2023届高考数学专项复习圆锥曲线技巧---齐次化处理.pdf

2023届 高 考 数 学 专 项 复 习 圆 锥 曲 线 技 巧 一 齐 次 化 处 理 一、解 答 题 1.如 图，设 点 A 和 B 为 抛 物 线 y2=4px(p 0)上 原 点 以 外 的 两 个 动 点，已 知 OA_LOB,O M 1 A B.求 点 M 的 轨 迹 方 程，并 说 明 它 表 示 什 么 曲 线.【答 案】M 的 轨 迹 是 以(2p,0)为 圆 心，以 2 P为 半 径 的 圆，去 掉 坐 标 原 点.【解 析】试 题 分 析：由 O A L O B可 得 A、B 两 点 的 横 坐 标 之 积 和 纵 坐 标 之 积 均 为 定 值，由 O M L A B可 用 斜 率 处 理，得 到 M 的 坐 标 和 A、B 坐 标 的 联 系，再 注 意 到 M 在 A B上，由 以 上 关 系 即 可 得 到 M 点 的 轨 迹 方 程；此 题 还 可 以 考 虑 设 出 直 线 A B的 方 程 解 决.解：如 图，点 A,B 在 抛 物 线 y2=4px上，y24y2设 A(y J,B(yo)，OA、OB 的 斜 率 分 别 为 kA、koB.4 P A 4p B.卜-2 A _4P,_4PV由 O A L A B,得=黑 二 一 1 依 点 A 在 AB h,得 直 线 A B方 程 y24跖+了 8)(厂=4P(X-万)由 O M _L A B,得 直 线 O M方 程 厂-4p设 点 M(x,y),则 x,y 满 足、两 式，将 式 两 边 同 时 乘 以-工，4P2 2并 利 用 式，可 得 以-冬（-驷）+X y A y B=-x2+J泣，4p 4p x 4P 4P整 理 得 捻,A+A 一 x2+y2）=0由、两 式 得 谒 W（*2+y2）=0由 式 知，yAyB=-16p2x2+y2-4px=0因 为 A、B 是 原 点 以 外 的 两 点，所 以 x0所 以 M 的 轨 迹 是 以（2p,0）为 圆 心，以 2P为 半 径 的 圆，去 掉 坐 标 原 点.考 点：轨 迹 方 程；抛 物 线 的 应 用.2.已 知 椭 圆 C:1+?=l（a b 0）的 焦 点 是（一 6,0）、（73,0）,且 椭 圆 经 过 点（友,辛）（1）求 椭 圆 C 的 方 程;（2）设 直 线/与 椭 圆 C 交 于 4 8 两 点，且 以 为 直 径 的 圆 过 椭 圆 右 顶 点 用，求 证：直 线 1恒 过 定 点.丫 2【答 案】（1）二+/=1（2）详 见 解 析 4【解 析】试 题 分 析：（1）设 出 椭 圆 方 程，由 题 意 可 得/一=3,再 由 椭 圆 的 定 义 可 得 2a=4,解 得 a=2,b=l,进 而 得 到 楠 圆 方 程；（2）由 题 意 可 知，直 线 1的 斜 率 为 0 时，不 合 题 意.不 妨 设 直 线 1的 方 程 为*=1+111,代 入 椭 圆 方 程，消 去 x,运 用 韦 达 定 理 和 由 题 意 可 得 MAJ_MB,向 量 垂 直 的 条 件：数 量 积 为 0,化 筒 整 理，可 得 或 m=2,即 可 得 到 定 点 试 题 解 析：（1）椭 圆 C 的 方 程 为 1+=1（。60）丫 2所 以 所 求 椭 圆 C 的 方 程 为 二+V=14（2）方 法 一（1）由 题 意 可 知，直 线/的 斜 率 为 0 时，不 合 题 意.（2）不 妨 设 直 线/的 方 程 为 x=ky+m.由 x=+mX2 2+V=4,力 肖 去 x 得（左 2+4）y2+2kmy+m2-4=0Dkm w?2 4设 力 区,乂）B（x2,y2）,则 有 必.，必 力=了.攵+4/C+4.因 为 以 N 8为 直 径 的 圆 过 点 M,所 以 正 砺=0.由 M4=a-2,yJ,MB=（x,-2,必）,得（再-2）（%-2）+y,y2=0.将%=kyt+m,x2=ky2+m 代 入 上 式,得（公+1）必%+左（机-2）（必+%）+（机-2）2=0.将 代 入，得 5,71 6，n+1 2=0,解 得 加 或 机=2（舍）.k+4 5综 上，直 线/经 过 定 点（*0）.方 法 二 证 明：（1）当 左 不 存 在 时，易 得 此 直 线 恒 过 点 c l，。）.（2）当 左 存 在 时.设 直 线/的 方 程 为 y=fcr+,，（x,）,5（x2,y2）,A/（2,0）.二 一 由，4+（可 得（44 2+l）x2+8Amx+4z2 12=0.y=kx+mA=16（4Z:2-W2+1）0-Skm _ 4 m2-4%+x2-2 7，.（X）X|%2=；-4+1 1 2 4 P+1 由 题 意 可 知 M A,M B=0,MA=（x-2,yJ,M B=（x2-2,y2）9y=kx+m,y2=kx2+m.可 得（再 一 2）（吃-2）+必 先=0.整 理 得（km 2）（X+X 2）+（k+1）X|X2+4+m 0 把 代 入 整 理 得?-=0,由 题 意 可 知 12k2+16km+5m2=0,4公+1解 得 tn 2k,m=k.(i)当 加=一 2谢，即 歹=(x-2),直 线 过 定 点(2,0)不 符 合 题 意，舍 掉.(ii)加=-|左 时，即 丁=红”令，直 线 过 定 点 4,0),经 检 验 符 合 题 意.综 上 所 述，直 线/过 定 点(5,0)考 点：1.椭 圆 方 程；2.直 线 和 椭 圆 相 交 的 综 合 问 题 3.圆/+产=4 的 切 线 与 x 轴 正 半 轴，y 轴 正 半 轴 围 成 一 个 三 角 形，当 该 三 角 形 面 积 最 小 时，切 点 为 P(如 2 2图)，双 曲 线 弓：三 一 q=1过 点 P且 离 心 率 为 6.a b(1)求 G 的 方 程：(2)椭 圆 G 过 点 P 且 与 G 有 相 同 的 焦 点，直 线/过 G 的 右 焦 点 且 与 G 交 于 A,B 两 点，若 以 线 段 A B 为 直 径 的 圆 心 过 点 P,求/的 方 程.【答 案】(1)/-二=1：(2)x-2，或 X+【解 析】试 题 分 析：(1)设 切 点 坐 标 为(演),%)(玉)0,%0),则 切 线 斜 率 为 一 乜，切 线 方 程 为 V-%=一(x-x。)，即 x()x+%y=4,此 时，两 个 坐 标 轴 的 正 半 轴 与 切 线 围 成 的 三 角 形 面 积 为%)S=；-=一 号 一.由 x02+坊 2=4 2xQy0知 当 且 仅 当 与=盟=后 时/为 有 最 大 值，即 S 有 最 小 值,2_2=i因 此 点 P 得 坐 标 为（血,亚），由 题 意 知 M 解 得。2=1,=2,即 可 求 出 G 的 方 程；（2）由，+必=3a2（1）知 G 的 焦 点 坐 标 为（一 百,o）,（、Q,o），由 此 G 的 方 程 为-T T+5=I，其 中 4o.3+6 a2 2由 在 G 上，得 7T后+庐=1 显 然，1不 是 直 线 y=o.设 1的 方 程 为 乂 力 丫+百，点 x=my+百/（X,必）,8（%2，%）由/声+=16 3得（加 2+2）y2 4-2y/3my 3=0，因 Q=（J5 x”亚 必）,而=（五 一 工 2,五 _歹 2）由 题 意 知 万 丽=0,所 以 项 马 J（X+工 2）+必 先，（必+歹 2）+4=0，将 韦 达 定 理 得 到 的 结 果 代 入 不 当 一 行 区+看）+,必 亚（凹+%）+4=0 式 整 理 得 2，一 2指 加+4指 11=0,解 得 掰=地 12或 加=一 地+1，即 可 求 出 直 线 I的 方 程.2（1）设 切 点 坐 标 为（加,）。,为。），则 切 线 斜 率 为 一 区，切 线 方 程 为 歹 一 为=一 工（工 一 公）,即 M）%）1 4 4 8x0 x+y0y=4,此 时，两 个 坐 标 轴 的 正 半 轴 与 切 线 围 成 的 三 角 形 面 积 为 5=彳-=.由/2+为 2=4 2 2%先 知 当 且 仅 当/=%=后 时 与 为 有 最 大 值，即 S 有 最 小 值，因 此 点 P 得 坐 标 为（V2,V2），由 题 意 知 1 _ 1=1 2 2 粘 解 得/=1/2=2,故 G 方 程 为 21=1.92+/=33 2（2）由（1）知 G 的 焦 点 坐 标 为（一 正,。）,（6,0），由 此 G 的 方 程 为 丁=+与=1，其 中 4o.2 2由 在 G 上，得 二 记+庐=1，显 然，1不 是 直 线 y=0.设 1的 方 程 为*=1丫+6，点”（再,弘），8（工 2，），2）x-m y+百 由 Q 2 V2 3得（加 2+2）/+2 6 叼 一 3=0，又 乂,为 是 方 程 的 根，因 此 2 24.（2015山 西 四 模）分 别 过 椭 圆 E：3+J=1（a b 0）左、右 焦 点 后、F2的 动 直 线 h、b 相 交 于 P 点,a2 b2与 椭 圆 E 分 别 交 于 A、B 与 C、D 不 同 四 点，直 线 O A、O B、O C、O D 的 斜 率 分 别 为 ki、k2 k?、lu,且 满 足 ki+k2=k3+k4,已 知 当 h 与 x 轴 重 合 时，|AB|=2b，|CD|=*/3.3+=16 326 my+为=m+2 3加+2,由=myx+Ji,%=加%+6 得 4 G玉+马 二 加（弘+%）+2 6=-m 4-2玉=/必 力+6 m（y1+%）+3=6 m+2因 万=（五 一 再，血 一%）,丽=（后 一 2,应 一、2）由 题 意 知 万 丽=0，所 以 王 马 一 5（再+2）+必 y2 一（必+%）+4=。，将，代 入 式 整 理 得 2/w2 2y6m+4V6-11=0 解 得 m=巫 或 m 瓜+1,因 此 直 线 1的 方 程 为 2 2X-，或 x+考 点：1.椭 圆 的 方 程；2.直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系.（1）求 椭 圆 E 的 方 程;（2）是 否 存 在 定 点 M,N,使 得|PM|+|PN|为 定 值？若 存 在，求 出 M、N 点 坐 标，若 不 存 在，说 明 理 由.2 2【答 案】工+匕=1.存 在 点 M,N 其 坐 标 分 别 为（0,-1）、（0,1）,使 得|PM|+|PN|为 定 值 2&.3 2【解 析】试 题 分 析：（1）由 已 知 条 件 推 导 出|AB|=2a=2e，|CD|=2=&/3,由 此 能 求 出 椭 圆 E 的 方 程.a 3（2）焦 点 R、F2坐 标 分 别 为（-1,0）,（1,0）,当 直 线 h或 L 斜 率 不 存 在 时，P 点 坐 标 为（-1,0）或（2 2x_ y_=1（1,0）,当 直 线 h,b斜 率 存 在 时，设 斜 率 分 别 为 mi，m2,设 A（xi，y）B（X2,y2），由 3 2-,y=m（x+1）得（2+3叫 2）xZ+GinJx+SmJ-GR,由 此 利 用 韦 达 定 理 结 合 题 设 条 件 能 推 导 出 存 在 点 M,N 其 坐 标 分 别 为（0,7）、（0,1）,使 得|PM|+|PN|为 定 值 2&.解：当 h 与 x 轴 重 合 时,ki+k2=k3+k4=0,即 k3=-k4,二 上 垂 直 于 x 轴，得|AB|=2a=2/石，|CD|=2k_=&叵，a 3解 得 a=J,b=&,2 2二 椭 圆 E 的 方 程 为 工+匕=i.3 2（2）焦 点 Fi、F2坐 标 分 别 为（-1,0）,（1,0）,当 直 线 h 或 L斜 率 不 存 在 时，P 点 坐 标 为（-1,0）或（1,0）,当 直 线 h,L 斜 率 存 在 时，设 斜 率 分 别 为 mi,m2,2 2x V-+-二 1设 A（xi,yi）,B（X2 y2）由 3 2,尸 叫（x+1）得（2+3 叫 之）J+6mi 2x+3叫 2-6=0,6m/31nl2-6,X i+X-X i X n-，2+3mJ 2+3mJ,q y i 7 2 _(X i+1 X2+I，9,X1+X2X-4 叫 k b 0),四 点 Pi(1,1),P2(0,1),P3(-1,也 I,也)中 恰 有 三 a1 h2 2 2点 在 椭 圆 C 上.(I)求 C 的 方 程；(I I)设 直 线 1不 经 过 P2点 且 与 C 相 交 于 A,B 两 点.若 直 线 P2A与 直 线 P2B的 斜 率 的 和 为-1,证 明：1过 定 点.r2【答 案】+/=1.4-(2)证 明 见 解 析.【详 解】试 题 分 析：（1）根 据，鸟 两 点 关 于 y 轴 对 称，由 椭 圆 的 对 称 性 可 知。经 过，舄 两 点.另 外 由 r1+717 1r+3 知，C 不 经 过 点 P,所 以 点 尸 2在 C 上.因 此，6,乙 在 椭 圆 上，代 入 其 标 准 方 程，即 可 求 出。的 方 程；（2）先 设 直 线 尸 M 与 直 线 2方 的 斜 率 分 别 为 肌，左 2,再 设 直 线/的 方 程，当/与 x 轴 垂 直 时，通 过 计 算，不 满 足 题 意，再 设/：y=kx+m（加/1）,将 广 依+?代 入?+/=1,写 出 判 别 式，利 用 根 与 系 数 的 关 系 表 示 出+X2,XIX2,进 而 表 示 出 勺+与，根 据 勺+左 2=-1列 出 等 式 表 示 出 左 和，的 关 系，从 而 判 断 出 直 线 恒 过 定 点.试 题 解 析：（1）由 于 A，乙 两 点 关 于 y 轴 对 称，故 由 题 设 知。经 过，乙 两 点.1 1 1 3又 由 一 r+7T-3+,2知，C 不 经 过 点 尸 1,所 以 点 P2在。上.a b a 4b=1.2L 2 a2=4因 此，c，解 得 2.1 3.b2=1l-a-2 1-4-b=2 1 Ir2故 C 的 方 程 为 二+/=1.4-（2）设 直 线 P M 与 直 线 的 斜 率 分 别 为 左，左 2，如 果/与 x轴 垂 直，设 l：x=t,由 题 设 知 f H 0,且“o、几，/、c/、El 8km 4/2-4&A（X1,）八），B V2 A WU Xl+X2=-；-，X1X2=；-.4左 2+1 4左 2+1而 占+左 2=二+及 二 X x2=kx!-+-m-l+kx-）-+-m-l否 x2lkxxx2+（加 一 1）（须+%2）XjX2由 题 设 尢+k2=-1,故（2左+1）卒 2+（?T）（X+x2）=o.即（2左+1）竺 二&+（加 一 1）当 上=0.4k2+V 7 4k2+当 且 仅 当 机 1时，(),欲 使/：y=-x+m,即+1=-(8-2),所 以/过 定 点(2,-1)点 睛 椭 圆 的 对 称 性 是 椭 圆 的 一 个 重 要 性 质，判 断 点 是 否 在 椭 圆 上，可 以 通 过 这 一 方 法 进 行 判 断；证 明 直 线 过 定 点 的 关 键 是 设 出 直 线 方 程，通 过 一 定 关 系 转 化，找 出 两 个 参 数 之 间 的 关 系 式，从 而 可 以 判 断 过 定 点 情 况.另 外，在 设 直 线 方 程 之 前，若 题 设 中 未 告 知，则 一 定 要 讨 论 直 线 斜 率 不 存 在 和 存 在 两 种 情 况，其 通 法 是 联 立 方 程，求 判 别 式，利 用 根 与 系 数 的 关 系，再 根 据 题 设 关 系 进 行 化 简.6.已 知 点 尸(1,3)是 椭 圆 c：=+=l(ab0)上 一 点，B、尸 2分 别 是 椭 圆 的 左、右 焦 点，2 a bP FX+P F2=4(1)求 椭 圆 C 的 标 准 方 程；(2)设 直 线/不 经 过 户 点 且 与 椭 圆 C 相 交 于 1,8 两 点.若 直 线 以 与 直 线 尸 B 的 斜 率 之 和 为 1,问:直 线/是 否 过 定 点?证 明 你 的 结 论【答 案】(1)工+匕=1；(2)直 线/过 定 点(-4,0).证 明 见 解 析.4 3【分 析】3(1)由 椭 圆 定 义 可 知。=2,再 代 入 尸(1,)即 可 求 出 6,写 出 椭 圆 方 程；（2）设 直 线/的 方 程 夕=丘+7,联 立 椭 圆 方 程，求 出 4 和?之 间 的 关 系，即 可 求 出 定 点.【详 解】（1）由 IP耳|+|尸 鸟 1=4,得 4=2,又 在 椭 圆 上，1 9 L代 入 椭 圆 方 程 有=+3=1,解 得 6 二 6,a 4b所 以 楠 圆 C 的 标 准 方 程 为 二+匕=1.4 3（2）证 明：当 直 线/的 斜 率 不 存 在 时，/（“必），B（Xl,-y,）,_3_._3k+k/|一 5.,解 得 玉=4,不 符 合 题 意；2 占+1当 直 线/的 斜 率 存 在 时，设 直 线/的 方 程 F=丘+加，4 再，弘），8（2,%）,由，y=kx+m：2,，c c，整 理 得（3+4左 2）/+8 左 蛆+4/-12=0,3X2+4/-1 2=0-Skm 4m2-12=4/-机 2+3 0.由 匕+%2=1，整 理 得（2k-l）XX2+/n-|j（x1+x2）+2m-4=0,即（加-4k）（2m-2k-3）=0.3当 加=4+：时;此 时，直 线/过 尸 点，不 符 合 题 意；当 加=4左 时，A=4/_/+3 0 有 解，此 时 直 线/：V=左 口+4）过 定 点（-4,0）.【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 方 程 的 求 法，考 查 椭 圆 中 直 线 过 定 点 问 题，属 于 中 档 题.7.如 图，椭 圆 E：二+与=1（。60）经 过 点/（。,一 1），且 离 心 率 为 Y2.a b“2（1）求 椭 圆 E 的 方 程;（2）若 经 过 点（1），且 斜 率 为 的 直 线 与 椭 圆 E 交 于 不 同 的 两 点 P,。（均 异 于 点/）,证 明：直 线 Z P 与 的 斜 率 之 和 为 定 值.【答 案】（1）工+炉=1;（2）所 以 直 线，尸、。斜 率 之 和 为 定 值 2.2【分 析】（1）运 用 离 心 率 公 式 和。，b,C 的 关 系，解 方 程 可 得 a,进 而 得 到 椭 圆 方 程；（2）把 直 线 P 0 的 方 程 代 入 椭 圆 方 程，运 用 韦 达 定 理 和 直 线 的 斜 率 公 式，化 简 计 算 即 可 得 到 结 论.【详 解】解：（1）由 题 意 知 g=b=l,结 合/=/+2,解 得 q=J 5，a 22椭 圆 的 方 程 为 三+必=1;2（2）由 题 设 知，直 线 的 斜 率 不 为 0,则 直 线 尸。的 方 程 为 y=Z（x l）+l（4*2）,代 入,+/=1,得（1+2k2）x2-4k（k-l）x+2k（k-2）=0,由 已 知 A 0,设 尸（Xi，,）,Q（x2,y2）,王。0,则 玉+x24k(k 1)1+2左 22k(k-2)X,1 X2 2=-l-+-2-k2r-从 而 直 线 A P 与 A Q 的 斜 率 之 和:KkA P4-k丁 KAQ_乃+1+1 _ kxt+2-k kx2+2-k=I=I演 x2 x1=2k+(2-k)(+)2k+(2-k)x,x2 xx2=2k+(2 k)4左(左 1)=2左 一 2(左 一 1)=2.2k(k-2)所 以 直 线/尸、工。斜 率 之 和 为 定 值 2.【点 睛】（1）解 答 直 线 与 椭 圆 的 题 目 时，时 常 把 两 个 曲 线 的 方 程 联 立，消 去 式 或 y）建 立 一 元 二 次 方 程，然 后 借 助 根 与 系 数 的 关 系，并 结 合 题 设 条 件 建 立 有 关 参 变 量 的 等 量 关 系.（2）涉 及 到 直 线 方 程 的 设 法 时，务 必 考 虑 全 面，不 要 忽 略 直 线 斜 率 为 0 或 不 存 在 等 特 殊 情 形.8.已 知 椭 圆 方 程 为 一+（=1，射 线 y=2 0 x（x0）与 椭 圆 的 交 点 为 过 A/作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 直 线，分 别 与 椭 圆 交 于 4 8 两 点（异 于 M）.（1）求 证 直 线 的 斜 率 为 定 值；（2）求 面 积 的 最 大 值.【答 案】（I）证 明 见 解 析；（II）V2.【分 析】（1）设 左 0,求 得 M 的 坐 标，则 可 表 示 出 A M 的 直 线 方 程 和 B M 的 直 线 方 程,分 别 与 椭 圆 的 方 程 联 立 求 得 X”和 XB，进 而 求 得 N8 的 斜 率;（2）设 出 直 线 48 的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立 消 去 利 用 判 别 式 大 于 0求 得 机 的 范 围，进 而 表 示 出 三 角 形 的 面 积，利 用 m 的 范 围 确 定 面 积 的 最 大 值.【详 解】（I）斜 率 A存 在，不 妨 设 0,求 出 M（,2直 线 M A 方 程 为 y 2=分 别 与 椭 圆 方 程 联 立，可 解 出*左 2+8同 理 得，直 线 方 程 为 y_2=H x-手）.初 一-22,为 定 值.（II）设 直 线 45 方 程 为 y=26+加，与 犬+16x2+4也 mx+（加-8）=0.由/0 得 一 4 V m V 4,且 加 邦，点 M 到 A B 的 距 离 为 d=圆.32).正-J26 k 2+4k 五 X b 左 2+8 2匕=1联 立，消 去 y 得 81阴=4 1+灯 6-/)2=J(i+阴(/+x j-4XAXB=3X设 的 面 积 为 S.：.S2=A B d2当 7=2-72 时，得 Sm aK=/2.【点 睛】本 题 主 要 考 查 了 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 综 合 问 题.考 查 了 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力.探 索 圆 锥 曲 线 的 定 值 问 题 常 见 方 法 有 两 种：从 特 殊 入 手，先 根 据 特 殊 位 置 和 数 值 求 出 定 值，再 证 明 这 个 值 与 变 量 无 关；直 接 推 理、计 算，并 在 计 算 推 理 的 过 程 中 消 去 变 量，从 而 得 到 定 值.9.已 知 椭 圆 江+片=1两 焦 点 分 别 为 Fi、F2、P 是 椭 圆 在 第 一 象 限 弧 上 一 点，并 满 足 的 一 函=,过 2 4 1 2P 作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 直 线 PA、PB分 别 交 椭 圆 于 A、B 两 点(1)求 P 点 坐 标；(2)求 证 直 线 A B 的 斜 率 为 定 值：(3)求 4PAB 面 积 的 最 大 值.【答 案】(1)(2)是 定 值 为 垃.(3)72.【解 析】【分 析】(1)根 据 丽 厄=1,用 坐 标 表 示，结 合 点 尸(x,y)在 曲 线 椭 圆 工+片=1上，即 可 求 得 点 尸 的 坐 标;22 4（2）设 出 8P的 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立，从 而 可 求，、8 的 坐 标，进 而 可 得 的 斜 率 为 定 值；（3）设 的 直 线 方 程：y=y/2x+m，与 椭 圆 方 程 联 立，可 确 定 2&V 加 O,次 0）则 尸 耳=卜 与,&一%），PF2=卜 工 0,_血-%），两 尾=君-（2-端=1,点 P（xo,泗）在 曲 线 上，则+九=1,2 4.片=?,从 而 宁（2-4）=1，得%=加.则 点 p 的 坐 标 为（2）由 题 意 知，两 直 线 以、尸 8 的 斜 率 必 存 在，设 P8的 斜 率 为 左（40）,则 8尸 的 直 线 方 程 为：y-6=k（x-l）.由，x2 y2 得（2+左 2）%2+2 左 T+T-1（V2-A：）x+（V2-yl）2-4=0,设，k2-2y/2k-22+k2同 理 可 得 吃=1+；，/一 2,则 x f=宏，乃 一 几=为 一 1）一 小 1）=枭 所 以 的 斜 率 kAB=J-=V2 为 定 值.XA-XB（3）设 ZB的 直 线 方 程：y=y/2x4-m.由 y=+m2 2x+y-iI 2 4，W4x2+2y/2nvc+m2-4=0)由=（2y/2m）2-16（w2-4）0,得 一 2岳:加 2起 P 到 N 8 的 距 离 为 d同 耳 PAH则 S=5/2 当 且 仅 当 w=2（-272,272）取 等 号 二/XPAB面 积 的 最 大 值 为 J5.【点 睛】本 题 以 椭 圆 的 标 准 方 程 及 向 量 为 载 体，考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 三 角 形 的 面 积 计 算 及 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值，解 题 的 关 键 是 直 线 与 椭 圆 方 程 联 立，利 用 韦 达 定 理 进 行 解 题.io.已 知 中 心 在 原 点 的 椭 圆 c 的 一 个 焦 点 为（0,、历），且 过 点（1）求 椭 圆。的 方 程；（II）过 点 P 作 倾 斜 角 互 补 的 两 条 不 同 直 线 尸/,P 8 分 别 交 椭 圆。于 另 外 两 点 4，B,求 证：直 线 4 8 的 斜 率 是 定 值.【答 案】-4-=1；（II）见 解 析.4 2【解 析】【分 析】（1）设 椭 圆 C 的 方 程 为:区+二/b21（心 6 0）,利 用 已 知 条 件，求 出 a,b,即 可 得 出 椭 圆 C 的 方 程;（2）设 出 直 线 PA、PB的 方 程 与 椭 圆 方 程 联 立，求 出 A,B的 坐 标，利 用 斜 率 公 式，即 可 证 明 直 线 AB的 斜 率 为 定 值.【详 解】2 2（I）设 椭 圆 方 程 为 4+0=1（4 b 0）a2 b22 1则 有 二 十 炉=1 又/+22 1 1-Z-1 1-=1+2 b2/_/_2=0 解 得=2 a2=4.椭 圆。的 方 程 为 q+广=14 2或 解：椭 圆 的 另 一 焦 点 为（0,一 a）由 2a=7（l-0）2+（V 2-V 2）2+7（l-0）2+（V2+V2）2=4得。=2 又 c=y/2=22 2.椭 圆。的 方 程 为 匕+土=14 2（II）依 题 意，直 线 尸/,尸 8 都 不 垂 直 于 x 轴 设 直 线 产/方 程 为 歹 一 加=左（1）,则 直 线 尸 8 方 程 为 歹 血=左（%1）由 卜 一 四=上（一 1）得（炉+2止+2左（后 一 左）x+（V I+左）2一 4=0丁+2 2=4(-4A k2+2(亚+1)2-4k2+2同 理 4=(蚯-女)2-4一+2.-_ X A ye _+-k)-(-k xB+42+k)_ k(xA+xB)-2 k _ r-KAB 一 _ 一-yJ2.XA-XB故 直 线 Z 8 的 斜 率 是 定 值【点 睛】本 题 考 查 椭 圆 的 方 程，考 查 直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，考 查 直 线 的 斜 率 公 式，考 查 学 生 的 计 算 能 力，正 确 运 用 韦 达 定 理 是 关 键.11.已 知 椭 圆 两 焦 点 耳、乃 在 V 轴 上，短 轴 长 为 2啦，离 心 率 为 立，P 是 椭 圆 在 第 一 象 限 弧 上 一 点，且 2丽 电=1,过 P 作 关 于 直 线 线 尸 对 称 的 两 条 直 线 为、尸 3 分 别 交 椭 圆 于 4、B 两 点.(1)求 P 点 坐 标;(2)求 证 直 线 的 斜 率 为 定 值.【答 案】(1)(1,72)；(2)证 明 见 解 析.【分 析】(1)由 已 知 可 解 出 椭 圆 方 程，然 后 设 出 P(x,4)，结 合 丽.丽=1,即 可 解 出 点 尸 的 坐 标；(2)由(1)知 尸 耳/女 轴，直 线 以，P8斜 率 互 为 相 反 数，设 尸 8 的 直 线 方 程 为 y-亚=卜 一 1),与 椭 圆 方 程 联 立，即 可 解 出 乙=-二%2，同 理 可 得 X”,然 后 解 出 yA-yB,即 可 算 出 的 斜 率 左.=四.【详 解】解：(1)设 椭 圆 的 方 程 为+=1,由 题 意 可 得 b=J 5，a h=即 a=yflc a 2a2-c2=2c V 2，a 2，椭 圆 方 程 为 匕+工=1,4 2 焦 点 坐 标 为（o,&），（0,-72）,设 尸（，No）（x（）O,%）,则 尸 耳=卜 才 0,一 九），=（；,-近 一 为 卜.而 丽=焉-（2-端=1,点 尸 在 曲 线 上，则 更+/=1,4 2从 而 上 必 一（2/）=1,得 比=0，则 点 尸 的 坐 标 为（1,立 卜（2）由（1）知 咫/x轴，直 线 刃,尸 8 斜 率 互 为 相 反 数,设 PB的 斜 率 为 以 无 0）,则 P B的 直 线 方 程 为 y-也=k（x _ 0,y y/2=左(-1)得（2+%2）/+2 左（后 一 女）x+（近 一 左 了 一 4=0,设 3（/，%），则 2k(k 塔 a-2 6 k-22+k2 2+k2同 理 可 得%=#辛-2，则 xA-xB=:咨 为 一%=5 _ 1)_ 左(/_1)=所 以 小 的 斜 率 kAB=f=V2 为 定 值.肛 f【点 睛】本 题 考 查 了 椭 圆 的 方 程 和 性 质，考 查 椭 圆 和 直 线 的 位 置 关 系，属 于 较 难 题.12.如 图，椭 圆 C：三+。1(a b 0)经 过 点 P(1,马，离 心 率 e=5，直 线 1的 方 程 为 x=4.bZ 2 2(1)求 椭 圆 C 的 方 程;(2)A B 是 经 过 右 焦 点 F 的 任 一 弦(不 经 过 点 P),设 直 线 A B 与 直 线 1相 交 于 点 M,记 PA,PB,P M 的 斜 率 分 别 为 k|,k2,k3.问：是 否 存 在 常 数 入，使 得 k|+k2=*3?若 存 在，求 入 的 值；若 不 存 在，说 明 理 由.2 2【答 案】(1)工+二=1(2)答 案 见 解 析 4 3【解 析】试 题 分 析：(1)由 题 意 将 点 P(1,1)代 入 椭 圆 的 方 程，得 到 月(a b 0),再 由 离 心 率 为 e=2,将 a,b用 c表 示 出 来 代 入 方 程，解 得 c,从 而 解 得 a,b,即 可 得 到 椭 圆 的 标 准 方 程；(2)方 法 一：可 先 设 出 直 线 A B 的 方 程 为 产 k(x-1),代 入 椭 圆 的 方 程 并 整 理 成 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程，设 A(X”y j B(X2,yz)，利 用 根 与 系 数 的 关 系 求 得 xi+x2=)，x】x。，再 求 点 M 的 坐 4k4 3 1/4k2+3标，分 别 表 示 出 示,k2,k3.比 较 kI+k2与 汰 3即 可 求 得 参 数 的 值；方 法 二：设 B(Xo,yo)(Xo#l),以 之 表 示 出 直 线 FB的 方 程 为 广 一 二(X-l),由 此 方 程 求 得 M 的 坐 xo-1标，再 与 椭 圆 方 程 联 立，求 得 A 的 坐 标，由 此 表 示 出 k”k2,k3.比 较 k|+k2=?j b 0)经 过 点 P(1,W,可 得 得(a b 0)a2 b2 2 a2 4b2由 离 心 率 e=2得=,即 a=2c,则 b2=3c?，代 入 解 得 c=l,a=2,2 2故 椭 圆 的 方 程 为 工+匕=14 3(2)方 法 一：由 题 意 可 设 A B 的 斜 率 为 k,则 直 线 A B 的 方 程 为 产 k(x-1)2 2代 入 椭 圆 方 程+(_=1 并 整 理 得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0设 A(xi,yi),B(X2，y2)，也 半 4k+3xlx2=4k在 方 程 中，令 x=4得,M 的 坐 标 为(4,3k),3?M k j_ 3从 而 2,kl=x-1 k2X1 1y,y,注 意 到 A,F,B 共 线，则 有 k=kAF=kBF，即 有 J v kX _ 1 X2-1_ 3 _ 3”所 以 ki+k7=y i I+Y 2 2=-1Xj-1 x2-1 X11 1-1 x2-13(_x2-1 2 x=2k-hx i+x9-2-x2-1 0+入 2)+18 k2.22 乙 代 入 得 ki+k2=2k-4k+3-=2k-12 4k2-12 8 k 2,2 24k+3 4k+3又 kj=k-,所 以 ki+k2=2kj2故 存 在 常 数 入=2 符 合 题 意 方 法 二：设 B(xo,yo)(x#l),则 直 线 F B 的 方 程 为 广 yJn(/x-1)、xo-1、3yo令 x=4,求 得 M(4-)xo-12 yn-xn+l从 而 直 线 P M 的 斜 率 为 kb*二、，2(x0-联 立 2 2X V 1-4-二 14 3,得 A(y。/y=-(x 1)x0-15x(j-82 xo 53yo2 x 0-5),则 直 线 PA的 斜 率 k,=.2y0-2x0+52(x0 l)直 线 P B的 斜 率 为 k2=-2y0-3(x T)所 以 ki+k2=-2y0-2xo+5,2(x0-l)+22y0-3(x 0-l)二 2x，2y0-XQ+12(x0-D二 2k3,故 存 在 常 数 入=2符 合 题 意 考 点：直 线 与 圆 锥 曲 线 的 关 系；椭 圆 的 标 准 方 程.面?视 频 n1 3.如 图，椭 圆 C:马+2=1（a b 0）经 过 点 P（2,3）,离 心 率 e=L 直 线 1的 方 程 为 y=4.a-b 2（I）求 椭 圆 c 的 方 程；（ID A B是 经 过（0,3）的 任 一 弦（不 经 过 点 P）.设 直 线 A B与 直 线 1相 交 于 点 M,记 PA,PB,P M 的 斜 1 1 2率 分 别 为 k|,k2,k3.问：是 否 存 在 常 数 入，使 得 2 若 存 在，求 入 的 值.k、k2 k3【答 案】（I）+=1（II）216 12【解 析】试 题 分 析：（D 通 过 将 点 P（2,3）代 入 椭 圆 方 程，结 合 离 心 率 计 算 即 得 结 论；（I D 分 A B斜 率 存 在、不 存 在 两 种 情 况 讨 论，结 合 韦 达 定 理 计 算 即 得 结 论 试 题 解 析：（D 由 已 知 得 4 9,-H r=La2 b2a2-b2=c2,解 得 a=4,b=G,c=2.c 1a2,所 以 椭 圆 C 的 方 程 为+3(I I)当 直 线 AB 不 存 在 斜 率 时，A(0,-2 6)，B(0,273),M(0,4),-2 退-3 3+2A/3ki=-=-0-2 24-3 10-2一+=4,可 得 九=2.当 直 线 A B 存 在 斜 率 时，可 设 为 k（k翔），则 直 线 A B 的 方 程 为 丫=10+3.设 A（xi,yi）,B（X2,y2），联 立 直 线 A B 与 椭 圆 的 方 程，得 江+片=1.16 12 消 去 y，化 简 整 理 得，（4k2+3）x2+24kx-12=0,y=Ax+3,而 1+1 _ X1-2+X2-2 _ XI-2+X2-2_ 2Xj%2-2（玉+x2）_ 2-4Zr&k2 乂 一 3 名 3 kx、kx2 kxx2 k1-2又 M 点 坐 标 为（，,4）,所 以 L=i=匕 空 k%4-3 k1 i；故 可 得 入=2.因 此，存 在 常 数 2,使 得 工+工=4 恒 成 立.K&k3考 点：直 线 与 圆 锥 曲