2022高考数学真题分类汇编05函数与导数（教师版）.pdf

2022高 考 数 学 真 题 分 类 汇 编 五、函 数 与 导 数 一、选 择 题 1.(2022全 国 甲(文 T7)(理 T5)函 数 y=(3、-S f c o s x 在 区 间 一 T，的 图 象 大 致 为()【解 析】【分 析】由 函 数 的 奇 偶 性 结 合 指 数 函 数、三 角 函 数 的 性 质 逐 项 排 除 即 可 得 解.【详 解】令/(x)=(3，3-，)cosx,xe,则/(-x)=(3r_3，cos(-x)=-(3*_3-*)cosx=_/(x),所 以 为 奇 函 数，排 除 B D；又 当 时，3-3-A 0,cosx0,所 以/(x)0,排 除 C.故 选：A.2.(2022全 国 甲(文 T8)(理 T6).当 x=l 时，函 数/(X)=aln X+取 得 最 大 值 一 2,则 X八 2)=()A.1 B.C.；D.12 2【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 知/(I)=-2,/(1)=0 即 可 解 得 a力，再 根 据/(X)即 可 解 出.【详 解】因 为 函 数/(%)定 义 域 为(0,+。)，所 以 依 题 可 知，/(1)=-2,/(1)=0,而/(%)=-,所 以 力 二 一 2,。一/?=0,即=-2,/?=-2,所 以=+,因 此 函 数/(X)在(0,1)上 递 增，在(1,+8)上 递 减，X=1 时 取 最 大 值，满 足 题 意，即 有/,(2)=-1+1=-1.故 选：B.3.(2022全 国 乙(文 T 8)如 图 是 下 列 四 个 函 数 中 的 某 个 函 数 在 区 间-3,3 的 大 致 图 像，则 该 函 数 是()-2xcosxc y=FD.2sinx【答 案】A【解 析】【分 析】由 函 数 图 像 的 特 征 结 合 函 数 的 性 质 逐 项 排 除 即 可 得 解.【详 解】设/(x)=g，则/(1)=0,故 排 除 B;设,当 时，ocosxl,所 以(x)=岑 岑 故 排 除 C;X 4 1 X 4 1/、2sinx 八、2sin3 八 人 设 g(x)=F7，则 g(3)=，八 A。,故 排 除 D.x+1 10故 选：A.4.(2022全 国 乙(理)T12)已 知 函 数/(x),g(x)的 定 义 域 均 为 R,且/(x)+g(2-x)=5,g(x)-/(x-4)=7.若 y=g(x)的 图 像 关 于 直 线 x=2 对 称，22g(2)=4,则(%)=()A-1A.-21 B.-22 C.-23 D.-24【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 对 称 性 和 已 知 条 件 得 到/(幻+/*-2)=-2,从 而 得 到/(3)+/(5)+.+/(21)=-10,4)+/(6)+/(22)=10,然 后 根 据 条 件 得 到/(2)的 值，再 由 题 意 得 到 g(3)=6从 而 得 到 了(1)的 值 即 可 求 解.【详 解】因 为 y=g(x)的 图 像 关 于 直 线 x=2对 称，所 以 g(2-x)=g(x+2),因 为 g(x)-/(x4)=7,所 以 g(x+2)/(x2)=7,即 g(x+2)=7+/(x2),因 为/(x)+g(2-x)=5,所 以/(x)+g(x+2)=5,代 入 得/(X)+7+/(X-2)=5,即/(x)+/(x2)=2,所 以/(3)+/(5)+.+/(21)=(2)X5=10,/(4)+/(6)+.+/(22)=(-2)x5=-10.因 为/(x)+g(2 x)=5,所 以/(0)+g(2)=5,即/(O)=l,所 以/(2)=-2-/(0)=-3.因 为 g(x)-/0-4)=7,所 以 g(x+4)-/(x)=7,又 因 为/(x)+g(2x)=5,联 立 得，g(2-x)+g(x+4)=12,所 以 y=g(x)的 图 像 关 于 点(3,6)中 心 对 称，因 为 函 数 g(x)的 定 义 域 为 R,所 以 g(3)=6因 为/(x)+g(x+2)=5,所 以/(l)=5g(3)=l.所 以 22/伏)=1)+2)+3)+5)+.+21)+4)+6)+.+22)=1 3 10 10=24k=故 选：D【点 睛】含 有 对 称 轴 或 对 称 中 心 的 问 题 往 往 条 件 比 较 隐 蔽，考 生 需 要 根 据 已 知 条 件 进 行 恰 当的 转 化，然 后 得 到 所 需 的 一 些 数 值 或 关 系 式 从 而 解 题.5.（2022 新 高 考 I 卷 T10）已 知 函 数/（刈=/一 x+1,则（）A.，*）有 两 个 极 值 点 B.“X）有 三 个 零 点 C.点（0,1）是 曲 线 y=/（x）的 对 称 中 心 D.直 线 y=2 x 是 曲 线 y=/（x）的 切 线【答 案】AC【解 析】【分 析】利 用 极 值 点 的 定 义 可 判 断 A,结 合/5）的 单 调 性、极 值 可 判 断 B,利 用 平 移 可 判 断 C；利 用 导 数 的 几 何 意 义 判 断 D.【详 解】由 题，r（x）=3 f _ i,令/（力 0 得 彳 或 x-立，令 r（x）o得 一 正 1,3 3所 以/在（一，g）上 单 调 递 减，在（_8,_且），（岑,+00）上 单 调 递 增，所 以 x=且 是 极 值 点，故 A 正 确；3因/（-）=1+孚 0,/哼）=1-孚 2）=-5 0，所 以，函 数/（力 在-8,一 5 上 有 一 个 零 点，当 尤 2,时，/（小/仁）。，即 函 数“力 在 等，+8 上 无 零 点，综 上 所 述，函 数，（x）有 一 个 零 点，故 B 错 误；令 力（）=3-该 函 数 的 定 义 域 为 R,/?（-%）=（-X）3-（-X）=-X3+x=-/z（x）,则（X）是 奇 函 数,（0,0）是（X）的 对 称 中 心，将（X）的 图 象 向 上 移 动 一 个 单 位 得 到 了（X）的 图 象，所 以 点（0,1）是 曲 线 y=/（x）的 对 称 中 心，故 C 正 确；令/（力=3/-1=2,可 得 x=l,又/=/（-1）=1,当 切 点 为（1,1）时，切 线 方 程 为 y=2xl,当 切 点 为（1,1）时，切 线 方 程 为 y=2x+3,故 D 错 误.故 选：AC6.(2022 新 高 考 I卷 T12)已 知 函 数/(幻 及 其 导 函 数/(X)的 定 义 域 均 为 R,记 g(x)=/(x),若 g(2+x)均 为 偶 函 数，则()A./(0)=0 B.C./(-1)=/(4)D.g(-D=g【答 案】BC【解 析】【分 析】转 化 题 设 条 件 为 函 数 的 对 称 性，结 合 原 函 数 与 导 函 数 图 象 的 关 系，根 据 函 数 的 性 质 逐 项 判 断 即 可 得 解.【详 解】因 为 口 一 2x,g(2+x)均 为 偶 函 数，所 以=+即/(T x=/T+x)g(2+x)=g(2 x),所 以 3-x)=/(x),g(4-x)=g(x),则 f(T)=/，故 C 正 确；3函 数/(幻，g(x)的 图 象 分 别 关 于 直 线 x=,x=2对 称，2又 g(x)=/(x)，且 函 数 x)可 导，所 以 g1|1=0，g(3 x)=g(x),所 以 g(4-x)=g(x)=-g(3-x),所 以 g(x+2)=-g(x+l)=g(x),所 以 g=g 1)=0，g(T)=g#=-g(2)，故 B 正 确，D 错 误；若 函 数 满 足 题 设 条 件，则 函 数/U)+C(C 为 常 数)也 满 足 题 设 条 件，所 以 无 法 确 定/(x)的 函 数 值，故 A 错 误.故 选：BC.【点 睛】关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 转 化 题 干 条 件 为 抽 象 函 数 的 性 质，准 确 把 握 原 函 数 与 导 函 数 图 象 间 的 关 系，准 确 把 握 函 数 的 性 质(必 要 时 结 合 图 象)即 可 得 解.7.(2022新 高 考 II卷 T 8)若 函 数/*)的 定 义 域 为 R,且 22f(x+y)+f(x-y)=/(x)/(y),/(l)=1,则 Z/(Q=()A=1A.3【答 案】A【解 析】B.-2 C.0 D.1【分 析】根 据 题 意 赋 值 即 可 知 函 数/(X)的 一 个 周 期 为 6,求 出 函 数 一 个 周 期 中 的/(1),/(2),-、6)的 值，即 可 解 出.【详 解】因 为/a+y)+/(i-y)=/(x)y),令 x=l,y=O 可 得，2/=/(1)0),所 以 40)=2,令=0 可 得，.f(y)+/(-y)=2/(y),即=/(-y),所 以 函 数/(x)为 偶 函 数，令 y=l得，/(x+l)+/(x-l)=/(x)/(l)=/(x),即 有/(x+2)+/(x)=/(x+l),从 而 可 知/(x+2)=-/(x-l),=4),故 x+2)=x-4),即/(x)=/(x+6),所 以 函 数/(x)的 一 个 周 期 为 6.因 为 2)=1)一/(0)=1-2=-1,/(3)=/(2)-/(1)=-1-1=-2,/(4)=/(-2)=/(2)=-1,/(5)=/(-1)=/(1)=1./(6)=/(0)=2,所 以 一 个 周 期 内 的/。)+/(2)+-+/(6)=0.由 于 22除 以 6余 4,22所 以/(4)=1)+2)+/(3)+/(4)=1-1-2-1=-3.4=1故 选：A.f(X)=!8.(2022北 京 卷 T 4)己 知 函 数 1+2 1 则 对 任 意 实 数 心 有()A./(-+/(尤)=0 B.f(-x)-f(x)=0c./(-x)+/(%)=l D./(-x)-/(x)=l【答 案】C【解 析】【分 析】直 接 代 入 计 算，注 意 通 分 不 要 计 算 错 误.I 1 V I【详 解】/()+/(x)=!+!=+!=1,故 A 错 误，c 正 确；八)1+2-1+2*1+2*1+2/(-x)-/(x)=j-r1 2*_1 _ 2X-1_1_ _ 21+2、-1+2*-1+2,-2+1 2+1不 是 常 数，故 BD错 误；故 选：C.9.(2022北 京 卷 T 7)在 北 京 冬 奥 会 上，国 家 速 滑 馆“冰 丝 带”使 用 高 效 环 保 的 二 氧 化 碳 跨 临界 直 冷 制 冰 技 术，为 实 现 绿 色 冬 奥 作 出 了 贡 献.如 图 描 述 了 一 定 条 件 下 二 氧 化 碳 所 处 的 状 态 与 7和 IgP的 关 系，其 中 T表 示 温 度，单 位 是 K；P 表 示 压 强，单 位 是 bar.下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.当 T=220,P=1026时，二 氧 化 碳 处 于 液 态 B.当 7=27 0,尸=128时，二 氧 化 碳 处 于 气 态 C.当 丁=300,尸=9987时，二 氧 化 碳 处 于 超 临 界 状 态 D.当 7=360,尸=729时，二 氧 化 碳 处 于 超 临 界 状 态【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 T 与 电 户 的 关 系 图 可 得 正 确 的 选 项.【详 解】当 T=220,P=1026时，lgP3,此 时 二 氧 化 碳 处 于 固 态，故 A 错 误.当 7=2 7 0,P=128时，2 l g P 3,此 时 二 氧 化 碳 处 于 液 态，故 B 错 误.当 T=300,。=9987时，恒 尸 与 4 非 常 接 近，故 此 时 二 氧 化 碳 处 于 固 态，另 一 方 面，T=300时 对 应 的 是 非 超 临 界 状 态，故 C 错 误.当 7=360,尸=729时，因 2lgP3,故 此 时 二 氧 化 碳 处 于 超 临 界 状 态，故 D 正 确.故 选：D10.（2022浙 江 卷 T7）已 知 2=5,log83=b,则 4-3=（）_ 25 5A.25 B.5 C.D.一 9 3【答 案】c【解 析】【分 析】根 据 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化，幕 的 运 算 性 质 以 及 对 数 的 运 算 性 质 即 可 解 出.【详 解】因 为 2=5，=log83=1log23,即 2=3,所 以4 心 4(2”52 254的 伍 叶 32 9,故 选：C.二、填 空 题 1.(2022全 国 乙(文 T16)若/(x)=ln。+匚 1+8 是 奇 函 数，则。=，b=.【答 案】.-：(2).In2.【解 析】【分 析】根 据 奇 函 数 的 定 义 即 可 求 出.【详 解】因 为 函 数 f(x)=lna+J+人 为 奇 函 数，所 以 其 定 义 域 关 于 原 点 对 称.由+一#0 可 得，(l-x)(a+l-ar)0,所 以*把=-1,解 得：=,即 函 1-x a 2数 的 定 义 域 为(7,-1)-1,1)51，口)，再 由 0)=0可 得，b=ln2.即/(x)=ln-g+占+ln2=l n E,在 定 义 域 内 满 足/(x)=/(x),符 合 题 意.故 答 案 为：一 一；ln2.22.(2022全 国 乙(理)T16)已 知 x=X 和 光=2分 别 是 函 数/(x)=2a*-ex2(0且 a/1)的 极 小 值 点 和 极 大 值 点.若 不 乙，则 a 的 取 值 范 围 是.【答 案】(Li【解 析】【分 析】由 为,分 别 是 函 数/(x)=2优 e f 的 极 小 值 点 和 极 大 值 点，可 得 x(-oo,xju(x2，+0)时，/(%)0，再 分 al和 Ocavl两 种 情 况 讨 论，方 程 21na-a*2ex=O 的 两 个 根 为 不，与，即 函 数 y=lna-a”与 函 数 y=ex的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点，构 造 函 数 g(x)=lna-，根 据 导 数 的 结 合 意 义 结 合 图 象 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：r(x)=21na-2ex,因 为 知 天 分 别 是 函 数/（X）=2 a-e x2的 极 小 值 点 和 极 大 值 点，所 以 函 数/（x）在（TX）,%）和（,+00）上 递 减，在（%,工 2）上 递 增，所 以 当 工（-00,%）口（w,+00）时，r（x）。,若 a 时,当 x 0,2 ex o,与 前 面 矛 盾，故 a 1不 符 合 题 意，若 Ovav l时，则 方 程 21114 优 一 2=0 的 两 个 根 为 小 超，即 方 程 ln a=e x的 两 个 根 为 不 工 2，即 函 数 y=na优 与 函 数 y=e x的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点，g（x）=ln a a,则 8（工）=皿 2。,0=e x的 图 象 有 两 个 不 同 的 交 点，所 以 eln?。e，解 得 一 a e,e又 0 1,所 以 e综 上 所 述，a 的 范 围 为【点 睛】本 题 考 查 了 函 数 的 极 值 点 问 题，考 查 了 导 数 的 几 何 意 义，考 查 了 转 化 思 想 及 分 类 讨 论 思 想，有 一 定 的 难 度.3.（2022新 高 考 I 卷 T15）若 曲 线 y=（x+a）e*有 两 条 过 坐 标 原 点 的 切 线，则。的 取 值 范 围 是.【答 案】（y,T）D（0,+e）【解 析】【分 析】设 出 切 点 横 坐 标 与，利 用 导 数 的 几 何 意 义 求 得 切 线 方 程，根 据 切 线 经 过 原 点 得 到 关 于。的 方 程，根 据 此 方 程 应 有 两 个 不 同 的 实 数 根，求 得。的 取 值 范 围.【详 解】.,y=（x+a）e,二:/=（%+1+。）6”,设 切 点 为（,%）,则%=（%+a）e而，切 线 斜 率 左=5+1+a）e*,切 线 方 程 为：丁 一（%+。）*=（毛+l+a）e”（x-/），,切 线 过 原 点，一（+a）e*=（xo+l+a）e”（玉），整 理 得：X：+a x）a 0,切 线 有 两 条，.=/+4。o,解 得。o,/.a的 取 值 范 围 是（8,T）D（0,+8）,故 答 案 为：（Y O,T）D（0,+8）4.（2022新 高 考 口 卷 T14）写 出 曲 线 y=ln|x|过 坐 标 原 点 的 切 线 方 程：，【答 案】.y=-x.y=-xe e【解 析】【分 析】分 x 0 和 x 0 时 设 切 点 为(不，皿/)，求 出 函 数 导 函 数，即 可 求 出 切 线 的 斜 率，从 而 表 示 出 切 线 方 程，再 根 据 切 线 过 坐 标 原 点 求 出 方,即 可 求 出 切 线 方 程，当 x=111凶，当 尤 0 时 y=lnx,设 切 点 为(不，In%)，由 y=，所 以 1气=一,所 以 切 线 方 程 为 X 玉)y-lnx0=(x-x0),xo又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以 T n%=(一/)，解 得 玉)=e,所 以 切 线 方 程 为 y-l=1(xe),玉)e即 y=L；e当 x 0 时 y=ln(x),设 切 点 为(X1 n(f),由 y=L 所 以 川=,，所 以 切 线 X 玉 方 程 为 y-In(一%)=-!(x 石)，x又 切 线 过 坐 标 原 点，所 以-In(-石)=(一 玉)，解 得 玉=-e,所 以 切 线 方 程 为 x-1=(x+e),即 y=-L；-e e故 答 案 为：y=-x；y=xe ef(x)=-+Jl-x5.(2022北 京 卷 Til)函 数 1 的 定 义 域 是.【答 案】(F,O)U(O【解 析】【分 析】根 据 偶 次 方 根 的 被 开 方 数 非 负、分 母 不 为 零 得 到 方 程 组，解 得 即 可；【详 解】解：因 为/(x)=+J匚 3,所 以 八，解 得 且 XH0,故 函 数 的 定 义 域 为(f,O)u(O,l；故 答 案 为：(F,0)D(0,l-or+1,x6.(2022北 京 卷 T14)设 函 数 U)X 一 若/*)存 在 最 小 值，则 a 的 一 个 取 值 为:。的 最 大 值 为.【答 案】0(答 案 不 唯 一)(2).1【解 析】【分 析】根 据 分 段 函 数 中 的 函 数 y=-依+1的 单 调 性 进 行 分 类 讨 论，可 知，a=0 符 合 条 件，4 0 时 函 数 y=-以+1没 有 最 小 值，故 X)的 最 小 值 只 能 取 y=(x-2)2的 最 小 值，根 据 定 义 域 讨 论 可 知 一 4+120或/+12(a 2)2,解 得 0aWl.1,x 0若 a0 时，当 x-oo,故/(x)没 有 最 小 值，不 符 合 题 目 要 求；若 a 0 时，当 x f(a)=-a2+1,0(0 a 时，/(x)；=m，n a-2)2(G2)+120 或 一 4+1“a-2)2,解 得 0a,综 上 可 得()W a W 1；故 答 案 为：0(答 案 不 唯 一)，1-x2+27.(2022浙 江 卷 T14)已 知 函 数/(X)=1X H-1,Xxea,b,l f(x)3,则 人 一。的 最 大 值 是 一 37【答 案】.3+6#6+328【解 析】X 4 1,/、则/卜【分 析】结 合 分 段 函 数 的 解 析 式 求 函 数 值,1(1V 7【详 解】由 已 知/()=-+2=-,2 2J 4所 以/国)啜,由 条 件 求 出 a 的 最 小 值 功 的 最 大 值 即 可.工,7、7 4,37f()=H-1=,4 4 7 28当 时，由 14/(x)1H寸，由 l4/(x)K3 可 得 14x+,-1 4 3,所 以 1X 42+JJ，X14/(幻 4 3 等 价 于 1 4 4 2+6,所 以 3 川 口 一 1,2+6,所 以 方 一。的 最 大 值 为 3+6.37故 答 案 为：,3+-s/3-28三、解 答 题 1.(2022全 国 甲(文)T 2 0)已 知 函 数/(幻=%3 一 送(幻=X2+。，曲 线 y=.f(x)在 点(芭 J&)处 的 切 线 也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.(1)若 玉=-1,求 4；(2)求 a 的 取 值 范 围.【答 案】3(2)-1,4W)【解 析】【分 析】(1)先 由/5)上 的 切 点 求 出 切 线 方 程，设 出 g(x)上 的 切 点 坐 标，由 斜 率 求 出 切 点 坐 标，再 由 函 数 值 求 出。即 可；(2)设 出 g(x)上 的 切 点 坐 标，分 别 由 Ax)和 g(x)及 切 点 表 示 出 切 线 方 程，由 切 线 重 合 表 示 出“，构 造 函 数，求 导 求 出 函 数 值 域，即 可 求 得”的 取 值 范 围.【小 问 1 详 解】由 题 意 知，/(-I)=-1-(-1)=0,f(x)=3x2-l,/(-I)=3-1=2,则 y=/(x)在 点(-1,0)处 的 切 线 方 程 为 y=2(x+1),即 y=2 x+2,设 该 切 线 与 g(x)切 于 点(w，g(X2)，g*)=2 x,则 g，)=2%=2,解 得=1,则 g(l)=l+a=2+2,解 得。=3；【小 问 2 详 解】f(x)=3x2-,则 y=f(处 在 点(x,./U,)处 的 切 线 方 程 为 y-xj=(3x；_1)(_药)，整 理 得 y=(3x；_1)x_2x：,设 该 切 线 与 g(x)切 于 点(9，g(X2)，g(x)=2 x,则 g5)=2当，贝 彻 线 方 程 为 y(x；+a)=2X2(X X2),整 理 得 y=2x2x-x；+a,则 0,4 2 4解 得 一，x l,3令(x)0,解 得 x-g 或 0 x l,则 x 变 化 时，”(x),力(x)的 变 化 情 况 如 下 表:则 的 值 域 为-L”)，故 的 取 值 范 围 为-1,+8).X_13H-)0(o，i)1(1,+OO)h(x)0+0 0+h(x)5?7/j_4-1/2.(2022全 国 甲(理)T 2 1)已 知 函 数/(%)=nx+x-a.1若“6 对,求 a 的 取 值 范 围;2口 证 明：若 x)有 两 个 零 点 不，则 环 修 0,再 利 用 导 数 即 可 得 证.【小 问 1 详 解】/(X)的 定 义 域 为(0,+8),令 f(x)=0,得 x=l当 x G(0,1),r(x)0,/(X)单 调 递 增/(x)/(l)=e+l-4Z,若/（x）NO,则 e+la2 0,即 a e+l所 以”的 取 值 范 围 为（-8,e+l【小 问 2 详 解】由 题 知,/（x）一 个 零 点 小 于 1,一 个 零 点 大 于 1不 妨 设 玉 1 1要 证 罚 1，即 证 王 一 X21(1 A因 为 不 一 e(0),即 证/仁)/X2 lX2 7因 为/（玉）=/（士），即 证/（工 2）f印 证-nx+x-xex-Inx O,X G(1,+co)x xe 上 if n即 证-xe-2 Inx x 0 x 2 x)下 面 证 明 xl 时，-xe 0,Inx x 1,x(1 1 A则 g(x)=-f exx x 7所 以 0(%)夕(1)=6,而 0,所 以 g(x)0 x所 以 g(x)在(L+oo)单 调 递 增 ev 1即 8(无)8(1)=0,所 以-xe，0 x,x 1h(x)=-2x x 1(x 1)所 以(x)在(L+o。)单 调 递 减 即(x)0,所 以 Xi/L【点 睛】关 键 点 点 睛：本 题 极 值 点 偏 移 问 题，关 键 点 是 通 过 分 析 法，构 造 函 数 证 明 不 等 式 这 个 函 数 经 常 出 现，需 要 掌 握 3.(2022全 国 乙(文)T20)已 知 函 数/(%)=ax-(a+l)lnx.(1)当 a=0 时，求/*)的 最 大 值；(2)若/(X)恰 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【答 案】(1)-1(2)(0,+oo)【解 析】【分 析】(1)由 导 数 确 定 函 数 的 单 调 性，即 可 得 解；(2)求 导 得 广(x)=(一?一),按 照。40、0“1结 合 导 数 讨 论 函 数 的 单 调 性，求 得 函 数 的 极 值，即 可 得 解.【小 问 1 详 解】当 a=0 时，/(x)=-lnx,x0,则,X X X X当 xe(O,l)时，用 x)0,/(x)单 调 递 增；当 xe(l,+8)时，制 x)0,则/x)=a+与-L(D,r X当 a0时，办 1 W O,所 以 当 xe(O,l)时，户)0,/(x)单 调 递 增;当 Xl,+8)时，用 勾 0,f(x)单 调 递 减;所 以/(x)1rax=/(1)=4-1 0,此 时 函 数 无 零 点，不 合 题 意；当 0“1,在(0),15,+上，/x)0,“X)单 调 递 增;在(1,：)上，/x)0,/(x)单 调 递 减；又/=-1 1 时，;1,在),：),(1,+8)上，/0,/(X)单 调 递 增；在 上，/x)0,又/，r)=/l-a+(a+l)lna,当 趋 近 正 无 穷 大 时，趋 近 负 无 穷，所 以 x)在(0,J 有 一 个 零 点，在+“|无 零 点，所 以/(x)有 唯 一 零 点，符 合 题 意；综 上，a 的 取 值 范 围 为(0,+8).【点 睛】关 键 点 点 睛：解 决 本 题 的 关 键 是 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 与 单 调 性，把 函 数 零 点 问 题 转 化 为 函 数 的 单 调 性 与 极 值 的 问 题.4(2022 全 国 乙(理)T21)已 知 函 数 x)=ln(l+x)+areT I当 a=l时，求 曲 线 y=/(x)在 点(0,/(。)处 的 切 线 方 程；口 2口 若“X)在 区 间(-1,0),(0,+)各 恰 有 一 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围.【答 案】(1)y=2x(2)(-oo,-l)【解 析】【分 析】(1)先 算 出 切 点,再 求 导 算 出 斜 率 即 可(2)求 导，对 分 类 讨 论，对 x分(-1,0),(0,+oo)两 部 分 研 究【小 问 1详 解】/(X)的 定 义 域 为(-1,+8)Y当 a=1 时,/(x)=ln(l+x)+二 7(O)=0,所 以 切 点 为(0,0)eI I _/(%)=-+一,/(0)=2,所 以 切 线 斜 率 为 21+x e所 以 曲 线 y=f M 在 点(0,7(0)处 的 切 线 方 程 为 y=2x【小 问 2 详 解】/(x)=ln(l+尤)+与 er(x)=J+5 1 5=e*+a(l 二 巧 1+x ev(l+x)ev设 g(x)=e*+a(l-x2)1 若 a 0,当 x e(1,0),g(x)=e+a(1-f)o,即 八)o所 以/(x)在(-1,0)上 单 调 递 增,f(x)o所 以 g(x)在(0,”)上 单 调 递 增 所 以 g(x)g(0)=1+a.0,即 f(x)0所 以 f M 在(0,4w)上 单 调 递 增,/(x)/(0)=0故/(x)在(0,+oo)上 没 有 零 点，不 合 题 意 3 若 7(1)当 x e(0,+oo)，则 g(%)=ev-2ax 0,所 以 g(x)在(0,+oo)上 单 调 递 增 g(0)=l+a0所 以 存 在 m G(0,1)使 得 gm=0,即/(=0当 x e(0,m),/(x)0,f(x)单 调 递 增 所 以 当 x e(0,m),/(x)/(0)=0当 X f+oo,/(X)T+oo所 以/(X)在(肛+0 0)上 有 唯 一 零 点 又(0,没 有 零 点，即 f M 在(0,+8)上 有 唯 一 零 点(2)当 x e(-1,。),g(x)=e*+。(1 一/)设 Z/(x)=g(x)=eA 2axJi(x)=e-2a 0所 以 g(x)在(一 1,0)单 调 递 增 g(-l)+2a 0e所 以 存 在 e(1,0)使 得 g()=0当 无(-1,),g(x)0,g(x)单 调 递 增 g(x)g(0)=l+a 0e所 以 存 在 r e(-l,n)，使 得 g(t)=0,即 f(t)=0当 x e 单 调 递 增，当 x e(/,0),/(x)单 调 递 减 而/(0)=0,所 以 当 x e,0)J(x)0所 以/a)在 上 有 唯 一 零 点,“,0)上 无 零 点 即/(幻 在(一 1,0)上 有 唯 一 零 点 所 以。-1,符 合 题 意 所 以 若/(X)在 区 间(-1,0),(0,48)各 恰 有 一 个 零 点，求”的 取 值 范 围 为【点 睛】方 法 点 睛：本 题 的 关 键 是 对“的 范 围 进 行 合 理 分 类，否 定 和 肯 定 并 用，否 定 只 需 要 说 明 一 边 不 满 足 即 可，肯 定 要 两 方 面 都 说 明.5.(2022新 高 考 I 卷 T 2 2)已 知 函 数/(x)=e*ox和 g(x)=G-l n x 有 相 同 最 小 值.(1)求 0；(2)证 明：存 在 直 线 y=b,其 与 两 条 曲 线 y=f(x)和 y=g(x)共 有 三 个 不 同 的 交 点，并 且 从 左 到 右 的 三 个 交 点 的 横 坐 标 成 等 差 数 列.【答 案】(1)a=l(2)见 解 析【解 析】【分 析】(1)根 据 导 数 可 得 函 数 的 单 调 性，从 而 可 得 相 应 的 最 小 值，根 据 最 小 值 相 等 可 求。.注 意 分 类 讨 论.(2)根 据(1)可 得 当 人 1时，e、一 x=b 的 解 的 个 数、X 111%=人 的 解 的 个 数 均 为 2,构 建 新 函 数(x)=e+In X-2 x,利 用 导 数 可 得 该 函 数 只 有 一 个 零 点 且 可 得/(x),g(x)的 大 小 关 系，根 据 存 在 直 线 y=b 与 曲 线 y=/(x)、y=g(x)有 三 个 不 同 的 交 点 可 得。的 取 值，再 根 据 两 类 方 程 的 根 的 关 系 可 证 明 三 根 成 等 差 数 列.【小 问 1 详 解】/,。)=6-方 的 定 义 域 为/?,而 fix)=ex-a,若 a 4 0,则/(x)0,此 时/(x)无 最 小 值，故 a0.8(幻=以 一 111%的 定 义 域 为(0,+8),而 g(x)=a-，=-X X当 xcl n a 时,f(x)l n a 时，fx)0,故/(x)在(Ina,+。)上 为 增 函 数，故/(%),而=/0 n a)=a-alna.1(1A当 0 X 一 时，g(x)0,故 g(x)在(L,+oo上 为 增 函 数，a a)故 g*)min=g(：)=l_ln-因 为/(x)=e-Qx和 g(x)=-l n x 有 相 同 的 最 小 值，1a-故 l-ln=Q-aln。，整 理 得 到-=na f 其 中。0,a 1+a设 g(a)=-In a,a 0,则 g(a)=2.2-=7：7T-0.+a(1+a)a a(l+a)故 g(a)为(0,+co)上 的 减 函 数，而 g(l)=O,故 g(a)=0的 唯 一 解 为 a=l,故=lna的 解 为 a=l.综 上，a=l.【小 问 2详 解】由(1)可 得/(x)=e*-x和 g(x)=x-lnx的 最 小 值 为 l-lnl=l-ln；=l.当 61时，考 虑 e-x=b 的 解 的 个 数、x-lnx=b的 解 的 个 数.设 S(x)=e-x-力，S(x)=e，-1,当 了 0 时，S(x)0 时，S(x)0,故 S(x)在(-a),0)上 为 减 函 数，在(0,+8)上 为 增 函 数，所 以 s(L=s(o)=i“0,s(b)=eh-2b,设(O)=e-2),其 中 bl,则/(b)=e-20,故”(Z?)在(1,+8)上 为 增 函 数，故(l)=e-20,故 S(h)0,故 S(x)=e、-x b有 两 个 不 同 的 零 点，即 e“x=8 的 解 的 个 数 为 2.设 T(x)=x-lnx-8,=当 0 xl时,T)1 时,F(x)0,故 T(x)在(0,1)上 为 减 函 数，在(1,+8)上 为 增 函 数，所 以 T(x L=T=1一 人 0,T(eb)eb-2b0,T(x)=x-lnx-。有 两 个 不 同 的 零 点 即 x-lnx=Z?的 解 的 个 数 为 2.当 8=1,由(1)讨 论 可 得 x-Inx=匕、e、一 元=匕 仅 有 一 个 零 点，当 力 1时，由(1)讨 论 可 得 x-lnx=b、6*-x=b 均 无 零 点,故 若 存 在 直 线 y=人 与 曲 线 y=x)、y=g(x)有 三 个 不 同 的 交 点，则 人 1.设/zO)=e*+lnx-2x,其 中 九 0,故(x)=e+2,x设 s(x)=e%一 1,元 0,则 s(x)=ev l0,故 s(x)在(0,+oo)上 为 增 函 数，故 s(x)s(o)=o即 e 1+1，所 以 力(x)x+g 122 10,所 以(X)在(0,+8)上 为 增 函 数，1 o?而/z(l)=e_20,/z(-L)=ee3-3-4 e-3-4 0，e e e故(X)在(O,+8)上 有 且 只 有 一 个 零 点 X,1 玉)1且：e当 0 x 玉)时，0即 e X x-ln尤 即/(x)0即 一%111%即/(尤)8()，因 此 若 存 在 直 线 y=8与 曲 线 y=/(x)、y=g(x)有 三 个 不 同 交 点，故 6=/1(天)=g(天)1，此 时 e*-x=8 有 两 个 不 同 的 零 点 玉，与(王。%)，此 时 x lnx=方 有 两 个 不 同 的 零 点/，%4(0玉)11,%=x.-b故，即 玉+X)=2%.xx=x0-b【点 睛】思 路 点 睛：函 数 的 最 值 问 题，往 往 需 要 利 用 导 数 讨 论 函 数 的 单 调 性，此 时 注 意 对 参 数 的 分 类 讨 论，而 不 同 方 程 的 根 的 性 质，注 意 利 用 方 程 的 特 征 找 到 两 类 根 之 间 的 关 系.6.(2022新 高 考 II卷 T22)已 知 函 数/(X)=疣 一 e*.(1)当 a=l时，讨 论/(X)的 单 调 性；(2)当 x0 时，/(%)-1,求。的 取 值 范 围;1 1 1,/,、(3)设 eN*，证 明：/,+/,+ln(+l).4+1 V22+2 yjn2+n【答 案】x)的 减 区 间 为(一%0),增 区 间 为(0,一).(2)a-2(3)见 解 析【解 析】【分 析】(1)求 出/斤 勾，讨 论 其 符 号 后 可 得/(X)的 单 调 性.(2)设(x)=xem-e+l,求 出(x),先 讨 论 a g 时 题 设 中 的 不 等 式 不 成 立，再 就 0al 结 合 放 缩 法 讨 论(x)符 号，最 后 就 a40结 合 放 缩 法 讨 论(x)的 范 围 后 可 得 参 数 的 取 值 范 围.(3)由(2)可 得 对 任 意 的 恒 成 立，从 而 可 得 ln(+l)-ln”:对 t、/n+n任 意 的 e N*恒 成 立，结 合 裂 项 相 消 法 可 证 题 设 中 的 不 等 式.【小 问 1 详 解】当 a=l时，/(x)=(x-l)ejr,则/(x)=xe”,当 x 0