2022年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷及答案解析.pdf

2022年 福 建 省 漳 州 市 高 考 数 学 第 一 次 质 检 试 卷 一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.（5 分）已 知 集 合 4=&|丫=等,B=（x d y 2,则 N U 8=（）v4-x2/A.x-lx2 B.小-1 D.x|lx0）上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 去 得 到 曲 线 C2,则 C2上 到 直 线 x+16y+2=0 距 离 最 短 的 点 坐 标 为（）1 1 1 1A.（8,力 B.（4,C.（8,分 D.（4,分 第 1 页 共 2 3 页7.（5 分）已 知 向 量 Q=（cosx,-1）,&=（cosx,-4sinx+2）,f（x）=a-b,若 Mx W-，g,使 不 等 式/（x）W 入 恒 成 立，则 实 数 入 的 取 值 范 围 为（）A.一 竽 13，3 B.一 1竽 3，4-00）C.4，+8）D.（-8,一 竽 呜，+8）8.（5 分）已 知 以 尸 为 焦 点 的 抛 物 线 C：#=2px（p 0）经 过 点（1,-2）,直 线/：y=k（x-1）与 C 交 于 4 8 两 点（其 中 点 N 在 x 轴 上 方），若|AF|=（3+2式）|FB|,则/在 y 轴 上 的 截 距 为（）A.2 B.1 C.D.-1二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，有 选 错 的 得 0 分，部 分 选 对 得 2 分（多 选）9.（5 分）己 知 函 数 f（x）=磊，则（）A./（X）的 定 义 域 为 RB./（%）是 偶 函 数 C.函 数=/（x+2022）的 零 点 为 0D.当 x 0 时，/（%）的 最 大 值 为（多 选）10.（5 分）函 数/（x）=AsinQx+桃）（40,a0,|切 V 5）的 部 分 图 象 如 图 所 示，则（）71A./（x）的 图 象 的 最 小 正 周 期 为 5B.f（x）的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为=与+2/C7T（/C6 Z）C./（x）的 图 象 的 对 称 中 心 为（一 q+2k,0）（k 6 Z）第 2 页 共 2 3 页D.f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 4k 4fc+|(fc G Z)(多 选)11.(5 分)如 图，在 四 棱 锥/-5 C E D 中，己 知 E C=2 C=4 C=4,B D=,且 力 C E C,A C LB C,B C E C,B C 1 B D.取 8 c 的 中 点 O,过 点。作 O0_LOE 于 点。，则()A.ODA.OEB.四 棱 锥 Z-8C E D的 体 积 为 40C.B Q m A C QD.AQA.BQ(多 选)12.(5 分)立 德 中 学 的“希 望 工 程”中，甲、乙 两 个 募 捐 小 组 在 2021年 国 庆 假 期 走 上 街 头 分 别 进 行 了 募 捐 活 动.两 个 小 组 第 1天 都 募 得 100元，之 后 甲 小 组 继 续 按 第 1天 的 方 法 进 行 募 捐，则 从 第 2 天 起，甲 小 组 每 一 天 得 到 的 捐 款 都 比 前 一 天 少 4 元；乙 小 组 采 取 了 积 极 措 施，从 第 1天 募 得 的 100元 中 拿 出 了 9 0元 印 刷 宣 传 材 料，则 从 第 2 天 起,第(N*,N 2)天 募 得 的 捐 款 数 为 100(1+*)元.若 甲 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 S”元，乙 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 T”元(需 扣 除 印 刷 宣 传 材 料 的 费 用)，则()A.Sn=-2n2+102n,W25 且 N*1*B.Tn=10071-50(1+-),GNC.S5T5D.从 第 6 天 起.总 有 三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.13.(5 分)某 校 体 育 节 1 0名 旗 手 的 身 高 分 别 为 175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,176.0,179.0,180.0,1 7 9.0,则 中 位 数 为.第 3 页 共 2 3 页14.(5分)某 中 学 开 展 劳 动 实 习，学 习 加 工 制 作 包 装 盒.现 将 一 张 足 够 用 的 正 方 形 硬 纸 片 加 工 制 作 成 轴 截 面 的 顶 角 为 60,高 为 6 的 圆 锥 形 包 装 盒，若 在 该 包 装 盒 中 放 入 一 个 球 形 冰 淇 淋(内 切)，则 该 球 形 冰 淇 淋 的 表 面 积 为.x2 y215.(5分)已 知 椭 圆/+记=l(ab0),尸 是 左 焦 点，4 为 下 顶 点，若 上 顶 点、右 顶 点 4到 直 线/的 距 离 之 比 为 百 ab,椭 圆 的 四 个 顶 点 的 连 线 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 30,则 椭 圆 的 离 心 率 为.16.(5分)已 知 函 数 v=|f-2 x-的 图 象 与 直 线 夕=机(roGR)有 四 个 交 点，且 这 四 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 b,c,d(abcd),则。+6+c+d=；2(d-a)+(c-b)的 最 大 值 为.四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知 正 项 等 比 数 列 a”的 前“项 和 为 S”S2=a2a4=16.(1)求 的 通 项 公 式；(2)若 勾=J-,求 数 列 加 的 前 n 项 和 Tn.log2an+3-log2an+418.设 ZBC的 内 角/,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,h,c,(a-6)2=c2-ab.(1)求 C；(2)若 6=5,ccos4=1,求/BC 的 面 积.19.北 京 冬 奥 会 某 个 项 目 招 募 志 愿 者 需 进 行 有 关 专 业、礼 仪 及 服 务 等 方 面 知 识 的 测 试，测 试 合 格 者 录 用 为 志 愿 者.现 有 备 选 题 10道，规 定 每 次 测 试 都 从 备 选 题 中 随 机 抽 出 3道 题 进 行 测 试，至 少 答 对 2 道 题 者 视 为 合 格，已 知 每 位 参 加 笔 试 的 人 员 测 试 能 否 合 格 是 相 互 独 立 的.若 甲 能 答 对 其 中 的 6 道 题，乙 能 答 对 其 中 的 8道 题.求：(1)甲、乙 两 人 至 多 一 人 测 试 合 格 的 概 率；(2)甲 答 对 的 试 题 数 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.20.如 图，在 长 方 体 Z8CO-/i8iCid中，E,尸 分 别 是 8C,ZC1的 中 点.(1)证 明：E尸 平 面 CD。；(2)若 40=441=14B=4,求 平 面 NEF与 平 面 E E&所 成 角 的 余 弦 值.第 4 页 共 2 3 页21.已 知 双 曲 线：懑-y2=i(a0)的 左、右 焦 点 分 别 为 尸 i(-c,0),尸 2(c,0),点 尸(xo，yo)是 右 支 上 一 点，若/为 叫 死 的 内 心，且 SA/PFI=S4/PF2+苧 SA/F/2.(1)求 的 方 程；(2)点/是 在 第 一 象 限 的 渐 近 线 上 的 一 点，且 Z F 2 J L X 轴，在 点 P 处 的 切 线/与 直 线 仍 相 交 于 点 M,与 直 线 x=|相 交 于 点 N.证 明：无 论 点 尸 怎 么 变 动，总 有|怩|=空|M尸 22.已 知 函 数/(x)=ex-ax(aGR).(1)若 a=2,求/(x)在 x=0 处 的 切 线 方 程：(2)求/(x)的 最 值；(3)若 工-5，+8)时，x/-(x)+cosx-20,求 a 的 取 值 范 围.第 5 页 共 2 3 页2022年 福 建 省 漳 州 市 高 考 数 学 第 一 次 质 检 试 卷 参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、单 项 选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.(5 分)已 知 集 合 4=口 仅=等、,B=(x d y 2,则 Z U 8=()V4-X2 乙 A.x|-l x 2 B.x|x-1 D.x|K x 0,解 得-2 V x V 2,故 A=xy=f05X=(-2,2),V4%2由(分 X 2,解 得 xW-1,故 8=刈(/尸 2 2=4-1,故 N U B=x|x2.故 选：B.2.(5 分)已 知 z=|百 2-1|+击，则 在 复 平 面 内 z 对 应 的 点 位 于()A.第 一 象 限 B.第 二 象 限 C.第 三 象 限 D.第 四 象 限【解 答】解：,工=|V3i 1|+三 p%=j(8,+(-1)2+(1+J)(l-i)=2+丸=|一 q，故 选：C.在 复 平 面 内 z 对 应 的 点(万，-故 选：D.sin(2 a-年)43.(5 分)匚 知 Q 2fa n e9l-2 c o sz(-)52 3A-B.-5sinCZct L【解 答】解：由-C W 忌 4引 得 s i n(a-)=-|,位 于 第 四 象 限.则 sin(a)=()2 4C,一 亏 口.-1，sm(2a-)2sina)cos(a-)居 3 3 2s讥(a)-cos(a-2)-cos(a)$第 6 页 共 2 3 页4.（5 分）我 国 的 洛 书 中 记 载 着 世 界 上 最 古 老 的 一 个 幻 方：将 1,2,，9 填 入 3X3的 方 格 内，使 三 行、三 列、对 角 线 的 三 个 数 之 和 都 等 于 15,如 图 所 示.一 般 地.将 连 续 的 正 整 数 1,2,3,，2填 入 X 个 方 格 中，使 得 每 行、每 列、每 条 对 角 线 上 的 数 的 和 相 等，这 个 正 方 形 叫 做 阶 幻 方.记 阶 幻 方 的 数 的 和 即 方 格 内 的 所 有 数 的 和 为 S”如 图 三 阶 幻 方 记 为$3=45,那 么 S 9=（）洛 书 幻 方【解 答】解：根 据 题 意，幻 方 的 每 行，每 列 和 两 条 对 角 线 上 的 数 字 之 和 都 相 等，z l-s/i,/2 1、2i 1（l+n2）-n2（l+n2）nNn=1+2+3+（1-1）+H2=-X-22=1_2 故 旃=（1+?）X 9=36%.$9=9X369=3321.故 选：A.5.（5 分）己 知 二 项 式（ax+y）5（aGR）的 展 开 式 的 所 有 项 的 系 数 和 为 32,则（炉-）1。的 展 开 式 中 常 数 项 为（）A.45 B.-45 C.1 D.-1【解 答】解：令 二 项 式（ax+y）5中 的 x=l,y=l,可 得 展 开 式 的 所 有 项 的 系 数 和 为（。+1）5=32,解 得。=1,贝 也 2 一 套）1。即（尤 2 一 击）10的 展 开 式 的 通 项 公 式 为 4=%（X2）10-r（_ _ y=（-1）rCrr1 0X v 2 0-7r）令 20 一|r=0,解 得 厂=8,所 以（产 一 意）1。的 展 开 式 中 常 数 项 为（-1）8%=45.故 选：A.16.（5 分）将 曲 线。：孙=2（x0）上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 5,得 到 曲 线。2,则。2上 到 直 线 x+16y+2=0 距 离 最 短 的 点 坐 标 为（）第 7 页 共 2 3 页I l lA.(8,i)B,(4,i)C.(8,【解 答】解：将 h=2 化 为 y=|,则 将 曲 线 Ci上 所 有 点 的 横 坐 标 不 变，纵 坐 标 缩 小 为 原 来 的 今 得 到 曲 线 C2：2y=|,即 C2：y=*(%0)，要 使 曲 线 C2上 的 点 到 直 线 x+16尹 2=0 的 距 离 最 短，只 需 曲 线 C2上 在 该 点 处 的 切 线 和 直 线 x+16y+2=0平 行，设 曲 线 C2上 该 点 为 P(a,：),因 为 y=专，且 x+16y+2=0的 斜 率 为 白，所 以 一 今=一 石 解 得。=4 或-4(舍)，即 该 点 坐 标 为 P(4,1).故 选:B.7.(5 分)已 知 向 量 a=(cos%,-1),&=(cos%,4sinx+2),/(x)=f,使 不 等 式/(x)W M 亘 成 立，则 实 数 人 的 取 值 范 围 为()13 3 13A，4 4 B.-彳，+)C-|，+8)D.(-8,一 号 呜【解 答】解：由 题 意 得，/(%)=a-b=cos-x+4sinx-2=-sin2x+4sinr-1=-(sinx-2)2+3,IT 7T F，N，1 1/.sinYG故 当 sinx=I时，f(x)取 得 最 大 值*1D.(4,Q b,若 Yx E 一 4-oo)第 8 页 共 2 3 页.对 杂，不 等 式 f(x)W 入 恒 成 立，4,故 选：C.8.(5分)已 知 以 尸 为 焦 点 的 抛 物 线 C：p=2px(p0)经 过 点(1,-2),直 线/：y=k(x-l)与 C 交 于 Z,8 两 点(其 中 点/在 x 轴 上 方)，若|4F|=(3+2迎)|FB|,则/在 y 轴 上 的 截 距 为()1A.2 B.1 C.*D.-1【解 答】解：由 抛 物 线 C：#=2px(p0)经 过 点(1,-2),可 得 2P=4,解 得 p=2,可 得 抛 物 线 的 方 程 为 产=4x,F(1,0),准 线 方 程 为 x=-l,设 4(xi,y),B(X2,”)，由|力 尸|=(3+2夜)|产 8|阳,可 得 处 1,0 x20,Xi+=(3+2V2)(X2+1),即 Xl=(3+2V2)X2+(2+2V2),由 PT F D 可 得 炉 X2-(2必+4)X+后=0,U-4%可 得 Xl+X2=2+X1X21,由 解 得 xi=3+2&,X2=3-2V2,4=-l.故 选：D.二、多 项 选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求.全 部 选 对 的 得 5 分，有 选 错 的 得 0 分，部 分 选 对 得 2 分(多 选)9.(5分)己 知 函 数/。)=品，则()A./(x)的 定 义 域 为 RB./(%)是 偶 函 数 C.函 数 y=/(x+2022)的 零 点 为 0D.当 x0时，/(x)的 最 大 值 为【解 答】解：x2+90恒 成 立，.的 定 义 域 为 R,故 力 正 确：/(-x)=鬲=一/(乃，函 数 为 奇 函 数，故 8 错 误；函 数 y=/(x+2022)=(裳/湾 9,零 点 为-2022,故 C 错 误；第 9 页 共 2 3 页当 x 0 时，/(x)=W=W w 一 冷=会 当 且 仅 当 x=U，即 x=3 时 等 号 成 立，故%+9*2房 3 x。正 确.故 选：AD.(多 选)10.(5分)函 数/(%)=/sin(3%+中)(4 0,3 0,101V掾)的 部 分 图 象 如 图 所 示，则()A./(%)的 图 象 的 最 小 正 周 期 为 27TB.f(x)的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 x=+2k7r(keZ)C./(x)的 图 象 的 对 称 中 心 为(一 玄+2k，o)(fc G Z)A 9D.f(x)的 单 调 递 增 区 间 为 4k-w,4/c+w】(/cEZ)【解 答】解：由 函 数/(x)=Jsin(o)x+(p)(力 0,a)0,|(p|)的 部 分 图 象 可 知:1 5 2A=3t 4T=可 一 可=1，即 7=4,故 A 错 误；所 以 3=竿=由 五 点 作 图 法 可 得 1 x|+(p=*解 得 平 屋，所 以/(x)=3sin(m+看),吟+看=内 r+g,Q,解 得 x=2%+|,蛇 Z,即/(x)的 图 象 的 对 称 轴 方 程 为 x=2k+多 髭 Z,故 8 错 误；令 夕+=Q r,令 Z,解 得 x=2&-g,k&Z,所 以/(x)的 图 象 的 对 称 中 心 为(2k-最 0),任 Z,故 C 正 确；第 1 0 页 共 2 3 页令 一 5+2ZnrW*x+看 W+2ZT T T,A Z,解 得 4%1 4xW4%+可，A6Z,故/（x）的 单 调 递 增 区 间 为 4%-*4 4+|（住 Z）,故。正 确.故 选：CD.（多 选）11.（5 分）如 图，在 四 棱 锥 4-8 C E D 中，已 知 E C=8 C=Z C=4,B D=l,且 NC1EC,AC1BC,BC1EC,B C 1 B D.取 8 c 的 中 点 O,过 点。作 OQ_LOE 于 点。，则（）A.O D V O EB.四 棱 锥/-8 C E。的 体 积 为 40C.8。_ 1 _平 面 4。0D.A Q 1 B Q【解 答】解：如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,则 O(0,2,0),D(0,4,1),E(0,0,4),B(0,4,0),A(4,0,0),C(0,0,第 1 1 页 共 2 3 页0),贝 I 法=(0,-4,3),OD=(0,2,1),0=(0,-2,4),设 而=入 法=(0,-4 入，3入)，则 0(0,4-4入，1+3入)，故 0(2=(0,2-4 入，1+3人)，OQA.DE,：.OQ-DE=0,；.0-8+16入+3+9入=0,解 得 入=看，即(2(0,娱|),，BQ=(0,_ g，Q A Q=(-4,当，f).VO O 1=0 x 0+2 x(-2)+l x 4=0,J.OD1.OE,故 A 正 确；因 为 直 角 梯 形 B C E D 的 面 积 S=3+学 CB=(4+l)x 4=1 0 ACLCE,AC1BC,C E C B C=C,可 得/C _L面 8CE四 棱 锥 高 h=A C=4f所 以 四 棱 锥 体 积/=例 5=界 4*1 0=3 故 8 不 正 确；CfA-T B Q=(4,0,0)-(0,4 8)=0，3T TB Q=(0,詈 16，8)-(0,一 94、8)=64,6 4 0-25+25-0,J.BQVCA,B Q V C Q,又 C A H C Q=C,二。，平 面 A C Q,故 C 正 确；T T 16 R 4 R T T：AQ-B(?=(-4,苛，|)(0,-.)=0,I A Q 1.B Q,即 A Q V B Q,故。正 确.故 选：ACD.(多 选)12.(5 分)立 德 中 学 的“希 望 工 程”中，甲、乙 两 个 募 捐 小 组 在 2021年 国 庆 假 期 走 上 街 头 分 别 进 行 了 募 捐 活 动.两 个 小 组 第 1天 都 募 得 100元，之 后 甲 小 组 继 续 按 第 1天 的 方 法 进 行 募 捐，则 从 第 2 天 起，甲 小 组 每 一 天 得 到 的 捐 款 都 比 前 一 天 少 4 元：乙 小 组 采 取 了 积 极 措 施，从 第 1天 募 得 的 100元 中 拿 出 了 9 0元 印 刷 宣 传 材 料，则 从 第 2 天 起,第(6N*,”2 2)天 募 得 的 捐 款 数 为 100(1+*)元.若 甲 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 S”元，乙 小 组 前 天 募 得 捐 款 数 累 计 为 T”元(需 扣 除 印 刷 宣 传 材 料 的 费 用)，则()A.Sn=-2n2+102n,”W25 且 N*第 12页 共 23页1B.Tn=100n-50(l+-r),C.S5T5D.从 第 6 天 起.总 有&V 7；【解 答】解：设 板 代 表 甲 组 第 天 所 得 的 捐 款，且 小 0,由 题 意 可 知，671 100,d-4,Q=ai+(-1)d 4+1040,解 得 V 2 6,即 2则 数 列 为 的 前 n 项 和=加+历+加=100+100(1+1)+100(1+)+100(1+=100+100(n-1)+100(/+京+舟)i 1=100-90+100 黄 r(l 一 泰)=lOOn-40-50-iy,HN*,故 B 错 误，55=-2 X 52+102 X 5=460,T5=500-40-|J=460-故 C 正 确，令 Cn=S”-Tn=-2 2+i02-100/7+40+黑 1=器 7+40+271-27?,Vc6=|+40+12-720,又,.Cn+i-Cn=2 n-i 1)+2 2 4n=4nT0,cn 为 递 减 函 数，.Cn C60,即 sn-Tn VO,故 S VT，故。正 确.故 选：ACD.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分.13.(5分)某 校 体 育 节 10名 旗 手 的 身 高 分 别 为 175.0,178.0,176.0,180.0,179.0,175.0,176.0,179.0,180.0,179.0,则 中 位 数 为 178.5.【解 答】解：某 校 体 育 节 10名 旗 手 的 身 高 从 小 到 大 为:第 13页 共 23页175.0,175.0,176.0,176.0,178.0,179.0,179.0,179.0,180.0,180.0,.中 位 数 为 178.0+179.02=178.5.故 答 案 为：178.5.14.（5 分）某 中 学 开 展 劳 动 实 习，学 习 加 工 制 作 包 装 盒.现 将 一 张 足 够 用 的 正 方 形 硬 纸 片 加 工 制 作 成 轴 截 面 的 顶 角 为 60,高 为 6 的 圆 锥 形 包 装 盒，若 在 该 包 装 盒 中 放 入 一 个 球 形 冰 淇 淋（内 切），则 该 球 形 冰 淇 淋 的 表 面 积 为 16T T【解 答】解：根 据 题 意，画 出 图 象,如 图 所 示:所 以 N 8Z C=60,AO=6,故 在 RtZX/OC 中，JC=4 V 3,01c=2 百,设 内 切 球 的 球 心 为。，则 DO=OO=R,在 中，NCMO=30,所 以：2R=6-R,解 得 R2,所 以 S 表=4-7 T-/?2=167r.故 答 案 为：16n.“2 y215.（5 分）已 知 椭 圆/+记=l（a b 0）,F 是 左 焦 点,N 为 下 顶 点，若 上 顶 点、右 顶 点 4到 直 线 力 尸 的 距 离 之 比 为 百 a b,椭 圆 的 四 个 顶 点 的 连 线 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 3 0,则 2椭 圆 的 离 心 率 为【解 答】解：令 椭 圆 左 焦 点 尸（-以 0）（c=Va2-b2）,x y而 Z（0,-b）,则 直 线 力 Z7 方 程 为：4-=1,即 bx+cy+bc=0,第 1 4 页 共 2 3 页2bc 2c 2e 2e 4又 上 顶 点、右 顶 点 分 别 为(0,b),(a,0),依 题 意 有:就 说=-=,即:;=ah,竺 把 a+c 1+e 1+e 135a又 椭 圆 的 四 个 顶 点 的 连 线 围 成 的 四 边 形 的 面 积 为 3 0,即 2M=3 0,解 得 必=15,e 2 7则 有 7 1=解 得 e=y,1+e 9/所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 e=*故 答 案 为：y.16.(5 分)已 知 函 数 y=2-2工-1 的 图 象 与 直 线(w G R)有 四 个 交 点，且 这 四 个 交 点 的 横 坐 标 分 别 为 a,b,c,d(a b c a=d-Q 0,:.d-a=J(d-a)2=J(d+a)2-4ad=2V2 4-m,c b=c-b。,:.c-b J(c b)2=J(c+b)2 4bc=2V2 m,：.2(J-a)+(c-b)=4y/2+m 4-2V2 m,令/(加)=4V2 4-m 4-2V2 m,0/w 2+?，解 得 0 V阳 卷，此 时/6令 8-2 附 2+加，解 得 V n 0,/(/)单 调 递 增,(/71)0,f(用)单 调 递 减,故 答 案 为：4；4V5.第 1 5 页 共 2 3 页2四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 70分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.已 知 正 项 等 比 数 列 总 的 前 项 和 为 S”S2=1,4/24/4=16.(1)求 如 的 通 项 公 式；(2)若 勾=-8,-,求 数 列%“的 前”项 和 T,1.log2an+ylog2an+4【解 答】解：(1)由 已 知 可 得，设 等 比 数 列 析 的 公 比 为 因 为%0,a2a4=(%)？=16,所 以 43=4 或 43=-4(舍 去)，又$2=.可 得，%(l+q)/解 得 卜 1=%,、即 q2=4(q=4所 以 册=Qi qT=4r l=4n-2,故 斯 的 通 项 公 式 为。九=4n-2(n E N*).(2)由 第(1)问 可 知，an=4n-2(ne/V*),所 以 log2an+3=log24n+i=log222n+2=2几+2,log2an+4=log24n+2=log222n+4=2n+4,所 以%碗 2，.+3，碗 2%1+4-(2n4-2)(2n+4)-(n+l)(n+2)-n+1-n+2 所 以 7“=2信-4)+(*)+4 一/)+.”+(+)=2 6 一+)=品，n数 列 d 的 前 n 项 和 Tn为-(n e N*).n+218.设 NBC的 内 角/,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c,(a-b)2=c2-ab.第 16页 共 23页(1)求 c；(2)若 b=5,ccos4=l,求 45。的 面 积.【解 答】解：(1)因 为(a-b)2=c2-ab,可 得/十 川-2=,所 以 cosC=幻 2+1 2 2 _ ab _ 12ab 2ab 2又 Ce(0,n),所 以 c=*(2)因 为 6=5,ccos%=l,c b由 正 弦 定 理 可 得 L F=-2n-所 以 sirtz sin-A0 552 Hc osA4+,-1s i.n.A可 得 遍 ccosZ+csinJ=5遮,因 为 ccosA=1,所 以 csirL4=4V3,所 以 SA，8C=bc3nA=x 5 x 4V3=10V3.19.北 京 冬 奥 会 某 个 项 目 招 募 志 愿 者 需 进 行 有 关 专 业、礼 仪 及 服 务 等 方 面 知 识 的 测 试，测 试 合 格 者 录 用 为 志 愿 者.现 有 备 选 题 10道，规 定 每 次 测 试 都 从 备 选 题 中 随 机 抽 出 3道 题 进 行 测 试，至 少 答 对 2 道 题 者 视 为 合 格，已 知 每 位 参 加 笔 试 的 人 员 测 试 能 否 合 格 是 相 互 独 立 的.若 甲 能 答 对 其 中 的 6 道 题，乙 能 答 对 其 中 的 8道 题.求：(1)甲、乙 两 人 至 多 一 人 测 试 合 格 的 概 率；(2)甲 答 对 的 试 题 数 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望.【解 答】解：(1)甲 测 试 合 格 的 概 率 为 6：6=H o 3乙 测 试 合 格 的 概 率 为 哈=?，C10 1 52 14 28故 甲，乙 两 人 都 测 试 合 格 的 概 率 为 石 乂 石=石，故 甲，乙 两 人 至 多 一 人 测 试 合 格 的 概 率 尸=1 一 碧=标(2)由 题 可 知，甲 答 对 的 试 题 数 X 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,P(*=。)噫=4,P(*=1 管$P(丫=2)=譬 4 P(X=3)=昌=看 10 10第 1 7 页 共 2 3 页故 X 的 分 布 列 为:X 0 1 2 3P13031012162 1 1 Q故 E(X)=1 X Y Q+2 义 2+3 石=耳.2 0.如 图，在 长 方 体 中，E,尸 分 别 是 8 C,4 C i的 中 点.(1)证 明：E F 平 面(2)若 4 0=4 4 1=1 4 B=4,求 平 面 N E F与 平 面 EE8I 所 成 角 的 余 弦 值.【解 答】(1)证 明：在 长 方 体 Z 8C Z)-小 8 1 c g i中，如 图,连 接/C,B D 交 于 点、O,则。是 NC,8。的 中 点，连 接 OE,OF.又 因 为 尸 为/C 的 中 点，所 以 O尸 C G.因 为 OFC平 面 CDDiCi,C C iu平 面 C D D Q,所 以 O F 平 面 CA Q C i.又 E 是 8 c 的 中 点，第 1 8 页 共 2 3 页所 以 OE/CD.因 为 OEC平 面 CDDiCi,COu平 面 CDDC,所 以 0 E 平 面 CDDiC.因 为 OFCOE=O,OEu平 面 O E F,。尸 u 平 面 OEF,所 以 平 面。尸 平 面 CDDC.因 为 7七 平 面 OEF,EFC平 面 CDDC,所 以 E尸 平 面 CDDiCi.(2)解：连 接 BF,A E,以/为 坐 标 原 点，AB,AD,441所 在 直 线 分 别 为 x,y,z所 以 40=4,4m=3,AB=3,所 以 E(3,2,0),F(|,2,|),4(3,0,3),T R R T T所 以 E F=(-分 0,办 AE=(3,2,0),4E=(0,2,-3),设 平 面/E/的 法 向 量 为=(x,y,z),(T T 3 3n-*F=77X1 H-TTZ I=0 aT T 2 2 令 y=2，贝|J XI=-1,zi=-1,n AE=3x1+2yl=0,所 以 几=(一 L,1),第 1 9 页 共 2 3 页设 平 面 分 囱 的 法 向 量 为 薪=。2,丫 2,Z2)，-3 3m-E F=77 X 7+7yz2=0 A 3-2 2,令 丫 2=?则 X2=l,Z2=l,m-B1E=2y2 3z2=0所 以 益=(1,|，1),设 平 面 A E F 与 平 面 EFB所 成 角 为。，所 以 coso=吗=1nMm|l(T，-D R/DIj(-l)2+(3)2+(-l)2.J12+(3)2+121=17,所 以 平 面 与 平 面 EFB所 成 角 的 余 弦 值 为 不.2 1.已 知 双 曲 线：当 一 y2=i(a 0)的 左、右 焦 点 分 别 为 Q(-c,0),F2(c,0),点 P(xo,y o)是 右 支 上 一 点，若/为 尸 尸 1尸 2 的 内 心，且 SA/PF】=SA/pF2+SAgFz.(1)求 的 方 程;(2)点 才 是 在 第 一 象 限 的 渐 近 线 上 的 一 点，且/尸 2，x 轴，在 点 尸 处 的 切 线/与 直 线 上 相 交 于 点 M，与 直 线 X=|相 交 于 点 N.证 明：无 论 点 尸 怎 么 变 动，总 有|g l=【解 答】(1)解：设 PP1F2的 内 切 圆 半 径 为 广，1 1 1则 SPF1=2 仍 尸 1匕 SPF2=2 仍 尸 2匕 SA/F/2=2 尸 12任，因 为 S&/PF1=S V P FZ+堂 SA/FI F2，J 1 V3 1所 以|P F/r=|P F 21r+-x 5 人 尸 2位，即|Pf 1|=仍 尸 2 1+1尸 1尸 2 1,可 得 附 11一 仍&1=阴 尸 1尸 21，.P 局 1一 仍 尸 2|V3所 以 由 双 曲 线 的 定 义 和 几 何 性 质，得 胃=，2c 2又 2=d 一 1,解 得 2=3,所 以 的 方 程 为 了 一 丫 2=1.(2)证 明：由 题 意 可 知，直 线/的 斜 率 存 在，设 直 线/的 方 程 为 y-y o=z(x-xo).第 2 0 页 共 2 3 页由 5-y2-1 可 得 y2=1=3 3.由 题 意 知 则 WO.若 点 尸 在 双 曲 线 右 支 的 上 半 支 上，则 y 二 箝 所 以 八 南 故 仁 和.x2因 为 看 一、。=1,所 以 用 一 3=3将 八 4 1=嬴,若 点 尸 在 双 曲 线 右 支 的 下 半 支 上，则 旷=一 综 上，k=毒，代 入 直 线/的 方 程 得 丫 一 小=善。一 X。)，即 久 o%_ 3yoy=%一 3弟，%2由 寸 一,=1，可 得 君-3光=3,所 以 直 线/的 方 程 为 xox-3/y=3,即 y=餐 工(%0 痘)，5yo因 为 直 线 工 22的 方 程 为 X=2,所 以 直 线/与 直 线/乃 的 交 点”(2,笑 3),oy。直 线/与 直 线 x=，的 交 点 N(，,嚓 二)，乙 乙 5yo所 以|M 2l=J(2-2尸+(0 一 争=瑞，1 怩 1=，(2一 齐+(0一 练 弓=皆 邛 叵 益 运 考 瑞 邛 小，即|N&I=亨|睡|得 证.2 2.已 知 函 数/(x)-ax(tzGR).(1)若 a=2,求/(x)在 x=0 处 的 切 线 方 程；(2)求/(x)的 最 值：(3)若+8)时，xf(x)+cosx-2 2 0,求 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(1)当。=2 时，/(x)=，-2x,第 2 1 页 共 2 3 页则/(x)=-2,故，(0)=-1,又/(0)=1,所 以 在 x=0 处 的 切 线 方 程 为 y-1=-(x-0),即 x+y-1=0；(2)V/(x)=-3:(x)=/-Q,当 QWO时，/(x)=/-。0,则/(x)在 R 上 单 调 递 增，所 以/(x)无 最 值，当 Q0 时，令 e”-a=O,得 x=bia,当 a VO 时，x0 时，xlna,:f(x)在(-8,in。)上 单 调 递 减，在(Ina,+)上 单 调 递 增，所 以 函 数/(x)在 x=lna处 取 得 最 小 值 为 f(Ina)=elna alna=a-alna9 无 最 大 值，综 上，当 aWO 时，/(x)无 最 值；当 0 时，f(X)有 最 小 值 为-4比，无 最 大 值；(3)由 题 意 得 x(y-ax+cosx-2)2 0 对 于 任 意 的 x E-5,+8)恒 成 立，且 当 x=0时，等 号 成 立，令 g(x)-ax+cosx-2,则 g(x)=产-sinx-a,g(0)=-a,若 则 g(x)20,令 cp(x)-sinx-a,则 l 时，g(0)0,又,：g，()=ea-sina-a9 易 证 e2a+l,Ag/(a)N+l-sin4-=1-sin 20,/.3xoE(0,a,使 g(xo)=0，AxoE(0,xo)时，gf(xo)0,即 g(x)在(0,xo)上 单 调 递 减，对 VxC(0,xo),g(x)g(0)=0,不 符 合 题 意，当 1-NO,即 时，g(x)2g(0)=l-20,：.g(x)在(0,+8)上 单 调 递 增，Vx60,+8),g(x)2g(0)=0,xg(x)2 0,符 合 题 意，所 以 aWl,当 一 当 W x V 0 时，只 需 证 明 当 aWl时，g(x)V 0 即 可，第 2 2 页 共 2 3