2023年高考数学总复习第八章立体几何初步第七节立体几何中的向量方法第2课时空间向量的综合应用.pdf

第 2 课 时 空 间 向 量 的 综 合 应 用 提 升 关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 求 空 间 距 离 综 合 性 例 1 2022云 南 民 族 大 学 附 属 中 学 高 三 月 考 如 图，在 三 棱 柱 48cAi81cl中，平 面 BSGC,AB=BBi=2BC=2,B C=W，点 E 为 A G 的 中 点.(1)求 证：G8J_平 面 A8C；(2)求 点 A 到 平 面 B C E 的 距 离.听 课 笔 记:反 思 感 悟 求 空 间 距 离 常 用 的 方 法(1)直 接 法：利 用 线 线 垂 直、线 面 垂 直、面 面 垂 直 等 性 质 定 理 与 判 定 定 理，作 出 垂 线 段，再 通 过 解 三 角 形 求 出 距 离.(2)间 接 法：利 用 等 体 积 法、特 殊 值 法 等 转 化 求 解.(3)向 量 法：空 间 中 的 距 离 问 题 一 般 都 可 转 化 为 点 到 平 面 的 距 离 问 题 进 行 求 解.求 点 P 到 平 面 a 的 距 离 的 三 个 步 骤：在 平 面 a 内 取 一 点 A,确 定 向 量 画 的 坐 标；确 定 平 面 a 的 法 向 量”；代 入 公 式 4=照 求 解.|n|【对 点 训 练】正 方 体 ABC-48CiZ)i的 棱 长 为 1,E,F 分 别 为 BBi，8 的 中 点,则 点 F 到 平 面 4 G E的 距 离 为.考 点 二 探 索 性 问 题 创 新 性 例 2 2022 湖 南 重 点 校 联 考 如 图，在 四 棱 锥 P-ABCD中，朋 1.平 面 ABCD,AD/BC,A D L C D,且 A Q=C D=2&B C=4 a,抬=2.(1)求 证：A B L P C；(2)在 线 段 P D 上，是 否 存 在 一 点 M,使 得 二 面 角 M-AC-D的 大 小 为 45,如 果 存 在，求 与 平 面 M A C 所 成 角 的 正 弦 值，如 果 不 存 在，请 说 明 理 由.听 课 笔 记：反 思 感 悟 探 索 性 问 题 的 求 解 策 略 空 间 向 量 最 适 合 于 解 决 这 类 立 体 几 何 中 的 探 索 性 问 题，它 无 须 进 行 复 杂 的 作 图、论 证、推 理，只 需 通 过 坐 标 运 算 进 行 判 断.(1)对 于 存 在 判 断 型 问 题 的 求 解，应 先 假 设 存 在，把 要 成 立 的 结 论 当 作 条 件，据 此 列 方 程 或 方 程 组，把“是 否 存 在”问 题 转 化 为“点 的 坐 标 是 否 有 解，是 否 有 规 定 范 围 内 的 解”等.(2)对 于 位 置 探 究 型 问 题，通 常 借 助 向 量，引 进 参 数，综 合 已 知 和 结 论 列 出 等 式，解 出 参 数.【对 点 训 练】如 图，四 边 形 ABC。是 正 方 形，四 边 形 BDEF为 矩 形，ACVBF,G 为 E F 的 中 点.求 证：BF_L平 面 ABCD；(2)二 面 角 C-BG-D的 大 小 可 以 为 60。吗？若 可 以，求 出 此 时 黑 的 值；若 不 可 以，请 说 明 理 由.考 点 三 翻 折 与 展 开 问 题 I综 合 性 例 3 2021广 东 四 校 期 末 联 考 等 边 三 角 形 A 8 C的 边 长 为 3,点 Q,E 分 别 是 A 8,AC上 的 点，且 满 足 黑=胃=；(如 图 1),将 沿 O E折 起 到 A Q E的 位 置，使 二 面 角 A-DE-BDB EA 2成 直 二 面 角,连 接 A B,A C(如 图 2).(1)求 证：A Q _ L平 面 BCE。；(2)在 线 段 B C上 是 否 存 在 点 P,使 直 线 外|与 平 面 所 成 的 角 为 60。，若 存 在，求 出 P B的 长；若 不 存 在，请 说 明 理 由.听 课 笔 记：反 思 感 悟 翻 折 问 题 的 2 个 解 题 策 略 画 好 翻 折 前 后 的 平 面 图 形 与 立 体 图 形，分 清 翻 折 前 后 图 形 的 位 置 和 数 量 关 系 的 变 与 不 变.一 般 地，位 于“折 痕”同 侧 的 点、线、面 之 间 的 位 置 和 数 量 关 系 不 变，而 位 于“折 痕”两 侧 的 点、线、面 之 间 的 位 置 关 系 会 发 生 变 化；对 于 不 变 的 关 系 应 在 平 面 图 形 中 处 理，而 对 于 变 化 的 关 系 则 要 在 立 体 图 形 中 解 决.所 谓 的 关 键 点，是 指 翻 折 过 程 中 运 动 变 化 的 点.因 为 这 些 点 的 位 置 移 动，会 带 动 与 其 相 关 的 其 他 的 点、线、面 的 关 系 变 化，以 及 其 他 点、线、面 之 间 位 置 关 系 与 数 量 关 系 的 变 化.只 有 分 析 清 楚 关 键 点 的 准 确 位 置，才 能 以 此 为 参 照 点，确 定 其 他 点、线、面 的 位 置，进 而 进 行 有 关 的 证 明 与 计 算.【对 点 训 练】2022佛 山 质 检 图 1 是 直 角 梯 形 ABC。，AB/DC,/。=90。，AB=2,DC=3,AD=3,闻=2而.以 B E 为 折 痕 将 a B C E 折 起，使 点 C 到 达 Ci的 位 置，且 A G=，如 图 2.G(1)证 明：平 面 BGE_L平 面 AB；(2)求 直 线 BCi与 平 面 ACiD所 成 角 的 正 弦 值.第 2课 时 空 间 向 量 的 综 合 应 用 提 升 关 键 能 力 考 点 一 例 1 解 析：(1)证 明：因 为 ABJ_平 面 B B C C,C iB u平 面 BBICIC,所 以 ABC,B.在 BCCi 中，BC=1,BC1=V3,CC1=2,所 以 BC2+BC;=CCt所 以 CBXCiB.因 为 ABCBC=B,AB,BCu平 面 ABC,所 以 GB_L平 面 ABC.(2)由(1)知，A B IC iB,BC_LC|B,AB1BC,如 图，以 B 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 B-xyz.X则 B(0,0,0),A(0,0,2),E(-1,V3,1),C(l,0,0).n-BC=0,nr一 即 n-BE=0,则 BC=(1,0,0),BE=(-1,V3,1).设 平 面 B C E的 法 向 量 为 n=(x,y,z),x=0,-|x+/3 y+z=0.令 则 x=0,z=3,所 以=(0,V3,-3).又 因 为 说=(1,0,-2),故 点 A 到 平 面 8 C E的 距 离 d=T=奇 对 点 训 练 1.解 析：取 射 线 AB,AD,分 别 为 x 轴、y 轴、z 轴 非 负 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系,如 图 所 示.则 4(0,0,1),E(l,0,I),F(|,1,0),G(0,1,1).所 以 碓=(1,0,晒=(0,1,0).设 平 面 4。1后 的 法 向 量 为=(x,y,z).n 丝=。，即 卜-尸=0,n A1D1=0,I y=0令 z=2,则 x=1,得=(1,0,2),又 1,-1)，所 以 点 F 到 平 面 A E 的 距 离 型=号=3.|n|V5 10答 案：等 考 点 二 例 2 解 析：(1)证 明：如 图，由 已 知 得 四 边 形 ABCC是 直 角 梯 形，由 A O=C Q=2或，B C=4在，可 得 ABC是 等 腰 直 角 三 角 形，即 A B L A C,因 为 以 J_平 面 ABC。，所 以 附 J_48,又 外 n AC=A,所 以 平 面 力 C,所 以 4B_LPC.解 析：(2)建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系，则 4(0,0,0),C(2A/2,2V2,0),D(0,2或，0),尸(0,0,2),B(2&,-2V2,0),丽=(0,2V2,-2),AC=(2/2,2位，0).设 环!=而(0 1),则 点 M 的 坐 标 为(0,2y/2t,2-20,所 以 血=(0,2V2r,2-2f).设 平 面 M 4 c 的 法 向 量 是“=(x,y,z),则 卜 三 0,I n-AM=0得 2V2x+2,/2y=0,(2/2+(2-2t)z=0令 X=1,得 71=(1,1,又，=(0,0,1)是 平 面 AC。一 个 法 向 量，所 以|cos,，加 尸 兽 普|m|n|=JS.L=COS4 5 O=，解 得/=；,即 点 M 是 线 段 P O 的 中.2 2 2此 时 平 面 M AC 的 法 向 量 鹿 0=(1,-1,V2),M(0,V2,1),BM=(-2A/2,3鱼，1).设 3 M 与 平 面 M A C 所 成 的 角 为 仇 贝 ijsin9=|cos/如，BM)|=。；鬻=等 对 点 训 练 解 析：(1)证 明：因 为 四 边 形 A B C O 是 正 方 形，四 边 形 BOE/为 矩 形，所 以 B F L B D,又 因 为 ACLBF,AC,8。为 平 面 ABC。内 两 条 相 交 直 线，所 以 平 面 ABCD(2)假 设 二 面 角 C-BG-。的 大 小 可 以 为 60。，由(1)知 平 面 A B C D,以 4 为 原 点，分 别 以 A8,为 x 轴，y 轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，如 图 所 示，不 妨 设 A8=AQ=2,BF=h(h0),则 A(0,0,0),BQ,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),EF 的 中 点 G(l,1,h),BG=(-1,1,h),前=(0,2,0).设 平 面 B C G 的 法 向 量 为”=(x,y,z),则 阿 n=。，I BC-n=0 x+y+h z=O,取”=(，0)2y=o因 为 AC_LBF,A C B D,所 以 AC_L平 面 BDG,则 平 面 B O G的 一 个 法 向 量 为 前=(2,2,0).由 题 意 得 8 s 6。=|卜 而，解 得 Q 1,此 嘴 H所 以 当 整=；时，二 面 角 C-BG-D的 大 小 为 60.BC 2考 点 三 例 3 解 析：(1)证 明：如 题 图 1,在 A O E中，A D=,A E=2,Z A=60,得 到 DE=VAD2+AE2-2AD-AE-cos 60=V 3,所 以 A+OE2=AE2,从 而 BD1.DE,所 以 在 题 图 2 中，A,D D E,BD D E,所 以/4 D B 是 二 面 角 A-D E-B的 平 面 角，所 以 NAiQB=90。，即 AQ_LB),又 因 为 4O_LOE,BDQ DE=D,BD,Eu平 面 BCE。，所 以 4_L平 面 BCED.(2)由(1)知，AD,DB,E两 两 垂 直，以。为 原 点，DB,DE,4所 在 直 线 为 x 轴，y轴，z 轴，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系.则 8(2,0,0),4(0,0,1),C g,言，0),故 淳=(2,0,-1),B C=(-|,竽，0).假 设 线 段 B C上 存 在 点 P,使 直 线 PAt与 平 面 4 B O 所 成 的 角 为 60。,设 丽=寂=(一 泳 苧 入，0),其 中 4 G 0,1,则 审=淳+而=(2-,竽 入，-1).平 面 4 8。的 一 个 法 向 量 为=(0,1,0),则 s in 6 0 o=|c o s 4 P,加|141Plin|=I 喇=*解 得 j(2 等)，+(喇+1所 以 存 在 满 足 要 求 的 点 P,且 线 段 P B的 长 度 为|.对 点 训 练 解 析：(1)证 明：在 图 1 中，连 接 AE,AC,A C交 B E于 FVCE=2ED,Z)C=3,；.C E=2,；.AB=CE,又 AB CD,.四 边 形 AECB是 平 行 四 边 形.在 RtAACD 中，A C=32+(V3)2=2/3,：.AF=CF=-V3.在 图 2 中，AC,=V6,VAF2+C IF2=AC?,：.CFLAF,由 题 意 得 CiF_LBE,又 B E C A F=尸，平 面 A B E D,又 G F u 平 面 BCiE,平 面 BGE_L平 面 ABED.图 2解 析：（2）如 图 2,以。为 坐 标 原 点，D A,尻 的 方 向 分 别 为 x,y 轴 的 正 方 向，同 的 方 向 为 z 轴 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.贝！0(0,0,0,),4(百，0,0),B(V3,2,0),E(0,1,0),嘿,|,0),C 怡,|,V3),BCT=(-y,-p V3),DA=(V3,0,0),西=(今 I，V3),设 平 面 A G。的 法 向 量 为=(羽 y,z),f n-DA=0,后=0(n-DCi TX-=0,f|vx+|y+V3z=0*2 2取 Z=V 5,得“=(0,-2,V3),;.|=V7,记 直 线 B G 与 平 面 A G Q 所 成 的 角 为 仇 则 直 出 扁 H 黑 T