确所求事件包含哪些事件，再利用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式解决 某服务电话，打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1；响第 2 声时被接的概率是 0.2；响第 3 声时被接的概率是 0.3；响第 4 声时被接的概率是 0.35.(1)打进的电话在响 5 声之前被接的概率是多少？晨鸟教育 Earlybird(2)打进的电话响 4 声而不被接的概率是多少？解：(1)设事件“电话响第 k 声时被接”为 Ak(kN)，那么事件 Ak彼此互斥，设“打进的电话在响 5 声之前被接”为事件 A，根据互斥事件概率加法公式，得 P(A)P(A1A2A3A4)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)0.10.20.30.350.95.(2)事件“打进的电话响 4 声而不被接”是事件 A“打进的电话在响 5 声之前被接”的对立事件，记为A.根据对立事件的概率公式，得P(A)1P(A)10.950.05.专题二 古典概型 【例 2】一只口袋内装有大小相同的 5 只球，其中 3 只白球，2只黑球，从中一次摸出 2 只球(1)共有多少个基本事件？(2)摸出的 2 只球都是白球的概率是多少？【思路探究】可用枚举法找出所有的等可能基本事件【解答】(1)分别记白球为 1,2,3 号，黑球为 4,5 号，从中摸出 2只球，有如下基本事件(摸到 1,2 号球用(1,2)表示)：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)因此，共有 10 个基本事件(2)如下图所示上述 10 个基本事件发生的可能性相同，且只有 3 个基本事件是摸到 2 只白球(记为事件 A)，即(1,2)，(1,3)，(2,3)，故 P(A)310.晨鸟教育 Earlybird【规律方法】解决古典概型问题的关键是首先明确基本事件是什么，然后分清基本事件总数 n 与事件 A 所含的基本事件数 m，因此要注意以下几个方面：明确基本事件是什么；试验是否是等可能性的试验；基本事件总数是多少；事件 A包含多少个基本事件 一个袋子中有红、白、蓝三种颜色的球共 24 个，除颜色外完全相同，已知蓝色球 3 个，若从袋子中随机取出 1 个球，取到红色球的概率是16.(1)求红色球的个数；(2)若将这三种颜色的球分别进行编号，并将 1 号红色球，1 号白色球，2 号蓝色球和 3 号蓝色球这四个球装入另一个袋子中，甲乙两人先后从这个袋子中各取一个球(甲先取，取出的球不放回)，求甲取出的球的编号比乙的大的概率 解：(1)设红色球有 x 个，依题意得x2416，解得 x4，红色球有4 个(2)记“甲取出的球的编号比乙的大”为事件 A 所有的基本事件有(红 1，白 1)，(红 1，蓝 2)，(红 1，蓝 3)，(白 1，红 1)，(白 1，蓝 2)，(白 1，蓝 3)，(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 2，蓝 3)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 12 个事件 A包含的基本事件有(蓝 2，红 1)，(蓝 2，白 1)，(蓝 3，红 1)，(蓝 3，白 1)，(蓝 3，蓝 2)，共 5 个，所以 P(A)512.专题三 几何概型 【例 3】设有一个等边三角形网格，其中每个最小等边三角形的边长都是 4 3 cm，现用直径等于2 cm 的硬币投掷到此网格上，求硬晨鸟教育 Earlybird 币落下后与格线没有公共点的概率【思路探究】当且仅当硬币中心与格线的距离都大于半径 1，硬币落下后与格线没有公共点，在等边三角形内作与正三角形三边距离为 1 的直线，构成小等边三角形，当硬币中心在小等边三角形内时，硬币与三边都没有公共点，所以硬币与格线没有公共点就转化为硬币中心落在小等边三角形内的问题 【解答】设 A硬币落下后与格线没有公共点，如图所示，在等边三角形内作小等边三角形，使其三边与原等边三角形三边距离都为 1，则等边三角形的边长为 4 32 32 3，由几何概率公式得：P(A)34 2 3234 4 3214.【规律方法】几何概型有两大特征：基本事件的无限性和每个事件发生的等可能性求解此类问题时，常把概率问题等价转化为相应问题的测度比问题常见的测度比有：长度之比、面积之比、体积之比等等，正确区分几何概型与古典概型是本章学习的一个难点 假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上 6：30 至 7：30 之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上 7：00 至 8：00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件 A)的概率是多少？解：晨鸟教育 Earlybird 设事件 A“父亲离开家前能得到报纸”在平面直角坐标系内，以x 和 y 分别表示报纸送到和父亲离开家的时间，则父亲能得到报纸的充要条件是 xy，而(x，y)的所有可能结果是边长为 1 的正方形，而能得到报纸的所有可能结果由右图中阴影部分表示，这是一个几何概型问题，A1212121278，1，所以 P(A)A78.专题四 概率与统计的综合问题 【例 4】某企业有甲、乙两个研发小组，为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)其中 a，a 分别表示甲组研发成功和失败；b，b 分别表示乙组研发成功和失败(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记 1 分，否则记 0 分，试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率【思路探究】(1)根据已知条件分别列出甲、乙两个小组的研发成绩，利用平均数、方差公式求解；(2)用古典概型概率公式求恰有一晨鸟教育 Earlybird 组研发成功的概率【解答】(1)甲组研发新产品的成绩为 1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为 x甲101523；方差为 s2甲115(123)210(023)2529.乙组研发新产品的成绩为 1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为 x乙91535；方差为 s2乙115(135)29(035)26625.因为 x甲 x乙，s2甲s2乙，所以甲组的研发水平优于乙组(2)记 E恰有一组研发成功 在所抽得的 15 个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，(a，b)，共 7 个故事件 E发生的频率为715，将频率视为概率，即得所求概率为 P(E)715.【规律方法】概率与统计相结合，是新课标数学试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大 某班同学利用国庆节进行社会实践，对25,55)岁的人群随机抽取 n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数的频率分布直方图：组数 分组 低碳族的人数 占本组的频率 晨鸟教育 Earlybird 第一组 25,30)120 0.6 第二组 30,35)195 p 第三组 35,40)100 0.5 第四组 40,45)a 0.4 第五组 45,50)30 0.3 第六组 50,55)15 0.3 (1)补全频率分布直方图并求 n，a，p 的值；(2)从年龄段在40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳体验活动，其中选取 2 人作为领队，求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率 解：(1)第二组的频率为 1(0.040.040.030.020.01)50.3，所以高为0.350.06，频率分布直方图如下：第一组的人数为1200.6200，频率为 0.0450.2，晨鸟教育 Earlybird 所以 n2000.21 000.由上面可知，第二组的频率为 0.3，所以第二组的人数为 1 0000.3300，所以 p1953000.65.第四组的频率为 0.0350.15，所以第四组的人数为 1 0000.15150，所以 a1500.460.(2)因为40,45)岁年龄段的“低碳族”与45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值为 603021，所以采用分层抽样法抽取 6 人，40,45)岁中有 4 人，45,50)岁中有 2 人 设40,45)岁中的 4 人为 a，b，c，d，45,50)岁中的 2 人为 m，n，则选取 2 人作为领队的选法有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，m)，(a，n)，(b，c)，(b，d)，(b，m)，(b，n)，(c，d)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，(m，n)，共 15 种；其中恰有 1 人年龄在40,45)岁的有(a，m)，(a，n)，(b，m)，(b，n)，(c，m)，(c，n)，(d，m)，(d，n)，共 8 种 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在40,45)岁的概率为815.专题五 数形结合思想 【例 5】设点(p，q)在|p|3，|q|3 中按均匀分布出现，试求方程 x22pxq210 的两根都是实数的概率【思路探究】试验的全部结果构成的区域为正方形的面积，方程有两个实根构成的区域为圆的外部【解答】基本事件总体的区域 D 的度量为正方形面积，即 D 的度量为 S正方形6236，晨鸟教育 Earlybird 由方程 x22pxq210 的两根都是实数，得 (2p)24(q21)0，p2q21.当点(p，q)落在如图所示的阴影部分时，方程的两根均为实数，由图可知，构成的区域 d 的度量为 S正方形S圆36，原方程的两根都是实数的概率为 P3636.【规律方法】数形结合的思想在求古典概型和几何概型的概率中有着广泛的应用在古典概型中，基本事件的个数较多且不易列举时，借助于图形会比较直观计数在几何概型中，把基本事件转化到与长度、面积、体积有关的图形中，结合图形求长度、面积、体积的比 三个人玩传球游戏，每个人都等可能地传给另两人(不自传)，若从A发球算起，经 4 次传球又回到 A手中的概率是多少？解：记三人为 A、B、C，则 4 次传球的所有可能可用树状图方式列出，如下图：晨鸟教育 Earlybird 每一个分支为一种传球方案，则基本事件的总数为 16，而又回到A手中的事件个数为 6 个，根据古典概型概率公式得 P61638.
