初一数学一元一次方程应用题 （三）.pdf

1初一数学初一数学一元一次方程应用题一元一次方程应用题（三三）一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）（1 1）审）审审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量关系）（2 2）设）设设出未知数：根据提问，巧设未知数设出未知数：根据提问，巧设未知数（3 3）列）列列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的等量关系列出方程列出方程（4 4）解）解解方程：解所列的方程，求出未知数的值解方程：解所列的方程，求出未知数的值（5 5）答）答检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，检验后写出答案检验后写出答案（注意带上单位）（注意带上单位）二、一般行程问题（相遇与追击问题）二、一般行程问题（相遇与追击问题）1.行程问题中的三个基本量及其关系：路程速度时间时间路程速度速度路程时间2.行程问题基本类型（1）相遇问题：快行距慢行距原距（2）追及问题：快行距慢行距原距1、从甲地到乙地，某人步行比乘公交车多用 3.6 小时，已知步行速度为每小时 8 千米，公交车的速度为每小时40 千米，设甲、乙两地相距x千米，则列方程为。解：等量关系步行时间乘公交车的时间3.6 小时列出方程是：6.3408xx2、某人从家里骑自行车到学校。若每小时行 15 千米，可比预定时间早到 15 分钟；若每小时行 9 千米，可比预定时间晚到 15 分钟；求从家里到学校的路程有多少千米？解：等量关系 速度 15 千米行的总路程速度 9 千米行的总路程速度 15 千米行的时间15 分钟速度 9 千米行的时间15 分钟提醒：速度已知时，设时间列路程等式的方程，设路程列时间等式的方程。方法一：设预定时间为x小/时，则列出方程是：15（x0.25）9（x0.25）方法二：设从家里到学校有x千米，则列出方程是：60159601515xx3、一列客车车长 200 米，一列货车车长 280 米，在平行的轨道上相向行驶，从两车头相遇到两车车尾完全离开经过 16 秒，已知客车与货车的速度之比是 3：2，问两车每秒各行驶多少米？提醒：将两车车尾视为两人，并且以两车车长和为总路程的相遇问题。等量关系：快车行的路程慢车行的路程两列火车的车长之和设客车的速度为 3x米/秒，货车的速度为 2x米/秒，则 163x162x2002804、与铁路平行的一条公路上有一行人与骑自行车的人同时向南行进。行人的速度是每小时 3.6km，骑自行车的人的速度是每小时 10.8km。如果一列火车从他们背后开来，它通过行人的时间是 22 秒，通过骑自行车的人的时间是 26 秒。行人的速度为每秒多少米？这列火车的车长是多少米？提醒：将火车车尾视为一个快者，则此题为以车长为提前量的追击问题。等量关系：两种情形下火车的速度相等 两种情形下火车的车长相等在时间已知的情况下，设速度列路程等式的方程，设路程列速度等式的方程。2解：行人的速度是：3.6km/时3600 米3600 秒1 米/秒骑自行车的人的速度是：10.8km/时10800 米3600 秒3 米/秒 方法一：设火车的速度是 x 米/秒，则 26(x3)22(x1)解得x4方法二：设火车的车长是 x 米，则2632622122xx6、一次远足活动中，一部分人步行，另一部分乘一辆汽车，两部分人同地出发。汽车速度是 60 千米/时，步行的速度是 5 千米/时，步行者比汽车提前 1 小时出发，这辆汽车到达目的地后，再回头接步行的这部分人。出发地到目的地的距离是 60 千米。问：步行者在出发后经过多少时间与回头接他们的汽车相遇（汽车掉头的时间忽略不计）提醒：此类题相当于环形跑道问题，两者行的总路程为一圈即 步行者行的总路程汽车行的总路程602解：设步行者在出发后经过 x 小时与回头接他们的汽车相遇，则5x60(x1)6027、某人计划骑车以每小时 12 千米的速度由 A 地到 B 地，这样便可在规定的时间到达 B 地，但他因事将原计划的时间推迟了 20 分，便只好以每小时 15 千米的速度前进，结果比规定时间早 4 分钟到达 B 地，求 A、B 两地间的距离。解：方法一：设由 A 地到 B 地规定的时间是x小时，则12x604602015xx212x12224(千米)方法二：设由 A、B 两地的距离是x千米，则（设路程，列时间等式）60460201512xxx24答：A、B 两地的距离是 24 千米。温馨提醒：当速度已知，设时间，列路程等式；设路程，列时间等式是我们的解题策略。8、一列火车匀速行驶，经过一条长 300m 的隧道需要 20s 的时间。隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯光照在火车上的时间是 10s，根据以上数据，你能否求出火车的长度？火车的长度是多少？若不能，请说明理由。解析：只要将车尾看作一个行人去分析即可，前者为此人通过 300 米的隧道再加上一个车长，后者仅为此人通过一个车长。此题中告诉时间，只需设车长列速度关系，或者是设车速列车长关系等式。解：方法一：设这列火车的长度是x米，根据题意，得1020300 xxx300答：这列火车长 300 米。方法二：设这列火车的速度是 x 米/秒，根据题意，得 20 x30010 xx3010 x300答：这列火车长 300 米。9、甲、乙两地相距x千米，一列火车原来从甲地到乙地要用 15 小时，开通高速铁路后，车速平均每小时比原来加快了 60 千米，因此从甲地到乙地只需要 10 小时即可到达，列方程得。答案：601510 xx10、两列火车分别行驶在平行的轨道上，其中快车车长为 100 米，慢车车长 150 米，已知当两车相向而行时，快车驶过慢车某个窗口所用的时间为 5 秒。两车的速度之和及两车相向而行时慢车经过快车某一窗口所用的时间各是多少？如果两车同向而行，慢车速度为 8 米/秒，快车从后面追赶慢车，那么从快车的车头赶上慢车的车尾开始到快车的车尾离开慢车的车头所需的时间至少是多少秒？解析：快车驶过慢车某个窗口时：研究的是慢车窗口的人和快车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为快车车长！3 慢车驶过快车某个窗口时：研究的是快车窗口的人和慢车车尾的人的相遇问题，此时行驶的路程和为慢车车长！快车从后面追赶慢车时：研究的是快车车尾的人追赶慢车车头的人的追击问题，此时行驶的路程和为两车车长之和！解：两车的速度之和100520（米/秒）慢车经过快车某一窗口所用的时间150207.5（秒）设至少是x秒，（快车车速为 208）则（208）x8x100150 x62.5答：至少 62.5 秒快车从后面追赶上并全部超过慢车。11、甲、乙两人同时从 A 地前往相距 25.5 千米的 B 地，甲骑自行车，乙步行，甲的速度比乙的速度的 2 倍还快2 千米/时，甲先到达 B 地后，立即由 B 地返回，在途中遇到乙，这时距他们出发时已过了 3 小时。求两人的速度。解：设乙的速度是x千米/时，则3x3(2x2)25.52x52x212答：甲、乙的速度分别是 12 千米/时、5 千米/时。二、环行跑道与时钟问题：二、环行跑道与时钟问题：1、在 6 点和 7 点之间，什么时刻时钟的分针和时针重合？老师解析：6：00 时分针指向 12，时针指向 6，此时二针相差 180，在 6：007：00 之间，经过x分钟当二针重合时，时针走了 0.5x分针走了 6x以下按追击问题可列出方程，不难求解。解：设经过x分钟二针重合，则 6x1800.5x解得11360 x118322、甲、乙两人在 400 米长的环形跑道上跑步，甲分钟跑 240 米，乙每分钟跑 200 米，二人同时同地同向出发，几分钟后二人相遇？若背向跑，几分钟后相遇？老师提醒：此题为环形跑道上，同时同地同向的追击与相遇问题。解：设同时同地同向出发x分钟后二人相遇，则240 x200 x400 x10 设背向跑，x分钟后相遇，则 240 x200 x400 x1113、在 3 时和 4 时之间的哪个时刻，时钟的时针与分针：重合；成平角；成直角；解：设分针指向 3 时 x 分时两针重合。xx1213511180 x11416答：在 3 时11416分时两针重合。设分针指向 3 时 x 分时两针成平角。26012135xx11149x答：在 3 时11149分时两针成平角。设分针指向 3 时 x 分时两针成直角。46012135xx11832x答：在 3 时11832分时两针成直角。4、某钟表每小时比标准时间慢 3 分钟。若在清晨 6 时 30 分与准确时间对准，则当天中午该钟表指示时间为 12时 50 分时，准确时间是多少？解：方法一：设准确时间经过x分钟，则x38060(603)解得x400 分6 时 40 分6：306：4013：104方法二：设准确时间经过x时，则6512216603xx三、行船与飞机飞行问题：三、行船与飞机飞行问题：航行问题：顺水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度逆水（风）速度静水（风）速度水流（风）速度水流速度=（顺水速度-逆水速度）21、一艘船在两个码头之间航行，水流的速度是 3 千米/时，顺水航行需要 2 小时，逆水航行需要 3 小时，求两码头之间的距离。解：设船在静水中的速度是 x 千米/时，则 3(x3)2(x3)解得x152(x3)2(153)36（千米）答：两码头之间的距离是 36 千米。2、一架飞机飞行在两个城市之间，风速为每小时 24 千米，顺风飞行需要 2 小时 50 分钟，逆风飞行需要 3 小时，求两城市间的距离。解：设无风时的速度是 x 千米/时，则 3(x24)652(x24)3、小明在静水中划船的速度为 10 千米/时，今往返于某条河，逆水用了 9 小时，顺水用了 6 小时，求该河的水流速度。解：设水流速度为 x 千米/时，则 9(10 x)6(10 x)解得 x2答：水流速度为 2 千米/时.4、某船从 A 码头顺流航行到 B 码头，然后逆流返行到 C 码头，共行 20 小时，已知船在静水中的速度为 7.5 千米/时，水流的速度为 2.5 千米/时，若 A 与 C 的距离比 A 与 B 的距离短 40 千米，求 A 与 B 的距离。解：设 A 与 B 的距离是 x 千米，(请你按下面的分类画出示意图，来理解所列方程)当 C 在 A、B 之间时，205.25.7405.25.7x解得 x120 当 C 在 BA 的延长线上时，205.25.7405.25.7xxx解得 x56答：A 与 B 的距离是 120 千米或 56 千米。四、工程问题四、工程问题1工程问题中的三个量及其关系为：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量工作效率工作总量工作效率工作时间工作时间工作总量工作效率工作时间工作总量工作时间工作效率2经常在题目中未给出工作总量时经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位设工作总量为单位 1。即即完成某项任务的各工作量的和总完成某项任务的各工作量的和总工作量工作量11、一项工程，甲单独做要 10 天完成，乙单独做要 15 天完成，两人合做 4 天后，剩下的部分由乙单独做，还需要几天完成？解：设还需要 x 天完成，依题意，得111()41101515x 解得 x=52、某工作,甲单独干需用 15 小时完成,乙单独干需用 12 小时完成,若甲先干 1 小时、乙又单独干 4 小时,剩下的工作两人合作,问:再用几小时可全部完成任务?5解：设甲、乙两个龙头齐开 x 小时。由已知得，甲每小时灌池子的12，乙每小时灌池子的13。列方程：120.5+(12+13)x=23,14+56x=23,56x=512x=12=0.5x+0.5=1（小时）3、某工厂计划 26 小时生产一批零件，后因每小时多生产 5 件，用 24 小时，不但完成了任务，而且还比原计划多生产了 60 件，问原计划生产多少零件？解：(5)246026XX，X=780X=7804、某工程，甲单独完成续 20 天，乙单独完成续 12 天，甲乙合干 6 天后，再由乙继续完成，乙再做几天可以完成全部工程?解：1 1-6(6(121201)=)=121X XX=2.4X=2.45、已知甲、乙二人合作一项工程，甲 25 天独立完成，乙 20 天独立完成，甲、乙二人合 5 天后，甲另有事，乙再单独做几天才能完成？解：1 1 1115252020X（），X=11X=116、将一批工业最新动态信息输入管理储存网络，甲独做需 6 小时，乙独做需 4 小时，甲先做 30分钟，然后甲、乙一起做，则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作？解：1-1-X)4161(2161，X=X=511，2 2 小时小时 1212 分分五、市场经济问题五、市场经济问题1、某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅经过测试：同时开放 1 个大餐厅、2 个小餐厅，可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐（1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐；（2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由解解：（1 1）设设 1 1 个小餐厅可供个小餐厅可供y名学生就餐名学生就餐，则则 1 1 个大餐厅可供个大餐厅可供（1680-2y1680-2y）名学生就餐名学生就餐，根据题意根据题意，得得 2 2（1680-2y1680-2y）+y=2280+y=2280 解得：解得：y=360y=360（名）所以（名）所以 1680-2y=9601680-2y=960（名）（名）（2 2）因为）因为960 5360 255205300，所以如果同时开放所以如果同时开放 7 7 个餐厅，能够供全校的个餐厅，能够供全校的 53005300 名学生就餐名学生就餐2、工艺商场按标价销售某种工艺品时，每件可获利 45 元；按标价的八五折销售该工艺品 8 件与将标价降低 35元销售该工艺品 12 件所获利润相等.该工艺品每件的进价、标价分别是多少元？解：设该工艺品每件的进价是解：设该工艺品每件的进价是x元元,标价是（标价是（45+x45+x）元）元.依题意，得依题意，得:8 8（45+x45+x）0.85-8x=0.85-8x=（45+x-3545+x-35）12-12x12-12x解得：解得：x=155x=155（元）所以（元）所以 45+x=20045+x=200（元）（元）3、某地区居民生活用电基本价格为每千瓦时 0.40 元，若每月用电量超过 a 千瓦则超过部分按基本电价的 70%收费（1）某户八月份用电 84 千瓦时，共交电费 30.72 元，求 a6（2）若该用户九月份的平均电费为 0.36 元，则九月份共用电多少千瓦？应交电费是多少元？解解：（1 1）由题意，得）由题意，得0.4a+0.4a+（84-a84-a）0.400.4070%=30.7270%=30.72解得解得 a=60a=60（2 2）设九月份共用电）设九月份共用电 x x 千瓦时，千瓦时，0.400.4060+60+（x-60 x-60）0.400.4070%=0.36x70%=0.36x解得解得 x=90 x=90所以所以 0.360.3690=32.4090=32.40（元）答：（元）答：9090 千瓦时，交千瓦时，交 32.4032.40 元元4、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为 60 元，八折出售后，商家所获利润率为 40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？利润率利润率=成本利润40%=40%=6060%80XX=105X=105105*80%=84105*80%=84 元元5、甲乙两件衣服的成本共 500 元，商店老板为获取利润，决定将家服装按 50%的利润定价，乙服装按 40%的利润定价，在实际销售时，应顾客要求，两件服装均按 9 折出售，这样商店共获利 157 元，求甲乙两件服装成本各是多少元？解：设甲服装成本价为解：设甲服装成本价为 x x 元，则乙服装的成本价为（元，则乙服装的成本价为（5050 x x）元，根据题意，可列）元，根据题意，可列109x(1+50%)109x(1+50%)x+(500-x)(1+40%)90%x+(500-x)(1+40%)90%-(500(500-x)=157x)=157x=300 x=3006、某商场按定价销售某种电器时，每台获利 48 元，按定价的 9 折销售该电器 6 台与将定价降低 30 元销售该电器 9 台所获得的利润相等，该电器每台进价、定价各是多少元？(48+X)90%*6 6X=(48+X-30)*9 9XX=162162+48=2107、甲、乙两种商品的单价之和为 100 元，因为季节变化，甲商品降价 10%，乙商品提价 5%，调价后，甲、乙两商品的单价之和比原计划之和提高 2%，求甲、乙两种商品的原来单价？解：x(1-10%)+(100-x)(1+5%)=100(1+2%)x=208、一家商店将某种服装按进价提高 40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获利 15 元，这种服装每件的进价是多少？解：设这种服装每件的进价是解：设这种服装每件的进价是 x x 元，则：元，则：X(1+40X(1+40)0.8-x=150.8-x=15 解得解得 x=125x=125