2023年《线性代数》模拟试卷B及超详细解析超详细解析答案.pdf

线性代数模拟试卷 B 及答案 线性代数模拟试卷 B 及答案 一、选择题(每小题 3 分,共 30 分)(1)若 A 为 4 阶矩阵,则 3A=()(A)4 A(B)43 A(C)34 A(D)3 A(2)设 A,B 为 n 阶方阵,0 A 且 0 AB,则()(A)0 B(B)0 BA(C)2 2 2()A B A B(D)0 0 A B 或(3)A,B,C 均为 n 阶方阵,则下列命题正确的就是()(A)AB BA(B)0,0 0 A B AB 则(C)AB A B(D),AB AC B C 若 则(4)2 2 2()2 A B A AB B 成立的充要条件就是()(A)AB BA(B)A E(C)B E(D)A B(5)线性方程组(1)22(1)k x y ax k y b 有唯一解,则 k 为()(A)任意实数(B)不等于 5(C)等于 5(D)不等于 0(6)若 A 为可逆阵,则1()A=()(A)A A(B)A A(C)1A A(D)1A A(7)含有 4 个未知数的齐次方程组 0 AX,如果()1 R A,则它的每个基础解系中解向量的个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3 线性代数模拟试卷 B 及答案(8)设 A 为 m n 矩阵,齐次方程组 0 AX 仅有零解的充要条件就是 A的()(A)列向量线性无关(B)列向量线性相关(C)行向量线性无关(D)行向量线性相关(9)已知矩阵 A=3 11 1,下列向量就是 A 的特征向量的就是()(A)10(B)12(C)12(D)11(10)二次型2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(,)4 4 2 2 4 f x x x x x x x x x x x x 为正定二次型,则 的取值范围就是()(A)2 1(B)1 2(C)3 2(D)2 二、计算题(第 1、2 小题每题 5 分,第 3、4 小题每题 10 分,共 30 分)1、计算行列式 4x a a aa x a aDa a x aa a a x。(5 分)2、设3 2 1A=3 1 53 2 3,求 A 的逆-1A。(5 分)3、求矩阵方程 AX B X,其中0 1 0 1 11 1 1,2 01 0 1 5 3A B。(10 分)4、求 向 量 组 1=-1 1 4 3T,2=2-1 3 5T,3=1 0 7 8T,4=5-3 2 7T 的秩,并求出它的一个最大无关组。(10 分)线性代数模拟试卷 B 及答案 三、证明题(第 1 小题 9 分,第 2 小题 6 分,共 15 分)1、已知向量组1 2 3,线性无关,1 1 2 1 2 3 1 2 3,试证向量组1 2 3,线性无关。(9 分)2、设 A、B 分别为 m,n 阶可逆矩阵,证明:00AHB 可逆,且11100BHA。(6 分)四、综合题(第 1 小题 15 分,第 2 小题 10 分,共 25 分)1、取何值时,非齐次线性方程组1 2 31 2 321 2 31 x x xx x xx x x,(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多个解？并在有无穷多个解时求其通解。(15 分)2、已知 A 为 n 阶方阵,且满足22 3 0 A A E(1)证明:2 A E 可逆,并求 12 A E。(5 分)(2)若 1 A,求 4 6 A E 的值。(5 分)线性代数模拟试卷 B 及答案 线性代数模拟试卷四参考答案与评分标准 一、选择题(30 分)每题 3 分,共 10 题,共 30 分(1)B(2)D(3)C(4)A(5)B(6)C(7)D(8)A(9)D(10)A 二、计算题(30 分)第 1、2 小题每题 5 分,第 3、4 小题每题 10 分,共 30 分。1、4x a a aa x a aDa a x aa a a x=0 00 00 0 x a a aa x x aa x x aa x x a=30 0 00 0 00 0 0 x a a a ax ax ax a=3()(3)x a x a 或以其它方式计算视情况酌情给分,结果正确得 5 分。2、对(,)A E作初等行变换,当A变为E时,E则变为1A,17 2 31 0 03 2 1 1 0 06 3 2(,)3 1 5 0 1 0 0 1 0 1 1 2(,)3 2 3 0 0 1 1 10 0 1 02 2A E E A 4 分 则17 2 36 3 21 1 21 102 2A、5 分 也可用求伴随矩阵的方法求该矩阵的逆,视情况都可酌情给分。3、由AX B X,得()A E X B,求X,我们同样可以用上面题目的方法,对,A E B 进行初等变换,当A E 变为E时,B 则变为1()X A E B,线性代数模拟试卷 B 及答案 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1,1 0 1 2 0 0 1 1 1 11 0 2 5 3 0 0 3 3 3A E B、5 分 1 0 0 3 1 0 1 0 2 00 0 1 1 1=1,()E A E B、8分 则,1()X A E B=3 12 01 1、10分 4、作矩阵 1 2 3 41 2 1 51 1 0 34 3 7 23 5 8 7A 经过初等行变换可化为行最简形矩阵1 0 1 50 1 1 20 0 0 00 0 0 0,得()2 R A,即向量组1 2 3 4,的秩为 2,、6 分 可取1 2，为向量组的一个最大无关组、10 分 由题意可知向量组中的任何两个(因对应分量不成比例)都可以做为它的一个最大无关组。三、证明题(15 分)第 1 小题 9 分,第 2 小题 6 分,共 15 分。1、证明:设有1 2 3,使1 1 2 2 3 30,、2分 即 1 1 2 1 2 3 1 2 3()()()0,、4 分 线性代数模拟试卷 B 及答案 亦即 1 2 3 1 2 3 2 3 3()()0,、6 分 因1 2 3,线性无关,故有1 2 32 33000,8 分 故方程组只有零解1 2 30,所以向量组1 2 3,线性无关。、9 分、2、证明:1110 000 00mm nnE ABHH EE BA、4分 故H可逆且11100BHA、6 分 四、综合题(25 分)第 1 小题 15 分,第 2 小题 10 分,共 25 分。1、计算线性方程组的系数行列式 221 1 1 11 1 0 1 1(1)(2)1 1 0 0 2A、6分 当0 A,方程组有唯一解,即(1)1 2 当 且 时,方程组有唯一解;、8 分(2)当2 时,方程组的增广矩阵为 2 1 1 1 1 0 1 01 2 1 2 0 1 1 01 1 2 4 0 0 0 1B,则()2,()3 R A R B,方程组无解;10 分(3)当1 时,方程组的增广矩阵为 线性代数模拟试卷 B 及答案 1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 0 0 0 01 1 1 1 0 0 0 0B,()()1 R A R B,、12 分 方程组有无穷多个解,可得通解为1 2 3 2 31(,)x x x x x 可任意取值 即:12 1 2 1 231 1 11 0 0,(,)0 1 0 xx c c c c Rx、15 分 2、(1)证明:由22 3 0 A A E,得(2)3 A A E E,则、1 分 由 A 为 n 阶方阵,2 3 3 0nA A E E,、3 分 2 0 A E,2 A E 可逆,由上可得:(2)3AA E E,123AA E、5 分(2)由22 3 0 A A E,可得22 3 A A E,、1 分 则22 4 6 A A E,所以22 4 6 A A E,由1 A,、3 分 得224 6 2 2 2n nA E A A、5 分