2023年新高考数学一轮复习利用导数解决一类整数问题含解析.pdf

2023年 新 高 考 数 学 一 轮 复 习 利 用 导 数 解 决 一 类 整 数 问 题【题 型 归 纳 目 录】题 型 一:整 数 解 问 题 之 分 离 参 数、分 离 函 数、半 分 离 题 型 二:整 数 解 问 题 之 直 接 限 制 法 题 型 三:整 数 解 问 题 之 虚 设 零 点 题 型 四:整 数 解 问 题 之 必 要 性 探 路【典 例 例 题】题 型 一:整 数 解 问 题 之 分 离 参 数、分 离 函 数、半 分 离 例 1.已 知 函 数/(c)=x nx 2.(1)求 函 数 在(1,/(1)处 的 切 线 方 程(2)证 明：/(力 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点；(3)若 对 于 任 意 的 x G(1,+8),都 有 xnx+%1),求 整 数 k 的 最 大 值.例 2.已 知 函 数/=!22+ln;r(2+(Q#0).(1)当。=/时,求 函 数/(c)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程；(2)令 F(rr)=af(力/,若 F(c)1 2a%在 2 E(1,+8)恒 成 立，求 整 数。的 最 大 值.(参 考 数 据：hi3 V 等,ln4 k(x-1),求 整 数 k 的 最 大 值.题 型 二:整 数 解 问 题 之 直 接 限 制 法 例 4.已 知 偶 函 数/()满 足/(4+x)=f(4,且 当 c C(0,4 时，f=电 畀，关 于 X 的 不 等 式 产(0+时(0 0 在 200,200 上 有 且 只 有 300个 整 数 解,求 实 数 a 的 取 值 范 围例 5.已 知 函 数 _f3)=ew ac30),其 中 a C R,e 为 自 然 对 数 的 底 数.(1)试 讨 论/Q)的 单 调 性；(2)是 否 存 在 正 整 数 a，使 得/(x2nx对 一 切 x 0 恒 成 立？若 存 在，求 出 a 的 最 大 值；若 不 存 在,请 说 明 理 由.例 6.已 知 函 数/3)=三 些 30),其 中 a C H,e 为 自 然 对 数 的 底 数.(1)若 函 数/(有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围；(2)是 否 存 在 正 整 数 a,使 得 对 一 切 c 0 恒 成 立？若 存 在，求 出 a 的 最 大 值;若 不 存 在.请 说 明 理 由.例 7.已 知 集 合 4=出 炉+2c 30,集 合 B=xx2 2ax K O,a 0.(1)若=1,求 4 0 8；(n)若 力 n R 中 恰 含 有 一 个 整 数,求 实 数 a 的 取 值 范 围.题 型 三，整 数 解 问 题 之 虚 设 零 点 例 8.设 函 数/(式)=ln/,g(c)=ax+-3(a E Rx(1)求 函 数 03)=/Q)+g&)的 单 调 增 区 间；(2)当 a=1时，记 4=/(2)gQ),是 否 存 在 整 数 人 使 得 关 于 x 的 不 等 式 242拉(有 解？若 存 在，请 求 出 A的 最 小 值;若 不 存 在,请 说 明 理 由.(参 考 数 据：ln2 0.6931,ln3=1.0986)例 9.己 知 函 数/（c）=xlnx+fcr 3k,求：（1）当 k=1时,求 曲 线/Q）在 点（1,/（1）处 的 切 线 方 程;（2）当 c 3 时,总 有/3）1,求 整 数 k 的 最 小 值.例 1 0.已 知 函 数/（c）=一 1）1（其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数）.（1）当 k=l时,求 函 数/（re）的 极 值；（2）若 函 数 gGr）=/（工）+e?在 2 C（0,+8）有 唯 一 零 点,求 实 数 k 的 取 值 范 围；（3）若 不 等 式/（c）3 H 对 任 意 的 c C H 恒 成 立，求 整 数 k 的 最 大 值.例 1 1.已 知 函 数/（4）=x Ina:-2.（1）求 函 数 在（1,/（1）处 的 切 线 方 程（2）证 明：/（土）在 区 间（3,4）内 存 在 唯 一 的 零 点；（3）若 对 于 任 意 的 rc C（1,+8）,都 有 xnx+x，求 整 数 k 的 最 大 值.题 型 四:整 数 解 问 题 之 必 要 性 探 路 例 12.(2021山 西 中 市 新 一 双 语 学 校 模 拟 fit测(文)已 知 函 数/(6=me0gG)=lnx+1.(1)若 函 数/(/)与 g(x)有 公 共 点，求 m 的 取 值 范 围：(2)若 不 等 式/(土)g(x)+1恒 成 立，求 整 数 m 的 最 小 值.例 13.(2021北 京 北 海 大 二 Bi中 未 来 科 技 城 学 校.方 三 阶 段 练 习)已 知/=sinrc,g(x)=Inx,h(x)=x2 ax 1.若 c C 0,1,证 明:f(x)g(rc+1)；(2)对 任 意 c C 0,1都 有+h(x)-gx 0,求 整 数 a 的 最 大 值.例 14.是 否 存 在 正 整 数 a,使 得 ex-a x x2nx对 一 切 x 0 恒 成 立？试 求 出 a 的 最 大 值.例 1 5.,2,吟 生，求 k 的 最 大 整 数 值.【过 关 窝 试】1.(2022吉 林 长 春 市 第 二 实 段 中 学 高 二 期 中)设 函 数=e”-2ax-1,g(t)=2+1.(1)讨 论 了(久)的 单 调 性；(2)若 a=2,且 不 等 式(x-k)f(x)+g(c)0对 Wa;e(0,+8)恒 成 立，求 整 数 k 的 最 大 值.2.(2022河 北 衡 水 高 三 阶 段 练 习)已 知 函 数/Q)=(a-Dx+lnsCa e R).(1)讨 论 函 数/3)的 单 调 性 与 极 值；当 a=0时，函 数 gQ)=/(x)-(2-加 在 1 上 的 最 大 值 为 3,求 使 得 3 伏 一,，拈+得 上 的 整 数 的 值(其 中 e为 自 然 对 数 的 底 数,参 考 数 据：ln0.5 一 0.7,ln0.6-0.5).3.(2022江 苏 南 京 市 江 宁 高 级 中 学 模 拟 覆 测)设 函 数 为=ex+asin2x+b.(1)当(1=*,/0,+8)时,/(；1；)0 恒 成 立,求 6的 范 围；(2)若/(x)在 劣=0处 的 切 线 为 x y l=0，且/(c)ln(x+m)2,求 整 数 m 的 最 大 值.4.(2022全 国 模 拟 f l测)已 知 函 数/(c)=(a+l)e，+3 一 3,其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数，aER.e(1)讨 论 函 数 f(r r)的 单 调 性；(2)当 a=0时,若 存 在 x E R 使 得 关 于 x 的 不 等 式 k xfx成 立，求 k 的 最 小 整 数 值.(参 考 数 据：e 2.1)5.(2021陕 西 辆 川 市 第 一 中 学 方 二 阶 段 练 习(理)设 函 数/=a(e-2e)+(l-x)e.(1)求/(的 单 调 区 间：(2)当 立 2时，/(x)1时，/&b对 任 意 的 x 借 1)恒 成 立，求 满 足 条 件 的 实 数 b的 最 小 整 数 值.7.(2022陕 西 汉 中 二#(现)已 知 函 数/=e，+如 一 3,曲 线 y=f(x)在 点(0,/(0)处 切 线 方 程 为 y=-2.(1)求 实 数 a 的 值 及 函 数/3)的 单 调 区 间；(2)若 0时，(m Me*V Tn+2,求 整 数 ni的 最 大 值.8.(2022 湖 北 省 仙 桃 中 学 模 拟 演 测)设 函 数/3)=m 产 1，93)=111/+n，皿 为 实 数，若 F=胆 有 最 大 值 为 土 e-求 71的 值；(2)若 即 3),求 实 数 m 的 最 小 整 数 值.9.(2022全 国 哈 师 大 附 中 模 拟 fK测(理)已 知 函 数/=e，+sinc 3,g(x)为 f(x)的 导 函 数.(1)证 明：当 a=0时，函 数 g(z)在 区。爰 内 存 在 唯 一 的 极 值 点/V2 2cosaj0 e(2)若/(c)aclnc恒 成 立，求 最 大 整 数 Q 的 值.(参 考 数 据：6%7.39,e3 20.08,e4 54.60)利 用 导 数 解 决 一 类 整 数 问 题【题 型 归 纳 目 录】题 型 一:整 数 解 问 题 之 分 离 叁 数、分 离 函 数、半 分 离 题 型 二:整 数 解 问 题 之 亶 接 限 制 法 题 型 三:要 数 解 问 题 之 虚 设 零 点 题 型 四:整 数 解 问 题 之 必 要 性 探 路【典 例 例 题】题 型 一:整 数 解 问 题 之 分 离 弁 数、分 离 函 数、半 分 离 例 1.己 知 函 数/(c)X Inx 2.(1)求 函 数 在(1,/(1)处 的 切 线 方 程(2)证 明：.f S)在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点；(3)若 对 于 任 意 的 c G(1,+8),都 有 zlnrr+4/;:(支 1),求 整 数%的 最 大 值.【答 案】(1切=一 1；(2)见 解 析；(3)3.【分 析】(1)根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 切 线；(2)先 利 用 导 数 证 明 了(重)在(3,4)上 单 调 递 增，再 结 合 零 点 存 在 定 理,得 证；(3)参 变 分 离 得 k 0,/(%)在(3,4)上 单 调 递 增，,(3)=3-ln3-2=1-ln3 0,/(力 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点.(3)*/x n x+x k(x 1),且 正(l,H-oo),.j)x ln x+x.k-；,x 1令 g(2)=空 空,则 g j)=,“J-X-1)由(2)知，/(%)=c-l m r 2 在(l,+8)上 单 调 递 增，且 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点，设 该 零 点 为 x0E(3,4),则/(%()=g-l n g-2=0,故 当，e(1,力 o)时,/(%)V 0,即 gGc)VO,g(x)在(l,x0)上 单 调 递 减,当 e(的,+8)时，/(t)o,即 g，o,g 在(3+8)上 单 调 递 增，o(x a(x)60 1r leo+叼._ g(g-2)+g 一(3 公 g1叼 m in-1/0 9 1。，4人 0-1”0一，：.k g(x nin=x0&(3,4),故 整 数 k 的 最 大 值 为 3.【点 睛】本 题 考 查 利 用 导 数 研 究 函 数 的 零 点，以 及 不 等 式 问 题，考 查 转 化 与 划 归 思 想，逻 辑 推 理 能 力 和 运 算 能 力，属 于 中 档 题.例 2.已 知 函 数/=x2+In(2+)x,(a O).(1)当 Q=/时，求 函 数/位)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程；(2)令 F(x)=a f(x)一 一,若 尸(力)1 2 a x在 化(1,+)恒 成 立，求 整 数 a 的 最 大 值.(参 考 数 据：ln3 等，l n 4 1).【答 案】2-y-3=0;(2)3.【分 析】(1)(1)当 a=/时，得 到/=2式+l n c-4%求 得/(c)=4+十 一 4,得 出/=1,且/=2,结 合 直 线 的 点 斜 式 方 程，即 可 求 解.把 F(H)V 1-2aa;在(1,+8)转 化 为 a 士!在；(1,+8)恒 成 立，令 九(工)=与 士 工，利 用 导 数 求 得 函 数 的 L L L J b额 单 调 性，零 点 的 存 在 定 理 得 到 h(x)在(1,g)上 递 减，在(酱 卜+8)上 递 增，从 而 求 得 Q V/l3)1 n in=g,即 可 求 得 整 数 Q的 最 大 值.【详 解】(1)(1)当 Q=/时，可 得/(=2炉+Inc-4 c,则/(n)=4c+：4,可 得/(1)=1,且/=2+ln l 4=-2,即 函 数/位)在 点(1,一 2)处 的 切 线 的 斜 率 k=l,所 以 切 线 方 程 为 y(2)=c 1,即 c g 3=0,函 数/(i)在 点(1,/(1)处 的 切 线 方 程 力 一 g 3=0.(2)由 F(x)=af(x)X2=a ln x(2a+l)x,因 为 F(T)1 2ax 在(1,+8)恒 成 立，即 a ln x(2a+l)x 1,可 得 h(x)=-,Inc Inx令 t(x)=Inx 1(%1),可 得 3)在(1,+8)上 单 调 递 增，且 力 0,所 以 存 在 x()e(3,4),使 得-的)=Inrco-1=0,宓 0从 而 h x)在(1,%0)上 单 调 递 减，在(痴,+8)上 单 调 递 增，所 以 4 m in=的)=1=:。+1=向(3,4),g因 为 Q V 早 在(1,+8)恒 成 立，所 以 Q V/zQ)min=g,irivU所 以 整 数 a 的 最 大 值 为 3.例 3.已 知 函 数/(c)=x Inx 2.(1)证 明：/3)在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点；(2)若 对 于 任 意 的 x E(1,+8),都 有 xlnx+T fc(a;1)，求 整 数 A;的 最 大 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)3.【分 析】(1)先 利 用 导 数 证 明/(在(3,4)上 单 调 递 增，再 结 合 零 点 存 在 定 理，得 证；(2)参 变 分 离 得 k 0,x/(在 4)上 单 调 递 增，vy(3)=3-ln3-2=l-ln30,(力 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点.(2)解:,:xlnx+x k(x 1),且 o G(l,+oo)?.j.xlnx 4-x.k 则 g(,)=Q iy，c 1，由(1)知 J 3)=c lnc 2 在(l,+8)上 单 调 递 增，且 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点，设 该 零 点 为 力 o E(3,4),则/(力 0)=Ro-ln)-2=0,故 当。c(i,o)时,/3)v o,即 g3)v o,g(0,即/3)。，。3)在(曲),+8)上 单 调 递 增,a(r)=a(r)=&i n g+&_ 的(的-2)+戊)_(),g i叼 min g i g/-I-I 力 0 e O,0-J.o k 0 在-200,200 上 有 且 只 有 300个 整 数 解,求 实 数 a 的 取 值 范 围【解 答】解：.3)是 偶 函 数，：.f(-x)f(x),7(4+x)=/(4-x),./(8+a;)=/(4-(4+a;)=f-x)=/Q),.J3)的 周 期 为 T=8.当(0,4 时,=土 当 边,当 o v+v 时，1(2)0,当!0,4)=竽=0,且/3)是 以 8 为 周 期 的 偶 函 数，当 x 为 整 数 时,/3)0,产+o f 0在-2 0 0,200 上 有 300个 整 数 解,.产 3)+可 3)0 在(0,4 上 有 3 个 整 数 解，显 然 这 三 个 整 数 解 为 1,2,3,即 f 3)+a 0 在(0,4 上 有 三 个 整 数 解 1,2,3.J 呼+a 04-a 0+a 4 0，即，解 得:31n24ln6 F a 4例 5.已 知 函 数/(%)=6/一 Q CQ 0),其 中 Q G R,6 为 自 然 对 数 的 底 数.(1)试 讨 论 4 0 的 单 调 性；(2)是 否 存 在 正 整 数 Q,使 得 对 一 切 c 0 恒 成 立？若 存 在，求 出 Q的 最 大 值;若 不 存 在,请 说 明 理 由.【解 答】解：(l)/z(rr)=ex a x 0).若 a 4 1,则 f(x)0 恒 成 立 J Q)在(0,+8)上 单 调 递 增；若 Q 1,令/3)=0,则 x=Ina,当 0 V 力 V i n a时 V 0,/(/)单 调 递 减；当 x n a 时 J Q)0,/(%)单 调 递 增.综 上 所 述，当 1 时，/3)在(0,4-00)上 单 调 递 增；当 a 1 时，/(4)在(O,lna)上 单 调 递 减，在(In a,+8)上 单 调 递 增.(2)要 使/(%)=e/-a x x21 n x(0,+8)上 恒 成 立，则 l n/0 在(0,+oo)上 恒 成 立，x 令 h x 号-号-ln c(c 0),则 3)=包 券+彖-：色 浊 泻 血.当 a=2 时，=(),由 力 知，无 3)在(0,2)上 单 调 递 减，在(2,+8)上 单 调 递 增./l(c)min=瓜 2)=*-ln2-1 0,.a=2 满 足 题 意.当 a 2 时，当 2 a?a时，函 数(。)的 取 值 情 况，*2 x 0yx a xy：.(x 2)ex(x a)x,即 h!(x)0,当 a 2 时，h x)在(2,a)上 单 调 递 增.不 妨 取 Q=3,则 函 数 在 3)上 单 调 递 增，1 2 V e V 3，且 Zi(e)ee 2.1 V 0,/.%3)0 不 能 恒 成 立.综 上 所 述，正 整 数 a 的 最 大 值 为 2.例 6.已 知 函 数/(2)=旦 谓 3 0),其 中 a C R,e 为 自 然 对 数 的 底 数.(1)若 函 数/(有 两 个 零 点，求 a 的 取 值 范 围；(2)是 否 存 在 正 整 数 Q,使 得/Q)0 n 对 一 切 2 0 恒 成 立？若 存 在，求 出 a 的 最 大 值;若 不 存 在.请 说 明 理 由.【解 答】解：(1)/(2)=之 产=早 一 乐/()=史 三 工，令 r(0)0,得 力 1,令 广 3)0,得 0 0 1,函 数/Q)在(o,i)上 单 调 递 成，在(1,+8)上 单 调 递 增，/3)min=A l)=e-a,函 数/3)有 两 个 零 点，/(1)V 0,Q 的 取 值 范 围 为(e,+0 在(0,+oo)上 恒 成 立，x x令 h x)=lm r(c 0),则(0=4+号 一 工=.一 2甘 一 产 一 a)、E i c L 2)(ex x)当 Q=2 时，无(X)=-，X由 知 九 3)在(0 单 调 递 减，在(2,+8)单 调 递 增,九 Q)min=拉=-y-l n 2-l 0,：.a=2 时 满 足 题 意；当 Q 2 时，考 查 Q:C 2 时，函 数 九 3)的 取 值 情 况：.Q C 2,力 一 2 0,力 一 a V O,又 e”c,.;3-2)e(x a)x,即 hr(x)0,:.当 a 2 时，h(x)在(2,a)上 单 调 递 增，取 a=3,则 函 数 h x 在(2,3)上 单 增，:2 V e V 3,且 拉(e)=ee-2 1 V 0,h(x)0 不 能 恒 成 立，综 上，Q的 最 大 正 整 值 为 2.例 7.已 知 集 合 A=x x2+20 一 3 0,集 合 B-x x2 2ax K O,a 0.(I)若。=1,求 A C lB；(n)若 A n B 中 恰 含 有 一 个 整 数,求 实 数 a 的 取 值 范 围.【解 答】解：(I)A=xx2+2 x 3 0=x x 1 或 力 V 3,当 a=l 时，由 2 IW O,解 得：1 一 2 即 B=l四，1+2,.月 n B=(i,i+；(口)；函 数 y=/(x)x2 2ax 1 的 对 称 轴 为 a;=a 0,/(0)=-1“有 解？若 存 在，请 求 出 4的 最 小 值;若 不 存 在,请 说 明 理 由.(参 考 数 据：ln2 0.6931,ln3 1.0986)【答 案】(1)答 案 见 解 析(2)存 在 的 最 小 值 为 0【分 析】(1)求 出 函 数 的 导 数，就 a 的 不 同 取 值 可 求(2)。的 解，从 而 可 得 函 数 的 单 调 增 区 间.(2)利 用 导 数 结 合 虚 设 零 点 可 求 一 等 0),所 以 p(x)=+a a 1 ax24-x(a 1)ax(a 1)(x 4-1)-=-=-1 当 a=0 时，由 0,解 得 工 0;当 a l 时，由 w(z)0,解 得 多 包/；当 O V a V l 时，由/()。,解 得 c0;当 a=1 时，由。0,解 得 rc0;当 a V O 时，由。(力 0,解 得 0，综 上 所 述，当 a V 0 时，W(z)的 增 区 间 为(0,旦 尹 当 O M a W l 时，e 的 增 区 间 为(0,+8)；a 1 时，px)的 增 区 间 为,j 1,+8).当 a=1 时，gx)=/3,所 以 hx)=(x 3)lnx,而(x)=Inx+1 J 3=Inx+1,因 为 4=1口 力,沙=一!均 为(0,+8)上 的 增 函 数，故 Q)=hic 日+1 为(0,+8)上 的 增 函 数，a0,故“(N)在(0,+8)上 有 且 只 有 一 个 零 点 g,y X0 2且 ln N o=1 且/E(0,g)时，h!(x)0,N o故 拉(c)在(O,xo)上 为 减 函 数，在(厮+8)上 为 增 函 数，故 无 3)m in=拉(m)=(x()-3)lnx0=(的-3)-1)=6-因 为 得 V g 2,所 以 学 岑,所 以 _”工)有 解，故 方 0,故 存 在 整 数 4 满 足 题 意，且 1 的 最 小 值 为 0.【点 睛】思 路 点 睛：利 用 导 数 求 函 数 的 最 值 时，如 果 导 数 的 零 点 不 易 求 得，则 可 以 虚 设 零 点，利 用 零 点 满 足 的 关 系 式 化 简 最 值，从 而 得 到 最 值 的 范 围 或 符 号.例 9.已 知 函 数/(4)=t I n c+/KT-3 k,求：(1)当 a=i 时,求 曲 线/(在 点(i,/(i)处 的 切 线 方 程；(2)当 3 时,总 有/(1,求 整 数 k 的 最 小 值.【答 案】2工-4=0-3【分 析】(1)先 对 函 数 求 导,计 算 出 斜 率，再 用 点 斜 式 即 可；分 离 参 数 转 化 为 函 数 的 最 值 问 题.(1)当 上=1 时，/(土)=xlnx+x-3.=nx+2=2/=-2./(力 在 点(1,f(1)处 的 切 线 方 程 为 y+2=2(/-1)即 2 a;-y-4=0(2)由 题 意 J 3)1,即 xlnrr+k。一 3k 1,即 k(x 3)1 x ln x,又 7 3,/.k-恒 成 立.人 n(T=1一.0.nf(T=31nc-+2*?g-c 3 9(切 _ 3.3)2令 hx)=31nc 6+2,则 兄(x)=3 c*V 0 恒 成 立./.h(x)在(3,+)上 递 减，,:h(8)=31n8 6 0,八=31n9 7 0,当 G(如+8)时，g x)gQ)m ax,且 k e z,.4)一 3,即 整 数 A:的 最 小 值 为-3【点 睛】方 法 点 睛：对 于 零 点 不 可 求 问 题，可 以 设 而 不 求，整 体 替 换 从 而 求 出 范 围。例 10.已 知 函 数/(4)=(c k l)e，(其 中 e 为 自 然 对 数 的 底 数).(1)当 k=l 时,求 函 数/(工)的 极 值；(2)若 函 数 g(c)=/(z)+e?在 c(0,+8)有 唯 一 零 点,求 实 数 A:的 取 值 范 围；(3)若 不 等 式/位)3 x对 任 意 的 4 6 H 恒 成 立，求 整 数 k 的 最 大 值.【答 案】极 小 值 为 一 十,无 极 大 值；(2)2U e2-l,+);(3)-2.【分 析】(1)利 用 导 数 可 确 定/(多)单 调 性，由 极 值 定 义 可 求 得 结 果；(2)利 用 导 数 可 确 定。()的 单 调 性；当 上 4 0 时，可 知 g(O)0 时，根 据 g(c)min=g(k),分 别 在 g(k)o,g(k)=0 和 g(k)V 0 三 种 情 况 下，根 据 g(c)在 W(0,+)有 唯 一 零 点 可 构 造 不 等 式 求 得 结 果；(3)将 恒 成 立 不 等 式 化 为 k 0;.-./(X)在(-8,-1)上 单 调 递 减，在(-1,+8)上 单 调 递 增，/(力)的 极 小 值 为/(-1)=-4，无 极 大 值.e(2)，g(N)=(x fc-l)ex+e2,=(x k)exy/.当 4(8,k)时，gGr)V 0;当 c G(fc,H-co)时，g(e)0;g(c)在(-oo,fc)上 单 调 递 减，在(k,+8)上 单 调 递 增；当 k 4 0 时，g(4)在(0,4-)上 单 调 递 增，若 g(%)在(0,4-oo)上 有 唯 一 零 点，则 g(0)0,即 一 一-1+1 一 1 0(舍)；当 k 0 时，gx)在(0,k)上 单 调 递 减，在(k,+8)上 单 调 递 增；当 g(k)0,即 0 V-V 2 时,g m m=g O 0,则 g(x)在(0,+o o)上 无 零 点，不 合 题 意；当 g(k)=0,即 k=2 时，g 在(0,+)上 有 唯 一 零 点 c=2,满 足 题 意；当 g(k)V 0,即 k 2 时，由 g(k+1)=。得:g(k)g(k 4-1)e 2 1;综 上 所 述：当 k=2 或 k e 2 1 时，g(a?)在(0,+)上 有 唯 一 零 点，即 实 数 k 的 取 值 范 围 为 2 U e2-1,+8).(3)若/(rr)3 c对 n G R 恒 成 立，即(力 一 k l)ex 3力 对/R 恒 成 立，则 k V 力 一 1 一 运,e令 从 z)=L 1 一 丝，则=1 一=直 土 3；二.3.,e e e令 馆 位)=3 6 3,则 m!x)=1+3 0,m(x)在 R 上 单 调 递 增，=6 一 0,mG)=装 一 5 V 0,二 m XQE G A),使 得 m(g)=0,即。+32o3=O,则 当,e(一 8,60)时，”(c)V O;当(g,+8)时，”(c)0;A h(x)在(-8 用)上 单 调 递 减，在(为 0,+8)上 单 调 递 增，从 Z)m in=无(%)=XO-1-冬=的 一 1 一 R=的-1+=X Q-1+1 1+1,e o x0 x0 i 2JQ 1x0 d),*-x0 1 6(一*从 例)y，-),/k/(c)恒 成 立，则 a/(rc)m ax；若/()恒 成 立，则 a M-1)，求 整 数 k 的 最 大 值.【答 案】(1/=一 1；(2)见 解 析；(3)3.【分 析】(1)根 据 导 数 的 几 何 意 义 即 可 切 线；(2)先 利 用 导 数 证 明/&)在(3,4)上 单 调 递 增，再 结 合 零 点 存 在 定 理，得 证；参 变 分 离 得 当 多 产，令 g=至 警 产,原 问 题 转 化 为 求 9(工)在(1,+8)上 的 最 小 值，结 合 中 结 论 和 隐 零 点 的 思 维，即 可 得 解.(1)v/(x)=x Inx 2,-1,f(x)=1 一 十，=0,./(X)在(1,一 1)处 的 切 线 为 y=-l;(2)证 明：.(z)=土-Incc 2,=1-/当 工 e(3,4)时,广(力=1-：0,在(3,4)上 单 调 递 增，-.7(3)=3-ln3-2=1-ln3 0,./(c)在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点.(3)/x n x+x k(x 1),且 立(l,4-oo)?.k 1,由(2)知 J(2)=。-Inc 2 在(1,+8)上 单 调 递 增，且 在 区 间(3,4)内 存 在 唯 一 的 零 点,设 该 零 点 为 6o(3,4),则/(6o)=xo-l n xo-2=0,故 当，e(1,力 o)时,/(力)v o,即 g v o,g 在(1,g)上 单 调 递 减,当 W(的,4-00)时，/(c)0,即 d 0,g 在(3+8)上 单 调 递 增，,a(x a(x)-如+叼.-”。(/厂？)+电)一 6 小 公 gi叼 m in-1 a _ 1/0 9 1.，4八 0-1”0一，：.k 9)+1恒 成 立，求 整 数 力 的 最 小 值.【答 案】(1)馆&=；(2)最 小 值 为 1.【分 析】(1)由 f(x)=9(z),可 得 a=叱 6 1,函 数 f()与 g(x)有 公 共 点，即 m=1*1 有 解，设 h(x)-1,求 导 数，求 出 函 数 九 位)的 值 域 即 可.(2)不 等 式/(*)g(x)+1恒 成 立，即 me-Inc 1 0 恒 成 立，当 c=1 时，m e ln l+2 成 立，解 得 r n?，故 m l.再 验 证 m=l 时，不 等 式 成 立 即 可 得 出 答 案.【详 解】解：(1)令/(W)=9(4)，即 m e1=Inx+1,则 m=二”$1,e函 数/(2)与 g(c)有 公 共 点，即 m=1 有 解.-n 7 1令 从 M=!”1 则(口 二 0.e，ex令 fc(x)=In/1=1)n x,当 力 1 时，!一 1 V 0,h i 0,所 以 k(力)V 0,当 O V 0 V l 时，1 1 0,1 1 1 1 0所 以 拉(2)在(0,1)上 单 调 递 增，在(1,+8)上 单 调 递 减，所 以 h(x)&九(1)=1 且 当-0 时,/(4)t 8所 以 7TzM卷.(2)不 等 式/(力)g(c)+1恒 成 立，即 m exln x 1 0 恒 成 立.9则 力=1 时，m e Ini+2 成 立，解 得?n 由 题 意 求 满 足 条 件 的 整 数 馆 最 小 值，下 面 验 证 rn=1是 否 满 足 题 意.当?2=1 时，令 m(i)=ex Inx 2,m,(x)=e 一 十，且 m/(c)在(0,+8)上 单 调 递 增.又 加 0,m(-)V O,可 知 存 在 唯 一 的 正 数 的 6(卷,1),使 得 加(四)=0,即 e的=0,g则 m G r)在(0,g)上 单 调 递 减，在(网,+8)上 单 调 递 增.所 以 m(m in=a(g)=eX o 1 nx()2=+x0 2 0,g即 当 m=1 时，不 等 式/(rr)g(x)+1成 立.故 整 数 馆 的 最 小 值 为 1.【点 睛】关 键 点 睛：本 题 考 查 根 据 两 函 数 图 像 有 公 共 点 求 参 数 范 围 和 不 等 式 恒 成 立 求 参 数 范 围，解 答 本 题 的 关 键 是 先 根 据 4=1 时，不 等 式 melnl+2 成 立，求 处 一 个 参 数 的 范 围，然 后 根 据 题 目 要 求 再 验 证 馆=1 满 足 条 件，从 而 得 出 答 案.属 于 中 档 题.例 13.(2021北 京 北 坪 大 二 附 中 未 来 科 技 城 学 校 高 三 阶 段 练 习)已 知/=sinx,g(a;)=Inx,h(x)=x2 ax 1.若 x W 0,1,证 明:/(re)g(z+1)；(2)对 任 意 W 0,1都 有 人+从 c)g(c)0,求 整 数 a 的 最 大 值.【答 案】(1)证 明 见 解 析；(2)2.【分 析】(1)利 用 二 次 求 导 求 得 存 在 唯 一 零 点 割(0,1)吏 得 尸(g)=0,F(z)0 在(0,1)上 恒 成 立 上 可 以 证 明 F(x)在 定 义 域 上 的 单 调 性,可 知 F(x)0,便 可 证 明 结 论.(2)先 判 断 整 数 a 4 2 可 知 苗 僦+x2-a x-l-n x e疝+/2z-1 Inz,接 着 证 明 H(x)esinx+x22x 1 lnx 0 在 区 间(0,1上 恒 成 立 即 可 可 出 结 论.【详 解】解：(1)证 明：设 R(T)=sine ln(T+1),(0 W 力&1),则 F(N)=cost 1X+1 因 为 Fn(x)=1.(,+1)2-s】n%且 6 E 0,1则 F”(x)在 0,1,单 调 递 减,-sinl 0,F+cos与=0,尸(0)=0所 以 严(力 0 在(0,1)上 恒 成 立 上，所 以 以 2)在 0,1单 调 递 增 则 F F(o)=0,即 F(x)0,所 以/(rr)g(2：+l).(2)因 为 对 任 意 的(0,1,+h(x)-g(x)0即 e8*111+x2 ax 1 lnz0 恒 成 立 令 2=1,则 esinl a由 知 sinlln2,所 以 2=萨 26仙 61 0 整 数，则 a W 2因 此 e+/ac-l-lnrr esin2：+x2-2 x-l-nx下 面 证 明 H(x)=esini+x22x 1 lnrc0,在 区 间(0,1上 恒 成 立 即 可.由(1)知 sine ln(3；+1),则 esM a:+1故”()a;+1+a;2 2a;1 Ina?=x2-x Ina;设 G(x)=x2 x Inx,x(0,1,5!J Gx)=2x 1-=+/0,所 以 G（%）在（0,1 上 单 调 递 减，所 以 G（c）G=0,所 以 H（c）0 在 1 E（0,1 上 恒 成 立.综 上 所 述，Q 的 最 大 值 为 2.例 14 是 否 存 在 正 整 数 a，使 得 exax x2nx对 一 切 T 0 恒 成 立？试 求 出 a 的 最 大 值.解：易 知 e。-对 一 切 力 0 恒 成 立，当 c=l 可 得 Q&e,则 Q仅 可 取 1、2下 证 Q=2 时 不 等 式 恒 成 立，设 g（x）=号 一 2-In4,g（力）=也-x x5（）在（0,2）单 调 递 减，（2,+8）单 调 递 增，g g（2）=j（e2-4-41n2）0当 Q=2 时，不 等 式 恒 成 立，所 以 Q 最 大 为 2.例 15.x 2,k/In，/,求 k 的 最 大 整 数 值.X 2解：令/（Z）=吗 才，显 然 k 3 一 了 所 以/Q）=clnc+cx 2=4+48 e2x 2【过 关 测 试】1.（2022吉 林 长 春 市 第 二 实 事 中 学 商 二 期 中）设 函 数/（t）=e*-2加 一 1,g（x）=2+1.（1）讨 论/（/）的 单 调 性；（2）若 a=，且 不 等 式（a?k）r+g 0 对 w 4 e（0,+8）恒 成 立，求 整 数 k 的 最 大 值.【答 案】（1）见 解 析（2）2【分 析】（1）先 求 导，讨 论 导 数 的 实 根 个 数，然 后 分 别 研 究 相 应 区 间 的 导 数 符 号 从 而 确 定 函 数 单 调 性；（2）分 离 参 数 得 K V 咚 士 对 V c C（0,+8）恒 成 立，构 造 函 数,研 究 其 最 小 值，然 后 求 出 心 的 最 大 值.（1）/=ex 2a,x W R当 Q&O 时，在 c E（8,+8）上 r（c）0 恒 成 立，/（C）单 调 递 增；当 Q 0 时，令/（/）=0,解 得 力=ln（2a）,在 力 G（oo,ln（2a）上/（re）0 恒 成 立 J（力）单 调 递 增.综 上：当 Q 0 时，/（%）在+G（oo,ln（2a）上 单 调 递 减，在（ln（2a）,4-oo）上 单 调 递 增.（2）因 为 e，-1 0,所 以 原 不 等 式 等 价 于 k V 力 斗 对 V 0 e（0,+8）恒 成 立，即 k V（哼 F）令 w=咚 3”（,）=哗 麦 且 ex-1 ex l）z令”（c）=