数学应用之分形课件.ppt
4.6.1由生成元生成的分形图形vcantor三分集三分集 生成方法：选取一条直线段生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，去掉中，将该线段三等分，去掉中间一段，剩下两段。将剩下的两段分别再三等分，各去掉中间间一段，剩下两段。将剩下的两段分别再三等分，各去掉中间的一段，剩下四段。继续这样的操作，直至无穷，则可得到一的一段，剩下四段。继续这样的操作，直至无穷，则可得到一个离散的点集，称为个离散的点集，称为cantor三分集。三分集。程序略。程序略。由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学家按照一定规由生成元产生的分形是一种规则分形，是数学家按照一定规则构造出来的，相当于物理学种的模型。构造特点：最终图形则构造出来的，相当于物理学种的模型。构造特点：最终图形是按照一定规则是按照一定规则R对初始对初始F0不断修改得到的。不断修改得到的。2023/6/100黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形vkoch曲线曲线 生成方法：选取一条直线段生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，并将中，将该线段三等分，并将中间一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到间一段用以该线段为边的等边三角形的另外两条边代替，得到图形图形F1。再将。再将F1的每一段都按上述方法修改，直至无穷，则最的每一段都按上述方法修改，直至无穷，则最后得到的极限曲线，称为后得到的极限曲线，称为koch曲线。曲线。2023/6/101黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形程序：程序：clear;clf;new=0,1;%定义初始线段的两端定义初始线段的两端kmax=20;%迭代次数迭代次数 for k=1:kmax old=new;%保存原有各点的坐标保存原有各点的坐标 n=length(old)-1;%计算需要改变图形的线段数目计算需要改变图形的线段数目 for m=0:n-1%计算各新线段两端点的坐标计算各新线段两端点的坐标(5点点)diff=(old(m+2)-old(m+1)/3;%取新线段长度向量取新线段长度向量 new(4*m+1)=old(m+1);%新线段第一点坐标新线段第一点坐标new(4*m+2)=old(m+1)+diff;%新线段第二点坐标新线段第二点坐标new(4*m+3)=new(4*m+2)+diff*(1+sqrt(3)*i)/2);%第三点第三点new(4*m+4)=old(m+1)+2*diff;%第四点第四点endnew(4*n+1)=old(n+1);%最后一点最后一点plot(new);axis equal;end2023/6/102黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形2023/6/103黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形v分形树分形树 生成方法：选取一条直线段生成方法：选取一条直线段F0，将该线段三等分，在等分，将该线段三等分，在等分点上各画一条长度为原线段长度三分之一的线段，并与原线段点上各画一条长度为原线段长度三分之一的线段，并与原线段成固定夹角，得到图形成固定夹角，得到图形F1。再将。再将F1的每一段都按上述方法修改，的每一段都按上述方法修改，直至无穷，则最后得到的极限图象，称为分形树。直至无穷，则最后得到的极限图象，称为分形树。abcdeo2023/6/104黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形程序：程序：clear;clf;th=pi/6;%设置角度设置角度u=0,0;0,1;%初始线段坐标初始线段坐标 rov1=cos(th),-sin(th);sin(th),cos(th);rov2=rov1;%坐标变换矩阵坐标变换矩阵kmax=15;%循环次数循环次数for k=1:kmax uuu=;%建立一空数组，保存点坐标建立一空数组，保存点坐标 n=length(u)/2;%计算需要改变图形的线段数目计算需要改变图形的线段数目 for m=0:n-1%计算各新端点的坐标计算各新端点的坐标 p1=(u(2*m+1,:)*2+u(2*m+2,:)/3;%a点点 p2=(u(2*m+1,:)+u(2*m+2,:)*2)/3;%b点点pp=(u(2*m+2,1)-u(2*m+1,1);(u(2*m+2,2)-u(2*m+1,2)/3;%计算新线段向量计算新线段向量2023/6/105黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形lp=rov1*pp;%第一条树枝偏转向量第一条树枝偏转向量 lp=p1+lp;%第一条树枝端点第一条树枝端点C坐标坐标 rp=rov2*pp;%第二条树枝偏转向量第二条树枝偏转向量 rp=p2+rp;%第二条树枝端点第二条树枝端点D坐标坐标 uu=u(2*m+1,:);p1;p1;lp;p1;p2;p2;rp;p2;u(2*m+2,:);%按顺序排列新线段两端点的坐标按顺序排列新线段两端点的坐标uuu=uuu;uu;endu=uuu;plot(u(:,1),u(:,2);axis(-0.5,0.5,0,1);end2023/6/106黄建华制作4.6.1由生成元生成的分形图形2023/6/107黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形以及相应的一组概率以及相应的一组概率:p1,p2,.,pn(p1+p2+.+pn=1,pi0)。对对于任意选取的初始值于任意选取的初始值z0=(x0,y0)，以概率，以概率pi选取变换选取变换wi做迭代：做迭代：zk+1=(xk+1,yk+1)=wi(xk,yk),k=0,1,2,.则点列则点列zk收敛的极限图形称为一个收敛的极限图形称为一个IFS吸引子，即分形。吸引子，即分形。利用利用IFS迭代可以生成美丽的分形，而且迭代可以生成美丽的分形，而且IFS迭代的程序具迭代的程序具有通用性，要想得到不同的分形只需改变变换种的系数和概率有通用性，要想得到不同的分形只需改变变换种的系数和概率值。值。由迭代函数系由迭代函数系(IFS)产生分形的一般算法是：给定平面上的产生分形的一般算法是：给定平面上的一组仿射变换一组仿射变换wi:2023/6/108黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形步骤：步骤：(1)设定迭代的可视区域为：设定迭代的可视区域为：V=(x,y)|xminxxmax,yminyymax再按分辨率的大小再按分辨率的大小V分成分成a*b的网格，网格点为的网格，网格点为(xi,yi)，其中：，其中：xi=xmin+(xmax-xmin)*i/a,i=0,1,2,.,ayi=ymin+(ymax-ymin)*i/b,i=0,1,2,.,b设迭代设迭代N次；次；(2)设定初始点设定初始点(x0,y0)，不妨取，不妨取(0,0)；(3)在数列在数列1,2,.,n中，以概率中，以概率pi选取变换选取变换wi；(4)将变换作用到点将变换作用到点(xk,yk)上，得到新点上，得到新点(xk+1,yk+1)；(5)画出点画出点(xk,yk)，直到循环结束。，直到循环结束。2023/6/109黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vbarnsley羊齿叶羊齿叶 wabcdefp10000.16000.0120.850.04-0.040.8501.60.8530.2-0.260.230.2201.60.074-0.150.280.260.4400.440.07程序：程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=x0;zeros(n-1,1);y=y0;zeros(n-1,1);%可视区域点数可视区域点数for i=2:n%按规则计算下一点坐标按规则计算下一点坐标2023/6/1010黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率取概率if vv0.01%概率概率p=0.01y(i)=0.16*y(i-1);elseif vv0.86%概率概率p=0.85x(i)=0.85*x(i-1)+0.04*y(i-1);y(i)=1.6-0.04*x(i-1)+0.85*y(i-1);elseif vv0.93%概率概率p=0.07x(i)=0.2*x(i-1)-0.26*y(i-1);y(i)=1.6+0.23*x(i-1)+0.22*y(i-1);elsex(i)=-0.15*x(i-1)+0.28*y(i-1);y(i)=0.26*x(i-1)+0.24*y(i-1)+0.44;end2023/6/1011黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形endplot(x(1:n),y(1:n),.r,markersize,1);axis off 2023/6/1012黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vsierpinski垫垫 wabcdefp10.5000.5000.33320.5000.50.250.4330.33330.5000.50.500.333程序：程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=x0;zeros(n-1,1);y=y0;zeros(n-1,1);%可视区域点数可视区域点数for i=2:n%按规则计算下一点坐标按规则计算下一点坐标2023/6/1013黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率取概率if vv0.333%概率概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1);y(i)=0.5*y(i-1);elseif vv0.666%概率概率p=0.333x(i)=0.5*x(i-1)+0.25;y(i)=0.433+0.5*y(i-1);elsex(i)=0.5*x(i-1)+0.5;y(i)=0.5*y(i-1);endendplot(x(1:n),y(1:n),.b,markersize,1);axis off2023/6/1014黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形2023/6/1015黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形v分形树分形树wabcdefp10000.5000.0520.42-0.420.420.4200.20.430.420.42-0.420.4200.20.440.1000.100.20.15程序：程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=x0;zeros(n-1,1);y=y0;zeros(n-1,1);%可视区域点数可视区域点数for i=2:n%按规则计算下一点坐标按规则计算下一点坐标2023/6/1016黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率取概率if vv0.05%概率概率p=0.05y(i)=0.5*y(i-1);elseif vv0.45%概率概率p=0.4x(i)=0.42*x(i-1)-0.42*y(i-1);y(i)=0.2+0.42*(x(i-1)+y(i-1);elseif vv0.85x(i)=0.42*(x(i-1)+y(i-1);y(i)=0.42*(y(i-1)-x(i-1)+0.2;elsex(i)=0.1*x(i-1);y(i)=0.2+0.1*y(i-1);end2023/6/1017黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形endplot(x(1:n),y(1:n),.m,markersize,1);axis off 2023/6/1018黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vlevy曲线曲线wabcdefp10.5-0.50.50.5000.520.50.5-0.50.50.50.50.5程序：程序：clear;clf;n=100000;%设置迭代次数设置迭代次数v=rand(n,1);%随机数用于每一步做概率系数随机数用于每一步做概率系数x0=0;y0=0;x=x0;zeros(n-1,1);y=y0;zeros(n-1,1);%可视区域点数可视区域点数for i=2:n%按规则计算下一点坐标按规则计算下一点坐标2023/6/1019黄建华制作4.6.2由迭代函数系生成的分形图形vv=v(i);%取概率取概率if vvM,表明点表明点(x0,y0)产生的序列无界，用白色显产生的序列无界，用白色显示点并转向步骤示点并转向步骤(2)；若；若k=kmax,表明点表明点(x0,y0)产生的序列有产生的序列有界，用黑色显示点并转向步骤界，用黑色显示点并转向步骤(2)；若；若rM且且kkmax，则继续迭代迭代；4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1024黄建华制作mandelbrot集程序：集程序：clear;clf;x=linspace(-1.5,1.5,300);y=linspace(-2.25,0.75,300);%设置显示范围设置显示范围X,Y=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标设置像素点的坐标n=100;c=X+i*Y;Z=X+i*Y;for k=1:n%迭代过程迭代过程Z=Z.2+c;endW=abs(Z);pcolor(X,Y,W);%绘制当前颜色矩阵绘制当前颜色矩阵W的伪彩色图的伪彩色图shading flat;%画出二维曲面画出二维曲面W的阴影的阴影,axis(square);colormap prism(256)%创建颜色矩阵创建颜色矩阵,并返回颜色值并返回颜色值gtext(mandelbrot图图)4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1025黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1026黄建华制作mandelbrot集程序修改：集程序修改：clear;clf;x=linspace(-2,0.5,300);y=linspace(-1.25,1.25,300);%设置显示范围设置显示范围X,Y=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标设置像素点的坐标n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X);for k=1:n%迭代过程迭代过程Z=Z.2+c;i0=find(abs(Z)2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W=0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shading flat;axis(square);colormap prism(256)gtext(mandelbrot图图)4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1027黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形龟图龟图2023/6/1028黄建华制作mandelbrot集程序再修改：集程序再修改：clear;clf;x=linspace(-0.74547,-0.74538,300);y=linspace(0.11298,0.11304,300);%设置显示范围设置显示范围X,Y=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标设置像素点的坐标n=200;c=X+i*Y;Z=0;W=zeros(size(X);for k=1:n%迭代过程迭代过程Z=Z.2+c;i0=find(abs(Z)2);W(i0)=k;Z(i0)=nan;endi0=find(W=0);W(i0)=nan;pcolor(X,Y,W);shading flat;axis(square);colormap prism(256)gtext(mandelbrot图图)4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1029黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1030黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形x=linspace(-0.19590,-0.13824,300);y=linspace(1.01480,1.06707,300);2023/6/1031黄建华制作julia集程序：集程序：clear;clf;x=linspace(-1.5,1.5,300);y=x;%设置显示范围设置显示范围X,Y=meshgrid(x,y);%设置像素点的坐标设置像素点的坐标n=100;c=0.25+0.52*i;Z=X+i*Y;for k=1:n%迭代过程迭代过程Z=Z.2+c;endW=abs(Z);pcolor(X,Y,W);%绘制当前颜色矩阵绘制当前颜色矩阵W的伪彩色图的伪彩色图shading flat;%画出二维曲面画出二维曲面W的阴影的阴影,axis(square);colormap prism(256)%创建颜色矩阵创建颜色矩阵,并返回颜色值并返回颜色值gtext(julia图图:c=0.25+i*0.52)4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1032黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1033黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1034黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1035黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1036黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1037黄建华制作4.6.3由复变函数迭代生成的分形图形2023/6/1038黄建华制作
