2022年福建中考数学真题试题（含答案+解析）.pdf

数 学 试 题 一、选 择 题：本 题 共 10小 题，每 小 题 4分，共 40分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 要 求 的.1.一 11的 相 反 数 是（）D.1 1【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 只 有 符 号 不 同 的 两 个 数 互 为 相 反 数 进 行 解 答 即 可 得.【详 解】解：一 11的 相 反 数 是 1 1故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 了 相 反 数 的 定 义，掌 握 相 反 数 的 定 义 是 解 题 的 关 键.2.如 图 所 示 的 圆 柱，其 俯 视 图 是（）主 视 方 向【解 析】【分 析】圆 柱 体 的 顶 部 是 一 圆，圆 柱 体 的 俯 视 图 应 为 一 个 圆.【详 解】圆 柱 体 的 顶 部 是 一 个 圆，圆 柱 体 的 俯 视 图 应 为 一 个 圆A 选 项 是 一 个 圆，是 圆 柱 体 的 俯 视 图 B选 项 是 长 方 形，不 符 合 题 意 C 选 项 是 长 方 形，不 符 合 题 意 D选 项 不 是 圆，不 符 合 题 意 故 选：A.【点 睛】本 题 考 查 几 何 体 的 三 视 图，从 不 同 的 方 向 抽 象 出 几 何 体 的 形 状 是 解 决 问 题 的 关 键.3.5G应 用 在 福 建 省 全 面 铺 开，助 力 千 行 百 业 迎“智”变，截 止 2021年 底，全 省 5G终 端 用 户 达 1397.6万 户,数 据 13 976 000用 科 学 记 数 法 表 示 为（）A.13976xlO3 B.1397.6xl（）4 C.1.3976xlO7 D.O.13976xlO8【答 案】C【解 析】【分 析】在 科 学 记 数 法 中，一 个 数 被 写 成 一 个 1与 10之 间 的 实 数（尾 数）与 一 个 10的 寨 的 积.【详 解】在 科 学 记 数 法 中，一 个 数 被 写 成 一 个 1与 10之 间 的 实 数（尾 数）与 一 个 10的 哥 的 积 A 选 项 13976不 是 一 个 1与 10之 间 的 实 数 B选 项 1397.6不 是 一 个 1与 10之 间 的 实 数 C 选 项 1.3976是 一 个 1与 10之 间 的 实 数，且 10的 事 为 7,与 题 意 相 符 合 D选 项 0.13976不 是 一 个 1与 10之 间 的 实 数.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 科 学 计 数 法，解 题 的 关 键 是 理 解 和 掌 握 科 学 计 数 法 的 相 关 知 识.4.美 术 老 师 布 置 同 学 们 设 计 窗 花，下 列 作 品 为 轴 对 称 图 形 的 是（）【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 如 果 一 个 图 形 沿 一 条 直 线 折 叠，直 线 两 旁 的 部 分 能 够 互 相 重 合，这 个 图 形 叫 做 轴 对 称 图 形,这 条 直 线 叫 做 对 称 轴 进 行 分 析 即 可.【详 解】解：A、是 轴 对 称 图 形，故 此 选 项 符 合 题 意;B、不 是 轴 对 称 图 形，故 此 选 项 不 合 题 意；C、不 是 轴 对 称 图 形，故 此 选 项 不 合 题 意；D、不 是 轴 对 称 图 形，故 此 选 项 不 合 题 意；故 选：A.【点 睛】此 题 主 要 考 查 了 轴 对 称 图 形，关 键 是 掌 握 轴 对 称 图 形 的 定 义.5.如 图，数 轴 上 的 点 P 表 示 下 列 四 个 无 理 数 中 的 一 个，这 个 无 理 数 是（）PI I 1 T l 1 1.-1 0 1 2 3 4 5A-V 2 B.V2 C.y/5 D.n【答 案】B【解 析】【分 析】先 根 据 数 轴 确 定 点 尸 对 应 的 数 的 大 小，再 结 合 选 项 进 行 判 断 即 可.【详 解】解：由 数 轴 可 得，点 P 对 应 数 在 1与 2 之 间，A.2-A/2 故 本 选 项 不 符 合 题 意；B.1 V 2 2.故 此 选 项 符 合 题 意；C.2 班 3,故 本 选 项 不 符 合 题 意；D.3 乃 06.不 等 式 组、八 的 解 集 是（）x-3 1 B.l x 3 C.l x 3 D.x l,由 X-3 W 0,得：x 3,则 不 等 式 组 解 集 为 1-F,F2 F3 F4 F,F6 F7 FH F9 F1 O 地 区 综 合 指 数 越 小，表 示 环 境 空 气 质 量 越 好.依 据 综 合 指 数，从 图 中 可 知 环 境 空 气 质 量 最 好 的 地 区 是（）A.F B.F6 C.F：D.Fl（l【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 折 线 统 计 图，观 察 图 中 的 各 个 数 据，根 据 数 据 信 息 逐 项 判 定 即 可.【详 解】解：结 合 题 意，综 合 指 数 越 小，表 示 环 境 空 气 质 量 越 好，根 据 福 建 省 10个 地 区 环 境 空 气 质 量 综 合 指 数 统 计 图 可 直 观 看 到 小 的 综 合 指 数 最 小，从 而 可 知 环 境 空 气 质 量 最 好 的 地 区 就 是“，故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 折 线 统 计 图，根 据 图 中 所 呈 现 的 数 据 信 息 得 出 结 论 是 解 决 问 题 的 关 键.9.如 图 所 示 的 衣 架 可 以 近 似 看 成 一 个 等 腰 三 角 形 4 8 C,其 中 NABC=27。，8 C=4 4 cm,则 高 4 D约 为（）（参 考 数 据：sin 27。0.45,cos 27 0.89,tan 27 0.51）A.9.90cm B.11.22cm C.19.58cm D.22.44cm【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 及 8 c=4 4 c m,可 得。C=，8C=2 2 c m,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 及 2ZABC=2 7,可 得 N 4C 6=/A B C=2 7,在 中，由 AD=tan270*C。，求 得“。的 长 度.【详 解】解：.等 腰 三 角 形 N8C,AB=AC,为 8 c 边 上 的 高，/.D C-B C,2VBC=44cm,DC=BC=22 cm.2.等 腰 三 角 形/8 C,AB=AC,ZABC=Z1。,：.ZAC B=ZA BC=Z 1.为 8 c 边 上 的 高，NACB=27。，.在 R/AAOC 中，AD=tan 27 x C D,tan 27 0.5 1.DC=22 cm,AD 0.51x22=11.22 cm.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 了 等 腰 三 角 形 的 性 质 以 及 锐 角 三 角 函 数 的 定 义，熟 练 掌 握 正 切 的 定 义 是 解 题 的 关 键.1 0.如 图，现 有 一 把 直 尺 和 一 块 三 角 尺，其 中 NABC=90,N C 46=60,4 B=8,点 力 对 应 直 尺 的 刻 度 为 12.将 该 三 角 尺 沿 着 直 尺 边 缘 平 移，使 得/S C 移 动 到 V A B C,点 A 对 应 直 尺 的 刻 度 为 0,则 四 边 形 A C C W的 面 积 是（）A.96 B.9 6 K C.192 D.16073【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 直 尺 与 三 角 尺 的 夹 角 为 60。，根 据 四 边 形 A C C A 的 面 积 为 A4-ACsin600=2ABsin600-A4,即 可 求 解.【详 解】解：依 题 意 A C C 4 为 平 行 四 边 形，V ZABC9Q0,N C 4 B=60,/8=8,AA=12.A C-2 A B：.平 行 四 边 形 AC C A的 面 积=A4 A C sin 60=2ABsin 600-A4,=2x8xl2x=96 百 2故 选 B【点 睛】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形，平 移 的 性 质，掌 握 平 移 的 性 质 是 解 题 的 关 键.二、填 空 题：本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，共 24分.11.四 边 形 的 外 角 和 等 于.【答 案】360。.【解 析】【详 解】解：n(n3)边 形 的 外 角 和 都 等 于 360。.12.如 图，在 43C中，D,E 分 别 是 Z3,Z C 的 中 点.若 8c=1 2,则。的 长 为.【答 案】6【解 析】【分 析】利 用 中 位 线 的 性 质 计 算 即 可.【详 解】,：D,E 分 别 是 N C 的 中 点，.DE是 口/B C 的 中 位 线，又 8 c=12,DE=-B C=6,2故 答 案 为：6.【点 睛】本 题 考 查 了 三 角 形 中 位 线 的 性 质，中 位 线 平 行 且 等 于 第 三 边 的 一 半，熟 记 中 位 线 的 性 质 是 解 题 的 关 键.13.一 个 不 透 明 的 袋 中 装 有 3 个 红 球 和 2 个 白 球，这 些 球 除 颜 色 外 无 其 他 差 别.现 随 机 从 袋 中 摸 出 一 个 球,这 个 球 是 红 球 的 概 率 是.3【答 案】-【解 析】【分 析】先 求 出 总 的 所 有 可 能 结 果 数 及 摸 出 的 球 是 红 球 的 所 有 可 能 数，再 根 据 概 率 公 式 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：根 据 题 意 可 得：不 透 明 的 袋 子 里 装 有 将 5 个 球，其 中 3 个 红 色 的，3任 意 摸 出 1个，摸 到 红 球 的 概 率 是 g.3故 答 案 为：.【点 睛】此 题 考 查 了 概 率 公 式，用 到 的 知 识 点 为：概 率=所 求 情 况 数 与 总 情 况 数 之 比.k14.已 知 反 比 例 函 数 丁=一 的 图 象 分 别 位 于 第 二、第 四 象 限，则 实 数 4 的 值 可 以 是.（只 需 写 出 一 个 x符 合 条 件 的 实 数）【答 案】-5（答 案 不 唯 一）【解 析】【分 析】根 据 反 比 例 函 数 的 图 象 分 别 位 于 第 二、四 象 限 可 知 0,进 而 问 题 可 求 解.k【详 解】解：由 反 比 例 函 数=一 的 图 象 分 别 位 于 第 二、第 四 象 限 可 知 左 0,X实 数 上 的 值 可 以 是-5；故 答 案 为-5（答 案 不 唯 一）.【点 睛】本 题 主 要 考 查 反 比 例 函 数 的 图 象，熟 练 掌 握 反 比 例 函 数 的 图 象 是 解 题 的 关 键.15.推 理 是 数 学 的 基 本 思 维 方 式、若 推 理 过 程 不 严 谨，则 推 理 结 果 可 能 产 生 错 误.例 如，有 人 声 称 可 以 证 明“任 意 一 个 实 数 都 等 于 0，并 证 明 如 下：设 任 意 一 个 实 数 为 X,令 X=m,等 式 两 边 都 乘 以 x,得 炉=皿.等 式 两 边 都 减/W x2 m2=mx-rrT 等 式 两 边 分 别 分 解 因 式，得(x+7)(x)=/(一 机).等 式 两 边 都 除 以 得 x+m=w.等 式 两 边 都 减 机，得 x=0.所 以 任 意 一 个 实 数 都 等 于 0.以 上 推 理 过 程 中，开 始 出 现 错 误 的 那 一 步 对 应 的 序 号 是.【答 案】【解 析】【分 析】根 据 等 式 的 性 质 2 即 可 得 到 结 论.【详 解】等 式 的 性 质 2为：等 式 两 边 同 乘 或 除 以 同 一 个 不 为。的 整 式，等 式 不 变，第 步 等 式 两 边 都 除 以 x-机，得 x+相=相，前 提 必 须 为 x根。0,因 此 错 误；故 答 案 为：.【点 睛】本 题 考 查 等 式 的 性 质，熟 知 等 式 的 性 质 是 解 题 的 关 键.16.已 知 抛 物 线 y=x?+2*-与 x轴 交 于 Z,B 两 点，抛 物 线 y=d-2x-与 x轴 交 于 C,。两 点，其 中 0,若 A D=2 B C,则 的 值 为.【答 案】8【解 析】【分 析】先 求 出 抛 物 线 y=x2+2x 与 x轴 的 交 点，抛 物 线 y=/2x 与 x轴 的 交 点，然 后 根 据 A D=2 B C,得 出 A 2=4 B C 2,列 出 关 于“的 方 程，解 方 程 即 可。【详 解】解：把 尸。代 入 y=f+2x-得：x2+2x-n=0&ZJ4H-2 J4+4 n-2+.4+4 r解 得：x.=-=-l-Vl+n x,=-=-l+Vl+n 2 2:f 巴 y=0 代 入 y=X?2尤 一 得：X2 2x=0，kji/a 2 一 J4+4 r 2+J4+4 r解 得：X,-=l-+X.-=l+Jl+，2 2,A D=2BC,A D2=4BC2，,(王 一 九 4)2=4(马 一 七)2,即(-1-Jl+-1-J1+/1)=4(-1+J1+-1+Jl+卜 1-5/1+)=4(-1+Jl+),令 Jl+=m，贝 1J(1=4(1 z),解 得：町=1，m2=3,1-3+-当 时 8-9n=-得 解 n X),Q不 符 合 题 意 舍 去；当 加 2=3 时，+=3 解 得：=8,V80,=8符 合 题 意；综 上 分 析 可 知，的 值 为 8.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 抛 物 线 与 x轴 的 交 点 问 题，根 据 题 意 用 表 示 出=4802,列 出 关 于 的 方 程 是 解 题 的 关 键.三、解 答 题：本 题 共 9小 题，共 86分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.17.计 算：V4+|A-1|-2 0 2 2.【答 案】&【解 析】分 析】分 别 化 简、|百-1|、2022.再 进 行 加 减 运 算 即 可.【详 解】解：原 式=2+6 1 1=6.【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 根 式 的 化 简，绝 对 值 的 化 简，零 指 数 次 幕 以 及 二 次 根 式 的 加 减 运 算，正 确 进 行 化 简 运 算 是 解 题 的 关 键.18.如 图，点 8,F,C,E 在 同 一 条 直 线 上，BF=EC,AB=DE,N B=N E.求 证：N4=ND.E.AL-【答 案】见 解 析【解 析】【分 析】根 据 全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质 即 可 得 到 结 论.【详 解】证 明：8b=EC,/.B F+C F=E C+C F,即 BC=EF.在 Z8C和。底/中，A B=D E Z S=NE,B C=EF，A B C g A D E F,：.N4=ND.【点 睛】本 题 考 查 了 全 等 三 角 形 的 判 定 与 性 质、证 明 三 角 形 全 等 是 解 题 的 关 键.1 9.先 化 简，再 求 值：十 丝，其 中。=及+1.a）aL 口 J，-a-2【解 析】【分 析】根 据 分 式 的 混 合 运 算 法 则 化 简，再 将。的 值 代 入 化 简 之 后 的 式 子 即 可 求 出 答 案.【详 解】解：原 式=2 l a+l）（a T）a a-。-+-1-a-1al当。=血+1时，原 式=工 一=.夜+1-1 2【点 睛】本 题 考 查 了 分 式 的 化 简 求 值，熟 练 掌 握 运 算 法 则 是 解 题 的 关 键.2 0.学 校 开 展 以“劳 动 创 造 美 好 生 活”为 主 题 的 系 列 活 动，同 学 们 积 极 参 与 主 题 活 动 的 规 划、实 施、组 织 和管 理，组 成 调 查 组、采 购 组、规 划 组 等 多 个 研 究 小 组.调 查 组 设 计 了 一 份 问 卷，并 实 施 两 次 调 查.活 动 前，调 查 组 随 机 抽 取 50名 同 学，调 查 他 们 一 周 的 课 外 劳 动 时 间/（单 位：h）,并 分 组 整 理，制 成 如 下 条 形 统 计 图.活 动 结 束 一 个 月 后，调 查 组 再 次 随 机 抽 取 50名 同 学，调 查 他 们 一 周 的 课 外 劳 动 时 间 K 单 位:h）,按 同 样 的 分 组 方 法 制 成 如 下 扇 形 统 计 图，其 中/组 为 0 Wr 1,8 组 为 1W，2,C 组 为 2 W f 3,。组 为 3Wf4,E 组 为 4 W f 5,尸 组 为 125.A 组 B组 C 组 D组 工 组 F组 组 别（1）判 断 活 动 前、后 两 次 调 查 数 据 的 中 位 数 分 别 落 在 哪 一 组;（2）该 校 共 有 2000名 学 生，请 根 据 活 动 后 的 调 查 结 果，估 计 该 校 学 生 一 周 的 课 外 劳 动 时 间 不 小 于 3h的 人 数.【答 案】（1）活 动 前 调 查 数 据 的 中 位 数 落 在 C 组；活 动 后 调 查 数 据 的 中 位 数 落 在。组（2）1400 A【解 析】【分 析】（1）根 据 中 位 数 的 定 义 求 解 即 可;（2）该 校 学 生 一 周 的 课 外 劳 动 时 间 不 小 于 3h为。、E、尸 组，用 该 校 总 人 数 乘 以 所 占 百 分 比 即 可.【小 问 1详 解】活 动 前，一 共 调 查 了 50名 同 学，中 位 数 是 第 25和 26个 数 据 的 平 均 数,活 动 前 调 查 数 据 的 中 位 数 落 在 C 组;活 动 后，A,B、C 三 组 的 人 数 为 50 x（6%+8%+16%）=15（名）,。组 人 数 为：50 x30%=15（名），15+15=30（名）活 动 后 一 共 调 查 了 50名 同 学，中 位 数 是 第 25和 26个 数 据 的 平 均 数，.活 动 后 调 查 数 据 的 中 位 数 落 在。组；【小 问 2 详 解】一 周 的 课 外 劳 动 时 间 不 小 于 3h的 比 例 为 30%+24%+16%=70%,2000 x 70%=1400（人）；答：根 据 活 动 后 的 调 查 结 果，估 计 该 校 学 生 一 周 的 课 外 劳 动 时 间 不 小 于 3h的 人 数 为 1400人.【点 睛】本 题 考 查 了 条 形 统 计 图 和 扇 形 统 计 图，用 样 本 估 计 总 体，中 位 数 的 定 义 等，解 题 的 关 键 是 理 解 题意，从 图 中 找 到 解 题 的 信 息.2 1.如 图，/B C 内 接 于。O,A D B C交。于 点。，交 8 c 于 点 E,交。于 点 F,连 接 AF,CF.（1）求 证：A C AF；（2）若。的 半 径 为 3,NC4F=30,求 A C 的 长（结 果 保 留 兀）.57r【答 案】（1）见 解 析（2）彳 2【解 析】【分 析】（1）先 证 明 四 边 形 是 平 行 四 边 形，得 乙 8=/。口 口 口 口/4尸 C=N A C F即 可 得 到 结 论；（2）连 接 0 4 OC,根 据 等 腰 三 角 形 的 性 质 求 出 N A FC=7 5,由 圆 周 角 定 理 可 得 NAEC=150,最 后 由 弧 长 公 式 可 求 出 结 论.【小 问 1详 解】V A D/B C,D F/A B，：.四 边 形 ABED是 平 行 四 边 形，N B=N D.又 NAFC=NB,Z A C F=Z D,：.ZAFC ZAC F,：.AC=AF.【小 问 2 详 解】连 接/。，CO.由（1）Z A F C Z A C F,又；/。/尸=30,ZAFC=180。/0。=75,/.ZAOC=2ZAFC=150.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 平 行 四 边 形 的 判 定 与 性 质，圆 周 角 定 理、等 腰 三 角 形 的 性 质、弧 长 公 式 等 知 识，熟 练 掌 握 相 关 知 识 是 解 答 本 题 的 关 键.2 2.在 学 校 开 展“劳 动 创 造 美 好 生 活”主 题 系 列 活 动 中，八 年 级（1）班 负 责 校 园 某 绿 化 角 的 设 计、种 植 与 养 护.同 学 们 约 定 每 人 养 护 一 盆 绿 植，计 划 购 买 绿 萝 和 吊 兰 两 种 绿 植 共 46盆，且 绿 萝 盆 数 不 少 于 吊 兰 盆 数 的 2倍.已 知 绿 萝 每 盆 9元，吊 兰 每 盆 6元.（1）采 购 组 计 划 将 预 算 经 费 390元 全 部 用 于 购 买 绿 萝 和 吊 兰，问 可 购 买 绿 萝 和 吊 兰 各 多 少 盆？（2）规 划 组 认 为 有 比 390元 更 省 钱 的 购 买 方 案，请 求 出 购 买 两 种 绿 植 总 费 用 的 最 小 值.【答 案】（1）购 买 绿 萝 38盆，吊 兰 8 盆（2）369元【解 析】【分 析】（1）设 购 买 绿 萝 x 盆，购 买 吊 兰 y 盆，根 据 题 意 建 立 方 程 组 八“八，解 方 程 组 即 可 得 到 9x+6y=390答 案;（2）设 购 买 绿 萝 X盆，购 买 吊 兰 y 盆，总 费 用 为 Z,得 到 关 于 Z的 一 次 函 数 z=-3 y+4 1 4,再 建 立 关 于 y的 不 等 式 组，解 出 y 的 取 值 范 围，从 而 求 得 z 的 最 小 值.【小 问 1详 解】设 购 买 绿 萝 X 盆，购 买 吊 兰 y 盆 计 划 购 买 绿 萝 和 吊 兰 两 种 绿 植 共 46盆 x+y=46.采 购 组 计 划 将 预 算 经 费 390元 全 部 用 于 购 买 绿 萝 和 吊 兰，绿 萝 每 盆 9 元，吊 兰 每 盆 6 元/.9x+6y=390得 方 程 组 2x8U符 合 题 意.购 买 绿 萝 38盆，吊 兰 8 盆;【小 问 2 详 解】设 购 买 绿 萝 x 盆，购 买 吊 兰 吊）盆，总 费 用 为 z：.x+y=46,z=9x+6y：.z=414-3y总 费 用 要 低 于 过 390元，绿 萝 盆 数 不 少 于 吊 兰 盆 数 的 2 倍,414-3 2 y将 x=46-y 代 入 不 等 式 组 得 414-3y3904 6-”2y0,46.8 y 4 3 y 的 最 大 值 为 is：z=-3y+414为 一 次 函 数，随 y 值 增 大 而 减 小 y=15时，z最 小/.x=46 y=31z=9x+6y=369元 故 购 买 两 种 绿 植 最 少 花 费 为 369元.【点 睛】本 题 考 查 二 元 一 次 方 程 组、一 次 函 数、不 等 式 组 的 性 质，解 题 的 关 键 是 数 量 掌 握 二 元 一 次 方 程 组、一 次 函 数、不 等 式 组 的 相 关 知 识.23.如 图，8。是 矩 形/B C D 的 对 角 线.(1)求 作。4 使 得。/与 8。相 切(要 求：尺 规 作 图，不 写 作 法，保 留 作 图 痕 迹)；(2)在(1)条 件 下，设 8。与。/相 切 于 点 E,C F Y B D,垂 足 为 E 若 直 线 6 与。/相 切 于 点 G,求 tanNADB 的 值.【答 案】(1)作 图 见 解 析(2)1!-2【解 析】【分 析】(1)先 过 点/作 8。的 垂 线，进 而 找 出 半 径，即 可 作 出 图 形；(2)根 据 题 意，作 出 图 形，设 NAZ)3=a,。/的 半 径 为 r,先 判 断 出 进 而 得 出 四 边 形 ZEFG是 正 方 形，然 后 在 R/A48E中，根 据 勾 股 定 理 建 立 方 程 求 解 6 E=r t a n a,再 判 定 A B E g a a*,根 A E据 BEuOFurtantz,D E=D F+E F=r tan a+r,在&/中，利 用 tanNAZ)E=-,得 到 D Etan2 a+tana-1=0,求 解 得 到 tanZADB 的 值 为-.2【小 问 1详 解】解：如 图 所 示，。/即 为 所 求 作：【小 问 2 详 解】解：根 据 题 意，作 出 图 形 如 下:D设 NAO6=a,。/的 半 径 为 r,8。与。4 相 切 于 点 E,CF与。1 相 切 于 点 G,：.AEBD,A G 1C G,即/AEF=N/GF=90,JCFLBD,：.ZEFG=90,四 边 形 M G是 矩 形，又 AE AG-r,四 边 形 NEFG是 正 方 形，EF=A E=r，在 RZUEB 和 放 Z X 4 8 中，ZBAE+ZABD=90,ZADB+ZABD 90,NBAE-ZADB-a，BE在 必/BE 中，tan ZBAE=，AEBE=r ta n a,四 边 形 力 8 8 是 矩 形，：.A B/C D,ABCD,.ZABE=ZC D F,又 ZAEB=ZCFD=90,，ABE 四 CDF,/.BE=DF=r tan a,DE-DF+EF=r tan a+r,AE在 用/1中，tanZADE-,即)tana=A E,DE(rta n a+r)tan a=r,即 tat?a+ta n a-1=0，:tan。0,t a n a=M H，即 ta n/O 8 的 值 为 避 二 12 2【点 睛】此 题 是 圆 的 综 合 题，主 要 考 查 了 尺 规 作 图，切 线 的 性 质，全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质，正 方 形 的 判 定 与 性 质，矩 形 的 判 定 与 性 质，勾 股 定 理，锐 角 三 角 函 数，利 用 三 角 函 数 得 出 线 段 长 建 立 方 程 是 解 决 问 题 的 关 键.2 4.已 知 ABC9 DEC,AB=4C,ABBC.B图 I（1）如 图 1,C 3平 分 N Z C Q,求 证：四 边 形 是 菱 形；（2）如 图 2,将（1）中 的 C0E绕 点 C逆 时 针 旋 转（旋 转 角 小 于/8/C）,BC,O E的 延 长 线 相 交 于 点 尸，用 等 式 表 示/（?与/后 尸。之 间 的 数 量 关 系，并 证 明；（3）如 图 3,将（1）中 的 CDE绕 点 C顺 时 针 旋 转（旋 转 角 小 于 N 4 B C）,若 N B A D=N B C D,求 N/DB的 度 数.【答 案】（1）见 解 析（2）Z A C E+Z E F C=180,见 解 析（3）30【解 析】【分 析】（1）先 证 明 四 边 形 A B D C 是 平 行 四 边 形，再 根 据 得 出 结 论；（2）先 证 出 Z A C F=Z C E F,再 根 据 三 角 形 内 角 和 NCE产+NECF+NFC=180,得 到 NACE+N E b+N F C=180,等 量 代 换 即 可 得 到 结 论；（3）在/。上 取 一 点 使 得 连 接 8,证 得 得 至 IZ M B A=Z B D C,设 N B C D=N B A D=a,4 B D C=/3,则 NAD5=c+,得 到 a+j3 的 关 系 即 可.【小 问 1详 解】ABC 经 D E C,DAC=DC,DAB=AC,QUABC=DACB,AB=DC,口 C8 平 分 口/CD,OZACB=ZDCB,OZABC=ZDCB,C A B/C D,四 边 形 Z8Z)C是 平 行 四 边 形，y.：AB=AC,口 四 边 形 Z8OC是 菱 形；【小 问 2详 解】结 论：ZACE+ZFC=180.证 明：匚 A A B C当 AD EC,口 ZABC=NDEC,口 4B=AC,NABC=ZACB,ZACB=NDEC,ZACB+ZACF=/D E C+Z.CEF=180,ZACF=NCEF,NCEF+ZECF+NEFC=180,ZACF+ZECF+ZEFC=180,ZACE+NEEC=180；【小 问 3详 解】在 X。上 取 一 点 M,使 得 Z M=C 8,连 接 口 AB=CD,NBAD=/B C D,ZXABM 空 CDB,BM=BD,NMBA=NBDC,DZADB=ZBM D，OZBMD=ZBAD+ZM BA，ZADB=ZBCD+/B D C,设 NBCD=NBAD=a,NBDC=0,则 ZAD5=a+,口 C4=CD,a Z C A D=ZCDA=a+2j0,NBAC=Z C 4 D-ABAD=2/3,NACB=幺 180。-NBAC)=90。-夕，Z A 8=(90。0+a,Z A C D+Z C A D+Z C D A=180,(90。一 夕)+a+2(a+2/7)=180。，a+=30。,即 口/。8=30。.【点 睛】本 题 考 查 了 菱 形 的 判 定 定 理、全 等 三 角 形 的 判 定 和 性 质、三 角 形 内 角 和 定 理 等，灵 活 运 用 知 识，利 用 数 形 结 合 思 想，做 出 辅 助 线 是 解 题 的 关 键.25.在 平 面 直 角 坐 标 系 中，己 知 抛 物 线 y=ax2+版 经 过/(4,0),B(1,4)两 点.尸 是 抛 物 线 上 一 点，且 在 直 线 N 8 的 上 方.(1)求 抛 物 线 的 解 析 式；(2)若 0/8面 积 是 为 8 面 积 的 2倍，求 点 P 的 坐 标；(3)如 图，OP 交 AB 于 点 C,PD B O 交 4B 于 点、D.记)，/XCPB,ACB。的 面 积 分 别 为 百，S2,S3.判 断 L+/是 否 存 在 最 大 值.若 存 在，求 出 最 大 值；若 不 存 在，请 说 明 理 由.【答 案】(1)y=-x2+-x 存 在，2,或(3,4)9(3)存 在，-8【解 析】【分 析】（1）待 定 系 数 法 求 解 析 式 即 可 求 解;4 16（2）待 定 系 数 法 求 得 直 线 的 解 析 式 为 y=+过 点 尸 作 PMLc 轴，垂 足 为 PM交 4 B于 点、N.过 点 8 作 8EJLPM,垂 足 为 瓦 可 得 S PAB=S.PN B+S PNA 得 PN,设+与 加）。?4）,则 N,刎+号）.由 9=（刎+号 加）一 卜 刎+第=|,解 方 程 求 得 加 的 值，进 而 即 可 求 解；由 已 知 条 件 可 得。S s 0 厂）2P 口 如。进 而 可 得 其+=器+器=/过 点 民 P 分 别 作，轴 的 垂 线，垂 足 分 别 E,P E交 A B 于 点 Q，过。作 X 的 平 行 线，交 P E于 点 G,可 得 AO P G-AO B/,设 尸（根，一 g 根 2+与（1 24）,），一 1+号 则 小,一 刎 野 根 据 黑=黑 可 得 4/7=m2-m+4 根 据 3+3=H+A S=2-，=一-fm-+,根 据 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 的 I S3 BC OC OF 2 2J 8最 大 值.【小 问 1详 解】解：(1)将 Z(4,0),B(1,4)代 入 y u a f+H,16。+4。=0a+h=4解 得 4a=3,1 6b=3所 以 抛 物 线 的 解 析 式 为 y=-1x2+号 x.【小 问 2 详 解】设 直 线 A B的 解 析 式 为 y=+1 攵 H 0）,将”(4,0),B(1,4)代 入 y=+得 4k+t=0k+t-4解 得 16t=I 34 16所 以 直 线 N8的 解 析 式 为 y=x+j.过 点 P 作 尸”Lt轴，垂 足 为 PM交 A B于 点、N.过 点 8 作 垂 足 为 E.所 以=SpNB+S&PNA=!PN X BE+G PN X AM2 2 P N x(BE+AM)=*因 为/(4,0),8(1,4),所 以 SW B=94 X4=8.因 为 0/8的 面 积 是 H8 面 积 的 2倍，所 以 2x?PN=8,P N=-.2 3设+号 机)(1 zn 4),则+-所 以 9=卜 刎、号 9-卜 刎+第 吟 即 一 弓+日，”一 华=5,3 3 3 3解 得 叫=2,加 2=3.所 以 点 尸 的 坐 标 为 或(3,4).【小 问 3详 解】1 P D/BO:A OBCS.PDC.CD PD PC,BC-OB-OC记“），4CPB,C8O的 面 积 分 别 为 S 1,S2,S3.则 卷+去=罢+点=2 S2 S3 BC OC O B如 图，过 点 分 别 作 x轴 的 垂 线，垂 足 分 别 PE交 A B于 点 Q，过。作）的 平 行 线，交 PE于 点、G 8(1,4),.(1,0)：.OF=-.PD/OB,DG/OF:A DPGS Q B FPD PG DGOB BF OF设+号 z)(l/n 4)4 16直 线 AB的 解 析 式 为 y=-x+y.设。U+号），/4 16PG=4 m 2+16 m+4 n-1-6-3 3 3 3DG=m-n4 2(m-4m-n+4)3 _ m-n4 1整 理 得 4n=m2 m+4.CD PC _ PD S2 S j B C OC QB2(/77)J 一 m+4、2 m-I 4 J29-8+5 S S 0:/篦=7 时，+取 得 最 大 值，最 大 值 为 了 2 2 3 8【点 睛】本 题 考 查 了 二 次 函 数 综 合，待 定 系 数 法 求 解 析 式，面 积 问 题，相 似 三 角 形 的 性 质 与 判 定，第 三 问 中 转 化 为 线 段 的 比 是 解 题 的 关 键.