线性代数之第4章向量空间与线性变换课件.ppt
第4 章 向量空间与线性变换uRn的基与向量关于基的坐标uRn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标我们知道1)Rn中的n个单位向量i=(0,0,1,0,0)(i=1,n)是线性无关的；2)一个n 阶实矩阵A=(aij)nn，如果|A|0，则A的n个行向量和n个列向量也都是线性无关的；3)Rn中任何n+1个向量都是线性相关的，且Rn中任一向量都可用Rn中n个线性无关的向量来表示，且表示法唯一。Rn中向量之间的这种关系就是本节将要讨论的“基”与“坐标”的概念。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标定义：设有序向量组B1,2,n属于Rn，如果B线性无关，且Rn中任一向量均可由B线性表示，即a11a22+ann就称B是Rn的一组基（或基底），有序数组(a1,a2,an)是向量关于基B（或说在基B下）的坐标，记作：B(a1,a2,an)或B(a1,a2,an)T并称之为的坐标向量。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标显然Rn的基不是唯一的，而关于给定的基的坐标是唯一确定的。以后，我们把n个单位向量组成的基称为自然基或标准基。在三维几何向量空间R3中，i,j,k是一组标准基，R3中任一个向量可以唯一地表示为：a1i+a2j+a3k有序数组(a1,a2,a3)称为在基i,j,k下的坐标。如果的起点在原点，(a1,a2,a3)就是的终点P的直角坐标（以后我们常利用R3中向量与空间点 P 的一一对应关系，对Rn中的一些问题及其结论在R3中作几何解释）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标uRn的基与向量关于基的坐标为了讨论问题方便，我们对于向量及其坐标常采用列向量的形式(a1,a2,an)T表示，=a11+a22+ann可表示为：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 求向量关于基的坐标举例例1：设Rn的两组基为自然基B1和B2=1,2,n,其中：求向量=(a1,a2,an)T分别在两组基下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 求向量关于基的坐标举例解：关于自然基B1=1,2,n显然有=a11+a22+ann，所以：设关于B2有：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 求向量关于基的坐标举例将以列向量形式表示的,1,2,n代入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 求向量关于基的坐标举例解上式非齐次线性方程组，即得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换由例1可见，Rn中同一个向量关于不同基的坐标一般是不同的。因此需要一般地讨论基变换与坐标变换的问题。为了得到Rn中同一向量关于两组基所对应的坐标之间的关系，先证明下面的定理。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换定理：设B=1,2,n是Rn的一组基，且：则1,2,n线性无关的充要条件是：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换证：由定理中方程式得：1,2,n线性无关的充要条件是方程：只有零解xj0(j=1,2,n)。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换由于1,2,n线性无关，由上式得：因此，前方程只有零解（即上面齐次线性方程组只有零解）的充要条件是上面齐次线性方程组的系数行列不等于零，即定理中条件式成立。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换设B11,2,n,和B2=1,2,n是Rn的两组基（分别称为旧基和新基），它们的关系如下所示：将其表示成矩阵形式4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换记上式右面的矩阵为A（注意：A是1,2,n的系数矩阵的转置），为叙述简便，上式可写作：(1,2,n)=(1,2,n)A4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换定义：设Rn的两组基B1=1,2,n和B2=1,2,n满足下式式的关系，则矩阵A称为旧基B1到新基B2的过渡矩阵（或称A是基B1变为基B2的变换矩阵）。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换根据前面定理，过渡矩阵A是可逆的，A中第j列是新基的基向量j在旧基1,2,n下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换定理：设向量在两组基B1=1,2,n和B2=1,2,n下的坐标向量分别为：基B1到基B2的过渡矩阵为A，则Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换证：由已知条件，可得：(1,2,n)=(1,2,n)A故：由于在基1,2,n下的坐标是唯一的，所以：Ay=x 或 y=A-1x4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例例2：已知R3的一组基B2 1,2,3为1=(1,2,1)T，2=(1,-1,0)T，3=(1,0,-1)T，求自然基B1=1,2,3到基B2的过渡矩阵A。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例解：由即得4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例由例2可见，在Rn中由自然基B1=1,2,n到基B2=1,2,n 的过渡矩阵A，就是将1,2,n按列排成的矩阵。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例例3：已知R3的两组基为B1=1,2,3 及B2=1,2,3，其中：1）求基B1到基B2的过渡矩阵A；2）已知在基B1下的坐标为(1,-2,-1)T，求在基B2下的坐标。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例解：1）设：将以列向量形式表示的两组基向量代入上式，得：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例故过渡矩阵4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例2）根据前面的定理得在基B2下的坐标另一解法：先求出，即：然后按=y11+y22+y33，解出坐标(y1,y2,y3)T。4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例利用前面定理中关于不同基下坐标的关系的结论，容易得到平面直角坐标系中坐标轴旋转的坐标变换公式。设平面直角坐标系逆时针旋转角（见课本165页图4.1），在Oxy坐标系中，取基1=i,2=j；在Oxy坐标系中取基1=i,2=j，则：4.1 Rn的基与向量关于基的坐标u 基之间的变换举例即：于是向量在基1,2和1,2下的坐标(x1,y1)和(x1,y1)满足关系式4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵un 维实向量的内积，欧式空间在前面讨论的n维实向量空间中，我们只定义了向量的线性运算，它不能描述向量的度量性质，如长度、夹角等。在三维几何空间中，向量的内积（即点积或数量积）描述了内积与向量的长度及夹角的关系。由内积定义：ab=|a|b|cos可以得到：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间若a=a1i+a2j+a3k，简记为a=(a1,a2,a3)；b=b1i+b2j+b3k，简记为b=(b1,b2,b3)。由内积的运算性质和内积的定义，可得：a b=a1b1+a2b2+a3b3现在我们把三维几何向量的内积推广到n维实向量，在n维实向量空间中定义内积运算，进而定义向量的长度和夹角，使n维实向量具有度量性。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定义：设=(a1,a2,an)T 和=(b1,b2,bn)T Rn，规定与的内积为：(,)=a1 b1+a2 b2+an bn 当,为列向量时，(,)=T=T4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间根据定义，容易证明内积具有以下的运算性质：1)(,)=(,)2)(+,)=(,)+(,)3)(k,)=k(,)4)(,)0，等号成立当且仅当=0 其中,Rn,k R。由于向量与自身的内积是非负数，于是我们如三维几何空间中那样，用内积定义n维向量的长度。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定义：向量的长度：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定理：向量的内积满足：|(,)|此式称为柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间证：1）当=0时，(,)=0，|=0，|(,)|显然成立。2）当0时，作向量+t(t R)，由性质4)得：(+t,+t)0再由性质1),2),3)展开上式左端得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间(,)+2(,)t+(,)t2 0其左端是t的二次三项式，且t2系数(,)0，因此判别式：4(,)24(,)(,)0即：(,)2(,)(,)=|2|2故：|(,)|4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间读者不难证明，前面定理中|(,)|等号成立的充分必要条件为与线性相关。当=(a1,a2,an)T,=(b1,b2,bn)T 时，利用前面定理可得：由于内积满足柯西施瓦茨不等式，于是我们可以利用内积定义向量之间的夹角。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定义：向量,之间的夹角定义为：由前面的定义立即可得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定理：非零向量,正交（或垂直）的充分必要条件是(,)=0。由于零向量与任何向量的内积为零，因此，我们也说零向量与任何向量正交。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间在三维几何空间中，向量,+构成三角形，三个向量的长度满足三角形不等式：|+|+|当时，三个向量的长度满足勾股定理：|+|2=|2+|24.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间在定义了内积运算的n维向量空间中，三角形不等式和勾股定理仍然成立，下面给出它们的证明。|+|2=(+,+)=(,)+2(,)+(,)|2+2|+|2=(|+|)2 故：|+|+|当时，(,)=0，于是就有：|+|2=|2+|24.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u n维实向量的内积，欧式空间定义：定义了内积运算的n维实向量空间称为n维欧几里得空间（简称欧式空间），仍记作Rn。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基在n维欧式空间Rn中，长度为1的单位向量组：1=(1,0,0,0)T2=(0,1,0,0)T n=(0,0,0,1)T 显然是两两正交的线性无关的向量组，我们称它为Rn的一组标准正交基。然而，n 维欧式空间的标准正交基不是唯一的，为了说清楚这个问题，我们先证明下面的定理，给出标准正交基的一般定义，然后介绍由Rn中n个线性无关的向量构造一组标准正交基的施密特正交化方法。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基定理：Rn中两两正交且不含零向量的向量组（称为非零正交向量组）1,2,s是线性无关的。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基证：设k11+k22+kss=0则：由于(i,i)0，故ki=0,i=1,2,s因此，1,2,s线性无关。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基定义：设1,2,nRn，若：则称1,2,n是Rn的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基例1：设B=1,2,n是Rn的一组标准正交基，求Rn中向量在基B下的坐标。解：设=x11+x22+xnn，将此式两边对i(j=1,2,n)分别求内积，得：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 标准正交基故在标准正交基1,2,n下的坐标向量的第j个分量为：xj=(,j),j=1,2,n在R3中取i,j,k为标准正交基，例1中的x1,x2,x3就是在i,j,k上的投影。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法施密特正交化方法是将Rn中一组线性无关的向量1,2,n做一种特定的线性运算，构造出一组标准正交向量组的方法。我们先从R3的一组基1,2,3构造出一组标准正交基，以揭示施密特正交化方法的思路和过程。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法令1=1，将2在1上的投影向量（见课本170页图4.2）4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法则：2 1（如课本图4.2所示）。由于3与1,2不共面，所以3也与1,2不共面。如果记3在1,2平面上的投影向量为3，即：3=(3)1+(3)2=13+23=k131+k232则：31且32（如课本图4.3所示）。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法如此求得的1,2,3是两两正交的非零向量组。再将1,2,3单位化，即取：则1,2,3就是R3的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法从上述正交化过程所获得的启示，由Rn中线性无关的向量组1,2,n也可类似地构造出一组标准正交的向量组1,2,n，其步骤如下：取 1=1 2=2+k121由于1,2线性无关，所以20，为使1,2正交，即：(2,1)=(2+k121,1)=(2,1)+k12(1,1)=04.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法便得再取 3=3+k232+k131使(3,1)=(3,2)=0，又得4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法继续上述步骤，假定已求出两两正交的非零向量1,2,j-1，再取j=j+kj-1,j j-1+k2j 2+k1j 1为使j与i(i=1,2,j-1)正交，即(j,i)=(j,i)+kij(i,i)=0即得4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法故因此，令1=1，并在上式中取j=2,3,m，就得到两两正交的非零向量组1,2,m（它们都是非零向量的证明留给读者去完成）。再将它们单位化为：1,2,m4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法这就由线性无关的1,2,m构造出了标准正交向量组1,2,m。这个正交化过程称为施密特正交化方法。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法如果1,2,n是Rn的一组基，按施密特正交化方法，必可构造出Rn的一组标准正交基1,2,n。由此可见，Rn的标准正交基不唯一。在R3中，任何单位长度的两两正交的三个向量都是它的标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法例2 已知B=1,2,3是R3的一组基，其中1=(1,-1,0)2=(1,0,1)3=(1,-1,1)试用施密特正交化方法，由B构造R3的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法解 取 4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 施密特(Schmidt)正交化方法再将1,2,3单位化，得R3的标准正交基为：4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质正交矩阵是一种重要的实方阵，它的行、列向量组皆是标准正交向量组。下面先给出正交矩阵的定义，然后讨论它的性质。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质定义：设A Rnn，如果ATAI，就称A为正交矩阵。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质定理：A为n阶正交矩阵的充分必要条件是A的列向量组为Rn的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质证：设 按列分块为(1,2,n)，于是 4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质因此，ATA=I的充分必要条件是：且即A的列向量组1,2,n为Rn的一组标准正交基。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质定理：设A,B皆是n阶正交矩阵，则：1)detA=1或=-12)A-1=AT3)AT(即A-1)也是正交矩阵4)AB也是正交矩阵4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质证：1)，2)的证明略去。3)由于(AT)TAT=AAT=AA-1=I，所以AT(即A-1)也是正交矩阵，从而A的行向量组也是Rn的一组标准正交基。4)由(AB)T(AB)=BT(ATA)B=BTB=I，即得AB也是正交矩阵。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质定理：若列向量x,y Rn在n阶正交矩阵A作用下变换为Ax,Ay Rn，则向量的内积、长度及向量间的夹角都保持不变，即：(Ax,Ay)=(x,y)|Ax|=|x|Ay|=|y|=4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质证：(Ax,Ay)=(Ax)T(Ay)=x(ATA)y=xTy=(x,y)当y=x时，有(Ax,Ax)=(x,x)，即|Ax|=|x|。同理|Ay|=|y|。因此：所以向量Ax与Ay的夹角等于x与y的夹角。4.2 Rn中向量的内积、标准正交基和正交矩阵u 正交矩阵及其性质欧式空间中向量x在正交矩阵作用下变换为Ax，通常称之为欧式空间的正交变换。它在第6章中研究二次型的标准形时起着重要作用。
