2022年广东省大湾区普通高中高考数学模拟试卷（4月份）（附答案详解）.pdf

2022年 广 东 省 大 湾 区 普 通 高 中 高 考 数 学 模 拟 试 卷（4 月 份）一、单 选 题（本 大 题 共 8 小 题，共 40.（）分）1.设 全 集 U=R,集 合 4=口,2,3,4,5,B=x&Rx 2）,则 图 中 阴 影 部 分 所 表 示 的 集 合 为（）A.0,1B.1C.1,2D.（0,1,2）2.（1一 2x）5的 展 开 式 中，炉 的 系 数 为（）A.40 B.-40 C.80 D.-803.甲 乙 两 个 雷 达 独 立 工 作，它 们 发 现 飞 行 目 标 的 概 率 分 别 是 0.9和 0.8,则 飞 行 目 标 被 雷 达 发 现 的 概 率 为（）A.0.26 B.0.7 C,0.72 D.0.984.已 知 圆。：+,2=2与 抛 物 线 c：y2=2px（p 0）的 准 线 相 切，则 p的 值 为（）A.V2 B.2V2 C.2 D.45.某 圆 锥 母 线 长 为 2,底 面 半 径 为 百，则 过 该 圆 锥 顶 点 的 平 面 截 此 圆 锥 所 得 截 面 面 的 最 大 值 为（）A.2 B.1 C.2V3 D.V36.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，点 P在 射 线 y=gx（x 0）上，点 Q在 过 原 点。倾 斜 角 为。（。为 锐 角）的 直 线 上.若 4 P O Q=%则 sin2。的 值 为（）A-2.B-C-D-25 0 25 J 25 257.某 奥 运 村 有 4,B,C三 个 运 动 员 生 活 区，其 中 4区 住 有 30人，B区 住 有 15人，。区 住 有 10人.已 知 三 个 区 在 一 条 直 线 上，位 置 如 图 所 示.奥 运 村 公 交 车 拟 在 此 间 设 一 个 停 靠 点，为 使 所 有 运 动 员 步 行 到 停 靠 点 路 程 总 和 最 小，那 么 停 靠 点 位 置 应 在（）/区 8 区 C 区 A.A区 B.8区 C.C区 D.A,B两 区 之 间8.设%i，%2分 别 是 函 数 f。）=%-。一”和 9。）=江。02%-1的 零 点（其 中 Q 1），则%1+9%2的 取 值 范 围 是（）A.6,+oo）B.（6,+8）C.10,+8）D.（10z+oo）二、多 选 题（本 大 题 共 4 小 题，共 20.0分）9.设 i为 虚 数 单 位，若（1+2）几=（1 一 i）%则 几 可 以 是（）A.2020 B.2022 C.2024 D.202610.已 知 函 数 f（x）=W，下 列 说 法 正 确 的 有（）A.曲 线 y=/（x）在 x=1处 的 切 线 方 程 为 y=%1B./（%）的 单 调 递 减 区 间 为+8）C./（%）的 极 大 值 为 3D.方 程=-1有 两 个 不 同 的 解 11.已 知 P为 双 曲 线-y 2=1上 的 动 点，过 点 P作 双 曲 线 的 两 条 渐 近 线 的 垂 线，垂 足 分 别 为 A,B,设 直 线 PA,PB的 斜 率 分 别 为 七，k2,线 段 P4,PB的 长 分 别 为 m,n,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A./-APB=y B.krk2=C.mn=|D.AB12.在 正 三 棱 锥 P-A B C 中，设 乙 4PB=NAPC=NBPC=。，PA=2,则 下 列 结 论 中 正 确 的 有（）A.当。=时，P到 底 面 ABC的 距 离 为 学 B.当 正 三 棱 锥 P-4 B C 的 体 积 取 最 大 值 时，则 有 e=WC.当。=时 时，过 点 A作 平 面 a分 别 交 线 段 PB,PC于 点 E,F（E,F不 重 合），则 A AE尸 周 长 的 最 小 值 为 2百 D.当。变 大 时，正 三 棱 锥 P-4 B C 的 表 面 积 一 定 变 大 三、填 空 题（本 大 题 共 4 小 题，共 20.0分）13.已 知 向 量：与，的 夹 角 为 45。，且|方|=1,|2五+石|=VIU，则|弓|=14.写 出 一 个 值 域 为（一 8,0）,在（-8,+8）上 单 调 递 增 的 函 数/（无）=.15.已 知 公 差 不 为 0的 等 差 数 列 an 的 前 n项 和 为 S”，若 a”S5,S7 e（-5,0,则 的 最 小 值 为.第 2 页，共 2 0页16.用 一 张 4 4纸 围 绕 半 径 为 r 的 石 膏 圆 柱 体 包 裹 若 干 圈，然 后 用 裁 纸 刀 将 圆 柱 体 切 为 两 段，如 图 所 示.设 圆 柱 体 母 线 与 截 面 的 夹 角 为 火 0。0,a)0).若/(x)的 最 小 正 周 期 为 2兀，则 r=(此 时，若 再 有 4=2,则 s i n 0=.四、解 答 题(本 大 题 共 6 小 题，共 7 0.()分)17.已 知 数 列 an,九 的 前 n项 和 分 别 为 5,Tn,an+bn=2-1+2 n-1,Tn-Sn=2n-n2-1.(1)求 心,瓦 及 数 列 斯，%的 通 项 公 式；(2)设 d=a”几 为 奇 数”,7 1为 偶 数 求 数 列 d 的 前 2n项 和 P2n.18.正 态 分 布 有 极 其 广 泛 的 实 际 背 景，生 产 与 科 学 实 验 中 很 多 随 机 变 量 的 概 率 分 布 都 可 以 近 似 地 用 正 态 分 布 来 描 述，例 如，同 一 种 生 物 体 的 身 长、体 重 等 指 标.为 了 调 查 某 水 库 的 生 态 养 殖 情 况，在 水 库 中 随 机 捕 捞 了 100条 鱼 称 重，经 整 理 分 析 后 发 现，鱼 的 体 重 单 位:kg)近 似 服 从 正 态 分 布 N(2,M),如 图 所 示.已 知 P Q 0.5)=0.04,P(x 1.5)=0.26.(1)若 从 水 库 中 随 机 捕 捞 一 条 鱼，求 鱼 的 体 重 在 253.5 内 的 概 率;(2)从 捕 捞 的 100条 鱼 中 随 机 挑 出 6条 测 量 体 重，其 体 重 情 况 如 表：体 重 范 围(单 位:kg)0.5,1.5)1.5,2.5)253.5条 数 1 3 2 为 了 进 一 步 了 解 鱼 的 生 理 指 标 情 况，从 这 6条 鱼 中 随 机 选 出 3条，记 随 机 选 出 的 3条 鱼 中 体 重 在 2.5,3.5 内 的 条 数 为 Z,求 随 机 变 量 Z的 分 布 列 和 数 学 期 望；若 将 剩 下 的 94条 鱼 称 重 并 标 记 后 立 即 放 回 鱼 塘，又 随 机 从 鱼 塘 内 捕 捞 1000条 鱼,发 现 其 中 带 有 标 记 的 有 2条，为 了 调 整 生 态 结 构，促 进 种 群 的 优 化，预 备 捕 捞 水 库 中 体 重 在 2.5,3.5 内 鱼 总 数 的 40%进 行 出 售，试 估 算 水 库 中 鱼 的 条 数 以 及 应 捕 捞 体 重 在 2.5,3.5 内 鱼 的 条 数.19.在 A/IBC中，它 的 内 角 4,B,C的 对 边 分 别 为 a,b,c,且 8=三，b=V6.(I)若。054。05。=求 4 4BC1的 面 积;(II)试 问:+：=1 能 否 成 立？若 能 成 立，求 此 时 A/IBC的 周 长；若 不 能 成 立，请 说 明 理 由.第 4 页，共 2 0页20.如 图，在 三 棱 锥 P-力 B C中，P 4B是 等 边 三 角 形，NPAC=乙 PBC=90.(1)证 明：AB 1 P C；(2)若 PC=6,且 平 面 P 4 C，平 面 P B C,求 三 棱 锥 P-A B C的 体 积.21.已 知 函 数 f(x)=ae*-ln(x+2)+a-2.(1)若 为 在 x=0处 取 得 极 值，求 a的 值 及 函 数 的 单 调 区 间;(2)请 在 下 列 两 问 中 选 择 一 问 作 答.若/(x)。恒 成 立，求 a的 取 值 范 围.若/(%)有 两 个 零 点，求 a的 取 值 范 围.P为 圆 4(x+2)2+y2=36上 一 动 点，点 B的 坐 标 为(2,0),线 段 P 8的 垂 直 平 分 线 交 直 线 4 P于 点 Q,记 点 Q的 轨 迹 为 曲 线 C.(1)求 C的 方 程；(2)记(1)中 曲 线 C与 x轴 的 左 右 两 个 交 点 分 别 为 41和 人 2，M,N 为 曲 线 C上 异 于%的 两 点，直 线 M N 不 过 坐 标 原 点，且 不 与 坐 标 轴 平 行.点 M 关 于 原 点。的 对 称 点 为 S,若 直 线 4 S 与 直 线&N 相 交 于 点 7,直 线。T与 直 线 M N 相 交 于 点 R.证 明：在 曲 线 C上 存 在 定 点 E,使 得 A R B E 的 面 积 为 定 值，并 求 该 定 值.第 6 页，共 20页答 案 和 解 析 1.【答 案】C【解 析】解：根 据 题 意，易 知 图 中 阴 影 部 分 所 表 示(QB)na=i,2.故 选：C.根 据 题 意，结 合 Uenn图 与 集 合 间 的 基 本 运 算，即 可 求 解.本 题 考 查 集 合 间 的 运 算，属 于 基 础 题.2.【答 案】D【解 析】【分 析】本 题 主 要 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用，二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式，属 于 基 础 题.先 求 出 二 项 式 展 开 式 的 通 项 公 式，再 令 x的 某 指 数 等 于 3,求 得 r的 值，即 可 求 得 展 开 式 中 的 式 的 系 数.【解 答】解：二 项 式(1-2x)5展 开 式 的 通 项 公 式 为 7；+1=禺-(-2x)r,令 r=3,可 得 展 开 式 中 炉 的 系 数 为(_2)3x口=一 80.故 答 案 选：D.3.【答 案】D【解 析】解：设 事 件 力 表 示“甲 雷 达 发 现 飞 行 目 标”，事 件 B表 示“乙 雷 达 发 现 飞 行 目 标”，甲 乙 两 个 雷 达 独 立 工 作，它 们 发 现 飞 行 目 标 的 概 率 分 别 是 0.9和 0.8,P(A)=0.9,P(B)=0.8,二 飞 行 目 标 被 雷 达 发 现 的 概 率 为：P(A U 8)=P(4)+P(B)-P(4B)=0.9+0.8-0.9 X 0.8=0.98.故 选：D.设 事 件 4表 示“甲 雷 达 发 现 飞 行 目 标”，事 件 B 表 示“乙 雷 达 发 现 飞 行 目 标”，飞 行 目标 被 雷 达 发 现 的 概 率 为 PQ4 U B)=PQ4)+P(B)-PQ4B),由 此 能 求 出 结 果.本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 相 互 独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力,是 基 础 题.4.【答 案】B【解 析】解：.抛 物 线 y2=2Px(p 0)的 准 线 方 程 是 x=心，圆 产+丫 2=2的 圆 心 是(0,0),半 径 r=企，由 圆/+y2=2与 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 相 切，知”近,解 得 p=2企.故 选：B.抛 物 线 y2=2px(p0)的 准 线 方 程 是=一 去 圆/+y 2=2的 圆 心 是(0,0),半 径 r=V2,由 圆/+y2=2与 抛 物 线 y2=2px(p 0)的 准 线 相 切，知 由 此 能 求 出 p.本 题 主 要 考 查 抛 物 线 标 准 方 程，简 单 几 何 性 质，直 线 与 抛 物 线 的 位 置 关 系，圆 的 简 单 性 质 等 基 础 知 识.考 查 运 算 求 解 能 力，推 理 论 证 能 力；考 查 函 数 与 方 程 思 想，化 归 与 转 化 思 想.5.【答 案】A【解 析】解：如 图 所 示，截 面 为 A S M N,点 P为 M N 的 中 点，设。P=x,ij0 x Jx2+1-MN=2V3-x2-SASMN=：MN,SP=|Vx2+1-2V3-x2-y-(x2-l)2+4,二 当 x=l 时，截 面 面 积 取 最 大 值 为 2.故 选：A.截 面 为 点 P为 M N 的 中 点，设。P=x,MO x V3,把 SP,M N 用 含 有 x的 导 数 式 表 示，写 出 三 角 形 面 积，再 由 配 方 法 求 最 值.本 题 考 查 圆 锥 截 面 面 积 最 值 的 求 法，考 查 数 形 结 合、函 数 与 方 程 思 想 的 应 用，训 练 了 利 第 8 页，共 2 0页用 配 方 法 求 最 值，是 基 础 题.6.【答 案】B【解 析】解：设 射 线 y=gx的 倾 斜 角 为 a，则 tana=(因 为 NPOQ=?=a-。，所 以 tan/POQ=tan-=tan(a 0)=t a n ata n 9 即 1=-3 叱,“4 K 7 l+tanatan0 l+-tanO解 得=I，1 7又。为 锐 角，所 以 5出 9=能，cose=,1 7 7所 以 sin28=2sin6-cos9=2 x 飞 x.故 选：B.设 射 线 y=枭 的 倾 斜 角 为 a,则 tana=；,由 tan/POQ=tan：=tan(a-。)，根 据 两 角 差 的 正 切 公 式，求 得 tan。的 值，再 利 用 三 角 函 数 的 定 义 与 二 倍 角 公 式，得 解.本 题 考 查 三 角 函 数 的 化 简 求 值，熟 练 掌 握 两 角 差 的 正 切 公 式，二 倍 角 公 式 是 解 题 的 关 键,考 查 逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题.7.【答 案】A【解 析】解：设 距 离 4区 xni处 最 近，那 么 可 以 算 出 员 工 步 行 到 停 靠 点 的 路 程 和 最 小 为 y,则 y=3O x+15(100-%)+10(200+100-x)=4600+5x,所 以 x=0时，y最 小，那 么 停 靠 点 位 置 应 在 4区，故 选：A.设 距 离 4区 xm处 最 近，根 据 题 意 列 出 方 程，求 出 x的 值，即 可 得 出 答 案.本 题 考 查 了 比 较 线 段 的 长 短，正 确 理 解 题 意 是 解 题 的 关 键，要 能 把 线 段 的 概 念 在 现 实 中 进 行 应 用，属 基 础 题.8.【答 案】D【解 析】解：因 为%1，&分 别 是 函 数/(%)=%-Q T 和 g。)=%，。加 一 1的 零 点，则 与，X2分 别 是 谟=(和，0坂 X=(的 解，所 以%1，不 分 别 是 函 数 V=：与 函 数 y=a和 函 数 y=log。交 点 的 横 坐 标，所 以 交 点 分 别 为 因 为 Q 1,所 以 0 V V 1,%2 1,由 于 函 数 y=与 函 数 y=Q和 函 数 y=logM都 关 于 y=%对 称，所 以 点 A 与 点 B 关 于 y=%对 称，因 为 关 于 y=%对 称 的 点 坐 标 为&；，xi)，1所 以 时=,x2即 X,%2=1，且 0%1 f%2 1所 以 1+9%2=%1 4-%2+8%2 2 2y/xt-%2+8x2 2+8X2，由 于%1。2所 以 不 能 取 等 号，因 为%2 1，所 以 2+8%22+8=10,即%1+9%2 W(10,+8),故 选：D.根 据 零 点 定 义，可 得 看,小 分 别 是 谈=1 和 的 解.结 合 函 数 与 方 程 的 关 系 可 知 X1，%2分 别 是 函 数 y=与 函 数 y=谟 和 函 数 y=logM交 点 的 横 坐 标，所 以 可 得 0/1而 y=a与 y=logaX互 为 反 函 数.则 由 反 函 数 定 义 可 得 X1 和=1 再 根 据 基 本 不 等 式，即 可 求 得 与+犯 的 最 小 值，将 X I+9%2化 为%+次+8不，即 可 得 解.本 题 考 查 了 反 函 数 的 定 义 及 性 质 综 合 应 用，函 数 与 方 程 的 关 系 应 用，基 本 不 等 式 求 最 值,综 合 性 强，属 于 难 题.9.【答 案】AC【解 析】解：(l+i)2=l+2i-l=2i,(l-i)2=l-2i-l=-2i,又(l+i)n=(l-i)%(1+i)n=(1+i)2F=(2戒(1-i)n=(1-i)2p=(-2成 第 10页，共 20页n n，.(2i)2=(-2i)2二 当 5为 偶 数 时，(l+i)n=(l-i)M.故 选：A C.利 用(1+i)2=1+2i-1=2i,(1-i)2=1-2i-1=-2 i,将(1+i)n=(1-尸 变 形 得 到(2加=(2夕，从 而 得 到 满 足 的 条 件.本 题 考 查 了 复 数 的 运 算，考 查 了 逻 辑 推 理 能 力 与 转 化 化 归 能 力，属 于 中 档 题.1 0.【答 案】ABC【解 析】解：因 为/()=?,所 以 函 数 的 定 义 域 为(0,+8),所 以 广。)=鬻,1(1)=1,/(1)=0,/Q)的 图 象 在 点(1,0)处 的 切 线 方 程 为 y-0=f(l)(x-1),即 y=l-(x l)=x 1,故 A 正 确；在(0,e)上，f(x)0,/(%)单 调 递 增,在+8)上,f(x)0,/(%)单 调 递 减,故 8 正 确,f(x)的 极 大 值 为/(e)=詈=$故 C 正 确；方 程/(%)=等=-1 的 解 的 个 数，即 为 mX=-X 的 解 的 个 数,即 为 函 数 y=仇 x与 y=-%图 象 交 点 的 个 数，作 出 函 数 y=/nx与.y=x图 象 如 图 所 示：由 图 象 可 知 方 程/(%)=-1 只 有 一 个 解，故。错 误.故 选：A B C.对/(X)求 导，结 合 导 数 的 几 何 意 义 可 得 切 线 的 斜 率，再 用 两 点 式 写 出 切 线 方 程，可 判 断 选 项 人 利 用 导 数 分 析 函 数/(x)的 单 调 性，极 值 可 判 断 选 项 8、C；将 方 程 的 解 个 数 转 化 为 两 个 函 数 图 象 交 点 个 数，数 形 结 合 即 可 判 断 选 项。.本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值，考 查 学 生 的 运 算 能 力，属 于 中 档 题.11.【答 案】AC【解 析】解：双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 为 y=土 fx,即 x y3y=0,A AOB=p 乙 APB=与 故 4 正 确；v PA.PB分 别 与 两 条 渐 近 线 垂 直，.攵 1七=(V5)x V3=3,故 B 错 误；设 P(%o,y。)，则 段 羽=1,即 诏 3光=3,7n=吟 包 山 九 二 虹 叁 虬 2 2.7nn=重 誓=故 c 正 确;AB2=m2+n2-2mncos=m2+n2+mn 3mn=1 1 3 4当 且 仅 当 m=n时 等 号 成 立，二|4B|I，故。错 误.故 选：AC.由 双 曲 线 的 渐 近 线 方 程 可 得 乙 4OB,即 可 求 得 乙 APB判 断 4 由 直 线 垂 直 与 斜 率 的 关 系 求 解 自 心 的 值 判 断&由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 结 合 P在 双 曲 线 上 判 断 C；由 余 弦 定 理 及 基 本 不 等 式 判 断 D.本 题 考 查 双 曲 线 的 几 何 性 质，考 查 点 到 直 线 距 离 公 式 的 应 用，考 查 数 形 结 合 思 想 及 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.12.【答 案】AD【解 析】解：对 于 4：当。=1 时，AB=BC=AC=2正,SA4FC=y x(2/2)2,设 正 三 棱 锥 P-A B C 的 高 为 九，根 据 SAABC h=SA4P B-PC,解 得 九=等，故 A 正 确;对 于 B；当 当 正 三 棱 锥 P-4 B C 的 体 积 取 最 大 值 时，则 有。=与，故 8 错 误；第 12页，共 20页对 于 C：当。屋 时，过 点 4作 平 面 a分 别 交 线 段 PB,PC于 点 E,F（E,尸 不 重 合），则 AAEF周 长 的 最 小 值 为 展 开 图 的 直 线 距 离 2&，故 C 错 误；对 于 D：在 4 4PB 中 根 据 余 弦 定 理 得 AB?=A P2+B P2 _ 2AP.PBcosd=8-8cos9,所 以 SAABC=曰 x AB2=2V3（1-cosd）,；S=S-8c+3S-PB=4sin（0-勺+2次，。一 年（一 巳 勺，由 正 弦 函 数 图 象 知 o o o Zsin（。一？）单 调 递 增，故。正 确；O故 选：AD.根 据 空 间 向 何 体 的 性 质，结 合 各 选 项 条 件 计 算 可 判 断 每 个 选 项 的 正 确 性.本 题 考 查 空 间 几 何 体 的 性 质，以 及 运 算 求 解 能 力，属 中 档 题.13.【答 案】V2【解 析】解：|五|=1,|2五+3|=同，（2 a+b）2=4 a2+4 a-b+b2=10代 入 数 据 可 得 4 x 1+4x 1 x|K|X y+|K|2=10.化 简 可 得|B|2+2或-6=0，解 得|方|=夜，或-3或（负 数 舍 去），故 答 案 为：V2.把 已 知 式 子 平 方，结 合 数 量 积 的 定 义 可 得 关 于|司 的 一 元 二 次 方 程，解 方 程 可 得.本 题 考 查 向 量 模 长 的 求 解，涉 及 数 量 积 和 向 量 的 夹 角，属 于 基 础 题.14.【答 案】_（,【解 析】解：y=（x在 R上 单 调 递 增，函 数 值 域（一 8,0）.故 答 案 为：（一 由 已 知 结 合 指 数 函 数 的 性 质 可 求.本 题 主 要 考 查 了 指 数 函 数 性 质 的 应 用，属 于 基 础 题.15.【答 案】-6【解 析】解：当。4=。时，.57=7x(a：+ai)_ 7a4=0,5S=5a3=5,Q3=-1,d=a4 a3=1,%=Q3 2d=3,=-3+(n-1)=n-4,令 0n 0得，n 4,*Sn的 最 小 值 为 S4=4al+x d=-6,当。4=一 5时，S7=笔 3=7a4=一 35,不 符 合 题 意，综 上 所 述，S”的 最 小 值 为 6,故 答 案 为：6.对。4的 值 进 行 分 类 讨 论，结 合 等 差 数 列 前 n项 和 最 值 的 求 法 得 到 Sn的 最 小 值.本 题 主 要 考 查 了 等 差 数 列 的 通 项 公 式 和 前 n项 和 公 式，属 于 中 档 题.16.【答 案】【解 析】解：因 为/的 最 小 正 周 期 为 2兀，所 以 2 m=2 兀，r=l；因 为 A=2,所 以/(x)的 最 大 值 是 2,最 小 值 是-2,所 以 切 口 的 最 高 点 和 最 低 点 的 坚 直 方 向 的 距 离 为 4,所 以 tcmJ=；=；，&是 锐 角，4 2所 以 sin。=.5故 答 案 为：1；最 小 正 周 期 就 是 圆 柱 体 横 截 面 的 周 长，由 此 可 得 3,由 4=2可 知 切 口 最 高 与 最 低 相 差 4,由 此 可 计 算 出 sin。.本 题 考 查 了 正 弦 函 数 图 象 的 应 用，属 于 中 档 题.17.【答 案】解：(1)在 一 571=2 4-/一 1中，当 n=l时，瓦%=0,第 14页，共 20页当 九 2时，bn-an=(Tn-S Q-(7;_1-S x)=2九 一】一(2九-1),显 然 瓦-%=。适 合 上 式，所 以 b ctn=2n-1(2n l),zi G N*9又 0n+hn=2nt+(2n-1),所 以 a九=2n l,bn=2n-1,所 以 Qi=1,瓦=1；(2)因 为 cn=册,也 为 奇 数,n为 偶 数 结 合(1)中 所 求,2 7 1-1,九 为 奇 数 2吁 1,九 为 偶 数 故 Pan=Cl+C2+C3+c2n=%+&+。3+力 4+2n-l+b2n=(1+。3+。5+a2n-l)+&4+6+%2n)_ n(l+4n-3)2 2(15)1-42n2_n+lx 22 n+l_|.【解 析】(1)根 据%-Sn=2n-n2-1,构 造 为-an=(Tn-Sn)-(T-Sn_=2n-i-(2 n-l),结 合 另 一 个 条 件 解 方 程 组 可 得 a“，bn,从 而 可 计 算 a 打；(2)求 出 的 通 项 公 式，利 用 等 差 数 列 和 等 比 数 列 的 求 和 公 式 分 组 求 和 即 可.本 题 考 查 了 数 列 的 递 推 式 以 及 分 组 求 和，属 于 中 档 题.18.【答 案】解：(1)由 正 态 分 布 的 对 称 性 可 知，P(2.5 x 3.5)=P(0.5 x 1.5)=P(x 1.5)-P(x 0.5)=0.26-0.04=0.22.(2)随 机 变 量 Z的 所 有 可 能 取 值 为 0,1,2,3,1 1C3C C3C 1 1P(Z=0)=磅=加 p(z=D=m=发 P(Z=2)=*=畀 P(Z=3)=磅=加 Z的 分 布 列 为:Z 0 1 2 3P1209209201201 9 9 1.E(Z)=0 x-+l x-+2x-+3 x-=1.5.设 水 库 中 共 有 N条 鱼，根 据 题 意 有 5=等,贝 IJN=詈 x 94=47000(条)所 以 估 计 水 库 中 有 47000条 鱼,由(1)可 知 P(2.5 x 3.5)=0.22,则 体 重 在 2.5,3.5 内 的 鱼 应 捕 捞 47000 x 0.22 X 0.4=4136(条).【解 析】(1)根 据 正 态 分 布 曲 线 的 对 称 性 有 P(2.5 x 3.5)=P(0.5 x 1.5)=P(x 1.5)-P(x/2sinC，所 以 SM B C=.2V2sinA-2y/2sinC-sinB=4sinAsinBsinC=4 x X y=Y;(口)假 设；+：=1 能 成 立，所 以 Q+C=QC,由 余 弦 定 理，得 匕？=小+-2 QCCOSB,所 以 6=a2+c2+ac,所 以(a+c)2 ac=6,故(ac)?ac 6=0,解 得 ac=3或 ac=-2(舍)，止 匕 时 Q+c=QC=3,不 满 足 Q 4-c 2Vac,所 以 假 设 不 成 立，故 工+工=1 不 成 立.a c【解 析】本 题 考 查 了 解 三 角 形 的 综 合 应 用，主 要 考 查 了 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用，解 三 角 形 的 基 本 策 略 是：一 是 利 用 正 弦 定 理 实 现“边 化 角”，二 是 利 用 余 弦 定 理 实 现“角 化 边”，属 于 中 档 题.(I)利 用 三 角 形 内 角 和 定 理，可 得 A+C=g 利 用 cosQ4+C)求 出 sin力 sinC=g 由 正 3 O弦 定 理 得 到 a和 c的 值，然 后 利 用 面 积 公 式 求 解 即 可；第 16页，共 20页(n)利 用 反 证 法，假 设 5+:=1 能 成 立，然 后 利 用 余 弦 定 理 得 到 ac=3,与 基 本 不 等 式 矛 盾，即 可 证 明.20.【答 案】证 明：因 为 P48是 等 边 三 角 形，/.PAC=乙 PBC=90,所 以 Rt APBCRt A P A C,可 得=BC.如 图，取 A B 中 点 D,连 接 PD,CD,则 PDJLAB,CD 1AB,PD CCD=D,PD,CD u 平 面 PDC,所 以 4B _L平 面 P O C,又 PC u 平 面 POC,所 以 4B 1 PC.(2)解：作 BE 1 P C,垂 足 为 E,连 接 AE.因 为 Rt APBCwRt APAC,所 以 4E 1 PC,AE=BE.A E d B E=E,AE,BE u 平 面 A B E,所 以 PC 1 平 面 AEB,由 已 知，平 面 PAC _L平 面 P B C,故 乙 4EB=90。.在 Rt ABE,AAEB=90,AE=BE,AE2=AB2-BE2.ERt A PBE中，PE2=PB2-BE2,AB=PB,：.PE=4E=BE.在 Rt PBC中，BE=PC=3.1 9SM EB=V P C，平 面 4EB,.三 棱 锥 P-ABC 体 积/_48C=i x|x 6=9.【解 析】(1)取 A8中 点 D，连 接 PD,C D,证 明 A B，平 面 P C C,得 线 线 垂 直；(2)作 BE 1 PC,垂 足 为 E,连 接 4E.得 证 PC 1平 面 4EB,利 用 全 等 三 角 形 的 性 质 得 E是 PC中 点，求 得 各 线 段 长 后，由 体 积 公 式 计 算 体 积.本 题 主 要 考 查 空 间 中 的 垂 直 关 系，锥 体 体 积 的 计 算 等 知 识，属 于 中 等 题.21.【答 案】解：因 为 函 数 f(x)的 定 义 域 为(2,+8),所 以 1(x)=。靖-圭，因 为/(%)在 x=0处 取 得 极 值，所 以 尸(0)=a 3=0,即 a=.所 以/(%)=：1 一 击，所 以 广。)是 单 调 递 增 函 数，且 尸(0)=0,所 以 当 W(-2,0)时,/(%)0,/(%)单 调 递 增；故/(%)的 单 调 递 减 区 间 为(一 2,0),单 调 递 增 区 间 为(0,+8).(2)若 f(%)0恒 成 立,即 f(%)=aex-ln(x+2)+Ina-2 0恒 成 立,整 理 得：/+加。+%+Ina ln(x+2)+x+2,即 e#+ina+%+in a n(x+2)+?皿%+2),设 函 数 九(%)=e+%,则 上 式 为：h(x+Ina)h(ln(x+2),因 为 航%)=+1 0 恒 成 立,所 以 九(%)单 调 递 增,所 以%4-Ina ln(x+2),即 271a ln(x+2)%,令 m(x)=ln(x+2)x,x E(2,4-co),则 M(x)=会 一 x+1x+29当 欠(-2,-1)时，0；当 6(1,+8)时，m(x)1,即 a e.故 当 Q G e,+8)时,f(x)0恒 成 立.选 择 若 f(x)仅 有 两 个 零 点，即 ae*ln(x+2)+Ina 2=0 有 两 个 根,整 理 得 ex+na+x+Ina=ln(x+2)+x+2,即 e%+ina+%+in a=jn(x+2)+ein(%+2),设 函 数 九(%)=ex+x,则 上 式 为：/i(x+Ina)=h(ln(x+2),因 为(%)=峭+1 0恒 成 立，所 以 h(Q单 调 递 增,所 以+Ina=ln(x 4-2),即)Q=ln(x+2)-x,令?n(x)=ln(x+2)%,x E(2,+8),贝=-1=-x+lx+21当 6(2,1)时，mXx)0；当 x e(-1,+8)时，0；所 以 TH(X)在=-1处 取 得 极 大 值,血(%)的 最 大 值 为 巾(-1)=1，第 18页，共 20页要 想 2na=ln(x+2)x有 两 个 根，只 需 要，na 1,即 0 a 4=AB,由 椭 圆 的 定 义 可 知，点 Q 的 轨 迹 是 以 4、B 为 焦 点 的 椭 圆，且 2a=6,2c=4,Q 3,c 2,二 点 Q 的 轨 迹 方 程 为 9+9=L证 明：(2)设 N(&,y2)，直 线 M N 的 方 程 为=m y+n(m H 0,n H 0),x=my+n,x2,y2，得(5/71?+9)y2+lOmny+5n2-45=0,T+T=1则 4=180(5m2-n2+9)0,由 根 与 系 数 的 关 系 得%+y?=-霜，%丫 2=磊,由 知&(一 3,0),A2(3,0),设 T(&，yo)，由 7,S,占 三 点 共 线 得 肃 由 T,N,42三 点 共 线 得 等=言？则：2XQ _ q+3,x0-3=+_ xx-3+X2-3VI 力 _ m y i+n-3 my2+n.-3=2m+(n-3)(；+)J l 72=2m+(n-3)=2 m-(n-3)黑 _ 6 m-n+3,所 以 o r的 斜 率 k=之=黑,则 直 线 OT的 方 程 为 y=答 尤.联 立 直 线 o r与 直 线 MN的 方 程,_ n+3y=l X,解 得=-3,所 以 R在 定 直 线 I：x=-3,x=my+n使 得 RBE的 面 积 为 定 值 的 点 E-定 为 过 点 B且 与 直 线 平 行 的 直 线 与 椭 圆 C的 交 点，此 时 E的 坐 标 为(2,$或(2,-|)小 RBE的 面 积“诋=；X|X 5=.3 3 L 5 b【解 析】(1)根 据 直 线 BP的 垂 直 平 分 线 交 直 线 4P于 点 Q，得 到|BQ|=PQ,再 由 MQ|+BQ=AQ+PQ=6,利 用 椭 圆 的 定 义 求 解：(2)设 M(Xi，y D，W(x2,y2),直 线 MN的 方 程 为=my+n(m彳 0,n片 0),与 椭 圆 方 程 联 立，设 分 别 由 T，S,4 和 T,N,&三 点 共 线，结 合 韦 达 定 理，得 到 管=捐 进 而 得 到 直 线 07的 方 程 为 y=答 x.联 立 直 线 0T与 直 线 MN的 方 程，得 到 R在 定 直 线 八 x=-3上 求 解.本 题 考 查 轨 迹 方 程，考 查 学 生 的 运 算 能 力，属 于 中 档 题.第 2 0页，共 2 0页