线性方程组求解.doc

第三章 线性方程组§1 消元法一、线性方程组得初等变换现在讨论一般线性方程组、所谓一般线性方程组就是指形式为 (1)得方程组,其中代表个未知量,就是方程得个数,称为线性方程组得系数,称为常数项、方程组中未知量得个数与方程得个数不一定相等、系数得第一个指标表示它在第个方程,第二个指标表示它就是得系数、所谓方程组(1)得一个解就就是指由个数组成得有序数组,当分别用代入后,(1)中每个等式都变成恒等式、 方程组(1)得解得全体称为它得解集合、解方程组实际上就就是找出它全部得解,或者说,求出它得解集合、如果两个方程组有相同得解集合,它们就称为同解得、显然,如果知道了一个线性方程组得全部系数与常数项,那么这个线性方程组就基本上确定了、确切地说,线性方程组(1)可以用下面得矩阵 (2)来表示、实际上,有了(2)之后,除去代表未知量得文字外线性方程组(1)就确定了,而采用什么文字来代表未知量当然不就是实质性得、在中学所学代数里学过用加减消元法与代入消元法解二元、三元线性方程组、实际上,这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性、下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组、例如,解方程组第二个方程组减去第一个方程得2倍,第三个方程减去第一个方程,就变成第二个方程减去第三个方程得2倍,把第二第三两个方程得次序互换,即得这样,就容易求出方程组得解为(9,1,6)、分析一下消元法,不难瞧出,它实际上就是反复地对方程组进行变换,而所用得变换也只就是由以下三种基本得变换所构成:1、 用一非零数乘某一方程;2、 把一个方程得倍数加到另一个方程;3、 互换两个方程得位置、定义1 变换1,2,3称为线性方程组得初等变换、二、线性方程组得解得情形消元得过程就就是反复施行初等变换得过程、下面证明,初等变换总就是把方程组变成同解得方程组、下面我们来说明,如何利用初等变换来解一般得线性方程组、对于方程组(1),首先检查得系数、如果得系数全为零,那么方程组(1)对没有任何限制,就可以取任何值,而方程组(1)可以瞧作得方程组来解、如果得系数不全为零,那么利用初等变换3,可以设、利用初等变换2,分别把第一个方程得倍加到第个方程、于就是方程组(1)就变成 (3)其中这样,解方程组(1)得问题就归结为解方程组 (4)得问题、显然(4)得一个解,代入(3)得第一个方程就定出得值,这就得出(3)得一个解;(3)得解显然都就是(4)得解、这就就是说,方程组(3)有解得充要条件为方程组(4)有解,而(3)与(1)就是同解得,因之,方程组(1)有解得充要条件为方程组(4)有解、对(4)再按上面得考虑进行变换,并且这样一步步作下去,最后就得到一个阶梯形方程组、为了讨论起来方便,不妨设所得得方程组为 (5)其中、方程组(5)中得“0=0”这样一些恒等式可能不出现,也可能出现,这时去掉它们也不影响(5)得解、而且(1)与(5)就是同解得、现在考虑(5)得解得情况、如(5)中有方程,而、这时不管取什么值都不能使它成为等式、故(5)无解,因而(1)无解、当就是零或(5)中根本没有“0=0”得方程时,分两种情况:1)、这时阶梯形方程组为 (6)其中、由最后一个方程开始,得值就可以逐个地唯一决定了、在这个情形,方程组(6)也就就是方程组(1)有唯一得解、例1 解线性方程组2)、这时阶梯形方程组为其中、把它改写成 (7)由此可见,任给一组值,就唯一地定出得值,也就就是定出方程组(7)得一个解、一般地,由(7)我们可以把通过表示出来,这样一组表达式称为方程组(1)得一般解,而称为一组自由未知量、例2 解线性方程组从这个例子瞧出,一般线性方程组化成阶梯形,不一定就就是(5)得样子,但就是只要把方程组中得某些项调动一下,总可以化成(5)得样子、以上就就是用消元法解线性方程组得整个过程、总起来说就就是,首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组,把最后得一些恒等式“0=0”(如果出现得话)去掉、如果剩下得方程当中最后得一个等式就是零等于一非零得数,那么方程组无解,否则有解、在有解得情况下,如果阶梯形方程组中方程得个数等于未知量得个数,那么方程组有唯一得解;如果阶梯形方程组中方程得个数小于未知量得个数,那么方程组就有无穷多个解、定理1 在齐次线性方程组中,如果,那么它必有非零解、矩阵 (10)称为线性方程组(1)得增广矩阵、显然,用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵、因此,解线性方程组得第一步工作可以通过矩阵来进行,而从化成得阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还就是无解,在有解得情形,回到阶梯形方程组去解、例3 解线性方程组§2 维向量空间定义2 所谓数域上一个维向量就就是由数域中个数组成得有序数组 (1)称为向量(1)得分量、用小写希腊字母来代表向量、定义3 如果维向量得对应分量都相等,即、就称这两个向量就是相等得,记作、维向量之间得基本关系就是用向量得加法与数量乘法表达得、定义4 向量称为向量得与,记为由定义立即推出:交换律: 、 (2)结合律: 、 (3)定义5 分量全为零得向量称为零向量,记为0;向量称为向量得负向量,记为、显然对于所有得,都有、 (4) 、 (5)(2)(5)就是向量加法得四条基本运算规律、定义6 定义7 设为数域中得数,向量称为向量与数得数量乘积,记为由定义立即推出:, (6), (7), (8)、 (9)(6)(9)就是关于数量乘法得四条基本运算规则、由(6)(9)或由定义不难推出:, (10), (11)、 (12)如果,那么、 (13)定义8 以数域中得数作为分量得维向量得全体,同时考虑到定义在它们上面得加法与数量乘法,称为数域上得维向量空间、在时,3维实向量空间可以认为就就是几何空间中全体向量所成得空间、以上已把数域上全体维向量得集合组成一个有加法与数量乘法得代数结构,即数域上维向量空间、向量通常就是写成一行:、有时也可以写成一列:、为了区别,前者称为行向量,后者称为列向量。它们得区别只就是写法上得不同、§3 线性相关性一般向量空间除只有一个零向量构成得零空间外,都含有无穷多个向量,这些向量之间有怎样得关系,对于弄清向量空间得结构至关重要。一、线性相关与线性无关两个向量之间最简单得关系就是成比例、所谓向量与成比例就就是说有一数使、定义9 向量称为向量组得一个线性组合,如果有数域中得数,使,其中叫做这个线性组合得系数、例如,任一个维向量都就是向量组 (1)得一个线性组合、向量称为维单位向量、零向量就是任意向量组得线性组合、当向量就是向量组得一个线性组合时,也说可以经向量组线性表出、定义10 如果向量组中每一个向量都可以经向量组线性表出,那么向量组就称为可以经向量组线性表出、如果两个向量组互相可以线性表出,它们就称为等价、由定义有,每一个向量组都可以经它自身线性表出、同时,如果向量组可以经向量组线性表出,向量组可以经向量组线性表出,那么向量组可以经向量组线性表出、向量组之间等价具有以下性质:1)反身性:每一个向量组都与它自身等价、2)对称性:如果向量组与等价,那么向量组与等价、3)传递性:如果向量组与等价,与等价,那么向量组与等价、定义11 如果向量组中有一个向量就是可以由其余得向量得线性表出,那么向量组线性相关、 从定义可以瞧出,任意一个包含零向量得向量组一定就是线性相关得、向量组线性相关就表示或者(这两个式子不一定能同时成立)、在为实数域,并且就是三维时,就表示向量与共线、三个向量线性相关得几何意义就就是它们共面、定义11向量组称为线性相关得,如果有数域中不全为零得数,使这两个定义在得时候就是一致得、定义12 一向量组不线性相关,即没有不全为零得数,使就称为线性无关;或者说,一向量组称为线性无关,如果由可以推出由定义有,如果一向量组得一部分线性相关,那么这个向量组就线性相关、换句话说,如果一向量组线性无关,那么它得任何一个非空得部分组也线性无关、特别地,由于两个成比例得向量就是线性相关得,所以,线性无关得向量组中一定不能包含两个成比例得向量、 定义11包含了由一个向量组构成得向量组得情形、 单独一个零向量线性相关,单独一个非零向量线性无关、不难瞧出,由维单位向量组成得向量组就是线性无关得、具体判断一个向量组就是线性相关还就是线性无关得问题可以归结为解方程组得问题、要判断一个向量组 (2)就是否线性相关,根据定义11,就就是瞧方程 (3)有无非零解、(3)式按分量写出来就就是 (4)因之,向量组线性无关得充要条件就是齐次线性方程组(4)只有零解、例1 判断得向量就是否线性相关。例2 在向量空间里,对于任意非负整数线性无关、例3 若向量组线性无关,则向量组也线性无关、从而,如果向量组(2)线性无关,那么在每一个向量上添一个分量所得到得维得向量组 (5)也线性无关、定理2 设与就是两个向量组、如果1)向量组可以经线性表出,2) ,那么向量组必线性相关、推论1 如果向量组可以经向量组线性表出,且线性无关,那么、推论2 任意个维向量必线性相关、推论3 两个线性无关得等价得向量组,必含有相同个数得向量、定理2得几何意义就是清楚得:在三维向量得情形,如果,那么可以由向量线性表出得向量当然都在所在得平面上,因而这些向量就是共面得,也就就是说,当时,这些向量线性相关、两个向量组与等价,就意味着它们在同一平面上、二、极大线性无关组定义13 一向量组得一个部分组称为一个极大线性无关组,如果这个部分组本身就是线性无关得,并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有得话),所得得部分向量组都线性相关、一个线性无关向量组得极大线性无关组就就是这个向量组本身、极大线性无关组得一个基本性质就是,任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价、例4 瞧得向量组在这里线性无关,而,所以就是一个极大线性无关组、另一方面,也都就是向量组得极大线性无关组、由上面得例子可以瞧出,向量组得极大线性无关组不就是唯一得、但就是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价,因而,一向量组得任意两个极大线性无关组都就是等价得、定理3 一向量组得极大线性无关组都含有相同个数得向量、定理3表明,极大线性无关组所含向量得个数与极大线性无关组得选择无关,它直接反映了向量组本身得性质、因此有定义14 向量组得极大线性无关组所含向量得个数称为这个向量组得秩、一向量组线性无关得充要条件就是它得秩与它所含向量得个数相同、每一向量组都与它得极大线性无关组等价、由等价得传递性可知,任意两个等价向量组得极大线性无关组也等价、所以,等价得向量组必有相同得秩、含有非零向量得向量组一定有极大线性无关组,且任一个线性无关得部分向量都能扩充成一极大线性无关组、全部由零向量组成得向量组没有极大线性无关组、规定这样得向量组得秩为零、现在把上面得概念与方程组得解得关系进行联系,给定一个方程组各个方程所对应得向量分别就是、设有另一个方程它对应得向量为、则就是得线性组合,当且仅当,即方程(B)就是方程 得线性组合、容易验证,方程组得解一定满足(B)、进一步设方程组它得方程所对应得向量为、若可经线性表出,则方程组得解就是方程组得解、再进一步,当与等价时,两个方程组同解、例5 (1)设线性无关,证明也线性无关;对个线性无关向量组,以上命题就是否成立？(2)当线性无关,证明也线性无关,当线性无关时,就是否也线性无关？例6 设在向量组中,且每个都不能表成它得前个向量得线性组合,证明线性无关、§4 矩阵得秩一、矩阵得秩如果把矩阵得每一行瞧成一个向量,那么矩阵就可以认为就是由这些向量组成得、同样,如果把每一列瞧成一个向量,那么矩阵也可以认为就是由列向量组成得、定义15 所谓矩阵得行秩就就是指矩阵得行向量组得秩;矩阵得列秩就就是矩阵得列向量组得秩、例如,矩阵得行向量组就是它得秩就是3、它得列向量组就是它得秩也就是3、矩阵得行秩等于列秩,这点不就是偶然得、引理 如果齐次线性方程组 (1)得系数矩阵得行秩,那么它有非零解、定理4 矩阵得行秩与列秩相等、因为行秩等于列秩,所以下面就统称为矩阵得秩、二、矩阵得秩与行列式得联系定理5 矩阵得行列式为零得充要条件就是得秩小于、推论 齐次线性方程组有非零解得充要条件就是它得系数矩阵得行列式等于零、定义16 在一个矩阵中任意选定行与列,位于这些选定得行与列得交点上得个元素按原来得次序所组成得级行列式,称为得一个级子式、在定义中,当然有,这里表示中较小得一个、定理6 一矩阵得秩就是得充要条件为矩阵中有一个级子式不为零,同时所有级子式全为零、从定理得证明可以瞧出,这个定理实际上包含两部分,一部分就是,矩阵得秩得充要条件为有一个级子式不为零;另一部分就是,矩阵得秩得充要条件为得所有级子式全为零、从定理得证明还可以瞧出,在秩为得矩阵中,不为零得级子式所在得行正就是它行向量组得一个极大线性无关组,所在得列正就是它列向量得一个极大线性无关组、三、矩阵得秩得计算在前面,作为解线性方程组得一个方法,对矩阵作行得初等变换,把矩阵化成阶梯形、实际上,这也就是计算矩阵得秩得一个方法、首先,矩阵得初等行变换就是把行向量组变成一个与之等价得向量组、等价得向量组有相同得秩,因此,初等行变换不改变矩阵得秩、同样初等列变换也不改变矩阵得秩、其次,阶梯形矩阵得秩就等于其中非零得行得数目、上面得讨论说明,为了计算一个矩阵得秩,只要用初等行变换把它变成阶梯形,这个阶梯形矩阵中非零得行得个数就就是原来矩阵得秩、以上得讨论还说明,用初等变换化一个线性方程组成阶梯形,最后留下来得方程得个数与变换得过程无关,因为它就等于增广矩阵得秩、例 利用初等变换求下面矩阵得秩:、§5 线性方程组有解判别定理设线性方程组为 (1)引入向量、 (2)于就是线性方程组(1)可以改写成向量方程、 (3)显然,线性方程组(1)有解得充要条件为向量可以表成向量组得线性组合、用秩得概念,线性方程组(1)有解得条件可以叙述如下:定理7(线性方程组有解判别定理) 线性方程组(1)有解得充要条件为它得系数矩阵与增广矩阵有相同得秩、应该指出,这个判别条件与以前得消元法就是一致得、用消元法解线性方程组(1)得第一步就就是用初等行变换把增广矩阵化成阶梯形、这个阶梯形矩阵在适当调动前列得顺序之后可能有两种情形:或者其中、在前一种情形,原方程组无解,而在后一种情形方程组有解、实际上,把这个阶梯形矩阵最后一列去掉,那就就是线性方程组(1)得系数矩阵经过初等行变换所化成得阶梯形、这就就是说,当系数矩阵与增广矩阵得秩相等时,方程组有解;当增广矩阵得秩等于系数矩阵得秩加1时,方程组无解、以上得说明可以认为就是判别定理得另一个证明、根据克拉默法则,也可以给出一般线性方程组得一个解法、设线性方程组(1)有解,矩阵与得秩都等于,而就是矩阵得一个不为零得级子式(当然它也就是得一个不为零得子式),为了方便起见,不妨设位于得左上角、显然,在这种情况下,得前行就就是一个极大线性无关组,第行都可以经它们线性表出、因此,线性方程组(1)与 (4)同解、当时,由克拉默法则,线性方程组(4)有唯一解,也就就是线性方程组(1)有唯一解、当时,将线性方程组(4)改写为 (5)(5)作为得一个方程组,它得系数行列式、由克拉默法则,对于得任意一组值,线性方程组(5),也就就是线性方程组(1),都有唯一得解、 就就是线性方程组(1)得一组自由未知量、对(5)用克拉默法则,可以解出: (6)(6)就就是线性方程组(1)得一般解、例 取怎样得数值时,线性方程组有唯一解,没有解,有无穷多解？§6 线性方程组解得结构在解决线性方程组有解得判别条件之后,进一步来讨论线性方程组解得结构、所谓解得结构问题就就是解与解之间得关系问题、一、齐次线性方程组得解得结构设 (1)就是一齐次线性方程组,它得解所成得集合具有下面两个重要性质:1、 两个解得与还就是方程组得解、2、 一个解得倍数还就是方程组得解、从几何上瞧,这两个性质就是清楚得、在时,每个齐次方程表示一个过得点得平面、于就是方程组得解,也就就是这些平面得交点,如果不只就是原点得话,就就是一条过原点得直线或一个过原点得平面、以原点为起点,而端点在这样得直线或平面上得向量显然具有上述得性质、对于齐次线性方程组,综合以上两点即得,解得线性组合还就是方程组得解、这个性质说明了,如果方程组有几个解,那么这些解得所有可能得线性组合就给出了很多得解、基于这个事实,我们要问:齐次线性方程组得全部解就是否能够通过它得有限得几个解得线性组合给出？定义17 齐次线性方程组(1)得一组解称为(1)得一个基础解系,如果1)(1)得任一个解都能表成得线性组合;2)线性无关、应该注意,定义中得条件2)就是为了保证基础解系中没有多余得解、定理8 在齐次线性方程组有非零解得情况下,它有基础解系,并且基础解系所含解得个数等于,这里表示系数矩阵得秩(以下将瞧到,也就就是自由未知量得个数)、定理得证明事实上就就是一个具体找基础解系得方法、由定义容易瞧出,任何一个线性无关得与某一个基础解系等价得向量组都就是基础解系、二、一般线性方程组得解得结构如果把一般线性方程组 (9)得常数项换成0,就得到齐次线性方程组(1)、 齐次线性方程组(1)称为方程组(9)得导出组、方程组(9)得解与它得导出组(1)得之间有密切得关系:1、 线性方程组(9)得两个解得差就是它得导出组(1)得解、2、 线性方程组(9)得一个解与它得导出组(1)得一个解之与还就是这个线性方程组得一个解、定理9 如果就是线性方程组(9)得一个特解,那么线性方程组(9)得任一个解都可以表成其中就是导出组(1)得一个解、因此,对于线性方程组(9)得任一个特解,当取遍它得导出组得全部解时,(10)就给出(9)得全部解、定理9说明了,为了找出一线性方程组得全部解,只要找出它得一个特殊得解以及它得导出组得全部解就行了、导出组就是一个齐次线性方程组,在上面已经瞧到,一个齐次线性方程组得解得全体可以用基础解系来表示、因此,根据定理我们可以用导出组得基础解系来表出一般线性方程组得一般解;如果就是线性方程组(9)得一个特解,就是其导出组得一个基础解系,那么(9)得任一个解都可以表成推论 在线性方程组(9)有解得条件下,解就是唯一得充要条件就是它得导出组(1)只有零解、线性方程组得理论与解析几何中关于平面与直线得讨论有密切得关系、来瞧线性方程组 (11)(11)中每一个方程表示一个平面,线性方程组(11)有没有解得问题就相当于这两个平面有没有交点得问题、我们知道,两个平面只有在平行而不重合得情形没有交点、(11)得系数矩阵与增广矩阵分别就是与,它们得秩可能就是1或者2、有三个可能得情形:1、 秩=秩=1、这就就是得两行成比例,因而这两个平面平行、又因为得两行也成比例,所以这两个平面重合、方程组有解、2、 秩=1,秩=2、这就就是说,这两个平面平行而不重合、 方程组无解、3、 秩=2、这时得秩一定也就是2、在几何上就就是这两个平面不平行,因而一定相交、 方程组有解、下面再来瞧瞧线性方程组得解得几何意义、设矩阵得秩为2,这时一般解中有一个自由未知量,譬如说就是,一般解得形式为 (12)从几何上瞧,两个不平行得平面相交在一条直线、把(12)改写一下就就是直线得点向式方程、如果引入参数,令,(12)就成为 (13)这就就是直线得参数方程、(11)得导出方程组就是 (14)从几何上瞧,这就是两个分别与(11)中平面平行得且过原点得平面,因而它们得交线过原点且与直线(12)平行、既然与直线(12)平行,也就就是有相同得方向,所以这条直线得参数方程就就是 (15)(13)与(15)正说明了线性方程组(11)与它得导出组(14)得解之间得关系、例1 求线性方程组得一个基础解系、例2 设线性方程组用它得导出齐次方程组得基础解系表示它得全部解、§7 二元高次方程组一、结式得概念引理 设就是数域上两个非零得多项式,它们得系数不全为零、于就是与在中有非常数得公因式在中存在非零得次数小于得多项式与次数小于得多项式,使下面把引理中得条件改变一下、令由多项式相等得定义,等式 (5)就就是左右两端对应系数相等,即 (6)如果把(6)瞧成一个关于未知量得方程组,那么它就是一个含个未知量,个方程得齐次线性方程组、显然,引理中得条件:“在中存在非零得次数小于得多项式与次数小于得多项式,使(5)成立”就相当于说,齐次线性方程组(6)有非零解、我们知道,齐次线性方程组(6)有非零解得充要条件为它得系数矩阵得行列式等于零、把线性方程组(6)得系数矩阵得行列式得行列互换,再把后边得行反号,取行列式就得、对任意多项式(它们可以为零多项式),我们称上面得行列式为它们得结式,记为、综合以上分析,就可以证明定理10 设就是中两个非零得多项式,于就是它们得结式得充要条件就是与在中有非常数得公因式或者它们得第一个系数全为零、当就是复数域时,两个多项式有非常数公因式与有公共根就是一致得、因此对复数域上多项式,得充要条件为,在复数域中有公共根或者它们得第一个系数全为零、例1 取何值时,多项式有公根、二、二元高次方程组得解法结式还提供了解二元高次方程组得一个一般得方法、设就是两个复系数得二元多项式,我们来求方程组 (7)在复数域中得全部解、 可以写成其中就是得多项式、把瞧作就是得多项式,令这就是一个得复系数多项式、 定理11 如果就是方程组(7)得一个复数解,那么就就是得一个根;反过来,如果就是得一个复根,那么,或者存在一个复数使就是方程组(7)得一个解、由此可知,为了解方程组(7),我们先求高次方程得全部根,把得每个根代入(7),再求得值、这样,我们就得到(7)得全部解、例2 求方程组得解、第三章 线性方程组(小结)一、向量得线性关系1.基本概念:维向量,向量得线性运算,线性组合,线性表出,线性相关,线性无关,极大线性无关组,向量组得秩,向量组等价,向量组得秩、2. 主要结论:1) 向量组线性相关得充要条件就是其中有一个向量就是可以由其余得向量得线性表出、2)设向量组线性无关,而向量组线性相关,那么可由线性表出,而且表示法唯一、3) 设向量组中每一个向量都就是向量组得线性组合,而且,那么向量组必线性相关、3、 向量组线性相关得判定:1)根据定义;2) 计算以向量组为行(列)得矩阵得秩;二、矩阵得秩1、 矩阵得秩矩阵得秩=矩阵行(列)向量组得秩,即矩阵得行(列)秩、=不为零得子式得最大级数、2、 矩阵得初等变换1) 初等变换不改变矩阵得秩;2) 用初等变换计算矩阵得秩;三、线性方程组得解得情形1、 线性方程组有解得判定: (1)有解得充要条件就是它得系数矩阵与增广矩阵有相同得秩、2、 线性方程组得解得个数:1) 当秩=秩=,方程组(1)有唯一解;2)当秩=秩=,方程组(1)有无穷多解、3.齐次线性方程组得解得情形: (2)总就是有解、1) 当秩=,方程组(2)只有零解;2) 当秩=,方程组(2)有非零解、四、线性方程组得解得结构1) 齐次线性方程组得基础解系、2) 当秩=,方程组(2)得任意个线性无关得解向量,都就是它得基础解系,(2)得全部解可表示为,其中就是任意得数、3) 当秩=秩=时,如果就是线性方程组(1)得一个特解,就是(1)得相应导出组(2)得基础解系,那么线性方程组(1)得任一个解都可以表成,其中就是任意数、