备战高考：高考数学三角函数典型例题及答案解析.doc

高中数学三角函数典型例题1 设锐角的内角的对边分别为,.()求的大小;()求的取值范围.【解析】:()由,根据正弦定理得,所以,由为锐角三角形得.().2 在中,角A BC的对边分别为a、b、c,且满足(2a-c)cosB=bcos C()求角B的大小;20070316 ()设且的最大值是5,求k的值.【解析】:(I)(2a-c)cosB=bcosC,(2sinA-sinC)cosB=sinBcos C 即2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C)A+B+C=,2sinAcosB=sinA 0<A<,sinA0.cosB=. 0<B<,B=.(II)=4ksinA+cos2A=-2sin2A+4ksinA+1,A(0,)设sinA=t,则t.则=-2t2+4kt+1=-2(t-k)2+1+2k2,t.k>1,t=1时,取最大值.依题意得,-2+4k+1=5,k=.3 在中,角所对的边分别为,.I.试判断的形状; II.若的周长为16,求面积的最大值.【解析】:I.,所以此三角形为直角三角形.II.,当且仅当时取等号,此时面积的最大值为.4 在中,a、b、c分别是角A BC的对边,C=2A,(1)求的值;(2)若,求边AC的长【解析】:(1)(2) 又 由解得a=4,c=6,即AC边的长为5.5 已知在中,且与是方程的两个根.()求的值;()若AB,求BC的长.【解析】:()由所给条件,方程的两根. (),.由()知,为三角形的内角, ,为三角形的内角, 由正弦定理得: .6 在中,已知内角A BC所对的边分别为a、b、c,向量,且(I)求锐角B的大小;(II)如果,求的面积的最大值【解析】:(1) Þ 2sinB(2cos2-1)=-cos2BÞ2sinBcosB=-cos2B Þ tan2B=-0<2B<,2B=,锐角B=(2)由tan2B=- Þ B=或当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2-ac2ac-ac=ac(当且仅当a=c=2时等号成立)ABC的面积SABC= acsinB=acABC的面积最大值为当B=时,已知b=2,由余弦定理,得:4=a2+c2+ac2ac+ac=(2+)ac(当且仅当a=c=-时等号成立)ac4(2-)ABC的面积SABC= acsinB=ac 2-ABC的面积最大值为2-7 在中,角A BC所对的边分别是a,b,c,且(1)求的值;(2)若b=2,求ABC面积的最大值.【解析】:(1) 由余弦定理:cosB= +cos2B= (2)由 b=2, +=ac+42ac,得ac, SABC=acsinB(a=c时取等号)故SABC的最大值为8 已知,求的值【解析】;9 已知(I)化简(II)若是第三象限角,且,求的值【解析】 10已知函数f(x)=sin2x+sinxcosx+2cos2x,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(xR)的图象经过怎样的变换得到?【解析】:(1) 的最小正周期 由题意得即 的单调增区间为 (2)先把图象上所有点向左平移个单位长度, 得到的图象,再把所得图象上所有的点向上平移个单位长度, 就得到的图象 11已知,(1)求的单调递减区间(2)若函数与关于直线对称,求当时,的最大值【解析】:(1) 当时,单调递减 解得:时,单调递减 (2)函数与关于直线对称 时, 12已知,求下列各式的值;(1);(2)【解析】: (1) (2) 13设向量,函数(I)求函数的最大值与最小正周期;(II)求使不等式成立的的取值集合【解析】14已知向量,与为共线向量,且()求的值;()求的值.【解析】:() 与为共线向量, ,即 () , , 又, 因此, 15如图,A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内,B,D为两岛上的两座灯塔的塔顶测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为,于水面C处测得B点和D点的仰角均为,AC=0.1km试探究图中B,D间距离与另外哪两点距离相等,然后求B,D的距离(计算结果精确到0.01km,1.414,2.449) 【解析】:在中,=30°,=60°-=30°,所以CD=AC=0.1又=180°-60°-60°=60°,故CB是底边AD的中垂线,所以BD=BA 在中, 即AB=因此,故 BD的距离约为0.33km 16已知函数(其中)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的距离为,且图象上一个最低点为.()求的解析式;()当,求的值域. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】： (1)由最低点为得A=2.由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=,即,由点在图像上的故 又(2)当=,即时,取得最大值2;当即时,取得最小值-1,故的值域为-1,2 17如图,为了解某海域海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知,于A处测得水深,于B处测得水深,于C处测得水深,求DEF的余弦值 【解析】:作交BE于N,交CF于M., , 在中,由余弦定理, 18已知，求（1）（2）（3）【解析】：（1） 19已知函数（， ，）的一段图象如图所示，（1）求函数的解析式；（2）求这个函数的单调递增区间。【解析】：（1）由图象可知： ； ，又为“五点画法”中的第二点 所求函数解析式为：（2）当时，单调递增20已知的内角A BC所对边分别为a、b、c，设向量，且.（）求的值；（）求的最大值.【解析】（）由，得即 也即 21已知函数，求：（1）函数的定义域和值域； （2）写出函数的单调递增区间。【解析】: （）函数的定义域 函数的值域为 （）令得函数的单调递增区间是 22如图为一个观览车示意图该观览车圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈途中与地面垂直以为始边，逆时针转动角到设点与地面距离为（1）求与的函数解析式；（2）设从开始转动，经过80秒到达，求. 【解析】：（1），（2），(m)23设函数（1）求函数上的单调递增区间；（2）当的取值范围。【解析】：（1）， （2）当，24已知函数，（1）求的最大值和最小值；（2）在上恒成立，求实数的取值范围【解析】（） 又，即，（），且，即的取值范围是25在锐角ABC中,角A BC的对边分别为a、b、c,已知(I)求角A;(II)若a=2,求ABC面积S的最大值【解析】:(I)由已知得 又在锐角ABC中,所以A=60°,不说明是锐角ABC中,扣1分 (II)因为a=2,A=60°所以 而 又 所以ABC面积S的最大值等于 26甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行,速度为15浬/小时,在甲船从A岛出发的同时,乙船从A岛正南40浬处的B岛出发,朝北偏东(的方向作匀速直线航行,速度为10 浬/小时.(如图所示)()求出发后3小时两船相距多少浬?()求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少浬?【解析】:以A为原点,BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系. 设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1, y1) Q (x2,y2). (I)令,P、Q两点的坐标分别为(45,45),(30,20) . 即两船出发后3小时时,相距锂 (II)由(I)的解法过程易知: 当且仅当t=4时,|PQ|的最小值为20 即两船出发4小时时,相距20 海里为两船最近距离. 27在锐角中，已知内角A BC所对的边分别为a、b、c，且(tanAtanB)1tanA·tan B(1)若a2abc2b2，求A BC的大小；(2)已知向量(sinA，cosA)，(cosB，sinB)，求32的取值范围【解析】D28如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路，且拐弯处的转角为已知某人从沿走到用了10分钟，从沿走到用了6分钟若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径的长（精确到1米）【解析】解法一：设该扇形的半径为r米. 由题意，得CD=500（米），DA=300（米），CDO= 在中， 即 解得（米） 解法二：连接AC，作OHAC，交AC于H 由题意，得CD=500（米），AD=300（米），  AC=700（米） 在直角 （米） 29已知角的顶点在原点,始边与轴的正半轴重合,终边经过点.(1)求的值;(2)定义行列式运算,求行列式的值;(3)若函数(),求函数的最大值,并指出取到最大值时x的值【解析】:(1) 角终边经过点, . (2),. . (3) (), 函数 (), , 此时. 30已知函数.()求函数的最小正周期;()当时,求函数的最大值,并写出x相应的取值.【解析】:()因为 ( ) 所以,即函数的最小正周期为 ()因为,得,所以有 ,即 所以,函数的最大值为 此时,因为,所以,即 第 15 页 共 15 页