2023年一次函数知识点归纳总结完整.pdf

1 一次函数知识点总结【基本要点】1、变量：在一个变化过程中可以取不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一数值的量。例题：在匀速运动公式vt s 中,v表示速度,t表示时间,s表示在时间t内所走的路程,则变量是 _,常量是 _。在圆的周长公式 C=2 r 中，变量是 _，常量是 _.2、函数：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量 x 和 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把 x 称为自变量，把 y 称为因变量，y 是 x 的函数。注：这是课本对于函数 的定义，在理解与实际运用中我们要注意以下几点：1、函数只能描述两个变量之间的关系，多一个少一个变量都是不对的；如：y=xz 中有三个变量，就不是函数；y=0 中只有一个变量，也不是函数；而 y=0（x 0）却是函数，因为括号中标明了自变量的取值范围；2、当自变量去每一个确定的值时因变量只能取唯一确定的值相对应，反之，当因变量取每一个确定的值时自变量可以去若干个值相对应；因为这两个变量有先变与后变的问题，让后变的先取一个值，先变的就不一定只取一个值；3、我们只能说函数值是自变量的函数，或用自变量来表示函数值，如：a 是 b 的函数就说明 a 是函数值，b 是自变量；用 y 表示 x 就说明 y 是自变量，x 是函数值；任何函数都要标明谁是谁的函数，不能随便说一个解析式是不是函数，如：Y=x2，只能说 y 是 x 的函数，就不能说 x 是 y 的函数；4、函数解析式的表示：只有函数值写在等号左边，含有自变量的式子写在等号右边；注意不能写成 2y=3x-3 或 y2=3x-3 的形式；5、任何函数都包含自变量的取值范围，如果没指明说明自变量的取值范围是任意实数。自变量的取值范围从以下几个方面把握：（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。例题：写出下列函数中自变量 x 的取值范围 y=2 x _.y=12 x _.y=24 x _.y=2 x 2 x _.3、函数的图像 一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象 4、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。5、描点法画函数图形的一般步骤 第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。6、函数的表示方法 列表法：一目了然，使用起来方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式法：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。2 图象法：形象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。7、正比例函数及性质 一般地，形如 y=kx(k 是常数，k 0)的函数叫做正比例函数，其中 k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式 y=kx(k 不为零)k 不为零 x 指数为 1 b 取零 当 k0 时，直线 y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随 x 的增大 y 也增大；当 k0 时，图像经过一、三象限；k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，向上平移；当 b0，图象经过第一、三象限；k0，图象经过第一、二象限；b0，图象经过第三、四象限 00bk直线经过第一、二、三象限 00bk直线经过第一、三、四象限 00bk直线经过第一、二、四象限 00bk直线经过第二、三、四象限 3（4）增减性：k0，y 随 x 的增大而增大；k0 时，将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 by2，则 x1 与 x2 的大小关系是（）A.x1x2 B.x10，且 y1y2。根据一次函数的性质“当 k0 时，y 随 x 的增大而增大”，得 x1x2。故选 A。2、若 m 0,n 0,则一次函数 y=mx+n 的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、一次函数 y=kx+b 满足 kb0，且 y 随 x 的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解：由 kb0，知 k、b 同号。因为 y 随 x 的增大而减小，所以 k0。所以 b0 时，向上平移；当 b0 时，向下平移）.11、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（a，b 为常数，a 0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值.12、一次函数与一元一次不等式的关系 4 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b0 或 ax+b0（a，b 为常数，a 0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于 0 时，求自变量的取值范围.13、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y=bcxba 的图象相同.（2）二元一次方程组 2 2 21 1 1c y b x ac y b x a的解可以看作是两个一次函数 y=1111bcxba 和 y=2222bcxba 的图象交点.【考点指要】一次函数常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法；为方便大家计算以及分析题目，现介绍一些解题过程中可以运用的公式与性质，希望大家能反复揣摩、理解、运用以期熟练地掌握，这样可以化繁为简！这里要强调的是 以下这些公式不要随便外传！切记！1、一次函数解析式的几种类型 ax+by+c=0 一般式 y=kx+b 斜截式（k 为直线斜率，b 为直线纵截距，正比例函数 b=0）y-1y=k(x-1x)点斜式（k 为直线斜率,(1x,1y)为该直线所过的一个点）11x xy y=2 12 1x xy y 两点式（1x,1y）与（2x,2y）为直线上的两点）byax=0 截距式（a、b 分别为直线在 x、y 轴上的截距）2、求函数图像的 k 值：2 12 1x xy y（1x,1y）与（2x,2y）为直线上的两点）3、求任意线段的长：22 122 1y y x x（1x,1y）与（2x,2y）为直角坐标系任意两点）4、求任意两点所连线段的中点坐标：（22 1x x，22 1y y）5、若两条直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2互相平行，那么 k1=k2，b1 b2 6、若两条直线 y=k1x+b1与 y=k2x+b2互相垂直，那么 k1 k2=-1 7、将 y=kx+b 向上平移 n 个单位后变成 y=kx+b+n；向下平移 n 个单位变成 y=kx+b-n 8、将 y=kx+b 向左平移 n 个单位 后 变成 y=k（x+n）+b；将 y=kx+b 向右平移 n 个单位后变成 y=k（x-n）+b（任何图像的平移都遵循上加下减，左加右减的规则）5 9、若 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2关于 x 轴对称，那么 k1+k2=0、b1+b2=0 10、若 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2关于 y 轴对称，那么 k1+k2=0、b1=b2 11、同理，y=k1x 与 y=k2x 关于平行、垂直、平移、对称也满足以上性质 12、y=kx+b 与坐标轴围成的三角形面积为kb22 13、y=kx（k 是常数，k 0）必过点：（0，0）、（1，k）14、y=kx+b 必过点：（0，b）和（-kb，0）【例题讲解】例题 1：若y是x的一次函数，图像过点（3,2），且与直线6 4 x y交于x轴上一点，求此函数的解析式。变式练习 1：求满足下列条件的函数解析式：与直线x y 2 平行且经过点(1,-1)的直线的解析式；例题 2：已知直线b kx y 经过),0,25(且与坐标轴所围成的三角形的面积为425，求该直线的表达式。变式练习 2：一次函数41 x k y与正比例函数x k y2的图象都经过点（2，-1），（1）分别求出这两个函数的表达式；（2）求这两个函数的图象与x轴围成的三角形的面积。巩固练习】1，一次函数 y=-2x+4 的图象与 x 轴交点坐标是，与 y 轴交点坐标是 O x y A B 1 y x 2 6 2，如图，一次函数图象经过点A，且与正比例函数y x 的图象交于点B，则该一次函数的表达式为（）A 2 y x B2 y x C 2 y x D 2 y x 3已知一次函数1 m mx y的图象与y轴交于（0，3），且y随x值的增大而增大，则m的值为（）A 2 B-4 C-2 或-4 D 2 或-4 4，将直线x y 2 向右平移 2 个单位所得的直线的解析式是（）。A、y 2x 2 B、y 2x 2 C、y 2(x 2)D、y 2(x 2)5，把直线1 2 x y向下平移两个单位，再向右平移 3 个单位后所得直线的解析式是。6，若函数4 x y与 x 轴交于点 A，直线上有一点 M，若 AOM 的面积为 8，则点 M的坐标 7，已知直线y kx b 的图像经过点（2，0），（4，3），（m，6），求m的值。8，已知一次函数的图象经过点（2，1）和（-1，-3）（1）求此一次函数表达式；（2）求此一次函数与 x 轴、y 轴的交点坐标；（3）求此一次函数的图象与两坐标轴所围成的三角形的面积。9，已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1,-5),且与正比例函数 y=x 的图象相交于点(2,a),求(1)a 的值(2)k,b 的值(3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积.10，已知一次函数 y=kx+b 的图象与 x 轴交于点 A（-6，0），与 y 轴交于点 B，若 AOB 的面积是 12，且 y 随 x 的增大而减小，求这个一次函数的关系式。