2023年数学高考一轮复习真题演练(2021-2022年高考真题)14 导数的概念与运算(含详解).pdf

专 题 1 4导 数 的 概 念 与 运 算【考 点 预 测】知 识 点 一：导 数 的 概 念 和 几 何 性 质 1.概 念 函 数 fx在 x=/处 瞬 时 变 化 率 是 lirn=蚂/5+弋 一/卬,我 们 称 它 为 函 数 y=f（x）在 x=x（）处 的 导 数，记 作，（玉）或 y（=阳.知 识 点 诠 释：增 量 可 以 是 正 数，也 可 以 是 负，但 是 不 可 以 等 于 0.以 f O 的 意 义：曲 与。之 间 距 离 要 多 近 有 多 近，即|Ar-O|可 以 小 于 给 定 的 任 意 小 的 正 数；当 A v f 0 时，Ay在 变 化 中 都 趋 于 0,但 它 们 的 比 值 却 趋 于 一 个 确 定 的 常 数，即 存 在 一 个 常 数 与=+无 限 接 近；Ar Ax 导 数 的 本 质 就 是 函 数 的 平 均 变 化 率 在 某 点 处 的 极 限，即 瞬 时 变 化 率.如 瞬 时 速 度 即 是 位 移 在 这 一 时 刻 的 瞬 间 变 化 率，即/（%）=lim包=lim/（-+/（飞）.Ax A AX2.几 何 意 义 函 数 y=/（x）在 x=x。处 的 导 数（x0）的 几 何 意 义 即 为 函 数 y=f（x）在 点 P（与,%）处 的 切 线 的 斜 率.3.物 理 意 义 函 数 S=S 在 点 办 处 的 导 数 s。）是 物 体 在/（）时 刻 的 瞬 时 速 度 V，即 丫=S4）;v=v（r）在 点 片 的 导 数 丫 伉）是 物 体 在 时 刻 的 瞬 时 加 速 度 a,即。=丫 优）.知 识 点 二：导 数 的 运 算 1.求 导 的 基 本 公 式 基 本 初 等 函 数 导 函 数 f(x)=c(c 为 常 数)r w=o/(X)=x(a e Q)fx)=cixaf M=ax(a 0,。工 1)f W=ah Cl/(x)=log,x(a0,a“）r（x）Txln C lf(x)=ex尸(x)=e、/(x)=lnxr（x）Xf(x)=sin x f(x)=cos.c,f(x)=cosx fx)=-sinx2.导 数 的 四 则 运 算 法 则(1)函 数 和 差 求 导 法 则：(X)土 g(x)=r(x)土 g，(x)：(2)函 数 积 的 求 导 法 则：/(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)；(3)函 数 商 的 求 导 法 则：g(x)*O,则/里=/(x)S(x)-/(x)g(x).g(x)g2。)3.复 合 函 数 求 导 数 复 合 函 数 y=f g(x)的 导 数 和 函 数 y=f(),=g(x)的 导 数 间 关 系 为 yx=y ux：【方 法 技 巧 与 总 结】1.在 点 的 切 线 方 程 切 线 方 程 y一/(%)=/(%)(大 一 题)的 计 算：函 数 y-f(x)在 点 A(x0,/(x0)处 的 切 线 方 程 为 y-f(%)=f(3)(x-%),抓 住 关 键%=/(%)k=/g2.过 点 的 切 线 方 程 设 切 点 为 尸(玉),%),则 斜 率=r(x0),过 切 点 的 切 线 方 程 为：y-y0=f W x-x0),又 因 为 切 线 方 程 过 点 A(，)，所 以-为=/(改)。-%)然 后 解 出 与 的 值.(x,有 儿 个 值，就 有 儿 条 切 线)注 意：在 做 此 类 题 目 时 要 分 清 题 目 提 供 的 点 在 曲 线 上 还 是 在 曲 线 外.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一：导 数 的 定 义 题 型 二：求 函 数 的 导 数 题 型 三：导 数 的 几 何 意 义 1.在 点 P 处 切 线 2.过 点 P 的 切 线 3.公 切 线 4.已 知 切 线 求 参 数 问 题 5.切 线 的 条 数 问 题 6.切 线 平 行、垂 直、重 合 问 题 7.最 值 问 题【典 例 例 题】题 型 一：导 数 的 定 义 例 1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)函 数 y=/(x)的 图 像 如 图 所 示，下 列 不 等 关 系 正 确 的 是()B/y=A.0 尸(2)八 3)/(3)-/(2)q/2 3B.0/,(2)/(3)-/(2)/(3)C.。八 3)3)-/(2)A 2)D.0 3)-/(2)八 2)(玉+%)-，(/，为),则 称 列 以 玉 士 空%)一/(/，%)为.-0 AX.以 Ax二 元 函 数 z=/(x,y)在 点(%,%)处 对 x 的 偏 导 数，记 为%+?/(,),则 A.v 0 Ay称 叫%+啰 一 X。为)为 二 元 函 数 z=/(x,y)在 点 伍，为)处 对。的 偏 导 数,记 为 小,为)，已 知 二 元 函 数 x,y)=x2 2 A y+y 3(x 0,y 0),则 下 列 选 项 中 错 误 的 是()A.(1,3)=T B.3)=1()C.f；(祖,)+/；(m,)的 最 小 值 为-g D./(x,y)的 最 小 值 为 例 4.(2022.贵 州 黔 东 南.一 模(文)一 个 质 点 作 直 线 运 动，其 位 移 s(单 位：米)与 时 间 f(单 位：秒)满 足 关 系 式，5=?+(/-2)2-4,则 当 1=1时，该 质 点 的 瞬 时 速 度 为()A.-2 米/秒 B.3 米/秒 C.4 米/秒 D.5 米/秒 例 5.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(x)=2 1 n x+8 x,则 1而 上 至 上 他 的 值 为()-AxA.-20 B.-1 0 C.10 D.202例 6.(2022.浙 江.高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 f(x)=2/(3)x g f+i n x(尸(x)是 x)的 导 函 数)，则/=()A.卫 B.C.L D.更 9 9 9 9例 7.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(X)的 导 函 数 为 尸(x),且 满 足/(x)=d+f/+2 x-l,则 八 2)=()A.1 B.-9 C.-6 D.4【方 法 技 巧 与 总 结】对 所 给 函 数 式 经 过 添 项、拆 项 等 恒 等 变 形 与 导 数 定 义 结 构 相 同，然 后 根 据 导 数 定 义 直 接 写 出.题 型 二：求 函 数 的 导 数 例 8.(2022 天 津 耀 华 中 学 高 二 期 中)求 下 列 各 函 数 的 导 数：(l)y=ln(3 x-2)；y=W；e(3)/(x)=x+2cosx例 9.(2022.新 疆.莎 车 县 第 一 中 学 高 二 期 中(理)求 下 列 函 数 的 导 数：y=2x2+In x+cos x；(2)y=x V(3)y=ln(3 x-l)例 1().(2022 广 东 北 京 师 范 大 学 珠 海 分 校 附 属 外 国 语 学 校 高 二 期 中)求 下 列 函 数 的 导 数：(D y=熹(2)y=x2+2 sin x；Inx(3)y=一；x(4)y=+；ln(2 x).【方 法 技 巧 与 总 结】对 所 给 函 数 求 导，其 方 法 是 利 用 和、差、积、商 及 复 合 函 数 求 导 法 则，直 接 转 化 为 基 本 函 数 求 导 问 题.题 型 三：导 数 的 几 何 意 义 1.在 点 P 处 切 线 例 11.(2022河 北 模 拟 预 测)曲 线 y=e*sinx在 x=0 处 的 切 线 斜 率 为()A.0 B.1 C.2 D.-2例 12.(2022安 徽 巢 湖 市 第 一 中 学 模 拟 预 测(文)曲 线=当 段 在 点(1,9 处 的 切 线 方 程 为 丘-y+6=0,则 k 的 值 为()A.1 B.-y C.D.1例 13.(2022海 南 文 昌 中 学 高 三 阶 段 练 习)曲 线 y=e-2 x 在 x=0处 的 切 线 的 倾 斜 角 为 a,Ij1ljsinfa+|j=()A.-立 B.受 C.1 D.-12 2例 14.(2022.安 徽.巢 湖 市 第 一 中 学 高 三 期 中(理)已 知 f(x)=2 c o s k-S+r(0)c o s x,则 曲 线 y=/(x)在 点 彳 J 彳 处 的 切 线 的 斜 率 为（）A.72 B.-V2 C.2夜 D.-242例 15.（2022全 国 福 三 专 题 练 习（文）已 知 函 数/0）是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数，且/（%）=-2x3+2 _ y-（1）%,则 函 数/（x）的 图 象 在 点（-2J（-2）处 的 切 线 的 斜 率 为（）A.-21 B.-27 C.-24 D.-25例 16.（2022 广 西 广 西 模 拟 预 测（理）曲 线 y=x、l在 点（-1,a）处 的 切 线 方 程 为（）A.y=3x+3 B.y=3x+1 C.y=-3x-1 D.y=-3x-3例 17.（2022.河 南 省 浚 县 第 一 中 学 模 拟 预 测（理）曲 线 y=xln（2x+5）在 x=-2处 的 切 线 方 程 为（）A.4犬 一 y+8=0 B.4x+y+8=0C.3xy+6=0 D.3x+y+6=02.过 点 P 的 切 线 例 18.（2022 四 川 广 安 二 中 二 模（文）函 数 x）=de过 点（0,0）的 切 线 方 程 为（）A.y=0 B.er+y=0 C.y=0或 x+ey=0 D.y=0或 er+y=0例 19.（2022四 川 省 成 都 市 郸 都 区 第 一 中 学 高 三 阶 段 练 习（文）若 过 点，,0）的 直 线 与 函 数/（x）=xe的 图 象 相 切，则 所 有 可 能 的 切 点 横 坐 标 之 和 为（）A.e+1 B.-C.1 D.g 例 20.（2022陕 西 安 康 高 三 期 末（文）曲 线 y=2xlnx+3过 点 的 切 线 方 程 是（）A.2x+y+l=0 B.2x-j+1=0C.2x+4y+l=0 D.2x-4y+l=0例 2L（2022.广 东 茂 名.二 模）过 坐 标 原 点 作 曲 线 y=lnx的 切 线，则 切 点 的 纵 坐 标 为（）1 1A.e B.1 C.r=D.yle e例 22.（2022山 东 潍 坊 三 模）过 点 P（L，祖?eR）有 条 直 线 与 函 数/（力=忠 的 图 像 相 切，当 取 最 大 值 时，机 的 取 值 范 围 为（）A./n c B.C.0 D.mee e3.公 切 线 例 23.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）若 函 数 x）=lnx与 函 数 g（x）=V+x+a（x0）有 公 切 线，则 实 数。的 取 值 范 围 是（）A.|ln-,+oo|B.（-i,+oo）C.（h+e若 直 线 y=辰 小 0）与 函 数 x）,g（x）的 图 象 都 相 切，则“+、的 最 小 值 为（）A.2 B.2e C.e1 D.册 例 28.（2022.重 庆 市 育 才 中 学 高 三 阶 段 练 习）若 直 线/：丫=履+*1）为 曲 线/（力=/7 与 曲 线 8（力=6111工 的 公 切 线，则/的 纵 截 距 6=（）A.0 B.1 C.eD.e例 29.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 两 曲 线 y=lnx-1与、=公 2存 在 公 切 线，则 正 实 数 a 的 取 值 范 围 是（）A.（0,2e B.ge，+8）C.（a*，D.2e,+x）例 30.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）若 仅 存 在 一 条 直 线 与 函 数/（x）=alnx（0）和 g（x）=f 的 图 象 均 相 切，则 实 数。=（）A.e B.-Je C.2e D.2y/e4.已 知 切 线 求 参 数 问 题 例 31.（2022湖 南 模 拟 预 测）己 知 P 是 曲 线 C：y=lnx+/+（石-a）x 上 的 一 动 点，曲 线 C 在 尸 点 处 的 切 线 的 倾 斜 角 为。，希 三 则 实 数“的 取 值 范 围 是（）A.2百,0）B.272,0）C.D.例 32.（2022广 西 贵 港 市 高 级 中 学 三 模（理）已 知 曲 线 y=are+lnx在 点（l,ae）处 的 切 线 方 程 为 y=3x+6,贝 1 J（）A.a=e,b=-2C.6z=e 1 b=-2B.a=e,b=2D.=e-1,b=2例 33.（2022.江 苏 苏 州.模 拟 预 测）已 知 奇 函 数/（力=卜 2-2.（方+。）（4*0）在 点 3.）处 的 切 线 方 程 为 y=/（“），则。=（）A.-1或 1 B._ 述 或 毡 c.2或 2 D.-任 或 拽 3 3 3 3例 34.（2022 云 南 昆 明 模 拟 预 测（文）若 函 数/（x）=a 4+ln x的 图 象 在 x=4处 的 切 线 方 程 为 y=x+E则（）A.a=3,Z?=2+ln 4 B.a=3,Z?=2+ln43 3C.4=一,Z?=-l+ln4 D.a=f/?=1+In42 2例 35.（2022 河 南 方 城 第 一 高 级 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 直 线/的 斜 率 为 2,/与 曲 线 G：y=x（l+ln x）和 圆 C2：/+/-6%+=0均 相 切，则”=（）A.-4 B.-1 C.1 D.45.切 线 的 条 数 问 题 例 36.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）若 过 点（。,6）可 以 作 曲 线 y=ln x的 两 条 切 线，则（）A.a n b B.b na C.nb 0,若 过 点（a/）可 以 作 曲 线 y=d 的 三 条 切 线，则（）A.b0 B.0 b a D./?（/-/）=06.切 线 平 行、垂 直、重 合 问 题 例 42.（2022 安 徽 合 肥 一 中 模 拟 预 测（文）对 于 三 次 函 数 x）,若 曲 线 y=/（x）在 点（0,0）处 的 切 线 与 曲 线 y=MXx）在 点（1,2）处 点 的 切 线 重 合，则/。）=（）A.-34 B.-14 C.-4 D.14例 43.（2022.山 西 太 原.二 模（理）已 知 函 数 x）=asinx+6cosx+cr图 象 上 存 在 两 条 互 相 垂 直 的 切 线，La2+b2=1 则 4+b+c,的 最 大 值 为（）A.2布 B.2&C.6 D.72例 44.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数 兀 0=/+2 彳 的 图 象 在 点 4（x/,与 点 B（X2,/（X2）（x/X2O）处 的 切 线 互 相 垂 直，则 为 一 用 的 最 小 值 为（）A 玛 B.1C.-D.22例 45.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 直 线 x=。与 两 曲 线 丫=H 丫=1独 分 别 交 于 A 8 两 点，且 曲 线 y=e，在 点 A 处 的 切 线 为 加，曲 线 y=lnx在 点 8 处 的 切 线 为，则 下 列 结 论：山 0,+8）,使 得 加”；当 加 时，|AB|取 得 最 小 值；|他|的 最 小 值 为 2；|A邳 最 小 值 小 于?其 中 正 确 的 个 数 是（）A.1 B.2 C.3 D.4例 46.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/。）=x2+x+2a(x0)的 图 象 上 存 在 不 同 的 两 点 A 8,使 得 曲 线 y=/（x）在 这 两 点 处 的 切 线 重 合，则 实 数。的 取 值 范 围 是（）A.(-8,-：)B.(T,：)O oD.+oo)OC.(1,-K)例 47.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习（文）若 曲 线 y=e+x的 一 条 切 线/与 直 线 x+2y-2021=0垂 直，则 切 线/的 方 程 为（）A.2x-y+l=0 B.2x+y-l=0 C.2x-y-l=0 D.2x+y+l=07.最 值 问 题 例 48.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）若 点 P 是 曲 线 y=d-21nx上 任 意 一 点，贝 U点 P 至 直 线 y=x-3的 距 离 的 最 小 值 为（）A.B.巫 C.41 D.754 23例 49.（2022山 东 省 淄 博 第 一 中 学 高 三 开 学 考 试）动 直 线/分 别 与 直 线 y=2x-l,曲 线 y=-Inx相 交 于 A B 两 点，则|A8|的 最 小 值 为（）A.或 B.立 C.1 D.4510 5例 50.（2022 江 苏 高 三 专 题 练 习）已 知 a,b 为 正 实 数，直 线 丫=了 一。与 曲 线 y=ln（x+b）相 切，则 二；的 2-b取 值 范 围 是（）A.（0,-KO）B.（0,1）C.（0,-）D.1,+8）2例 51.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）曲 线 y=e”上 的 点 到 直 线 2x-y-4=0 的 最 短 距 离 是（）A.旧 B.y/j C.0 D.1例 52.（2022河 北 衡 水 高 三 阶 段 练 习）已 知 函 数/。）=小-2/在 x=l处 的 切 线 为/,第 一 象 限 内 的 点 XP（a/）在 切 线/上，则 一 二+1 工 的 最 小 值 为（）a+1 h+A2+3 垃 0 3+4 近 4+2 石 c 3+及 4 4 5 4例 53.（2022 山 东 聊 城 二 模）实 数，巧，,X 满 足：X；-皿%-%=0,x?-%-4=0,则（为 一 马 丫+（y-%丫 的 最 小 值 为（）A.0 B.2 0 C.4 0 D.8例 54.（2022河 南 许 昌 高 中 高 三 开 学 考 试（理）已 知 函 数 y=e2川 的 图 象 与 函 数=电 与 业 的 图 象 关 于 某 一 条 直 线/对 称，若 P,Q 分 别 为 它 们 图 象 上 的 两 个 动 点，则 这 两 点 之 间 距 离 的 最 小 值 为（）A.夜 B 叼 n2 c.&（4+lp2）D V2（4+ln2）例 55.（2022 河 南 灵 宝 市 第 一 高 级 中 学 模 拟 预 测（文）已 知 直 线 丫=履+。是 曲 线 y=+l的 切 线，则/2+62一 2人 的 最、值 为（）A.B.0 C.-D.32 4【方 法 技 巧 与 总 结】函 数 y=/（X）在 点 X。处 的 导 数，就 是 曲 线 y=/（x）在 点 P（x0,/（x0）处 的 切 线 的 斜 率.这 里 要 注 意 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 与 曲 线 经 过 某 点 的 切 线 的 区 别.（1）已 知/（X）在 点（为,/（X。）处 的 切 线 方 程 为 y-y f M x-x J.（2）若 求 曲 线 y=/（x）过 点（a,份 的 切 线 方 程，应 先 设 切 点 坐 标 为（,/（%），由，-%=/（与）（8-/）过 点（。，份，求 得 毛 的 值，从 而 求 得 切 线 方 程.另 外，要 注 意 切 点 既 在 曲 线 上 又 在 切 线 上.【过 关 测 试】一、单 选 题 1.（2022河 南 高 三 阶 段 练 习（理）若 曲 线 f（x）=等 在 点（1,/（I）处 的 切 线 方 程 为，=1-1,则。=()A.1 B.-C.2 D.e22.(2022 云 南 曲 靖 二 模(文)设/(x)是 函 数/*)的 导 函 数，尸(X)是 函 数 f(x)的 导 函 数，若 对 任 意 xwR,_f(x)0,/(x)0恒 成 立，则 下 列 选 项 正 确 的 是()A.0 八 3)/(3)八 2)八 2)B.0/(3)-/(2)r(2)r(3)C.0 3)八 2)/(3)-八 2)D.0 八 2)八 3)0 A J C(1,7(I)处 的 切 线 斜 率 为()A.2 B.-1 C.1 D.-14.(2022河 南 模 拟 预 测(文)已 知 f(x)=ln(x+2)+7 门 一/三，则 2 x+3曲 线 y=/(x)在 点(3,3)处 的 切 线 方 程 为()A.2x-10y+101n5-l=0 B.2x+10y+101n5-l=0C.x-12.y+121n5-15=0 D.x+12y+121n5-15=05.(2022贵 州 黔 东 南 一 模(理)一 个 质 点 作 直 线 运 动，其 位 移 s(单 位：米)与 时 间/(单 位：秒)满 足 关 系 式 S=/(4-3)3,则 当 r=l时，该 质 点 的 瞬 时 速 度 为()A.5 米/秒 B.8 米/秒 C.14米/秒 D.16米/秒 6.(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数 x)=xlnx,5(x)=x2+ar(aeR),若 经 过 点 A。,。)存 在 一 条 直 线/与“X)图 象 和 g(x)图 象 都 相 切，则”=()A.0 B.-1 C.3 D.-1 或 37.(2022 湖 南 长 郡 中 学 高 三 阶 段 练 习)若 不 等 式(a-bf+(a-In 1 2%对 任 意 a e R,60,”o)恒 成 立，则 实 数，”的 取 值 范 围 是()A.8,；B.-8,当 C.卜 8,收 D.(9,28.(2022.辽 宁 沈 阳.二 模)若 直 线+伉 与 直 线 y=是 曲 线 丫 斗 门 的 两 条 切 线，也 是 曲 线 丫=6,的 两 条 切 线，则 板 2+仇+&的 值 为()A.e-1 B.0 C.-1 D.-1e二、多 选 题 9.(2022辽 宁 丹 东 模 拟 预 测)若 过 点(l,a)可 以 作 出 曲 线 y=(x-l)e*的 切 线/,且/最 多 有 条，n eN 贝 1 J()A.6f0 B.当=2时，a 值 唯 一 4C.当=1时，a 一 一 D.的 值 可 以 取 到-4e10.（2022浙 江 高 三 专 题 练 习）为 满 足 人 们 对 美 好 生 活 的 向 往，环 保 部 门 要 求 相 关 企 业 加 强 污 水 治 理，排 放 未 达 标 的 企 业 要 限 期 整 改.设 企 业 的 污 水 排 放 量 W与 时 间，的 关 系 为 W=/（f）,用 一/（2 二%的 大 小 评 价 在 公 句 这 段 时 间 内 企 业 污 水 治 理 能 力 的 强 弱.已 知 整 改 期 内，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 量 与 时 间 的 关 系 如 图 所 示，则 下 列 结 论 中 正 确 的 有（A.在 4 这 段 时 间 内，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强 B.在，2时 刻，甲 企 业 的 污 水 治 理 能 力 比 乙 企 业 强 C.在 八 时 刻，甲、乙 两 企 业 的 污 水 排 放 都 己 达 标 D.甲 企 业 在 0，上”回，也 名 这 三 段 时 间 中，在（V 的 污 水 治 理 能 力 最 强 11.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 函 数/（x）=e*,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.曲 线 y=/（x）的 切 线 斜 率 可 以 是 IB.曲 线 y=/（x）的 切 线 斜 率 可 以 是-IC.过 点（0,1）且 与 曲 线 y=/（x）相 切 的 直 线 有 且 只 有 1条 D.过 点（0,0）且 与 曲 线 y=相 切 的 直 线 有 且 只 有 2 条 12.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）过 平 面 内 一 点 尸 作 曲 线 y=|l词 两 条 互 相 垂 直 的 切 线 切 点 为（6、巴 不 重 合），设 直 线；4 分 别 与 轴 交 于 点 A、8,则 下 列 结 论 正 确 的 是（）A.4、8 两 点 的 横 坐 标 之 积 为 定 值 B.直 线 勺 巴 的 斜 率 为 定 值；C.线 段 的 长 度 为 定 值 D.三 角 形/W P面 积 的 取 值 范 围 为（0,1 三、填 空 题 13.（2022山 东 肥 城 市 教 学 研 究 中 心 模 拟 预 测）已 知 函 数 x）=3 x-x ln x,则 曲 线 y=x）在 点（e j（e）处 的 切 线 方 程 为.14.（2022全 国 模 拟 预 测（文）若 直 线/与 曲 线 y=Y 和 r+y 2=都 相 切，贝 I 的 斜 率 为.15.（2022 湖 北 武 汉 模 拟 预 测）已 知 函 数/（x）=f（0）e 2=e T,贝 I j/（O）=.16.（2022 全 国 赣 州 市 第 三 中 学 模 拟 预 测（理）已 知 2/（x）+V（x）=2xcos2x+2（cosx+sinx）2,且 x 0,f|=5,那 么/(万)=.四、解 答 题 17.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)下 列 函 数 的 导 函 数(1)y=x4-3x2-5x+6；(2)(4)x Xy=2v+sin cos；(3)y=x-log2x；cosxy=-X18.(2022辽 宁 沈 阳 二 中 二 模)用 数 学 的 眼 光 看 世 界 就 能 发 现 很 多 数 学 之“美”.现 代 建 筑 讲 究 线 条 感，曲 线 之 美 让 人 称 奇.衡 量 曲 线 弯 曲 程 度 的 重 要 指 标 是 曲 率，曲 线 的 曲 率 定 义 如 下：若/4x)是“X)的 导 函 数，/(X)是 用 x)的 导 函 数，则 曲 线 y=/(x)在 点(x,/(x)处 的 曲 率*=3 若 曲 线 x)=lnx+x与 g(x)=正 在(1,1)处 的 曲 率 分 别 为 K2,比 较&,岛 大 小；求 正 弦 曲 线(x)=sinx(xeR)曲 率 的 平 方 正 的 最 大 值.19.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)设 函 数/(x)=or-2-lnx(aeR).若/(x)在 点(ej(e)处 的 切 线 为 xey+0=0,求 处 匕 的 值；求“X)的 单 调 区 间.20.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)函 数 x)=x3+x2-x+i,直 线/是 y=/(x)在(0,0)处 的 切 线.确 定/(x)的 单 调 性；(2)求 直 线/的 方 程 及 直 线 1与 y=/(X)的 图 象 的 交 点.21.(2022北 京 东 城 三 模)已 知 函 数/(x)=e，曲 线 y=/(x)在 点(T，/(-1)处 的 切 线 方 程 为 丫=米+(1)求 k,b 的 值；(2)设 函 数 g(x)=kx+b,x9m x,付.若 虫)=有 两 个 实 数 根(玉 气),将 表 示 为 的 函 数 并 求、2一 3的 最 小 值.22.(2022 贵 州 贵 阳 模 拟 预 测(理)已 知 a w R,函 数/.(x)=lnx+a(lx),g(x)=ev.（1）讨 论/（X）的 单 调 性；过 原 点 分 别 作 曲 线=/（*）和 y=g（x）的 切 线 4和 求 证：存 在 使 得 切 线 乙 和 A的 斜 率 互 为 倒 数.专 题 1 4导 数 的 概 念 与 运 算【考 点 预 测】知 识 点 一：导 数 的 概 念 和 几 何 性 质 1.概 念 函 数 fx在 x=/处 瞬 时 变 化 率 是 lirn=蚂/5+弋 一/卬,我 们 称 它 为 函 数 y=f（x）在 x=x（）处 的 导 数，记 作，（玉）或 y（=阳.知 识 点 诠 释：增 量 可 以 是 正 数，也 可 以 是 负，但 是 不 可 以 等 于 0.以 f O 的 意 义：曲 与。之 间 距 离 要 多 近 有 多 近，即|Ar-O|可 以 小 于 给 定 的 任 意 小 的 正 数；当 A v f 0 时，Ay在 变 化 中 都 趋 于 0,但 它 们 的 比 值 却 趋 于 一 个 确 定 的 常 数，即 存 在 一 个 常 数 与=+无 限 接 近；Ar Ax 导 数 的 本 质 就 是 函 数 的 平 均 变 化 率 在 某 点 处 的 极 限，即 瞬 时 变 化 率.如 瞬 时 速 度 即 是 位 移 在 这 一 时 刻 的 瞬 间 变 化 率，即/（%）=lim包=lim/（-+/（飞）.Ax A AX2.几 何 意 义 函 数 y=/（x）在 x=x。处 的 导 数（x0）的 几 何 意 义 即 为 函 数 y=f（x）在 点 P（与,%）处 的 切 线 的 斜 率.3.物 理 意 义 函 数 S=S 在 点 办 处 的 导 数 s。）是 物 体 在/（）时 刻 的 瞬 时 速 度 V，即 丫=S4）;v=v（r）在 点 片 的 导 数 丫 伉）是 物 体 在 时 刻 的 瞬 时 加 速 度 a,即。=丫 优）.知 识 点 二：导 数 的 运 算 1.求 导 的 基 本 公 式 基 本 初 等 函 数 导 函 数 f(x)=c(c 为 常 数)r w=o/(X)=x(a e Q)fx)=cixaf M=ax(a 0,。工 1)f W=ah Cl/(x)=log,x(a0,a“）r（x）Txln C lf(x)=ex尸(x)=e、/(x)=lnxr（x）Xf(x)=sin x f(x)=cos.c,f(x)=cosx fx)=-sinx2.导 数 的 四 则 运 算 法 则(1)函 数 和 差 求 导 法 则：(X)土 g(x)=r(x)土 g，(x)：(2)函 数 积 的 求 导 法 则：/(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x)；(3)函 数 商 的 求 导 法 则：g(x)*O,则/里=/(x)S(x)-/(x)g(x).g(x)g2。)3.复 合 函 数 求 导 数 复 合 函 数 y=f g(x)的 导 数 和 函 数 y=f(),=g(x)的 导 数 间 关 系 为 yx=y ux：【方 法 技 巧 与 总 结】1.在 点 的 切 线 方 程 切 线 方 程 y一/(%)=/(%)(大 一 题)的 计 算：函 数 y-f(x)在 点 A(x0,/(x0)处 的 切 线 方 程 为 y-f(%)=f(3)(x-%),抓 住 关 键%=/(%)k=/g2.过 点 的 切 线 方 程 设 切 点 为 尸(玉),%),则 斜 率=r(x0),过 切 点 的 切 线 方 程 为：y-y0=f W x-x0),又 因 为 切 线 方 程 过 点 A(，)，所 以-为=/(改)。-%)然 后 解 出 与 的 值.(x,有 儿 个 值，就 有 儿 条 切 线)注 意：在 做 此 类 题 目 时 要 分 清 题 目 提 供 的 点 在 曲 线 上 还 是 在 曲 线 外.【题 型 归 纳 目 录】题 型 一：导 数 的 定 义 题 型 二：求 函 数 的 导 数 题 型 三：导 数 的 几 何 意 义 1.在 点 P 处 切 线 2.过 点 P 的 切 线 3.公 切 线 4.已 知 切 线 求 参 数 问 题 5.切 线 的 条 数 问 题 6.切 线 平 行、垂 直、重 合 问 题 7.最 值 问 题【典 例 例 题】题 型 一：导 数 的 定 义 例 1.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习(文)函 数 y=/(x)的 图 像 如 图 所 示，下 列 不 等 关 系 正 确 的 是()y)A.0/(2)r(3)/(3)-/(2)B.0/(2)/(3)-/(2)/(3)C.0/,(3)/(3)-/(2)/,(2)D.0/(3)-/(2)r(2)0,r(3)表 示 切 线 4 斜 率%o,/(3)-/(2)又 由 平 均 变 化 率 的 定 义，可 得 3-2=/(3)-/(2),表 示 割 线 1 的 斜 率 网，结 合 图 象，可 得 0%3&勺,即 o r 3)-2)八 2).2.(2022河 南 南 阳 中 学 高 三 阶 段 练 习(理)设 函 数/5)满 足 而 7 5-2 小)-/(%)=2,则/($)=()心 Ax、A.-1 B.1 C.-2 D.2【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 函 数 的 导 数 的 定 义 求 解.【详 解】解：因 为 limTO Ax=_2 lim/(x()(),则 下 列 选 项 中 错 误 的 是()A.f：(L3)=Y B.4(1,3)=10C./：(，,)+/：(?,)的 最 小 值 为-g D./(x,y)的 最 小 值 为-捺【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 条 件 求 出/；(%)、/：(%,%),然 后 可 逐 一 判 断 ABC,f(x,y)=(X-y)2+y3-y2y3-y2,然 后 利 用 导 数 求 出 右 边 的 最 小 值 即 可.【详 解】因 为/(x,y)=x2-2孙+V(x0,y 0),所 以(%)=1而 八 立 飞=2x0-2%,则(1,3)=-4,A10 Ax又 f；(%,%)=啰-)=-2XO+3y：,所 以(1,3)=25,因 为/：(/,)+/；(/,)=2/n-2-2/K+3 2=3n2-2n=，所 以 当”=；时，/；(，)+/；(4”)取 得 最 小 值，且 最 小 值 为-g,/(x,y)=(x-y)2+y3-y2/-y2,令 屋 外 二%3-2(x0),gf(x)=3x2-2xf2 9当 0 x 时，g（x）时，g（x）0,故 g（%n=g 6）=_ 1,从 而 当 x=y=|时，/（x,y）取 得 最 小 值，且 最 小 值 为 故 选：B.例 4.（2022贵 州 黔 东 南 一 模（文）一 个 质 点 作 直 线 运 动，其 位 移 s（单 位：米）与 时 间 f（单 位：秒）满 足 关 系 式，5=户+1-2-4,则 当 f=l时，该 质 点 的 瞬 时 速 度 为（）A.-2米/秒 B.3 米/秒 C.4 米/秒 D.5 米/秒【答 案】B【解 析】【分 析】先 求 出 导 数，再 代 入 1=1计 算 即 可.【详 解】s=5t4+2t-4,当 f=l时,s=3,故 当 5=1时,该 质 点 的 瞬 时 速 度 为 3 米/秒.故 选：B.例 5.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）已 知 函 数 x）=2 1 n x+8 x,则 lim/0+2A0）的 值 为（）-AxA.-20 B.-10 C.10 D.20【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 导 数 的 定 义 可 得 期/0+2七）-1）=2/（1）,再 用 求 导 公 式 可 得:（）=彳+8,代 入 x=l即 可 得 解.【详 解】2因 为/（x）=21n尤+8 x,所 以 r（x）=、+8,所 以 h m+2 一 f=2 廊+2例 寸=2/,=20.A X T O Ar 2AA-O 7.Ar、/7故 选：D例 6.（2022.浙 江.高 三 专 题 练 习）已 知 函 数 x）=2/n-铲 2+1 1（尸（x）是/（x）的 导 函 数），则/=（）【答 案】D【解 析】【分 析】对 函 数 进 行 求 导，求 出(3)=2,再 令 x=l 代 入 解 析 式，即 可 得 到 答 案；【详 解】,.4 1,4 1./(%)=2/(3)-x+-,A/(3)=2/(3)-+-=/(3)=1,9 x 3 3 f(x)=2 x-|x2+ln x,/(I)=2-|=,故 选：D.例 7.(2022浙 江 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(x)的 导 函 数 为 尸(x),且 满 足“x)=d+x y(l)+2 x-l,则 2)=()A.1 B.-9 C.-6 D.4【答 案】C【解 析】【分 析】先 对“X)进 行 求 导，然 后 把 x=i代 入 f(x),可 列 出 关 于 r 的