高考数学二轮复习专题三立体几何与空间向量第3讲空间中的角和距离ppt课件新人教A版.ppt
第3讲空间中的角和距离核心整合1.异面直线的夹角(1)定义:对于异面直线a和b,在空间任取一点P,过P分别作a和b的平行线a1和b1,我们把a1和b1所成的锐角或者直角叫做异面直线a和b所成的角.(2)异面直线的夹角范围:(0,90【温馨提示】在几何体中,求异面直线所成的角时我们往往是把两条异面直线平移到一个顶点处,放在三角形中进行求解,而在三角形中求出来的角有可能是钝角,这时我们还要转化成它的补角.2.直线与平面所成的角(1)定义:把直线l与其在平面上的射影所成的锐角叫做直线l和平面所成的角.直线l时,我们称l与所成的角为90.(2)直线和平面所成的角的范围为0,90.3.二面角(1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)范围为0,180.(3)二面角的平面角的作法根据定义作棱的垂面与二面角的两个半平面分别交得两条射线所成的角.过棱上任意一点在两个半平面内分别作这条棱的垂线,从而构成二面角的平面角.过一个面内一点分别作另一个面的垂线和棱的垂线,连接两垂足后构成二面角的平面角.4.点到直线的距离和点到平面的距离(1)点到直线的距离直接作直线的垂线;求点P到平面内的直线a的距离:第一步:过P作PQ交平面于点Q,第二步:在内过Q作QRa,垂足为R;第三步:连接PR,则PR即为点P到直线a的距离.(2)点到平面的距离直接作平面的垂线;要作垂线,先作垂面;等体积法(等积法).5.空间向量解决平行、垂直、角度、距离等问题(1)空间向量与平行关系直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行或重合的向量,一条直线的方向向量有无数个.平面的法向量直线l,取直线l的方向向量a,则向量a叫做平面的法向量.空间中平行关系的向量表示(2)空间向量与垂直关系空间垂直关系的向量表示空间中的垂直关系线线垂直 线面垂直 面面垂直设 直 线l的 方 向 向 量 为 a=(a1,a2,a3),直 线m的 方 向向 量 为 b=(b1,b2,b3),则lmab设 直 线l的 方 向 向 量 是 a=(a1,b1,c1),平 面的 法向 量 u=(a2,b2,c2),则lau若 平 面 的 法 向 量u=(a1,b1,c1),平 面的法 向 量 为 v=(a2,b2,c2),则uv空间中垂直关系的证明方法线线垂直 线面垂直 面面垂直证明两直线的方向向量的数量积为0证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量证明两个平面的法向量垂直证明两直线所成角为直角证明直线与平面内的两相交直线垂直证明二面角的平面角为直角空间向量与空间角空间中的角核心突破考点一 异面直线所成的角1.直三棱柱ABC-A1B1C1,所有棱长都相等,M是A1C1的中点,N是BB1的中点,则AM与NC1所成角的余弦值为()B2.正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在A1C上运动(包括端点),则BP与AD1所成角的取值范围是()D考点二 直线与平面所成的角【例2】(2017浙江卷)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.方法技巧证明线面平行的常用方法:利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线,可利用几何体的特征,合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行;利用面面平行的性质,即两平面平行,在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题(1)就是利用方法证明的.另外,(1)也可先证面面平行,再得线面平行,(2)也可利用空间向量求解线面角.【题组训练】2.在等腰直角三角形ABD中,BAD=90,且等腰直角三角形ABD与等边三角形BCD所在平面垂直,E为BC的中点,则AE与平面BCD所成角的大小为.答案:45考点三 二面角(1)求证:AC平面ABB1A1;(1)证明:因为在底面ABCD中,AB=1,AC=,BC=2,所以ABAC,因为侧棱AA1底面ABCD,所以AA1AC,又因为AA1AB=A,AA1,AB平面ABB1A1,所以AC平面ABB1A1.(2)求二面角A-C1D-C的平面角的余弦值.方法技巧解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化,作出二面角的平面角进行三角形内的计算,也可以建立空间直角坐标系进行计算.总之,通过严密推理,明确角的构成.立体几何中角的计算问题,往往可以利用几何法、空间向量方法求解,应根据题目条件,灵活选择方法.本题能较好的考查考生的空间想象能力、逻辑推理能力、转化与化归思想及基本运算能力等.【题组训练】1.(2018浙江卷)已知四棱锥S-ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为1,SE与平面ABCD所成的角为2,二面角S-AB-C的平面角为3,则()(A)123(B)321(C)132(D)231D解析:由题意知四棱锥S-ABCD为正四棱锥,如图,连接BD,记ACBD=O,连接SO,SO平面ABCD,取AB的中点M,连接SM,OM,OE,易得ABSM,则2=SEO,3=SMO,易知32.因为OMBC,BCAB,SMAB,所以3也为OM与平面SAB所成的角,即BC与平面SAB所成的角,再根据最小角定理(最小角定理:斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角)知,31,所以231,故选D.(A)(B)(C)(D)B 解析:如图,作出点D在底面ABC上的射影O,过点O分别作PR,PQ,QR的垂线OE,OF,OG,连接DE,DF,DG,则=DEO,=DFO,=DGO.由图可知它们的对边都是DO,所以只需比较EO,FO,GO的大小即可.如图,在AB边上取点P,使AP=2PB,连接OQ,OR,可证得RPQ是等边三角形,则O为QRP的中心,设点O到QRP三顶点的距离为a,则OG=a,OF=OQsinOQFORsinORP=a,所以OFOGOE,(1)证明:直线CE平面PAB;(2)点M在棱PC上,且直线BM与底面ABCD所成角为45,求二面角M-AB-D的余弦值.考点四 点到平面的距离【例4】如图,在直角梯形ABCP中,BCAP,ABBC,CDAP,AD=DC=PD=2.点E,F分别是PC,BD的中点,现将PDC沿CD折起,使PD平面ABCD,(1)求证:EF平面PAD;(1)证明:连接AC,因为底面ABCD是正方形,所以AC交BD于点F,且F是AC中点,又点E为PC中点,所以EFPA,EF平面PAD,PA平面PAD,所以EF平面PAD.方法技巧(1)解决该题的关键是通过利用三角形的中位线来得到平行线,然后借助于线线平行来得到线面平行的证明.而在第(2)题中利用等体积法求解点面距离问题,回避作垂线(辅助线)的难度.本题也可以用向量的方法来解决距离问题;(2)解决距离问题的三种途径:直接作出点到平面的距离,把问题转化为三角形问题,用平面几何法;在三棱锥中用等体积法;在空间直角坐标系中用向量法.【题组训练】1.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为()B2.以等腰直角ABC的斜边AB上的高CD为棱折成一个60的二面角,使B到B的位置,已知斜边AB=2,则顶点A到平面CBD的距离是.阅卷评析线面位置关系的证明【典例】(14分)如图,在正四棱锥P-ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中点.(1)求证:PCBD;(1)证明:因为四边形ABCD为正方形,且PA=AB=a,所以PBC,PDC都是等边三角形.2分因为E是棱PC的中点,所以BEPC,DEPC,又BEDE=E,所以PC平面BDE,5分又BD平面BDE,所以PCBD.6分(2)求直线BE与PA所成角的余弦值.
