2023年高一数学一元二次不等式解法练习题培训讲学.pdf

高一数学一元二次不等式解法练习题 高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 例若 ，则不等式 的解是1 0a1(xa)(x)01a AaxBxa 11aa CxaDxxa 或 或 xaa11 分析 比较 与的大小后写出答案 a1a 解 ，解应当在“两根之间”，得 选 0a1aaxA11aa 例有意义，则 的取值范围是2 xx2 x6 分析 求算术根，被开方数必须是非负数 解 据题意有，x2x60，即(x3)(x2)0，解在“两根之外”，所以 x3 或 x2 例 3 若 ax2bx10的解集为x|1x2，则 a_，b_ 分析 根据一元二次不等式的解公式可知，1 和 2 是方程 ax2bx10 的两个根，考虑韦达定理 解 根据题意，1，2 应为方程 ax2bx10 的两根，则由韦达定理知 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选 baa()()1211122得 ab1212，例 4 解下列不等式(1)(x 1)(3x)52x(2)x(x 11)3(x1)2(3)(2x 1)(x3)3(x22)(4)3x2 31325113122xxxxx x()()分析 将不等式适当化简变为 ax2bxc0(0)形式，然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成)答 (1)x|x 2 或 x4(2)x|1x 32(3)(4)R(5)R 说明：不能使用解公式的时候要先变形成标准形式 例不等式 的解集为5 1x11 x Ax|x 0 Bx|x 1 Cx|x 1 Dx|x 1 或 x0 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选分析 直接去分母需要考虑分母的符号，所以通常是采用移项后通分 解 不等式化为 ，通分得，即，1x000111122xxxxx x20，x10，即 x1选 C 说明：本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解 例与不等式 同解的不等式是6 0 xx32 A(x3)(2x)0 B0 x21 C230 xx D(x3)(2x)0 解法一 原不等式的同解不等式组为，()()xxx3 2020 故排除 A、C、D，选 B 解法二 化为 或 即 x320 x3(x3)(2x)02x3 x 两边同减去 2 得 0 x21选 B 说明：注意“零”例不等式 的解为 或，则 的值为7 1x|x1x2aaxx 1 Aa BaCa Da 12121212 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选分析 可以先将不等式整理为，转化为 0()axx111(a1)x1(x1)0，根据其解集为x|x 1 或 x2 可知 ，即 ，且，a10a12a1112a 答 选 C 说明：注意本题中化“商”为“积”的技巧 例解不等式 8 237232xxx 解 先将原不等式转化为 3723202xxx 即，所以 由于 ，2123212314782222xxxxxxxx002xx12(x)022 不等式进一步转化为同解不等式 x22x30，即(x3)(x1)0，解之得3x1解集为x|3x1 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题 例 9 已知集合 Ax|x25x40与 Bx|x22axa2，若，求 的范围0BAa 分析 先确定 A 集合，然后根据一元二次不等式和二次函数图像关 系，结合，利用数形结合，建立关于 的不等式BAa 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选解 易得 Ax|1x4 设 yx22axa2(*)(1)BBA0若，则显然，由 得 4a24(a2)0，解得1a2(2)B(*)116若，则抛物线的图像必须具有图 特征：应有 从而x|xxx x|1x412 12a12042a4a2014 12a22 解得 aa22187 综上所述得 的范围为 a1a187 说明：二次函数问题可以借助它的图像求解 例 10 解关于 x 的不等式(x2)(ax2)0 分析 不等式的解及其结构与 a相关，所以必须分类讨论 解 1 当 a0 时，原不等式化为 x20 其解集为x|x 2；2 a02(x2)(x)0 当 时，由于，原不等式化为，其解集为22aa x|2ax2；3 0a12(x2)(x)0 当 时，因，原不等式化为，其解集为22aa x|x2x 或；2a 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选4 当 a1 时，原不等式化为(x2)20，其解集是x|x 2；5 a12(x2)(x)0 当 时，由于，原不等式化为，其解集是22aa x|xx2或 2a 从而可以写出不等式的解集为：a0 时，x|x 2；a0 x|2ax2 时，；0a1x|x2x 时，或；2a a1 时，x|x 2；a1x|xx2 时，或 2a 说明：讨论时分类要合理，不添不漏 例 11 若不等式 ax2bxc0 的解集为x|x(0)，求cx2bxa0 的解集 分析 由一元二次函数、方程、不等式之间关系，一元二次不等式的解集实质上是用根来构造的，这就使“解集”通过“根”实现了与“系数”之间的联系考虑使用韦达定理：解法一 由解集的特点可知 a0，根据韦达定理知：，baca 即 ，baca()00 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选a0，b0，c0 又，baacbc 由，bccaac(1)111 对 化为，cxbxa0 xx022bcac 由得，是 两个根且，1111xx002bcac 即 的解集为或 xx0cxbxa0 x|xx22bcac11 解法二 cx2bxa0 是 ax2bxa0 的倒数方程 且 ax2bxc0 解为 x，的解集为或 cxbxa0 x|xx 211 说明：要在一题多解中锻炼自己的发散思维 例解关于 的不等式：12 x1a(aR)xx 1 分析 将一边化为零后，对参数进行讨论 解 原不等式变为，即，(1a)00 xxaxax 111 进一步化为(ax1a)(x 1)0(1)当 a0 时，不等式化为(x)(x1)01x|a1ax1，易见，所以不等式解集为；aaaa11(2)a0 时，不等式化为 x10，即 x1，所以不等式解集为x|x1；题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选(3)a0(x)(x1)01x|x1x 时，不等式化为 ，易见，所以不等式解集为 或 aaaaaa111 综上所述，原不等式解集为：当 时，；当 时，；当 时，或 a0 x|a1ax1a0 x|x1a0 x|xx1aa1 例 13 (2001 年全国高考题)不等式|x23x|4 的解集是_ 分析 可转化为(1)x23x4 或(2)x23x4两个一元二次不等式 由可解得 或 ，(1)x1x4(2)答 填x|x 1 或 x4 例 14 (1998 年上海高考题)设全集 UR，Ax|x25x60，Bx|x 5|a(a 是常数)，且 11B，则 A(UA)BR BA(UB)R C(UA)(UB)R DABR 分析 由 x25x60得 x1 或 x6，即 Ax|x 1 或 x6由|x5|a得 5ax5a，即 Bx|5ax5a 11B，|115|a 得 a6 5a1，5a11 ABR 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选答 选 D 说明：本题是一个综合题，涉及内容很广泛，集合、绝对值不等式、一元二次不等式等内容都得到了考查 题意有即解在两根之外所以或例若的解集为则分析根据一元二次不等式的解公式可知和是方程的两个根考虑韦达定理出答案过程请同学们自己完成答或说明不能使用解公式的时候要先变形成标准形式例不等式的解集为或分析直接去分进行讨论求解例与不等式同解的不等式是解法一原不等式的同解不等式组为故排除选解法二化为或即两边同减去得选