椭圆二级结论大全.pdf

1 史上最全椭圆二级结论大全史上最全椭圆二级结论大全 1.122PFPFa 2.标准方程22221xyab 3.111PFed 4点 P 处的切线 PT 平分PF1F2在点 P 处的外角.5PT 平分PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.6 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离.7 以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点，则PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于A2（或 A1）.9椭圆22221xyab（ab0）的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)A a，与 y 轴平行的直线交椭圆于 P1、P2时A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是22221xyab.10若000(,)P xy在椭圆22221xyab上，则过0P的椭圆的切线方程是00221x xy yab.11若000(,)P xy在椭圆22221xyab外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是00221x xy yab.12AB 是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M 为 AB 的中点，则22OMABbkka.13若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x xy yxyabab.14若000(,)P xy在椭圆22221xyab内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x xy yxyabab.15 若 PQ 是椭圆22221xyab（ab0）上对中心张直角的弦，则122222121111(|,|)rOP rOQrrab.16若椭圆22221xyab（ab0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为1AxBy(0)AB,则(1)222211ABab;(2)424222222 a Ab BLa Ab B.17给定椭圆1C：222222b xa ya b（ab0）,2C：222222222()abb xa yabab,则(i)对1C上任意给定的点00(,)P xy,它的任一直角弦必须经过2C上一定点 M2222002222(,)ababxyabab.(ii)对2C上任一点00(,)P xy在1C上存在唯一的点M,使得M的任一直角弦都经过P点.18设00(,)P xy为椭圆（或圆）C:22221xyab(a0,.b0)上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且弦 PP1,PP22 斜率存在，记为 k1,k 2,则直线 P1P2通过定点00(,)M mxmy(1)m的充要条件是212211m bk km a.19过椭圆22221xyab(a0,b0)上任一点00(,)A xy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且2020BCb xka y（常数）.20椭圆22221xyab(ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点12FPF，则椭圆的焦点三角形的面积为122tan2F PFSb，2222(tan,tan)22abPcbcc.21若 P 为椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1,F 2是焦点,12PFF,21PF F，则tantan22acac.22椭圆22221xyab（ab0）的焦半径公式：10|MFaex,20|MFaex(1(,0)Fc,2(,0)F c，00(,)M xy).23若椭圆22221xyab（ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 211e 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项.24 P 为 椭 圆22221xyab（a b 0）上 任 一 点,F1,F2为 二 焦 点，A 为 椭 圆 内 一 定 点，则2122|2|aAFPAPFaAF,当且仅当2,A F P三点共线时，等号成立.25 椭圆22221xyab（ab0）上存在两点关于直线l：0()yk xx对称的充要条件是22 220222()abxab k.26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.27过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.28P 是椭圆cossinxayb（ab0）上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条件是2211 sine.29设 A,B 为椭圆2222(0,1)xyk kkab上两点，其直线 AB 与椭圆22221xyab相交于,P Q,则APBQ.30 在 椭 圆22221xyab中，定 长 为2m（o ma）的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为2222222221()cossinxymabab,其中tanbxay,当0y 时,90.31 设S为椭圆22221xyab（ab0）的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上移动，记|AB|=l，00(,)M xy是AB中 点，则 当lS 时，有20max()2alxce222(cab,cea);当lS 时，有3 220max()42axblb,0min()0 x.32椭圆22221xyab与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222A aB bC.33 椭 圆220022()()1xxyyab与 直 线0AxByC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是2222200()A aB bAxByC.34设椭圆22221xyab（ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在PF1F2中，记12FPF,12PFF,12FF P，则有sinsinsincea.35经过椭圆222222b xa ya b（ab0）的长轴的两端点 A1和 A2的切线，与椭圆上任一点的切线相交于 P1和 P2，则21122|PAP Ab.36已知椭圆22221xyab（ab0），O 为坐标原点，P、Q 为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）22221111|OPOQab;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a bab;（3）OPQS的最小值是2222a bab.37MN 是经过椭圆222222b xa ya b（ab0）焦点的任一弦，若 AB 是经过椭圆中心 O 且平行于 MN的弦，则2|2|ABa MN.38MN 是经过椭圆222222b xa ya b（ab0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦OPMN，则2222111|a MNOPab.39设椭圆22221xyab（ab0）,M(m,o)或(o,m)为其对称轴上除中心，顶点外的任一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1,A2为对称轴上的两顶点)的交点 N 在直线l：2axm(或2bym)上.40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点，则 MFNF.41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF.42设椭圆方程22221xyab,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共轭直线yk x上,而且22bkka.43设 A、B、C、D 为椭圆22221xyab上四点,AB、CD 所在直线的倾斜角分别为,，直线 AB 与 CD相交于 P,且 P 不在椭圆上,则22222222cossincossinPAPBbaPCPDba.44已知椭圆22221xyab（ab0）,点 P 为其上一点 F1,F 2为椭圆的焦点，12FPF的外（内）角平分线4 为l，作 F1、F2分 别 垂 直l于 R、S，当 P 跑 遍 整 个 椭 圆 时，R、S 形 成 的 轨 迹 方 程 是222xya(2222222222a yb x xcc ya ybxc).45设ABC 内接于椭圆，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分别交直线 AC、BC于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与椭圆相切的充要条件是 D 为 EF 的中点.46过椭圆22221xyab（ab0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交x 轴于 P，则|2PFeMN.47设 A（x1,y1）是椭圆22221xyab（ab0）上任一点，过 A 作一条斜率为2121b xa y的直线 L，又设 d是原点到直线 L 的距离,12,r r分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则1 2rr dab.48已知椭圆22221xyab（ab0）和2222xyab（01），一直线顺次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD.49已知椭圆22221xyab（ab0）,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线与 x 轴相交于点0(,0)P x,则22220ababxaa.50设 P 点是椭圆22221xyab（ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122|1 cosbPFPF.(2)1 22tan2PF FSb.51设过椭圆的长轴上一点 B（m,o）作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的左顶点，连结 AP和 AQ 分别交相应于过 H 点的直线 MN：xn于 M，N 两点,则222290()anmamMBNamb na.52L 是经过椭圆22221xyab（ab0）长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是椭圆两个焦点，e 是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或sinarce（当且仅当|PHb时取等号）.53 L 是椭圆22221xyab（ab0）的准线，A、B 是椭圆的长轴两顶点,点PL，e 是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且sine或sinarce（当且仅当|abPHc时取等号）.54 L 是椭圆22221xyab（ab0）的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L 与 x 轴的交点，点PL，EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且2sine或2sinarce（当且仅当22|bPHacc时取等号）.55已知椭圆22221xyab（ab0），直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点，将 A、B 与椭圆左焦点 F1连结起来，则2222112(2)|abbF AFBa（当且仅当 ABx 轴时右边不等式取等号，当5 且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号）.56设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点，PAB,PBA,BPA，c、e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率，则 有(1)22222|cos|sabPAac co.(2)2tantan1 e.(3)22222cotPABa bSba.57设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点）、外部的两点，且Ax、Bx的横坐标2ABxxa，（1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则PBAQBA；（2）若过 B引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则180PABQAB.58设 A、B 是椭圆22221xyab（ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点），外部的两点，（1）若过A点引直线与这椭圆相交于P、Q两点，（若B P交椭圆于两点，则P、Q不关于x轴对称），且PBAQBA，则点 A、B 的横坐标Ax、Bx满足2ABxxa；（2）若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且180PABQAB,则点 A、B 的横坐标满足2ABxxa.59设,A A是椭圆22221xyab的长轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线AQ与AQ的交点 P的轨迹是双曲线22221xyab.60 过 椭 圆22221xyab（a b 0）的 左 焦 点F作 互 相 垂 直 的 两 条 弦AB、CD则2222282()|ababABCDaba.61到椭圆22221xyab（ab0）两焦点的距离之比等于acb（c 为半焦距）的动点 M 的轨迹是姊妹圆222()xayb.62到椭圆22221xyab（ab0）的长轴两端点的距离之比等于acb（c 为半焦距）的动点 M 的轨迹是姊妹圆222()()abxyee.63到椭圆22221xyab（ab0）的两准线和 x 轴的交点的距离之比为acb（c 为半焦距）的动点的轨迹是姊妹圆22222()()abxyee（e 为离心率）.64 已 知 P 是 椭 圆22221xyab（a b 0）上 一 个 动 点，,A A是 它 长 轴 的 两 个 端 点,且AQAP,AQAP，则 Q 点的轨迹方程是222241xb yaa.65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴之长的比例中项.66设椭圆22221xyab（ab0）长轴的端点为,A A,11(,)P x y是椭圆上的点过 P 作斜率为2121b xa y的直6 线l，过,A A分别作垂直于长轴的直线交l于,M M,则（1）2|AMAMb.（2）四边形MAAM面积的最小值是2ab.67已知椭圆22221xyab（ab0）的右准线l与 x 轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且/BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点.68OA、OB 是椭圆2222()1xayab（a0,b0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标原点，则（1）直线AB 必经过一个定点2222(,0)abab.(2)以 O A、O B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是222222222()()ababxyabab(0)x.69(,)P m n是椭圆2222()1xayab（ab0）上一个定点，P A、P B 是互相垂直的弦，则（1）直线AB 必经过一个定点2222222222()()(,)abm abn baabab.（2）以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22224222222222222()()()()aba mb na bnabxyababab(xm且yn).70如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么（1）212d db，且 F1、F 2在L 同侧直线 L 和椭圆相切.（2）212d db，且 F1、F2在 L 同侧直线L 和椭圆相离，（3）212d db，或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和椭圆相交.71 AB 是椭圆22221xyab（ab0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与过 A、B 的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是222241(0)xyyab.72 设点00(,)P xy为椭圆22221xyab（ab0）的内部一定点，AB 是椭圆22221xyab过定点00(,)P xy的任一弦，当弦 AB 平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时22222200max2()(|)a ba yb xPAPBb.当弦AB 垂直于长轴所在直线时,22222200min2()(|)a ba yb xPAPBa.73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切.74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点.75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c.76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c.77 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率).(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e.79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点到同侧焦点的距离成比例.81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点与同侧焦点连线段成比例.82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连线必与另一焦半径所7 在直线平行.83椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的距离为椭圆长半轴的长.84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点.85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的比为定值 e.86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线.87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线.88 椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为直径的圆必过两焦点.89.已知椭圆22221(0,0)xyabab(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线byxa及byxa 的平行线，与x轴于,M N，与y轴交于,R Q.,O为原点，则：（1）222|2OMONa；（2）222|2OQORb.90.过平面上的P点作直线1:blyxa及2:blyxa 的平行线，分别交x轴于,M N，交y轴于,R Q.（1）若222|2OMONa，则P的轨迹方程是22221(0,0)xyabab.(2)若222|2OQORb，则P的轨迹方程是22221(0,0)xyabab.91.点P为椭圆22221(0,0)xyabab(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线byxa 于,Q R，记 OMQ与ONR的面积为12,S S，则：122abSS.92.点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线byxa 于,Q R，记 OMQ与ONR的面积为12,S S，已知122abSS，则P的轨迹方程是22221(0,0)xyabab.8 椭圆性质椭圆性质 92 条证明条证明 1.椭圆第一定义。2.由定义即可得椭圆标准方程。3.椭圆第二定义。4.如图，设00(,)P xy，切线 PT（即l）的斜率为 k，1PF所在直线1l斜率为1k，2PF所在直线2l斜率为2k。4 图 5 图 由两直线夹角公式1212tan1kkk k得：20022222222222200000001222222200100000000000200tan11b xybacxa yxcb xa yb x ca bb cxkkbb xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacxa yxc20022222222222200000002222222200200000000000200tan11b xybacxa yxcb xa yb x ca bb cxkkbb xykka x ya cyb x yc x ya cyc ycyacxa yxc,0,2 同理可证其它情况。故切线 PT 平分点 P 处的外角。5.如图，延长 F1P 至 A，使 PA=PF2，则2PAF是等腰三角形，AF2中点即为射影 H2。则122F AOHa，同理可得1OHa，所以射影 H1，H2的轨迹是以长轴为直径的圆除去两端点。6.设 P，Q 两点到与焦点对应的准线的距离分别为12,d d，以 PQ 中点到准线的距离为d，以 PQ 为直径的圆的半径为 r，则1222ddPFFQrdree，故以 PQ 为直径的圆与对应准线相离。9 7 图 8 图 7.如图，两圆圆心距为1222222PFaPFPFdOMaar，故两圆内切。8.如图，由切线长定理：11121222FSFTPFPFFFac，11FSFTac 而112FTacF A，T与2A重合，故旁切圆与 x 轴切于右顶点，同理可证 P 在其他位置情况。9.22001210020022,0,0,1xyAaA aP xyP xyab易知,设,则001 12200:,:yyAP yxaA Pyxaaxax2222222222222000222222222000000,11PPPaya ya ba yxyaaaxyxPPxxxabxb xb xab 则点的轨迹方程为10.000(,)P xy在 椭 圆22221xyab上2200221xyab，对22221xyab求 导 得：22220 xyyab2020b xya y 切线方程为200020b xyyxxa y 即22000022221x xy yxyabab 11.设111222,P x yP xy，由 10 得：0101020222221,1x xy yx xy yabab，因为点12,P P在直线12PP上，且同时满足方程00221x xy yab，所以0021221:PxyaPxyb 12.112200,A x yB xyM xy设2222112222221,1xyxyabab则有作差得：22221212220 xxyyab12121212220 xxxxyyyyab10 222212012222212120ABABOMOMbxxb xyybbkkkxxayya ya ka 13.由 12 可得：202000b xxxayyy22222200000a y ya yb x xb x 2222220000b x xa y yb xa y2200002222x xy yxyabab14.由 12 可得：2200bxxyyyxa222222000a ya y yb xb x x 22222200b xa yb x xa y y22002222x xy yxyabab15.设cos,sin,cos,sinP at btQ at bt，则sinsin1coscosOPOQbtbtkkat at 22tantanattb 22222222122222222222221212222222222222222222222coscossinsin11cossincossin11tantan2tantantantan2tancoscoscoscostantanattbttrrrrr ratbtatbtttabattbttbttttabtabt2242222422tantantantantanttaa bttbtt222222222222222224222222211tantan2tantan2112tantan2tantanaabttabttaabbbaabaa bttttb16.将直线 AB 代入椭圆方程中得：222222222210A aB bxAa xaB b222222241a B bA aB b，222222222221ab ABABA aB bA aB b设1122,A x yB xy则21222222AaxxA aB b，2221222221aB bx xA aB b，2221222221bA ay yA aB bOAOB22222222121222110 x xy yaba bABABab11 222222222222222222222424222222242422222222212122abA aB bab ABABA aB bA aB bA aB bA aB ba bABabA aB bA aB bA aB b 17.设椭圆内直角弦 AB 的方程为：yxmkn即ykxmkn。当斜率 k 存在时，代入椭圆 C1方程中得：2222222220a kbxa k mkn xamknb设1122,A x yB xy得1222222a k mxxkna kb，22122222amknba kbx x则 01020102PA PBxxxxyyyy22221200120010kx xk nkyxmkxmxkxyn22222222220000222222222222222222222222222222222002020222222010111amknba k mkna kba kbmknamkk nkyxmknaba kba kba kbmknmknkxya kbamkna kmkna kmknamknakkxykxykayb 220000222222222222222222222000202202021kba kbbmknmkn ba kmknaxyyxxykkbabmkna bmkna kbxy 2222222200000022222222222222022220222220a kbababkmn abxyxyma ba bma kmbk naknk nkxyxyb222222202222222222222200220200022200020202xnxxxyymaabbnabamyabmanbmn ababnxbabambabyy即直线 AB 过定点2222002222,abbaxyabab，此点在 C2上。当直线斜率不存在时，直线 AB 也过 C2上的定点。由上可知 C1和 C2上点由此建立起一种一一对应的关系，即证。18.必要性：设 P1P2：00k xmmyyx。k 存在时，代入椭圆方程中得：2222222222000020a kbxa km ykxxa mykxa b12 设111222,P x yP xy得202222102a km ykxbxaxk，222220012222a mykxa ba kbx x 220102121212201021201200000222220000222220000001211111211yyyyk x xk mxxmkkxxxxx xxxxxbmkmx yk xmymbmamamkmx yk xymkmyxyxymymkk 不存在时，P1P2：x=mx0则2220byam xa，222222222222222000000201222222222000+111111bbbyam xyam xyam xb xmbmaaak kamxmxma xm必要性得证。充分性：设 P1P2过定点,q p，则 P1P2：ykxpkq。代入椭圆方程得：22222222220a kbxa k pkq xapkqa b设111222,P x yP xy得1222222a k pxxkqa kb，222221222apkqaxbabxk则 2210201201201221020120120yyyyk x xk pkqyxxpkqyk kxxxxx xxxxx 2222222222222222220020022222200022222200022211222kkpkqypkqyxxbapkqa ba kpkqa kbpkqypkqyapkqa ba kpk xmbmaapkqkxpkqk xykqa kb 22220002222000222220000000000220000000002200021122010200pkqypkqyk xmmpkqkxpkqk xykmxqmqxqxk mpxpxmqyqypqmpypypmyqxqmxmxqmqxqxmpxpxmqyqypqmpypypmy 0000112203pxmqympqpymyp 注意到 m1，解（1）（3）得00,pmy qmx，代入（2）式，成立。13 验证 k 不存在的情况，也得到此结论。故l过定点00,1mxmym，充分性得证。19.设 AB：00kyxyx即00ykxykx002222222222000022201ykxykxa kbxa k ykxxaykxbxyab 22222222222220000000000002222222222222222,BBa k kxya k xa kyb xa k xa kyb xb ya k yb kxxxxBa kba kba kba kb2222222222000000002222222200224,4BCa k xa kyb xb ya k yb kxb kxb xCka kba kba kya y同理20.由余弦定理：22222121212122cos242cos1PFPFPF PFcPFPFcPF PF 2222121222442cos1cos1cos2bbacPF PFPF PF1222212222222222222222sincos1sin22sintan2cos122cos2tan,tantantan,tan22222F PFPPPbbSPF PFbc yba baabyxacbPcbccccc21.由 34：sinsinsin1sinsinsin1sinsinsinsinsinsinaceace222sin1 cossin1 cossinsinsincossincossinsinsincossincossin1 cossin1 cossinsincossinc2sincos2sin2sincos2sin22222222222sincos2cos2sincos2cos222222ossin22coscossincossincos222222 sinsin22tantan22coscos22 14 22.由第二定义得：22100200,aaMFe xaexMFexaexcc23.1221000211PFPFeePFe PFaexe aexxadPFee 20210,121021120,121,1exaeeeeeeee 或24.22222APFPFAFPAPFAF在中,有112221122222,2PFPAPFPFAFaAF PFPAPFPFAFaAFAPF都当且仅当、三点共线时取等号。25.设椭圆上的点1122,A x yB xy关于:l ykxm对称，00,M xy。由 12 得：2222200000222220001,ABakxmb xa ya mb mkkxya ykb xb xc kc 又M在 椭 圆 内，22222222422424422221ab kma mb mc kmc kcc kab k 若0mkx，则222420222222abcxab kab k26.由 5 即可得证。27.设 Pcos,sinab，则切线cossin:1lxyab，A2cos,1sinabacc 27 图 30 图 22222coscoscoscos,sin,10sinbbaababFP FAac bbbFPFAcccc 28.22222cos,sin,:sincoscoscosP abbcacaca设由射影定理有15 2222222222222222cossincos1sin11 sinsincos11 sincaaceeee 29.设 2222122222:1,:1,:0 xyxyCCk kAB lAxByCabab。联立1,C l得：2222222222220A aB bxAa Cxa Ca b B，由韦达定理：222222ABAa CxxA aB b 同理222222PQAa CxxA aB b。则APBQ=222222111APBQAPBQAAAxxxxxxxxBBB而,APBQxxxx的符号一定相反，故APBQxxxx=ABPQxxxx=0。所以 AP=BQ30.设cos,sin,cos,sinA abB ab，00,M xy为 AB 中点。则222222222222coscossinsin4sinsin4cossin42222ABababm2222222sinsincossin2222abm而00coscossinsincoscos,sincos222222aabbxayb设22sin,sin22AB，则22222220011,1,1xaABybA B ma ABb AB解得2022200222200221,yxybABxyabab，代入 m2得：2222002222200222222000022221a yb xxybamxyxyababab令00tanbxay 得：2222222220000222222222tancossintantan1111xyxyabmababab 所以定长为 2m（0ma）的弦中点轨迹方程为2222222221()cossinxymabab。16 其中tanbxay,当0y 时,90。31.设cos,sin,cos,sinA abB ab，00,M xy为 AB 中点。则：00coscoscoscoscos2222cos2xaaxaa22222222222coscossinsin4sinsin4cossin2222ABabab2222222222222222222222222220024sinsincos4 1 coscos22222coscoscoscos22224cos24cos2abacllaaccxle xcaa二次函数 y=e2x2-mx+a2与24ly 在0,a内的交点即为 x0的值。由图易知 y=e2x2-mx+a2与24ly 的左交点为 x0的值。当 m 增大时，x0减小。要使 x0最大，则要使 m 最小。222002cos22cos2xccx，此时等号成立时20max0maxcos12xxcc 31 图 35 图 当此式成立时2222222220max0max0max0max244222lllalalye xmxae xcxaexaxeece 17 当20max22alalxceece时：222242=blcealacea 通径当0maxxc时：22=bla当22=bla 时0maxxc，20max2alxce。当0maxxc时，当2cos12，即 AB 垂直于 x 轴时 x0最大。222222222222220max0max0max0max224444142lblaae xxacxblxblebb考虑到对称性0min0 x对任意情况均成立。0min0 x，22200max0max22220max2,=,cos2224,=cos122xalbxc lABceacxabblxc lABxba 过焦点，轴，32.2222222222222222200b xa ya bA aB bxa ACxaCB bAxByC4222222222222222440a A CaCB bA aB bA aB bC33.222222000bxxayya bAxByC22222222222222222222200000220A aB bxa ACB b xa AByxa Ca B yB b xa B ba BCy2222222222000000002202A aB bA xB yCABx yACxBCyAxByC当000 xy时，即为 32：22222A aB bC34.由正弦定理得1221sinsinsinFFPFPF，所以1212sin2sinsin2FFccePFPFaa。35.设cos,sinP ab，则 P 点处的切线为cossin1xyab，由此可得：121 cos,1 cossinsinPPbbyy222112221 cossinbPAP Ab36.（1）同 15.18（2）由 15,36（3）：222222222222211|4OPQOPOQOPOQabOPOQOPOQSa b22222222222222222222444|OPQabSaba ba bOPOQa ba babab（3）设cos,sin,cos,sinP abQ ab，2222cos cossinsin0tantanaOP OQabb cossin2sincossincoscossinOPQabSOP OQabab22222224sincos+sincos2sincos sincosOPQSa b 424222242244242tan2tantan2tantantan=tan1tan1tan1tanaabbaabb4222222242242222422422222222224222min222221211444tan2tanOPQOPQOPQaaaba baa bba ba