高考新教材数学一轮复习课件 第八章 解析几何.pdf

第八章解析几何第一节直线的方程，课程标准在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素;理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索 并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01矢口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o-逐点清重点一直线的倾斜角、斜率公式1.直线的倾斜角(1)定义：当直线，与X轴相交时，以X轴为基准，X轴正向与直线，向上的方向之 间所成的角a叫做直线/的倾斜角；(2)规定：当直线，与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为更；(3)范围：直线/倾斜角的取值范围是注意倾斜角从“形”的方面直观地描述了直线对x轴正方向的倾斜程度.每 条直线都有唯一确定的倾斜角.2.直线的斜率jr定义式：直线/的倾斜角为“贝U斜率-t a n a；（2）坐标式：PGi，必），尸2（小，力）在直线/上，且不。如 则/的斜率左=三?注意直线倾斜角为1时，斜率不存在.逐点清1.（选择性必修第一册57页习题1题改编）已知直线斜率的绝对值等于小，则直线 的倾斜角为.解析：由阳=|t a n”|=小知t a n”=氐:.a=答案：黑弩J J重点二直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y-2=4（2一劭）不含垂直于X轴的直线斜截式不含垂直于X轴的直线两点式V-Vi xXi/一6#如）不含垂直于X轴，y轴的直线截距式a+b=1不含垂直于坐标轴和过原点的直线f式Ax+Bj+C=O（A,5不同时为0）平面直角坐标系内的直线都适用逐点清2.(选择性必修第一册65页例5改编)过点P(1,小)且倾斜角为30。的直线方程为()A.由%-3y+43=0.B.小x-y+2小=0C.小X一3，+26=0 D.3x-j=0解析：由倾斜角为30。知，直线的斜率上=卓,因此，其直线方程为y$=号(x+1),化简得，3x-3j+43=0.故选 A.答案：A3.(选择性必修第一册67页习题7题改编)经过点P(4,1)且在两坐标轴上截距相等 的直线方程为.解析：设直线/在x轴，y轴上的截距均为a,若。=0,即/过点(0,0)和(4,1),所以I的方程为y=：x,即x-4j=0.若a WO,设I的方程为：+=1,因为I4 1过点(4,1),所以/I,所以。=5,所以，的方程为“+厂5=0.综上可知，所求直线的方程为X4j=0或x+j5=0.答案：X4y=0 或 x+y5=0o记结论化秸论提速度特殊直线的方程直线过点PG1，力)，垂直于X轴的方程为=卬 垂直于y轴的方程为尸力；(2)x轴的方程为y=0,y轴的方程为x=0.提速度1.若直线x=2的倾斜角为“，则”的值为（）nA.0 B.WC.1 D.不存在解析：由结论知，直线x=2垂直于x轴，所以倾斜角”为多答案：C2.经过M(3,0)与N(6,0)两点的直线的方程为()A.x=0 B.j=0C.x=3 D x=6解析：由结论(2)知，直线的方程为y=0.答案：B02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点厂 直线的倾斜角与斜率 师生共研过关00）直线/过点P（L 0）,且与以4（2,1）,5（0,小）为端点的线段有公共点,则直线/斜率的取值范围为.解析1法一：设与P5的倾斜角分别为“，许 直线PA 的斜率是kAP=l,直线PB的斜率是kBP=一小,当直线I由PA 变化到与1y轴平行的位置PC时，它的倾斜角由a增至90。，斜率 的取值范围为L+8）.当直线/由PC变化到P5的位置时，它的倾斜角由90噌至少,斜率的变化范围是（-8,一小.故斜率的取值范围是（一8,一5U1,+o o）.法二：设直线I的斜率为k,则直线I的方程为y=k（x-l）9即kx-y-k=0.N,3两点在直线/的两侧或其中一点在直线/上，（24一1一4）（一小一 4）0,即优一 1）（4+*）20,解得上21或左W一小.即直线，的斜率的取值范 围是（一8,一+8）.答案（一8,一小Ul,+o o）解题技法1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线 nn倾斜角的取值范围时，常借助正切函数1=1211”在0,2j 口 29n上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0,加上并不是单调的.nn/区，2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率取值范围时，应注意倾斜 角为方时，直线斜率不存在.。训练1.(多选)如图，直线Z1，12,，3的斜率分别为自，k29心，倾斜 y/12角分别为期，。2,%，则下列选项正确的是()A.自43VA2 B.43VA2VAi/hC.132 D.以 3“2430,自V0，故与a2a30,且“1为钝角，故选A、D.答案：AD2.直线x si n以+丁+2=0的倾斜角的取值范围是.解析：因为si n“1,1,所以一si n“1,1,所以已知直线的斜率范围九3九、为Li”由倾斜角与斜率关系得倾斜角范围是。，ju：,臼.答案：|o,.uj n考点片 直线的方程.基础自学过关1.已知点拉是直线，：2了一丁一4=0与X轴的交点，将直线/绕点M按逆时针方 向旋转45。，得到的直线方程是()A.x+j3=0 B.x3j2=0C.3xj+6=0 D.3x+j6=0解析：设直线/的倾斜角为a,则t a na=k=2,直线/绕点M按逆时针方向旋2+1转45。，所得直线的斜率欠=t a n(a+45)=1_v=-3,又点M(2,0),所以 1 L A,1j=3(x2),即 3x+y6=0.答案：D2.(多选)下列说法正确的有)A.若直线丁=依+。经过第一、二、四象限，则点他，勿在第二象限B.直线)=3。+2过定点(3,2)C.过点(2,-1)斜率为一小的点斜式方程为y+l=一小(X2)D.斜率为一2,在y轴截距为3的直线方程为y=-2x 3解析：对于A中，由直线丁=履+办过第一、二、四象限，所以直线的斜率kVO,截距办0,故点(鼠。)在第二象限，所以A正确；对于B中，由直线方程y=a x 3a+2,整理得。(%3)+(一丁+2)=0,所以无论。取何值点(3,2)都满足方程，所以 B正确；对于C中，由点斜式方程，可知过点(2,-1)斜率为一小的点斜式方程为 j+l=-3(x-2),所以C正确；由斜截式直线方程得到斜率为-2,在1y轴上的 截距为3的直线方程为1y=-2X+3,所以D错误.故选A、B、C.答案：ABC3.过点4(4,2)且在x轴上截距是在j轴上截距的3倍的直线I的方程为解析：当直线过原点时，它在X轴，y轴上的截距都是0,满足题意.此时,直线的斜率为5,所以直线方程为7=/；当直线不过原点时，由题意可设直I,v 4 2 10线方程为之+9=1,又直线过4(4,2),所以三+f=l,解得。=(,方程为“+3j10=0.综上，所求直线方程为或x+3y10=0.答案：y=*或 x+3y10=0练后悟通求解直线方程的2种方法直接法根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程待定 系数法设所求直线方程的某种形式；由条件建立所求参数的方程（组）；解这个方程（组）求出参数；把参数的值代入所设直线方程3考点直线方程的综合应用.师生共研过支域与已知直线/过点M(2,l),且分别与X轴的正半轴，y轴的正半轴交于A,B两点，当取最小时，求直线，的方程.,、2k解设直线，的方程为yl=A(x2),则可得A 7，0,5(0,124).I A 7;与x轴，y轴正半轴分别交于4,5两点，2kTk =k0.1一210：.MAYMB=+1陋不福=2 甯2=4（f）+一 就 X1当且仅当一九=一即九=一1时取等号.K此时直线I的方程为x+j-3=0.解题技法1.求解与直线方程有关的最值问题，先根据题意建立目标函数，再利用基 本不等式（或函数）求解最值.2.求解直线方程与函数相结合的问题，一般是利用直线方程中x,y的关 系，将问题转化为关于武或y）的函数，借助函数的性质解决问题.。训练已知直线 Zi：ax2y=2a4,l2t 2x+2j=2a2+4,当 02 时，直线乙，为与两 坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，则实数”的值为.解析：由题意知直线恒过定点P(2,2),直线。在y轴上的截距为2诙 直线，2在X轴上的截距为，+2,所以四边形的面积S=1x 2X(2-a)+X2X(a2+2)=a2a+4=a12+,当时，四边形的面积最小.答案：I第二节两直线的位置关系I课程标准（1）能根据斜率判定两条直线平行或垂直；（2）能用解方程组的方法求两条直线 的交点坐标；（3）探索并掌握平面上两点间的距离、点到直线的距离公式，会求两条 平行直线间的距离.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01矢口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o-逐点清重点一 两条直线平行和垂直的判定1.两条直线平行对于两条不重合的直线12,若其斜率分别为自，k2,则有二W台ki=k?；当直线。，2不重合且斜率都不存在时，。以2.两条直线垂直如果两条直线。，。的斜率存在，设为41，k29则有用女他=一1；(2)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，4Z2.注意在判定两条直线平行或垂直的情况时不要忽略了一条直线或两条直 线斜率不存在的情形.逐点清1.(选择性兴修第一册57页例4改编)若直线(3a+2)x+(l4a)y+8=0与(52)x+(a+4)j7=0 垂直，则 a=.解析：由两直线垂直的充要条件，得(3。+2)(5。-2)+(14)3+4)=0,解得=0 或 a=l.答案：0或12.（选择性必修第一册56页例2改编）若直线 乐x+y1=0与直线 Jx+y+a=0平行，则实数4=.解析：因为直线。的斜率自=-1,h/l29所以，=1,且。一1,所以。=1.答案：1重点二两直线相交1.交点：直线k Ai x+5,+G=0和，2：42+5?+。2=0的公共点的坐标与凡了+51y+G=。，、.方程组L n 的解对应.A2x+B2y+C2=02.相交台方程组有暨邂，交点坐标就是方程组的解.3.平行O方程组一无解.4.重合台方程组有无数个解.逐点清3.(易错题)若三条直线y=2x,x+j=3,/nx+2y+5=0相交于同一点，则加的值 为.(y=2x,X=1,x+=3得=2 所以点(1,2)满足方程/nx+2y+5=0,即帆X1+2X2+5=0,所以旭=一9.答案：一9重点三三种距离公式1.两点间的距离公式平面上任意两点P1（X1,%）,P2（x2，%）间的距离公式为|P1P2|=（x2Xi）2+（y2 J1）2.2.点到直线的距离公式点端（劭，%）到直线/:Ax+5y+c=o的距离d=弋翳詈I注意利用点到直线的距离公式时，需要先将直线方程化为一般式.3.两条平行直线间的距离公式两条平行直线Ax+Bj+Ci=O与Ax+Bj+C2=0间的距离注意利用两平行直线间的距离公式时，需要先将两条平行线方程化为X,J的系数对应相等的一般式.逐点清4.（易错题）已知点Q2）到直线x-y+3=0的距离为1,贝!|=解析：由题意得署=1.解得。=-1+址或。=-1一地.答案：一1士救6记结论1.与直线4+为+。=0(42+32#0)垂直或平行的直线方程可设为：垂直：f i x-Ay+/w=O；(2)平行：Ax+By+n=O.2.与对称问题相关的四个结论(1)点(X,y)关于点3，力的对称点为(2aX,2-y)；(2)点(X,y)关于直线x=a的对称点为(2ax,j),关于直线y=A的对称点为(对28 J);(3)点(X,y)关于直线y=x的对称点为(y,x),关于直线7=x的对称点为(一y,x)；(4)点(X,y)关于直线x+y=k的对称点为(上一y,kx)9关于直线xy=k的对 称点为(k+y,xk).提速度1.若直线仙y=A(x4)与直线4关于点(2,1)对称，则直线。过定点)A.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)解析：直线)=4(一4)恒过定点(4,0),由结论2可知，点(4,0)关于(2,1)对称 的点为(0,2),故直线4恒过定点(0,2).答案：B2.点P(2,5)关于直线x+y=l的对称点的坐标是.解析：由结论2可知，对称点为(15,12),即(一4,-1).答案：(-4,-1)02考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点尸 两条直线的位置关系 基础自学过关1.“m=2”是直线 2x+/ny+l=0 与直线 m:+2y1=0 平行”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件解析：因为直线2x+my+l=Q与直线mx+2yl=0平行等价于2X2/=0 且 2X(1)一旭#0,即 m=29 所以m=2 是“直线 2x+/ny+l=0 与直 线冽x+2_yl=0平行”的充要条件.故选D.答案：D2.已知直线乙：%+与+1=0与邑2x+y-1=0互相垂直，且6经过点(-1,0),贝!I b=.解析：由于。经过点(-1,0),可得。=1.又直线。与，2互相垂直，。的斜率必 存在且为自=一又42=2,：一1X(2)=-1,解得办=2.答案：-23.设直线y=kix+19 Z2：y=k2xl9其中实数左1，心满足4/2+2=0,则。与4的位置关系是.（填“平行”“相交”或“垂直”）解析：假设则自=42,代入左62+2=0中得居+2=0,这与自为实 数相矛盾，从而自即。不平行于，2.假设。_L，2，则左述2=1，即自k2+1=0,这与已知条件4胸2+2=0矛盾，故有不垂直于小 故满足4水2+2=0的两直线21与22在同一直角坐标平面内相交.答案：相交练后悟通1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑 到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意X,y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.考点两直线的交点及距离问题师生共研过关0(1)(2O2O 全国口1愚)点(0,1)到直线y=A(x+l)距离的最大值为()若P,。分别为直线3%+4/12=0与6x+8y+5=0上任意一点，则|PQ 的最小值为.解析(1)记点4(0,1),直线)=左(+1)恒过点3(1,0),当HB垂直于 直线)=左(+1)时，点4(0,1)到直线)=左(+1)的距离最大，且最大值为|A5|=啦，故选B.(2)因为二产，所以两直线平行，将直线3x+4y T2=0化为6x+8y O o 3-24=0,由题意可知|PQ的最小值为这两条平行直线间的距离，29 29岸，所以IPQ的最小值为备.答案(DB常解题技法求解距离问题的思路(1)点到直线的距离的求法：可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注 意此时直线方程必须为一般式；(2)两平行线间的距离的求法：利用“转化法”将两条平行线间的距离转化 为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；利用两平行线间的距离公式.训练1.已知点P(l,2),则当点P到直线2a x+y-4=0的距离最大时，a=()A.1 B.-1C.1 D.a/5解析：因为直线恒过定点A(0,4),则当PA与直线垂直时，点P到直线的距离 达到最大值，此时过点P,A的直线的斜率为-2,所以直线2ax+y-4=0的 斜率为:，即一2=；,所以=：.故选B.答案：B2.若直线5%+4厂2加-1=0与直线2x+3y相=0的交点在第三象限，则实数相 的取值范围是._2m+3.（5x+4j2/w1=0,x 7，解析：由2*+3/_羽=0 得 m_2 所以两直线的交点坐标为卜二7-，2一+32m+3 m2）7?，一厂又此交点在第三象限，所以，解得机V：,所/7/m-2 2-y-0),表示以 为圆心，以r为半径的圆、展开 整理V配方%2+y2+）%+y+F=0（D2+E2 4F）,表水 以圆的一般方程为圆心，以为半径的圆注意当。2+2-4方0时，此方程表示的图形是圆；当。2十2一4方=。时，此方程表示一个点卜V，-f当。2+2一4辰0时，它不表示任何图形.逐点清1.(选择性必修第一册86页例4改编)已知圆。x2+/-4x+6j-3=0,则圆。的圆心坐标和半径分别为()A.(-2,3)，16 B.(2,-3),16C.(一2,3),4 D.(2,-3),4解析：因为f+/4x+6y3=0等价于(x2y+&+3)2=16.故圆心为(2,-3),半径为4.答案：D2.(易错题)半径为3,圆心的纵、横坐标相等且与两条坐标轴都相切的圆的方程为解析：由题意知圆心坐标为(3,3)或(一3,3),故所求圆的方程为(X3y+(y 3)2=9 或(x+3)2+(y+3)2=9.答案：(了一3)2+。-3)2=9 或(x+3)2+(j+3)2=9重点二点与圆的位置关系圆的标准方程为(%。了+一方)2=/&0),圆心。的坐标为(eb)9半径为r,设点M的坐标为(孙必).几何法代数法点 Af(%o,%)在圆外点M(/0,九)在圆上点、M(%0,y0)在圆内MCrMCr(劭q)2+(y0-6)逐点清3.若坐标原点在圆(%加)2+&+血)2=4的内部，则实数血的取值范围是解析：丁点(0,0)在(“一川)2+&+胆)2=4 的内部，A(0-m)2+(0+m)2Q.2.以4（x i，为），5（不，）为直径端点的圆的方程为（xx i）（x-2）+3%）(yj2)=o.提速度1.以43,1),以一2,2)为直径的圆的方程是()A.x2+j2Xj8=0B.x2+j2xj9=0C.x2+j2+x+j8=0D.x2+j2+x+j9=0解析：由结论2得，圆的方程为(x3)(x+2)+(y+l)0,2即 3a2+4a4V0,所以2aQ)9 所以(2a f+Qa)2=，即 4264+5=0,解得 a=1 或=5,所以圆心的坐标为(1,1)或(5,5),所以圆心到直线2xy3=0的距离为12X1-1-31也2+(一)=2 世12X55-3|2 加5 或了2+(_以=5，故选B.答案：B2.圆心在x轴上，且过点(一1,一3)的圆与y轴相切，则该圆的方程是()A.x2+/+10j=0 B.x2+j2-10j=0C.x2+j2+1 Ox=0 D.x2+j210 x=0解析：设圆心坐标为&0),因为圆心在x轴上且圆与y轴相切，所以用即为半径，则根据题意得清(一1一。2+(30)2=M,解得=一5,所以园心坐标为(5,0),半径为5,该圆的方程是(x+5)2+y 2=25,展开得f+/+10*=0.故选C.答案：C3.已知圆C的圆心坐标是(0,m),若直线2%一丁+3=0与圆。相切于点4(2,7),则圆C的标准方程为.解析：如图所示,心C(o,与切点A的连线与直线垂由园m-7 1直，得;=一；，解得帆=8.所以圆心为(0,8),半径为，=a/(20)2+(78)2=/5.所以圆。的标准方程为，十&-85.答案：x2+(y-8)2=5A练后悟通2求圆的方程的两种方法（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用 到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线;代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解.与圆有关的轨迹问题师生共研过关圆D长为10的线段的两个端点A,B分别在“轴和y轴上滑动，则线段A3的中点拉的轨迹方程为()A.焦+=1 B.=1C.y2=16x D.x2+y2=25(2)点4(3,0)为圆x2+y2=l外一点，P为圆上任意一点，若AP的中点为M,当P在圆上运动时，则点M的轨迹方程为.解析(1)由题意,设A(孙,0),M 必),则焉+星=100,设M(x,y),即 x=9 y=9 有 x()=2x,y o=2y,所以(2x)2+(2y)2=100,得/+/=25(2)设点M(x,_y),因为M为线段AP的中点，点A(3,0),所以P(2x，2_y),因为P为圆x2+/=l上任意一点，所以(2x3)2+(21y)2=1,化简得卜一|十/=：,所以点M的轨迹方程为卜一(2+/=:.答案(1)D(2)x-12+j2=1，解题技法求解与圆有关的轨迹的四种方法(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法：利用圆的几何性质列方程；(4)代入法：也叫代点转移法，即找到要求点与已知点的关系，代入已知点 满足的关系式化简得方程.训练圆。(“-3)2+3+4)2=4外一点P(x,y)引该圆的一条切线，切点为。，P。的长 度等于点尸到原点。的距离，则点尸的轨迹方程为()A.8x-6j-21=0 B.8x+6j-21=0C.6x+8j-21=0 D.6x-8j-21=0解析：由题意得P(x,y),圆心C的坐标为(3,-4),半径r=2,如 7-图.因为|PQ=|PO|,且P0_LCQ,所以甲0+/=甲。|2,所以f+y2+4=(x3)2+(y+4)2,即 6x8y21=0,所以点 P 在 6x8y一尸斗/7,)21=0.答案：D考点取有关的最值问题定向精析突破考向1借助几何性质求最值已知点(X,y)在圆。;-2)2+&+3)2=1 上.与园求x+y的最大值和最小值；(3)求出2+，+2了-4y+5的最大值和最小值.解(1)5可视为点(B y)与原点连线的斜率，力的最大值和最小值就是与该圆有 公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相切时的斜率.设过原点的直线的方程为y=kx,由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半 径，即：=1，解得左=-2+芋或左=一2雪，的最大值为一2+雪，最小值为一2一.（2）设，=x+y,则7=x+右，可视为直线y=在y轴上的截距，x+y 的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线 与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即3+（媪）-=i,解得/=啦一1或/=一戊一1.x+y的最大值为仍一L最小值为一也一L（3）Y f+y 2+2x _4y+5=Y（x+l）2+&_2）2,求它的最值可视为求点（X,7）到定 点（-1,2）的距离的最值，可转化为求圆心（2,-3）到定点（一1,2）的距离与半径的和或 差.又圆心到定点（一1,2）的距离为其，Y f+y 2+2x4y+5的最大值为岳+1,最小值为回一 1.，解题技法把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如旭的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；a(2)形如机=依+蚓的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如加=(x产+一)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.考向2建立函数关系求最值B)(2022重庆模拟)设点P(x,y)是圆：/+&-3)2=1上的动点，定点42,0),以一2,0),则奉亍的最大值为.解析由题意，知奉，=(2占-j),PB=(-2-x9-y)9所以肉不了=x2+/-4,由于点P(x,切是圆上的点，故其坐标满足方程3)2=1,故一(y3了+1,所以 PA PB=(y3)2+1+j24=6j12.由圆的方程 x2+(y 3)2=1,易知2Wy4,所以，当y=4时，下，隹的值最大，最大值为6义4-12=12.答案12I解题技法I根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据函数知识或基本不等式求最值.c)训练1.已知两点4(一1,0),3(0,2),点尸是圆(“-1)2+丁=1上任意一点，则面积的最大值与最小值分别是A.2,|(4a/5)B 1(4+5),|(4/5)C./,4加D.1(a/5+2),1(a/5-2)4解析：如图，圆心(1,0)到直线Ab：2xy+2=0的距离d=诟,4 4故圆上的点P到直线AB的距离的最大值是古+1,最小值是市-1.X|AB|=a/5,故面积的最大值和最小值分别是2+2乎.故选B.答案：B2.设点P(x,y)是圆：(x3)2+/=4上的动点，定点A(0,2),B(0,一2),则由T+PB|的最大值为.解析：由题意，知画=(一对27)，PB=(-x9-2-j),所以/+了=(2x,2j),由于点P(x,y)是圆上的点，故其坐标满足方程(*3)2+/=%故，2=-3)2+4,所以武+隹|=34炉+4尸=2n615由圆的方程一 3)2+72=4,易知所以当x=5时，血+济|的值最大，最大值为2a/6X5-5=10.答案：10第四节直线与圆、与圆的位置关系。课程标准】能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系;能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01矢口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记o童宜推逐点清重点一 直线与圆的位置关系（圆的半径为，圆心到直线的距离为功相离相切相交图形3量化方程观点J0几何观点drd=rdr逐点清1.（选择性必修第一册93页练习1题改编）直线xy+1=0与圆（Xa）2+y2=2有公 共点，则实数G的取值范围是.解析：由题意可得，圆的圆心为3,0）,半径为加，所以;2啦,即|a+l|W2,解得一3r1+r2d=rr+r2力一了|VdOi+，2d=rr21d0）,其中，。是定值，是参数;（2）过直线Ax+Bj+C=O与圆x2+y2+D x+Ey+F=0交点的圆系方程：x2+y2+D x+Ey+F+A(Ax+By+C)=0(R)；(3)过圆 Q：x1+y2+D1x+E1y+F1=0 和圆 C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=Q 交 点的圆系方程：*2+,2+。6+瓦+方1+2(%2+,2+。2%+&y+方2)=0(24：1)(该同系不含圆G，解题时，注意检验圆。2是否满足题意，以防漏解）.提速度1.若M（x o，必）为圆，+72=/（/0）上一点，则直线劭+%丁=/与该圆的位置关系为（）A.相切 B.相交C.相离 D.相切或相交解析：由结论1可知直线x o x+y y=/为圆的切线方程，故选A.答案：A2.经过两圆x2+j2+6x_4=0和x2+j2+6j_28=0的交点，并且圆心在直线xJ-4=0上的圆的方程为解析：由结论2,设所求圆的方程为(32+,2+63-4)+2(*2+,2+6,-28)=0,2 为实数，即(1+a +(1+2)j2+6x+62y 4 282=0,3 37、4 47一口工，一田，得一房+M4=心求得7=-7,故所求的圆的方程为x2+j2x+7j32=0.答案：x2+j2x+7j32=002考点分类突破理解透规律明课堂讲练变化究其本考点尸 直线与同的位置关系的判断基础自学过关1.已知直线 ax+by+c=Q 过点 M(cos a9 si n a),则A.a2+f e2l B.)C./十户D.a2+f e2c2解析：由c o s2a+si n2a=l可得点Af在单位圆x2+y2=l上，所以直线ax+by=-c和圆x2+/=l有公共点.所以圆心(0,0)到直线ax+by=c的距离即得到，十52，。2.故选d.答案：D2.（多选）已知直线，：丘+y=0与圆环x+j2x2j+l=0,则下列说法中正确 的是（）2221+1W啦（当士=1时，等号成 k+k答案：BCDA.直线，与圆M 一定相交B.若k=0,则直线，与圆M相切C.当左=一1时，直线，与圆M的相交弦最长D.圆心M到直线，的距离的最大值为吸解析：M：x2+/-2x-2j+1=0,即（了-1）2+。-1）2=1,是以（1,1）为圆心,以1为半径的圆，A项，因为直线人+产0,直线/过原点，02+02-2 X0-2X0+l 0,原点在圆外，所以直线/与圆M不一定相交，故错误；B项,若上=0,则直线/：J=o,直线/与圆M相切，故正确；C项，当上=一1 时，直线/的方程为y=x,过圆M的圆心，故正确；D项，由点到直线距离八一=次+1|么式知闲籍+1+2左 好+1立），故正确，故选B、C、D.3.若圆，+y 2=/g 0）上恒有4个点到直线xy2=o的距离为l则实数，的取值范围是.2解析：计算得圆心到直线/的距离为嗜=g1,如图，直线 Z：xy2=0与圆相交，11，2与/平行，且与直线/的距离 为1,故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线的距离也+1.答案：（g+1,+）I练后悟通处理直线与同的位置关系的一般思路(1)判断直线与圆的位置关系常用几何法；(2)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构 成直角三角形；(3)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解 决问题.园的弦长问题.师生共研过真硕D(2021北京高考)已知圆，截得圆。弦长的最小值为2,则C：x2+j2=4,直线心y=kx+m9当左变化时,)A.2 B.2 C.3 D.3解析由题可得圆心为(0,0),半径为2,则圆心到直线的距离d=7给，则弦长为2”一寓，则当k=0时，弦长取得最小值为2d 4f 2=2,解得m=/3.故选C.答案C。解题技法】弦长的两种求法代数法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方 程.在判别式40的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长；几何法：若弦心距为d,的半径长为r,则弦长/=2后彳.园。训练(2022温州模拟)已知圆。(-1)2+丁=25与直线/：/nx+j+w+2=0,若圆C 关于直线/对称，则6=,当股=时，圆。被直线,截得的弦 长最短.解析：:圆C：(了-1)2+丁=25关于直线/：mx+y+m+2=0对称，则圆心(1,0)在直线/：mx+j+m+2=0 Jt,故有/n+0+/n+2=0,求得帆=1.由于直线 Z：mx+j+m+2=0,即 m(x+l)+j+2=0,经过定点 M(1,2),故当 CM 和直线/垂直时，圆。被直线/截得的弦长最短，此时，fkcM=T，即一一2-0 1 1m=1求得m=l.答案：一1 13考点的切线问题师生共研过站园域3（多选）（2021新高考I卷）已知点P在圆（了-5）2+3-5=16上，点A（4,0）,以0,2）,则A.点尸到直线的距离小于10B.点尸到直线的距离大于2 C.当NP3A最小时，|尸3|=3吸D.当NP3A 最大时，PB=32()解析设圆(X5)2+05)2=16的圆心为M(5,5),由题易 知直线A3的方程为即”+2厂4=0,则圆心M到直线 AB的距离d=15+2X5-41 11V5 y54,所以直线A3与圆M相离,所以点P到直线AB的距离的最大值为4+44+与，4+己5+4=10,故A正确.易知点P到直线A3的距离的最小值为-4=1一4,1-4、七一4=1,故B不正确过点3作圆M的两条切线，切点分别为N,如图所示，连接MB,MN,MQ9则当NPA4最小时，点尸与N重合，PB=a/|MB|2-|M|2=a/52+(5-2)2-42=3a/2,当NP3A 最大时，点 P 与。重合，PB=3啦，故C、D都正确.综上，选A、C、D.答案ACDO解题技对求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方 程.若点在圆上（即为切点），则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点 的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线.。训练（2021天洋高考）若斜率为小的直线与j轴交于点A,与圆f+（y1）2=1相切与点B,则IA3尸.解析：设圆心为M,由直线的斜率为g知此切线的倾斜角为60。，又切线与y轴交点 为 A,所以NMA5=30。，又NA5M=90。，且 MB=1,所以 AM=29 即|A5|=yAM2-BM2=yj3.答案：小4考点与圆的位置关系园师生共研过关已知两圆 Ci：x2+j22x6y1=0 和 G：x2+j210 x12y+45=0.求证：圆G和圆。2相交；求圆G和圆。2的公共弦所在直线的方程和公共弦长.解证明：圆G的圆心G(L3),半径门=,圆C2的圆心。2(5,6),半 径，2=4,两圆圆心距 d=IGC2l=5,ri+，2=Ui i+4,匕一,21=451,所以|町一r2d3,所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4 条.故选D.答案：D2.已知两圆相交于两点A(l,3),B(t,1),两圆圆心都在直线x+2y+c=0上,贝h+c的值为.解析：根据题意，由相交弦的性质，相交两圆的连心线垂直平分相交弦，可得45与直线x+2y+c=0垂直，且45的中点在直线x+2y+c=0上.由45与直线x+2y+c=0垂直，可得彳丁=2,解得=-1,贝!|5(1,-1),故AB中点为(0,1),且其在直线x+2y+c=0上，代入直线方程可得0+2Xl+c=0,可得。=一2,故，+。=(-1)+(2)=3.答案：-3第五节椭I园第一课时 椭圆的定义、标准方程及简单几何性质。课程标准（1）了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用;经历从具体情境中抽象出椭圆的过程，掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性 质；（3）通过椭圆的学习，进一步体会数形结合的思想；（4）了解椭圆的简单的应用.知识逐点夯实目录CONTENTS考点分类突破课时过关检测01矢口识逐点夯实课前自修重点准逐点清结论要牢记堂直雁重点一椭圆的定义 平面内与两个定点Fi，叫做椭圆，这两个定点入,注意24=田建21时,O-逐点清方2的距离的和等于常数2g(2g|FI2I)的动点P的轨迹 外叫做椭圆的焦点.动点的轨迹是线段方/2；2a V|?i?2l时，动点的轨迹不存在.逐点清1.（选择性必修第一册109页练习1题改编）平面内一点 M 到两定点Fi（0,9）,W2（。,9）的距离之和等于18,则点M的轨迹是.解析：由题意知|MFi|+|MF2l=18,且|?#21=18,即|M?i|+|MF2l=|Fi?2l，所以点M的轨迹是一条线段F*2.答案：线段方72重点二椭圆的标准方程+2=1(0).1.中心在坐标原点，焦点在X轴上的椭圆的标准方程为力2.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为5+=13。)Uf z注意焦点在X轴上。标准方程中，项的分母较大；焦点在y轴上台标准方程 中产项的分母较大.逐点清2.（选择性必修第一册115页习题4题改编）已知椭圆的中心为坐标原点,为（一小，0）,长轴长是短轴长的2倍，则这个椭圆的标准方程为一个焦点（）C.炉+；=1 D.炉+3=1解析：由题可知4=2儿C=5,又，=6+c2,所以/2=1,/=%J准方程为:+丁=1,故选A.答案：A故椭圆的标重点三椭圆的简单几何性质标准方程+方=l(a 0)1（心心0）范围|x|Wa,yb|x|W方，对称性关于x轴，y轴对称,关于原点中心对称顶点坐标(a,0),Q0)(0,a)9(0,a)(0,一方)，(0,b)（一”0），（）0）焦点坐标(c,0),(c,0)(0,c),(0,c)_半轴长长半轴长为G,短斗2轴长为心ab0离心率e-_ aa,b,c的关系逐点清2 2 3.(易错题)已知椭圆%+3=1(人0)的离心率为5，贝!)()u D/A./=2)2 B.3/=4yC.a=2b D.3a=4b解析：因为椭圆的离心率e=。=；，所以，=4c2.又/=y+02,所以3/=U/4b2.故选B.答案：B4.（多选）下列结论正确的有)A.椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形B.椭圆上一点P与两焦点方1，耳2构成PP/2的周长为2。+2c（其中为椭圆的 长半轴长，C为椭圆的半焦距）C.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆D.方程6%2+,2=1（60,0,6表示的曲线是椭圆解析：对于A,椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形，正确；对于B,椭圆上一点P与两焦点E，?2构成P?#2的周长为2。+2c（其中a为椭圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距，正确；对于C,椭圆的离心率e越大，椭圆就越扁，椭圆的离心率e越小，椭圆就越圆，错误；对于D,方程所/+町；2=1（祈0,0,表示的曲线是椭正确.故选A、B、D.答案：ABD因提速度记结论1.椭圆上的点到焦点距离的最大值和最小值分别为g+c,G C.2.焦点三角形：椭圆上的点尸(Xo,必)与两焦点构成的尸尸小2叫做焦点三角 形，ZF1PF2=0,的面积为S.(1)