2023年一元二次方程知识点归纳总结+考点+题型全面汇总归纳.pdf
一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)1一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对 文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)的全部内容。一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)2一元二次方程专题复习考点一、概念（1）定义：只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是 2,这样的 整式方程就是一元二次方程。(2）一般表达式：)0(02 a c bx ax难点：如何理解“未知数的最高次数是 2：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例 1、下列方程中是关于 x 的一元二次方程的是（)A B 1 2 1 32 x x 0 21 12 x xC D 02 c bx ax 1 22 2 x x x变式：当 k 时，关于 x 的方程 是一元二次方程。3 22 2 x x kx例 2、方程 是关于 x 的一元二次方程，则 m的值为.0 1 3 2 mx x mm针对练习：1、方程 的一次项系数是，常数项是.7 82 x 2、若方程 是关于 x 的一元一次方程,0 21 mx m求 m的值；写出关于 x 的一元一次方程。3、若方程 是关于 x 的一元二次方程,则 m的取值范围是.1 12 x m x m 4、若方程 nxm+xn2x2=0 是一元二次方程，则下列不可能的是（)A.m=n=2 B。m=2，n=1 C.n=2，m=1 D.m=n=1考点二、方程的解概念：使方程两边相等的未知数的值,就是方程的解.应用:利用根的概念求代数式的值;典型例题：例 1、已知 的值为 2,则 的值为。3 22 y y 1 2 42 y y例 2、关于 x 的一元二次方程 的一个根为 0,则 a 的值为.0 4 22 2 a x x a例 3、已知关于 x 的一元二次方程 的系数满足，则此方程必有一根 0 02 a c bx ax b c a 为。例 4、已知 是方程 的两个根,是方程 的两个根，b a,0 42 m x x c b,0 5 82 m y y则 m的值为。针对练习：1、已知方程 的一根是 2，则 k 为，另一根是.0 102 kx x 2、已知关于 x 的方程 的一个解与方程 的解相同。0 22 kx x 311xx求 k 的值；方程的另一个解。3、已知 m是方程 的一个根，则代数式。0 12 x x m m2 4、已知 是 的根，则。a 0 1 32 x x a a 6 22 5、方程 的一个根为（）02 a c x c b x b aA B 1 C D 1 c b a 6、若。y x、y x 32 4,0 3 5 2一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)3考点三、解法方法：直接开方法;因式分解法；配方法；公式法关键点：降次类型一、直接开方法：m x m m x,02对于，等形式均适用直接开方法 m a x 2 2 2n bx m ax 典型例题:例 1、解方程:=0;0 8 2 12 x 216 25 2 x;0 9 1 32 x例 2、若,则 x 的值为.2 22 16 1 9 x x针对练习：下列方程无解的是(）A。B.C。D.1 2 32 2 x x 0 22 x x x 1 3 2 0 92 x类型二、因式分解法:02 1 x x x x2 1,x x x x 或方程特点:左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0，方程形式：如，2 2n bx m ax c x a x b x a x 0 22 2 a ax x典型例题:例 1、的根为（）3 5 3 2 x x xA B C D 25 x 3 x 3,252 1 x x52 x例 2、若,则 4x+y 的值为。0 4 4 3 42 y x y x变式 1：。2 2 2 222 2,0 6 b、a b a b a变式 2:若，则 x+y 的值为。0 3 2 y x y x变式 3：若，则 x+y 的值为。142 y xy x 282 x xy y例 3、方程 的解为（）0 62 x xA.B.C.D。2 32 1、x x 2 32 1、x x 3 32 1、x x 2 22 1、x x例 4、解方程：0 4 3 2 1 3 22 x x例 5、已知，则 的值为。0 2 3 22 2 y xy xy xy x变式：已知，且,则 的值为。0 2 3 22 2 y xy x 0,0 y xy xy x针对练习：1、下列说法中:方程 的二根为，则 02 q px x1x2x)(2 12x x x x q px x。)4)(2(8 62 x x x x)3)(2(6 52 2 a a b ab a)()(2 2y x y x y x y x 方程 可变形为 0 7)1 3(2 x 0)7 1 3)(7 1 3(x x正确的有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 2、以 与 为根的一元二次方程是（）7 1 7 1A B C D 0 6 22 x x 0 6 22 x x 0 6 22 y y 0 6 22 y y 3、写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为 1，且两根互为倒数：写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1，且两根互为相反数：4、若实数 x、y 满足，则 x+y 的值为（）0 2 3 y x y x一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)4A、1 或-2 B、1 或 2 C、1 或 2 D、1 或 25、方程:的解是.2122 xx 6、已知，且,，求 的值。0 6 62 2 y xy x 0 x 0 yy xy x 36 2 7、方程 的较大根为 r，方程 的较小根为 s，0 1 2000 1998 19992 x x 0 1 2008 20072 x x则 s-r 的值为。类型三、配方法 0 02 a c bx ax222442 aac babx 在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题。典型例题:例 1、试用配方法说明 的值恒大于 0。3 22 x x例 2、已知 x、y 为实数，求代数式 的最小值.7 4 22 2 y x y x例 3、已知 为实数，求 的值。、x、y y x y x 0 13 6 42 2 yx例 4、分解因式:3 12 42 x x针对练习:1、试用配方法说明 的值恒小于 0。4 7 102 x x 2、已知，则.0 41 122 xxxx xx1 3、若,则 t 的最大值为,最小值为。9 12 3 22 x x t 4、如果，那么 的值为。4 1 2 2 4 1 1 b a c b a c b a 3 2 类型四、公式法条件：0 4,02 ac b a 且公式：,aac b bx242 0 4,02 ac b a 且典型例题:例 1、选择适当方法解下列方程:.6 1 32 x.8 6 3 x x 0 1 42 x x 0 1 4 32 x x 5 2 1 1 3 1 3 x x x x例 2、在实数范围内分解因式:（1）；（2）。3 2 22 x x 1 8 42 x x2 25 4 2 y xy x 说明：对于二次三项式 的因式分解，如果在有理数范围内不能分解，c bx ax 2一般情况要用求根公式,这种方法首先令=0，求出两根，再写成 c bx ax 2=。c bx ax 2)(2 1x x x x a 分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去。类型五、“降次思想 的应用一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)5求代数式的值；解二元二次方程组.典型例题：例 1、已知，求代数式 的值。0 2 32 x x 11 123 xx x例 2、如果，那么代数式 的值。0 12 x x 7 22 3 x x例 3、已知 是一元二次方程 的一根，求 的值。a 0 1 32 x x11 5 222 3 aa a a例 4、用两种不同的方法解方程组)2(.0 6 5)1(,6 22 2y xy xy x说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：先消元，再降次；先降次，再 消元。但都体现了一种共同的数学思想 化归思想,即把新问题转化归结为我们已 知的问题。考点四、根的判别式 ac b 42 根的判别式的作用：定根的个数；求待定系数的值；应用于其它。典型例题：例 1、若关于 的方程 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是。x 0 1 22 x k x例 2、关于 x 的方程 有实数根，则 m的取值范围是（)0 2 12 m mx x mA.B。C。D.1 0、m m 0 m 1 m 1 m例 3、已知关于 x 的方程 0 2 22 k x k x(1）求证：无论 k 取何值时,方程总有实数根；（2)若等腰 ABC 的一边长为 1，另两边长恰好是方程的两个根，求 ABC 的周长.例 4、已知二次三项式 是一个完全平方式，试求 的值.2)6(92 m x m x m例 5、为何值时，方程组 有两个不同的实数解?有两个相同的实数解？m.3,6 22 2y mxy x针对练习：1、当 k 时,关于 x 的二次三项式 是完全平方式。92 kx x 2、当 取何值时,多项式 是一个完全平方式?这个完全平方式是什么？k k x x 2 4 32 3、已知方程 有两个不相等的实数根，则 m的值是。0 22 mx mx 4、为何值时，方程组 k.0 1 2 4,22y x ykx y(1)有两组相等的实数解，并求此解；一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)6（2）有两组不相等的实数解；（3）没有实数解。5、当 取何值时,方程 的根与 均为有理数？k 0 4 2 3 4 42 2 k m m x mx x m考点五、方程类问题中的“分类讨论 典型例题：例 1、关于 x 的方程 0 3 2 12 mx x m有两个实数根,则 m为,只有一个根,则 m为.例 2、不解方程，判断关于 x 的方程 根的情况。3 22 2 k k x x例 3、如果关于 x 的方程 及方程 均有实数根,问这两方程 0 22 kx x 0 22 k x x是否有相同的根？若有,请求出这相同的根及 k 的值；若没有，请说明理由。考点六、应用解答题“握手”问题；“利率 问题；“几何 问题；“最值”型问题；“图表 类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯 990 次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了 90 张，那么这个小组共多少人?3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第一年投入资金 600 万元，第二年比第一年减少，第三年比第二年减少，该产品第3121一年收入资金约 400 万元，公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利，要实现31这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少?(结果精确到 0.1，)61.3 13 4、某商店经销一种销售成本为每千克 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克,销售单价每涨 1 元,月销售量就减少 10 千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克 55 元时，计算月销售量和月销售利润.（2)商店想在月销售成本不超过 10000 元的情况下，使得月销售利润达到 8000 元，销售单价应定为多少?5、将一条长 20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形.(1)要使这两个正方形的面积之和等于 17cm 2，那么这两段铁丝的长度分别为多少？（2)两个正方形的面积之和可能等于 12cm 2 吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由。（3)两个正方形的面积之和最小为多少?6、A、B两地间的路程为 36 千米.甲从 A地，乙从 B 地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走 2一元二次方程(知识点+考点+题型总结)(word 版可编辑修改)7小时 30 分到达 B地，乙再走 1 小时 36 分到达 A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系前提：对于 而言,当满足、时，才能用韦达定理。02 c bx ax 0 a 0 主要内容：acx xabx x 2 1 2 1,应用：整体代入求值。典型例题：例 1、已知一个直角三角形的两直角边长恰是方程 的两根，则这个直角三角形的斜 0 7 8 22 x x边是（）A.B。3 C。6 D.3 6例 2、已知关于 x 的方程 有两个不相等的实数根，0 1 1 22 2 x k x k2 1,x x（1)求 k 的取值范围;（2）是否存在实数 k，使方程的两实数根互为相反数？若存在,求出 k 的值；若不存在，请说明理由。例 3、小明和小红一起做作业，在解一道一元二次方程（二次项系数为 1）时，小明因看错常数项，而得到解为 8 和 2，小红因看错了一次项系数，而得到解为-9 和-1。你知道原来的方程是什么吗？其正确解应该是多少？例 4、已知,，求 b a 0 1 22 a a 0 1 22 b b b a变式：若，则 的值为.0 1 22 a a 0 1 22 b babba例 5、已知 是方程 的两个根，那么.,0 12 x x 34针对练习：1、解方程组)2(5)1(,32 2y xy x2已知,，求 的值。4 72 a a 4 72 b b)(b a baab3、已知 是方程 0 92 x x 的两实数根,求 的值。2 1,x x 66 3 722231 x x x
