第四章平稳过程课件.ppt
机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、严平稳过程 设随机过程若对于任意的n 和任意的有则称 为严平稳过程。由定义可知严平稳过程的一维分布与t 无关，即二维分布函数满足4.1 平稳过程的概念6/10/2023 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 若严平稳过程存在二阶矩，则有（常数）同理2、宽平稳过程设二阶矩过程满足：即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关.4.1 平稳过程的概念6/10/2023 2机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过程。以后平稳过程均指宽平稳过程。解:所以,具有平稳性,称其为平稳随机序列。试讨论 平稳性.例1、设是不相关的随机变量序列，且（1）（常数）（2）则称为宽平稳过程。4.1 平稳过程的概念6/10/2023 3机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 例2、设在上均匀分布，试讨论其平稳性。解：为常数，4.1 平稳过程的概念6/10/2023 4机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 1、相关函数的性质则设 是平稳过程，其相关函数为(1)(2)(3)(4)具有非负定性，即及复数有4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 5机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程（2)(3)证明：(1)4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 6机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程(4)由相关函数的性质可知：（1）若 是实平稳过程，则其相关函数是偶函数，即（2）设是平稳过程,则其协方差函数满足:4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 7机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 2、若则称 为周期平稳过程，使得上式成立的最小正数T 为过程的周期。周期平稳过程的相关函数也为周期函数，且其周期同过程的周期。证明：3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得（1）平稳过程均方连续的充要条件为在 处连续。（2）平稳过程均方可导的充要条件为 在处一阶、二阶导数都存在。4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 8机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程（3）若平稳过程 均方可导，则其导数过程 仍为平稳过程，且 4、联合平稳过程的互相关函数及其性质记（2）的性质1）特别，当 为联合平稳的实过程时，（1）定义：设为两个平稳过程，则称这两个过程为联合平稳过程。若对于任意4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 9机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2）对任意的复常数 也是平稳过程，且它们的互相关函数满足：3）证明：1）4.2 平稳过程相关函数的性质6/10/2023 10机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程同理可得4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 11机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、各态历经概念 设 是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数怎样通过试验近似地确定？作n 次试验，得样本函数 对于固定的 由大数定律，n 必须很大，难以实现。由于平稳过程的统计特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征呢？下面引入各态历经概念。4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程(1)时间平均与时间相关函数设 是平稳过程，称1)为平稳过程在 的时间平均。2)为平稳过程在 的时间相关函数。(2)设是均方连续的平稳过程,若则称该过程的均值具有各态历经性;2)则称该过程的相关函数具有各态历经性;4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 13机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 3)均值与相关函数都具有各态历经性,则称该过程为各态历经过程。例3、设 其中 是常数，在上均匀分布，试讨论其各态历经性。解：可以求出=04.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 14机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 所以，原过程的相关函数具有各态历经性。于是该过程为各态历经过程。2、各态历经性的判定定理（1）均值各态历经定理设 是平稳过程，则其均值具有各态历经 性的充要条件为 4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 15机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 证明：为了计算上述积分，作变量替换令4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 16机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程又所以4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 17机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程由充要条件知：只须若 是实平稳过程，其相关函数为偶函数，则均值各态历经的充要条件为设是平稳过程，如果则 的均值具有各态历经性。(2)相关函数的各态历经定理由于令有4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 18机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程若 是平稳过程,则 于是,的相关函数的各态历经性转化为的均值的各态历经性判定,所以实际应用中通常定义平稳过程 的相关函数具有各态历经性的充要条件为4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 19机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 例4、设平稳过程的协方差函数满足则该过程的均值具有各态历经性。证明：所以从而，该过程的均值具有各态历经性。3、各态历经性的应用设 是具有各态历经性的平稳过程，即4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 20机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 这就从理论上保证可以认为由试验得到的样本函数由确定 均值和相关函数，有或或设 为实过程，将0,TN 等分，于是称为采样点,取N 足够大，足够小。4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程令4.3 平稳过程的各态历经性6/10/2023 22机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、相关函数的谱分解(1)维勒辛钦定理 是均方连续的平稳过程，则其相关函数 设可表示为 其中 是 上 非负、有界、单调不减、右连续函数，且 证明：若 则 此时 即为所求。若 令连续、非负定且4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 23机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程于是，必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数使得即得 即为所求。(2)定义 称 为平稳过程 的谱函数,称 为平稳过程相关函数的谱展开式。4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 24机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 如果存在非负函数使得则称 为随机过程的谱密度。(3)谱密度与相关函数的关系表明 是互为富氏变换对。例5、设是平稳过程，其相关函数为其中是正数，求其谱密度与谱函数。设均方连续的平稳过程，且 绝对可积，则 即4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 25机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 解：试证明 例6、设F(x)是任意单调不减、右连续的有界函数，且 又设X,Y 是两个相互独立的随机变量，X 以为其分布函数，Y 在上均匀分布。对令是均值为0的平稳过程，且F(x）为其谱函数。4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 26机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程证明：设F(x,y)为(X,Y)的联合分布函数,分别为X,Y 的分布函数，因为=04.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 27机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程因此，是平稳过程，且F(x)为其谱函数。2、谱密度的物理意义 设x(t)为一确定性功率信号，由“信号与系统”可知：x(t)在频率 处的功率谱密度为 设是平稳过程相关函数，如果绝对可积，则4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 28机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 证明：可得类似于各态历经性定理的证明令 故这就是功率谱密度的物理意义。3、谱密度的性质和计算4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 29机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程(1)(2)若(4)设 为两个正交的平稳过程(即 设 为平稳过程 谱密度，则为实值非负函数;为实值平稳过程,则(3)则 的谱密度为例7、若平稳过程X(t)的谱函数 对某a满足 则X(t)是任意n 次均方可微的。证明：因为4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 30机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 由 可知 是任意n 次可微分的。若 不是绝对可积，则谱函数不存在。下面引进函数，推广谱密度的概念。称为冲击函数（广义函数）。若连续，则有 证明：令4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 31机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程则有于是有 例8、设平稳过程X 的相关函数为 求其谱密度。解：4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 32机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 4、互谱密度及其性质(1)互谱密度的定义绝对可积,即设 是联合平稳过程的互相关函数,如果 则称为联合平稳过程的互谱密度。(2)互谱密度的性质1）2）是一对Fourier 变换，即4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 33机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 3)若X,Y 为实过程,则 的实部是偶部 是奇函数；4)5)函数,虚4.4 平稳过程的谱密度6/10/2023 34机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、线性时不变系统概念Lx(t)y(t)y(t)=Lx(t),称L 为系统，也称L 为算子。若系统L 满足：(1)其中为常数,则称L 为线性系统;(2)则称L 为线性时不变系统;满足(1)和(2)的系统,称为线性时不变系统。4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 35机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程设L 为线性时不变系统，为一列信号，若当 时有则称L 为保持连续性的时不变系统。2、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数(1)频率响应函数设系统L 为线性时不变系统，输入为输出为称 脉冲响应函数。连续点时，有 由 为性质知，当4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 36机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程设系统输入为 系统的脉冲响应函数为 则系统的输出为证明：(2)频率响应函数 系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应函数，记作 即4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 37机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程由于 两端作傅氏变换，得其中设系统的输入为 则系统的输出为为系统的频率响应函数。其中4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 38机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程证明：例8、如图所示R-C 电路，试求频率响应函数。RC解：右图系统的方程为令代入得解之得4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 39机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程3、线性时不变系统对随机输入的响应变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为且满足：设系统的输入为平稳过程其相关函数和谱密度分别为 且绝对可积，L 是线性时不(1)(2)则有L 的输出为(1)4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 40机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程(2)(3)Y 的谱密度存在,且例9、设例8中输入为平稳过程的功率谱密度是(白噪声)，求输出的相关函数。(白噪声)，解：由上例知系统的频率响应函数为4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 41机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 4、线性时不变系统输入与输出的互相关函数与互谱密度 设线性时不变系统的输入和输出分别为平稳过程且存在谱密度则X 与Y 平稳相关，且它们的互谱密度为4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 42机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程其中 为系统的频率响应。例10、设Y 是均方二次可微的平稳过程，X 是均方连续的平稳过程，且满足试用X 的谱密度表示Y 的谱密度。则系统输出 代入微分方程得解：该系统为线性系统，先求频率响应，设4.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 43机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程得设输入X 的谱密度为则作业:P146 习题四 1、6、10、11、15、18、21、23、24、26、33、364.5 线性系统中的平稳过程6/10/2023 44
