2023年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数第八节函数与方程.pdf

第 八 节 函 数 与 方 程 最 新 考 纲 结 合 二 次 函 数 的 图 象，了 解 函 数 的 零 点 与 方 程 根 的 联 系，判 断 一 元 二 次 方 程 根 的 存 在 性 及 根 的 个 数.考 向 预 测 考 情 分 析：本 节 的 常 考 点 有 判 断 函 数 零 点 所 在 区 间、确 定 函 数 零 点 个 数 及 利 用 函 数 零 点 解 决 一 些 参 数 问 题，其 中 利 用 零 点 解 决 一 些 参 数 问 题 仍 是 高 考 考 查 的 热 点，题 型 多 以 选 择 题 为 主，属 中 档 题.学 科 素 养：通 过 函 数 零 点 的 判 断 与 求 解 考 查 直 观 想 象、逻 辑 推 理 的 核 心 素 养.必 备 知 识 基 础 落 实 赢 得 良 好 开 端 一、必 记 2 个 知 识 点 1.函 数 的 零 点（1）概 念：对 于 一 般 函 数 y=/（x）,我 们 把 使 的 实 数 x 叫 做 函 数 y=/（x）的 零 点.（2）函 数 的 零 点、函 数 的 图 象 与 x 轴 的 交 点、对 应 方 程 的 根 的 关 系：2.函 数 零 点 存 在 定 理（1）条 件：如 果 函 数 y=_Ax）在 区 间 M，灯 上 的 图 象 是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线；0.结 论：函 数 y=/（x）在 区 间（a）内 至 少 有 一 个 零 点，即 存 在 c C（a）,使 得,这 个 c 也 就 是 方 程 yu）=o 的 解.二、必 明 3 个 常 用 结 论 1.若 连 续 不 断 的 函 数./U）在 定 义 域 上 是 单 调 函 数，则./U）至 多 有 一 个 零 点.函 数 的 零 点 不 是 一 个“点”，而 是 方 程 段）=0 的 实 根.2.由 函 数 y=/（x）（图 象 是 连 续 不 断 的）在 闭 区 间 a,口 上 有 零 点 不 一 定 能 推 出（初 0，如 图 所 示，所 以 式 a）贸 份 0是），=/（x）在 闭 区 间 a,加 上 有 零 点 的 充 分 不 必 要 条 件.y=fix)3.周 期 函 数 如 果 有 零 点，则 必 有 无 穷 多 个 零 点.三、必 练 4 类 基 础 题（一）判 断 正 误 1.判 断 下 列 说 法 是 否 正 确（请 在 括 号 中 打“。”或 X”）.（1）函 数 y（x）=f 1 的 零 点 是（一 1,0）和（1,0）.（）（2）函 数 y=/U）在 区 间 3,份 内 有 零 点（函 数 图 象 连 续 不 断），则 一 定 有 汽/负 力 0.（）(3)二 次 函 数 丫=加+法+通 工 0)在 一 4 s；0 时 没 有 零 点.()(4)若 连 续 不 断 的 函 数 式 x)在(m 与 上 单 调 且 共)负 匕)0,则 函 数 式 x)在 a,切 上 有 且 只 有 一 个 零 点.()(二)教 材 改 编 2.必 修 1P92习 题 A 组 T5改 编 函 数 7U)=lnx|的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是()A.(1,2)B.(2,3)C.Q,1)和(3,4)D.(4,+0)3.必 修 1R8例 1 改 编 函 数 段)=xL(3,的 零 点 个 数 为.(三)易 错 易 混 4.(忽 视 二 次 项 条 教 为。的 情 况)若 函 数 兀 1)=2以 2一 一 1在(0,1)内 恰 有 一 个 零 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是()A.(-1,1)B.fl,+8)C.(1,+8)D.(2,+8)5.(不 会 用 教 形 结 合 讨 论 二 次 方 程 根 的 分 布)若 二 次 函 数 人 上)=一 2x+z在 区 间(0,4)上 存 在 零 点，则 实 数 m 的 取 值 范 围 是.(四)走 进 高 考 6.2019全 国 HI卷 函 数 r)=2sinx-$小 2%在 0,2兀 的 零 点 个 数 为()A.2 B.3 C.4 D.5关 键 能 力 考 点 突 破 掌 握 类 题 通 法 考 点 一 函 数 零 点 所 在 区 间 的 判 定 1.函 数 人 月 二 六+:的 零 点 所 在 的 大 致 区 间 是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(0,1),(2,3)2.若 ah0 且 aWl).当 2a3X4 时，函 数 y(x)的 零 点 x()G(，n+1),dN*,则”=.反 思 感 悟 确 定 函 数 零 点(或 方 程 的 根)所 在 区 间 的 3 种 方 法(1)利 用 函 数 零 点 的 存 在 性 定 理：首 先 看 函 数 y=/(x)在 区 间 体，例 上 的 图 象 是 否 连 续，再 看 是 否 有 大。)贸 6)0.若 有，则 函 数 了=兀 0在 区 间(a,6)内 必 有 零 点.(2)图 象 法：把 方 程 转 化 为 两 个 函 数，看 它 的 交 点 所 在 区 间.(3)数 形 结 合 法：通 过 画 函 数 图 象，观 察 图 象 与 x 轴 在 给 定 区 间 上 是 否 有 交 点 来 判 断.考 点 二 确 定 函 数 零 点 的 个 数 基 础 性、综 合 性(乂 2:y _ _ O y v 0X 十 X z,x _ u,的 零 点 个 数 为()1+Inx,x 0A.3 B.2C.1 D.0(2)2022河 南 郑 州 质 检 已 知 函 数 段)=(1 一 c o sx,则 於)在 0,2兀 上 的 零 点 个 数 为()A.1 B.2C.3 D.4听 课 笔 记：反 思 感 悟 函 数 零 点 个 数 的 判 断 方 法(1)直 接 求 零 点：令 4 x)=0,有 几 个 解 就 有 几 个 零 点；(2)零 点 存 在 性 定 理：要 求 函 数 在 区 间 出，句 上 是 连 续 不 断 的 曲 线，且 犬)逃 6)0,再 结 合 函 数 的 图 象 与 性 质 确 定 函 数 零 点 个 数；(3)利 用 图 象 交 点 个 数，作 出 两 函 数 图 象，观 察 其 交 点 个 数 即 得 零 点 个 数.【对 点 训 练】1.2022重 庆 调 研 设 函 数 段)=2卜 1+/3,则 函 数 y=/(x)的 零 点 个 数 是()A.4 B.3C.2 D.12.函 数/(x)=2sinxsin(x+)J C2 的 零 点 个 数 为.考 点 三 函 数 零 点 的 应 用 综 合 性 角 度 1 根 据 函 数 零 点 个 数 求 参 数 I例 2(1)设 实 数 小 是 关 于 x 的 方 程|lgx|=c 的 两 个 不 同 实 数 根，且 aX 10,5 1 0 abc的 取 值 范 围 是.(2)已 知 函 数 y(x)=2瓜,0 X 1.4的 实 数 解，则。的 取 值 范 围 为()A.5 9B.,5 9,4 4.C.G 汕 1 D.g,5 U 1角 度 2 根 据 零 点 的 范 围 求 参 数 例 3(1)2022 武 汉 质 检 若 函 数 J(x)=x2以+1在 区 间 向，3)上 有 零 点，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.(2,+)B.2,+0 0)C.2,|)D.2,甘(2)2022 衡 水 检 测 已 知 定 义 在 R 上 的 函 数 y=/(x)满 足 式 x1)=式+1)=火 1-%),当 x e l,2时，r)=log2X,若 方 程 外)一 以=0 在(0,+8)上 恰 好 有 两 个 不 等 的 实 数 根，则 正 实 数 a 的 值 为()A.B.log2 e eln 2C-1 D.2角 度 3 求 函 数 多 个 零 点(方 程 根)的 和|例 4 2021广 东 七 校 联 考 设 函 数 人 幻 的 定 义 域 为 R,火 一)=加)且 犬 x)=/(2 x),当 x d 0,1时,/(x)=a 则 函 数 g(x)=|c o s g)|一/(x)在 区 间(；，|上 的 所 有 零 点 的 和 为()A.1 B.2C.3 D.4反 思 感 悟 已 知 函 数 有 零 点(方 程 有 根)求 参 数 值(范 围)的 3 种 常 用 的 方 法 直 接 法 直 接 根 据 题 设 条 件 构 建 关 于 参 数 的 不 等 式，再 通 过 解 不 等 式 确 定 参 数 范 围.(2)分 离 参 数 法 先 将 参 数 分 离，转 化 成 求 函 数 值 域 问 题 加 以 解 决.(3)数 形 结 合 法 先 对 解 析 式 变 形，在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中，画 出 函 数 的 图 象，然 后 数 形 结 合 求 解.【对 点 训 练】1.2022武 汉 质 量 监 测 已 知 函 数 外)=三 一 2 若 於)没 有 零 点，则 实 数。的 取 值 范 围 是()A.0,e)B.(0,1)C.(0,e)D.0,1)2.若 函 数 y(x)=(帆-2)x 2+m x+2 m+l的 两 个 零 点 分 别 在 区 间(一 1,0)和 区 间(1,2)内，则 m 的 取 值 范 围 是.微 专 题 解 嵌 套 函 数 的 零 点 问 题 函 数 的 零 点 是 高 考 命 题 的 热 点，主 要 涉 及 判 断 函 数 零 点 的 个 数 或 范 围，常 考 查 三 次 函 数 与 复 合 函 数 相 关 零 点，与 函 数 的 性 质 和 相 关 问 题 交 汇.对 于 嵌 套 函 数 的 零 点，通 常 先“换 元 解 套”，将 复 合 函 数 拆 解 为 两 个 相 对 简 单 的 函 数，借 助 函 数 的 图 象、性 质 求 解.类 型 1 嵌 套 函 数 零 点 个 数 的 判 断 已 知 危)=嘤 2”则 函 数 尸 2哈)一 段)+1的 零 点 个 数 是 I例 1|解 析:由 2/U)23 7 U)+1=O,得 危)=：或 火 x)=l,作 出 函 数 y=*x)的 图 象 如 图 所 示.由 图 象 知=/与 y=K x)的 图 象 有 2 个 交 点，y=l与 y=/(x)的 图 象 有 3 个 交 点.因 此 函 数 y=2/(x)2-3/U)+l的 零 点 有 5 个.答 案:5名 师 点 评 求 解 此 类 问 题 的 主 要 步 骤 换 元 解 套，转 化 为 f=g(x)与 y=/(。的 零 点.(2)依 次 解 方 程，令 人。=0,求 f,代 入/=g(x)求 出 x 的 值 或 判 断 图 象 交 点 个 数.类 型 2 求 嵌 套 函 数 零 点 中 的 参 数 阴 2 函 数 於 尸 代:二 上 二；若 函 数 岭)=册 有 三 个 不 同 的 零 点,则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.解 析：设 f=/(x),令 火 危 0)a=0,则 a=/(f).在 同 一 坐 标 系 内 作 y=a,y=/“)的 图 象(如 图).当。一 1 时，y=a 与 y=/(f)的 图 象 有 两 个 交 点.设 交 点 的 横 坐 标 为“，一 不 妨 设 则 1,1.当 n-l 时，=Kx)有 一 解；当 攵 一 1 时，2=式 尤)有 两 解；当 a=_/(。的 图 象 只 有 一 个 交 点，函 数 g(x)只 有 一 个 零 点，不 合 题 意,综 上，当。一 1 时，函 数 g(x)=/(/(x)-a有 三 个 不 同 的 零 点.答 案：-1,+)名 师 点 评(1)求 解 本 题 抓 住 分 段 函 数 的 图 象 性 质，由 y=与 y=/(f)的 图 象，确 定 八，介 的 取 值 范 围，进 而 由 f=Kx)的 图 象 确 定 零 点 的 个 数.(2)含 参 数 的 嵌 套 函 数 方 程，还 应 注 意 让 参 数 的 取 值“动 起 来”，抓 临 界 位 置，动 静 结 合.变 式 训 练 已 知 函 数 y(x)=h x 则 函 数 尸(x)=/(Xx)一(x)一|的 零.|log2(x-1)|,X 1,点 个 数 是()A.4 B.5C.6 D.7第 八 节 函 数 与 方 程 积 累 必 备 知 识 1.(1次 0=0(2)x 轴 段)=02.(1 次/式/?)(2)/(c)=0*.、1.答 案：x(2)X(3)J(4)72.解 析：因 为 _/(2)=ln2-l0,且 函 数 的 图 象 连 续 不 断，7U)为 增 函 数，所 以 人 用 的 零 点 在 区 间(2,3)内.答 案：B3.解 析：作 函 数 y=x 5和 丫 2=弓 尸 的 图 象 如 图 所 示,结 合 函 数 的 单 调 性 及 图 象 知 函 数 _/(x)有 1 个 零 点.答 案：14.解 析：若 函 数 负 x)=2ox2x1 在 区 间(0,1)内 恰 有 一 个 零 点，则 方 程 2OX2x1=0 在 区 间(0,1)内 恰 有 一 个 根，若。=0,则 方 程 2ax2-x-l=0 可 化 为：一 工 一 1=0 方 程 的 解 为 一 1,不 成 立；若“0,则/=1+8 0,且 c=10；故 方 程 有 一 正 一 负 两 个 根，故 方 程 2以 2 _-1=0在 区 间(0,1)内 恰 有 一 个 解 可 化 为(2a-02-0-1)(2a-12-1-1)1;故 实 数。的 取 值 范 围 是(1,+8).答 案：C5.解 析：由 题 意/*=d+Z r 在(0,4)上 有 解，又 一 丁+2%=(x1)2+1,.了=一/+2x在(0,4)上 的 值 域 为(-8,1,答 案：(-8,1 6.解 析：方 法 一 函 数 y(x)=2sinx-sin 2x在 0,2兀 的 零 点 个 数，即 2sinx-sin 2%=0在 区 间 0,2兀 的 根 个 数,即 2sin x=sin 2x,令 A(x)=2sin x 和 g(x)=sin2x,作 出 两 函 数 在 区 间 0,2汨 的 图 象 如 图 所 示，由 图 可 知，/i(x)=2sinx和 g(x)=sin 2x在 区 间 0,2兀 的 图 象 的 交 点 个 数 为 3 个.故 选 B.方 法 二 因 为 负 x)=2sinx-sin 2r=2sin x(l cosx),x G 0,2n,令-X)=0,得 2sinx(lcosx)=0,即 sinx=0 或 1cosx=0,解 得 x=0,n,2n.所 以 兀 r)=2sinx-sin 2x在 0,27tl的 零 点 个 数 为 3 个.提 升 关 键 能 力 考 点 一1.解 析：求 函 数 危 尸 表+ln挑 零 点 所 在 的 大 致 区 间，等 价 于 求 六+ln”的 解 所 在 的 大 致 区 间，等 价 于 求*=一 叱 的 解 所 在 的 大 致 区 间，等 价 于 求*=的 解 所 在 的 大 致 区 间，等 价 于 求 y=言 与、=111 的 图 象 在（0,+8）上 的 交 点 的 横 坐 标 所 在 的 大 致 区 间（如 图 所 示），由 图 可 得，选 D.答 案：D2.解 析：,.,avXc,fid)=(ab)(ac)0,fib)=(bc)(ba)0,由 函 数 零 点 存 在 性 定 理 可 知,在 区 间 3,b）,（6,c）内 分 别 存 在 零 点，又 函 数 火 x）是 二 次 函 数，最 多 有 两 个 零 点，因 此 函 数 yu）的 两 个 零 点 分 别 位 于 区 间（。，b）,s，c）内.答 案：A3.解 析：对 于 函 数 y=logd,当 x=2 时，可 得 yvl,当 x=3 时，可 得 yl,在 同 一 坐 标 系 中 画 出 函 数 y=log,M y=x+b 的 图 象，判 断 两 个 函 数 图 象 的 交 点 的 横 坐 标 在（2,3）内，函 数/（x）的 零 点 乂）（小+1）时，n=2.答 案：2考 点 二 例 1 解 析：(1)方 法 一 由 yu)=0得 1 X W 0，或 x 0 解 得 x=-2 或 lx2+x-2=0 1-1+Inx=0,x=e.因 此 函 数 应 0 共 有 2 个 零 点.方 法 二 函 数 犬 元）的 图 象 如 图 所 示，由 图 象 知 函 数 共 有 2 个 零 点.(2)如 图，作 出 g(x)=*与/z(x)=cos x 的 图 象，可 知 其 在 0,27tl上 的 交 点 个 数 为 3,所 以 函 数 人 幻 在 0,2兀 上 的 零 点 个 数 为 3,故 选 C.答 案：B(2)C对 点 训 练 1.解 析：易 知 兀 v)是 偶 函 数，当 x 2 0 时，兀 0=2，+/3,所 以 x 2 0 时，U)在 0,+8)上 是 增 函 数，且 1)=0,所 以 x=l 是 函 数 y=/(x)在 0,+8)上 的 唯 一 零 点.根 据 奇 偶 性，知 x=1是 y=/(x)在(一 8,0)内 的 零 点，因 此 y=/(x)有 两 个 零 点.答 案：C2.解 析：兀 0=2$曲 8$一/=$m2%；12,函 数 r)的 零 点 个 数 可 转 化 为 函 数=sin 2x与 2=f 图 象 的 交 点 个 数，在 同 一 坐 标 系 中 画 出 yi=sin 2r与 的 图 象 如 图 所 示：由 图 可 知 两 函 数 图 象 有 2 个 交 点，则/U)的 零 点 个 数 为 2.答 案：2考 点 三 例 2 解 析：(1)由 题 意 知，如 图，在(0,10)上，函 数 y=|lgx|的 图 象 和 直 线 y=c 有 两 个 不 同 交 点，所 以 必=1,0clg 10=1,所 以 出 七 的 取 值 范 围 是(0,1).(2)画 出 函 数 y=/(x)的 图 象，如 图.方 程 r)=-的 解 的 个 数，即 为 函 数 y=Kx)的 图 象 与 直 线/：y=；x+a 的 公 共 点 4 4的 个 数.当 直 线/经 过 点 A 时，有 2=-；X l+a,。=：；4 4当 直 线/经 过 点 B 时，有 1=-L x i+”，4 4由 图 可 知，三 时，函 数 y=/(x)的 图 象 与/恰 有 两 个 交 点.另 外，当 直 线/与 曲 线 y=,xl相 切 时，恰 有 两 个 公 共 点，此 时“0.(y=一 1,联 立 1 J 得 工=-%+，1,Y 4y=x+a,什 1=0,得 4=1(舍 去 负 根).综 上，6停，U1.答 案：(0,1)(2)D例 3 解 析：(1)由 题 意 知 方 程 办=/+1 在 3)上 有 实 数 解,即 a=x+：在&3)上 有 解,设 f=x+,X G Q,3),则 f的 取 值 范 围 是 2,y).所 以 实 数”的 取 值 范 围 是 2,(2)由 y(x-l)=/(x+l)=/U-x),可 知 人 x)为 偶 函 数，且 一 条 对 称 轴 为 直 线 x=l；再 由 r+l)=/(x1),可 得 负 2+x)=/(x),求 得 周 期 为 2.根 据 x e”，2 时，2.x0 In 2 x0,由 图 象 可 知，当 直 线 y=ax过 点(2,1)时，方 程/U)“x=0 在(0,+8)上 恰 好 有 两 个 不 等 的 实 数 根，.=：.答 案：D(2)C例 4 解 析：由 八 一 x)=/(x),知 函 数 式 x)是 偶 函 数，由 7(x)=_A2-x),可 知 函 数 y(x)的 图象 的 对 称 轴 为 直 线 x=l.由 于 函 数 y(x)与 函 数 y=|cos(7LV)|均 为 偶 函 数，所 以 在 一 3，I上 g(x)的 零 点 之 和 为 0,只 需 求 在 C，|上 的 零 点 和.在 同 一 个 直 角 坐 标 系 中 画 出 函 数 y=|cos(我)|,尸 危)在&|上 的 图 象 如 图，在 G，三 上，(1，1)为 两 函 数 图 象 的 交 点，另 外 两 个 交 点 关 于 x=l 对 称，所 以 在 G，|上，g(x)的 零 点 和 为 3,故 所 有 零 点 的 和 为 3.答 案：C对 点 训 练 1.解 析：由 x)=。=0,得 若 时，显 然 y=e与 y=or有 零 点，因 此 若 危)无 零 点，必 然 有 当 y=or与 y=e*相 切 时，设 切 点 P(x(),ex),则 a=eXo且 eXo=ox(),.a=ax()9 Axo=1,则 切 线 斜 率&=已。刖=l=e.因 此，要 使 曲 线 y=e与 y=ox不 相 交，则 0Wae.答 案：Am W 2,f(-l)-f(0)0,f(l).f(2)0,m H 2,即(m-2 m 4-2m+l)(2m 4-1)0,、(m-2+m+2m 4-l)4(m-2)+2m+2m+1 0,解 得 工 加 上 4 2答 案：&I)微 专 题 解 嵌 套 函 数 的 零 点 问 题 变 式 训 练 解 析：令 负 x)=f,则 函 数 F(x)可 化 为 y=y-2f|,则 函 数 尸(x)的 零 点 问 题 可 转 化 为方 程 4。-2=0 的 根 的 问 题.令 丫=/-2L：0,则 财=2r+|,分 别 作 出 y=4。和 y=2r+|的 图 象，如 图 1,由 图 象 可 得 有 两 个 交 点，横 坐 标 设 为”,仅 不 妨 设 fi2),则 力=0,122；由 图 2,结 合 图 象，当 4 0=0 时，有 一 解，即 x=2；当 段)=/2时，结 合 图 象，有 3 个 解.所 以 y=Mx)4U)一|共 有 4 个 零 点.图 1 图 2答 案：A