小学五年级奥数40讲.pdf

小 学 五 年 级 奥 数 4 0讲 第 1周 平 均 数 第 2 周 等 差 数 列 第 3 周 长 方 形、正 方 形 的 周 长 第 4 周 长 方 形、正 方 形 的 面 积 第 5 周 数 数 图 形 第 6 周 尾 数 和 余 数 第 7 周 一 般 应 用 题（一）第 8 周 一 般 应 用 题（二）第 9 周 一 般 应 用 题（三）第 1 0周 同 数 阵 第 1 1周 周 期 问 题 第 1 2周 盈 亏 问 题 第 1 3周 长 方 体 和 正 方 体（一）第 1 4周 长 办 体 和 正 方 体（二）第 1 5周 长 方 体 和 正 方 体（三）第 1 6周 倍 数 问 题（一）第 1 7周 倍 数 问 题（二）第 1 8周 组 合 图 形 面 积（一）第 1 9周 组 合 图 形 面 积（二）第 2 0周 数 字 趣 味 题 第 2 1周 假 设 法 解 题 第 2 2周 作 图 法 解 题 第 2 3周 分 解 质 因 数（一）第 2 4周 分 解 质 因 数（二）第 2 5周 最 大 公 约 数 第 2 6周 最 小 公 倍 数（一）第 2 7周 最 小 公 倍 数（二）第 2 8周 行 程 问 题（一）第 2 9周 行 程 问 题（二）第 3 0周 行 程 问 题（三）第 3 1周 行 程 问 题（四）第 3 2周 算 式 谜 第 3 3周 包 含 与 排 除 第 3 4周 置 换 问 题 第 3 5周 估 值 问 题 第 3 6周 火 车 行 程 问 题 第 3 7周 简 单 列 举 第 3 8周 最 大 最 小 问 题 第 3 9周 推 理 问 题第 40周 杂 题 第 一 周 平 均 数（一）专 题 简 析：把 几 个 不 相 等 的 数，在 总 数 不 变 的 条 件 下，通 过 移 多 补 少，使 它 们 完 全 相 等，求 得 的 相 等 的 数 就 是 平 均 数。如 何 灵 活 运 用 平 均 数 的 数 量 关 系 解 答 一 些 稍 复 杂 的 问 题 呢？卜 面 的 数 量 关 系 必 须 牢 记：平 均 数=总 数 量+总 份 数 总 数 量=平 均 数 X 总 份 数 总 份 数=总 数 量 X 平 均 数 例 1 有 4 箱 水 果，已 知 苹 果、梨、橘 子 平 均 每 箱 42个，梨、橘 子、桃 平 均 每 箱 36个，苹 果 和 桃 平 均 每 箱 37个。一 箱 苹 果 多 少 个？分 析 与 解 答：（1）1箱 苹 果+1箱 梨+1箱 橘 子=42X3=136（个）;（2）1箱 桃+1箱 梨+1箱 橘 子=36X3=108（个）（3）1箱 苹 果+1箱 桃=37 X 2=72（个）由（1）（2）两 个 等 式 可 知：1箱 苹 果 比 1箱 桃 多 126-108=18（个），再 根 据 等 式（3）就 可 以 算 出：1箱 桃 有（74-18）+2=28（个），1 箱 苹 果 有 28+18=46（个）。1箱 苹 果 和 1箱 桃 共 有 多 少 个：37X2=74（个）1箱 苹 果 比 1箱 桃 多 多 少 个:42X3-36=18（个）1箱 苹 果 有 多 少 个:28+18=46（个）练 习 一 1、一 次 考 试，甲、乙、丙 三 人 平 均 分 91分，乙、丙、丁 三 人 平 均 分 89 分，甲、丁 二 人 平 均 分 95分。问：甲、丁 各 得 多 少 分？2、甲、乙、丙、丁 四 人 称 体 重，乙、丙、丁 三 人 共 重 120千 克，甲、丙、丁 三 人 共 重 126千 克，丙、丁 二 人 的 平 均 体 重 是 40千 克。求 四 人 的 平 均 体 重 是 多 少 千 克？3、甲、乙、丙 三 个 小 组 的 同 学 去 植 树，甲、乙 两 组 平 均 每 组 植 树 18棵，甲、丙 两 组 平 均 每 组 植 树 17棵，乙、丙 两 组 平 均 每 组 植 树 19棵。三 个 小 组 各 植 树 多 少 棵？例 2 次 数 学 测 验，全 班 平 均 分 是 91.2分，已 知 女 生 有 21人，平 均 每 人 92分；男 生 平 均 每 人 90.5 分。求 这 个 班 男 生 有 多 少 人？分 析:女 生 每 人 比 全 班 平 均 分 高 92-91.2=0.8（分）,而 男 生 每 人 比 全 班 平 均 分 低 91.2-90.5=0.7（分）o 全 体 女 生 高 出 全 班 平 均 分 0.8X21=16.8（分），应 补 给 每 个 男 生 0.7分，16.8 里 包 含 有 24个 0.7,即 全 班 有 24个 男 生。练 习 二 1、两 组 学 生 进 行 跳 绳 比 赛，平 均 每 人 跳 152下。甲 组 有 6 人，平 均 每 人 跳 140下，乙 组 平 均 每 人 跳 160下。乙 组 有 多 少 人？2、有 两 块 棉 田，平 均 每 亩 产 量 是 92.5千 克，已 知 一 块 地 是 5亩，平 均 每 亩 产 量 是 101.5千 克;另 一 块 田 平 均 每 亩 产 量 是 85千 克。这 块 田 是 多 少 亩？3、把 甲 级 和 乙 级 糖 混 在 一 起，平 均 每 千 克 卖 7元，乙 知 甲 级 糖 有 4 千 克，平 均 每 千 克 8 元；乙 级 糖 有 2 千 克，平 均 每 千 克 多 少 元？例 3 某 3 个 数 的 平 均 数 是 2,如 果 把 其 中 个 数 改 为 4,平 均 数 就 变 成 了 3o 被 改 的 数 原 来 是 多 少？分 析:原 来 三 个 数 的 和 是 2义 3=6,后 来 三 个 数 的 和 是 3X3=9,9 比 6 多 出 了 3,是 因 为 把 那 个 数 改 成 了 4。因 此，原 来 的 数 应 该 是 4-3=1。练 习 三 1、已 知 九 个 数 的 平 均 数 是 72,去 掉 一 个 数 之 后，余 下 的 数 的 平 均 数 是 78。去 掉 的 数 是 多 少？2、有 五 个 数，平 均 数 是 9。如 果 把 其 中 的 一 个 数 改 为 1,那 么 这 五 个 数 的 平 均 数 为 8。这 个 改 动 的 数 原 来 是 多 少？3、甲、乙、丙、丁 四 位 同 学，在 一 次 考 试 中 四 人 的 平 均 分 是 90分。可 是,甲 在 抄 分 数 时，把 自 己 的 分 错 抄 成 了 87分，因 此，算 得 四 人 的 平 均 分 是 88分。求 甲 在 这 次 考 试 中 得 了 多 少 分？例 4 五 一 班 同 学 数 学 考 试 平 均 成 绩 91.5 分，事 后 复 查 发 现 计 算 成 绩 时 将 一 位 同 学 的 98分 误 作 89分 计 算 了。经 重 新 计 算，全 班 的 平 均 成 绩 是 91.7分，五 一 班 有 多 少 名 同 学？分 析：98分 比 89分 多 9 分。多 算 9 分 就 能 使 全 班 平 均 每 人 的 成 绩 上 升 91.7-91.5=0.2（分）。9 里 面 包 含 有 几 个 0.2,五 一 班 就 有 几 名 同 学。练 习 四 1、五 班 有 40人，期 中 数 学 考 试，有 2 名 同 学 去 参 加 体 育 比 赛 而 缺 考，全 班 平 均 分 为 92分。缺 考 的 两 位 同 学 补 考 均 为 100分，这 次 五（1）班 同 学 期 中 考 试 的 平 均 分 是 多 少 分？2、某 班 的 一 次 测 验，平 均 成 绩 是 91.3 分。复 查 时 发 现 把 张 静 的 8 9分 误 看 作 9 7分 计 算，经 重 新 计 算，该 班 平 均 成 绩 是 9 1.1分。问 全 班 有 多 少 同 学？3、五 个 数 的 平 均 数 是 1 8,把 其 中 一 个 数 改 为 6 后，这 五 个 数 的 平 均 数 是 16。这 个 改 动 的 数 原 来 是 多 少？例 5 把 五 个 数 从 小 到 大 排 列，其 平 均 数 是 38。前 三 个 数 的 平 均 数 是 27,后 三 个 数 的 平 均 数 是 48。中 间 一 个 数 是 多 少？分 析:先 求 出 五 个 数 的 和：3 8 X 5=1 9 0,再 求 出 前 三 个 数 的 和:2 7 X 3=8 1,后 三 个 数 的 和：48X 3=144。用 前 三 个 数 的 和 加 上 后 三 个 数 的 和，这 样，中 间 的 那 个 数 就 算 了 两 次，必 然 比 190多，而 多 出 的 部 分 就 是 所 求 的 中 间 的 一 个 数。练 习 五 1、甲、乙、丙 三 人 的 平 均 年 龄 为 2 2岁，如 果 甲、乙 的 平 均 年 龄 是 1 8岁，乙、丙 的 平 均 年 龄 是 2 5岁，那 么 乙 的 年 龄 是 多 少 岁？2,十 名 参 赛 者 的 平 均 分 是 8 2分，前 6 人 的 平 均 分 是 8 3分，后 6 人 的 平 均 分 是 8 0分。那 么 第 5 人 和 第 6 人 的 平 均 分 是 多 少 分？3、下 图 中 的。内 有 五 个 数 A、B、C、D、E,口 内 的 数 表 示 与 它 相 连 的 所 有 O 中 的 平 均 数。求 C是 多 少？第 2 周 平 均 数（二）例 1 小 明 前 几 次 数 学 测 验 的 平 均 成 绩 是 8 4分，这 次 要 考 100分，才 能 把 平 均 成 绩 提 高 到 8 6分。问 这 是 他 第 几 次 测 验？分 析 与 解 答：100分 比 8 6分 多 1 4分，这 1 4分 必 须 填 补 到 前 几 次 的 平 均 分 8 4分 中 去，使 其 平 均 分 成 为 8 6分。每 次 填 补 86-84=2（分），1 4里 面 有 7 个 2,所 以，前 面 已 经 测 验 了 7 次，这 是 第 8 次 测 验。练 习 一 1、老 师 带 着 几 个 同 学 在 做 花，老 师 做 了 2 1朵，同 学 平 均 每 人 做 了 5 朵。如 果 师 生 合 起 来 算，正 好 平 均 每 人 做 了 7 朵。求 有 多 少 个 同 学 在 做 花？2、一 位 同 学 在 期 中 测 验 中，除 了 数 学 外，其 它 几 门 功 课 的 平 均 成 绩 是 94 分，如 果 数 学 算 在 内，平 均 每 门 9 5分。已 知 他 数 学 得 了 100分，问 这 位 同 学 一 共 考 了 多 少 门 功 课？3、两 组 同 学 进 行 跳 绳 比 赛，平 均 每 人 跳 152次。甲 组 有 6 人，平 均 每 人 跳 140次，如 果 乙 组 平 均 每 人 跳 160次，那 么，乙 组 有 多 少 人？例 2 小 亮 在 期 末 考 试 中，政 治、语 文、数 学、英 语、自 然 五 科 的 平 均 成 绩 是 8 9分，政 治、数 学 两 科 平 均 91.5 分，政 治、英 语 两 科 平 均 8 6分，英 语 比 语 文 多 1 0分。小 亮 的 各 科 成 绩 是 多 少 分？分 析 与 解 答：因 为 语 文、英 语 两 科 平 均 分 8 4分，即 语 文+英 语=168分，而 英 语 比 语 文 多 1 0分，即 英 语-语 文=1 0分，所 以，语 文 是（168-10）+2=7 9分，英 语 是 79+10=89分。又 因 为 政 治、英 语 两 科 平 均 8 6分，所 以 政 治 是 86X2-89=83 分;而 政 治、数 学 两 科 平 均 分 91.5 分，数 学 是 91.5 X 2-8 3=1 0 0分;最 后 根 据 五 科 的 平 均 成 绩 是 8 9分 可 知，自 然 分 是 8 9 X 5-（79+89+83+100）=9 4分。练 习 二 1、甲、乙、丙 三 个 数 的 平 均 数 是 8 2,甲、乙 两 数 的 平 均 数 是 8 6,乙、丙 两 数 的 平 均 数 是 77。乙 数 是 多 少？甲、丙 两 个 数 的 平 均 数 是 多 少？2、小 华 的 前 几 次 数 学 测 验 的 平 均 成 绩 是 8 0分，这 次 得 了 100分，正 好 把 这 几 次 的 平 均 分 提 高 到 8 5分。这 一 次 是 他 第 几 次 测 验？3、五 个 数 排 一 排，平 均 数 是 9。如 果 前 四 个 数 的 平 均 数 是 7,后 四 个 数 的 平 均 数 是 1 0,那 么，第 一 个 数 和 第 五 个 数 的 平 均 数 是 多 少？例 3 两 地 相 距 3 6 0千 米，一 艘 汽 艇 顺 水 行 全 程 需 要 1 0小 时，已 知 这 条 河 的 水 流 速 度 为 每 小 时 6 千 米。往 返 两 地 的 平 均 速 度 是 每 小 时 多 少 千 米？分 析 与 解 答:用 往 返 的 路 程 除 以 往 返 所 用 的 时 间 就 等 于 往 返 两 地 的 平 均 速 度。显 然，要 求 往 返 的 平 均 速 度 必 须 先 求 出 逆 水 行 全 程 时 所 用 的 时 间。因 为 360+10=36（千 米）是 顺 水 速 度，它 是 汽 艇 的 静 水 速 度 与 水 流 速 度 的 和，所 以，此 汽 艇 的 静 水 速 度 是 36-6=30（千 米）。而 逆 水 速 度=静 水 速 度-水 流 速 度，所 以 汽 艇 的 逆 水 速 度 是 30-6=24（千 米）。逆 水 行 全 程 时 所 用 时 间 是 360 24=15（小 时），往 返 的 平 均 速 度 是 3 6 0 X 2+（10+15）=28.8（千 米）。练 习 三 1、甲、乙 两 个 码 头 相 距 144千 米，汽 船 从 乙 码 头 逆 水 行 驶 8 小 时 到 达 甲 码 头，已 知 汽 船 在 静 水 中 每 小 时 行 驶 2 1千 米。求 汽 船 从 甲 码 头 顺 流 行 驶 几 小 时 到 达 乙 码 头？2、一 艘 客 轮 从 甲 港 驶 向 乙 港，全 程 要 行 165千 米。已 知 客 轮 的 静 水 速 度 是 每 小 时 3 0千 米，水 速 每 小 时 3 千 米。现 在 正 好 是 顺 流 而 行，行 全 程 需 要 几 小 时?3、甲 船 逆 水 航 行 3 0 0千 米，需 要 1 5小 时，返 回 原 地 需 要 1 0小 时；乙 船 逆 水 航 行 同 样 的 一 段 水 路 需 要 2 0小 时，返 回 原 地 需 要 多 少 小 时？例 4 幼 儿 园 小 班 的 2 0个 小 朋 友 和 大 班 的 3 0个 小 朋 友 一 起 分 饼 干，小 班 的 小 朋 友 每 人 分 1 0块，大 班 的 小 朋 友 每 人 比 大、小 班 小 朋 友 的 平 均 数 多 2 块。求 一 共 分 掉 多 少 块 饼 干？分 析 与 解 答：只 要 知 道 了 大、小 班 小 朋 友 分 得 的 平 均 数，再 乘（30+20）人 就 能 求 出 饼 干 的 总 块 数。因 为 大 班 的 小 朋 友 每 人 比 大、小 班 小 朋 友 的 平 均 数 多 2 块，3 0个 小 朋 友 一 共 多 2X 30=60（块），这 6 0块 平 均 分 给 2 0个 小 班 的 小 朋 友，每 人 可 得 60 20=3（块）。因 此，大、小 班 小 朋 友 分 得 平 均 块 数 是 10+3=13（块）。一 共 分 掉 13X（30+20）=650（块）o练 习 四 1、数 学 兴 趣 小 组 里 有 4 名 女 生 和 3 名 男 生，在 一 次 数 学 竞 赛 中，女 生 的 平 均 分 是 9 0分，男 生 的 平 均 分 比 全 组 的 平 均 分 高 2 分，全 组 的 平 均 分 是 多 少 分？2、两 组 同 学 跳 绳，第 一 组 有 2 5人，平 均 每 人 跳 8 0下；第 二 组 有 2 0人，平 均 每 人 比 两 组 同 学 跳 的 平 均 数 多 5 下，两 组 同 学 平 均 每 人 跳 几 下？3、一 个 技 术 工 带 5 个 普 通 工 人 完 成 了 一 项 任 务，每 个 普 通 工 人 各 得 120 元，这 位 技 术 工 人 的 收 入 比 他 们 6 人 的 平 均 收 入 还 多 2 0元。问 这 位 技 术 工 得 多 少 元？例 5 王 强 从 A地 到 B地，先 骑 自 行 车 行 完 全 程 的 一 半，每 小 时 行 1 2千 米。剩 下 的 步 行，每 小 时 走 4 千 米。王 强 行 完 全 程 的 平 均 速 度 是 每 小 时 多 少 千 米？分 析 与 解 答:求 行 完 全 程 的 平 均 速 度，应 该 用 全 程 除 以 行 全 程 所 用 的 时 间。由 于 题 中 没 有 告 诉 我 们 A地 到 B地 间 的 路 程，我 们 可 以 设 全 程 为 2 4千 米（也 可 以 设 其 他 数），这 样，就 可 以 算 出 行 全 程 所 用 的 时 间 是 1 2+1 2+1 2+4=4（小 时），再 用 2 4+4就 能 得 到 行 全 程 的 平 均 速 度 是 每 小 时 6 千 米。练 习 五 1、小 明 去 爬 山，上 山 时 每 小 时 行 3 千 米，原 路 返 回 时 每 小 时 行 5 千 米。求 小 明 往 返 的 平 均 速 度。2、运 动 员 进 行 长 跑 训 练，他 在 前 一 半 路 程 中 每 分 钟 跑 150米，后 一 半 路 程 中 每 分 钟 跑 100米。求 他 在 整 个 长 跑 中 的 平 均 速 度。4、把 一 份 书 稿 平 均 分 给 甲、乙 二 人 去 打，甲 每 分 钟 打 3 0个 字，乙 每 分 钟 打 2 0个 字。打 这 份 书 稿 平 均 每 分 钟 打 多 少 个 字？第 3周 长 方 形、正 方 形 的 周 长 同 学 们 都 知 道，长 方 形 的 周 长=（长+宽）X 2,正 方 形 的 周 长=边 长 X4。长 方 形、正 方 形 的 周 长 公 式 只 能 用 来 计 算 标 准 的 长 方 形 和 正 方 形 的 周 长。如 何 应 用 所 学 知 识 巧 求 表 面 上 看 起 来 不 是 长 方 形 或 正 方 形 的 图 形 的 周 长，还 需 同 学 们 灵 活 应 用 已 学 知 识，掌 握 转 化 的 思 考 方 法，把 复 杂 的 问 题 转 化 为 标 准 的 图 形，以 便 计 算 它 们 的 周 长。例 1 有 5 张 同 样 大 小 的 纸 如 下 图（a）重 叠 着，每 张 纸 都 是 边 长 6 厘 米 的 正 方 形，重 叠 的 部 分 为 边 长 的 一 半，求 重 叠 后 图 形 的 周 长。思 路 与 导 航 根 据 题 意，我 们 可 以 把 每 个 正 方 形 的 边 长 的 一 半 同 时 向 左、右、上、下 平 移（如 图 b）,转 化 成 一 个 大 正 方 形，这 个 大 正 方 形 的 周 长 和 原 来 5 个 小 正 方 形 重 叠 后 的 图 形 的 周 长 相 等。因 此，所 求 周 长 是 18X4=72厘 米。(a)(b)试 一 试 1,下 图 由 8 个 边 长 都 是 2 厘 米 的 正 方 形 组 成，求 这 个 图 形 的 周 长。2,下 图 由 1个 正 方 形 和 2 个 长 方 形 组 成，求 这 个 图 形 的 周 长。20cm9cm15cm3,有 6 块 边 长 是 1厘 米 的 正 方 形，如 例 题 中 所 说 的 这 样 重 叠 着，求 重 叠 后 图 形 的 周 长。例 2 一 块 长 方 形 木 板，沿 着 它 的 长 度 不 同 的 两 条 边 各 截 去 4 厘 米，截 掉 的 面 积 为 192平 方 厘 米。现 在 这 块 木 板 的 周 长 是 多 少 厘 米？思 路 导 航 把 截 掉 的 192平 方 厘 米 分 成 A、B、C三 块（如 图），其 中 A B的 面 积 是 1924X4=176（平 方 厘 米）。把 A 和 B移 到 一 起 拼 成 一 个 宽 4 厘 米 的 长 方 形，而 此 长 方 形 的 长 就 是 这 块 木 板 剩 下 部 分 的 周 长 的 一 半。176+4=44（厘 米），现 在 这 块 木 板 的 周 长 是 44X2=88（厘 米）。试 一 试 1，有 一 个 长 方 形，如 果 长 减 少 4米，宽 减 少 2米，面 积 就 比 原 来 减 少 44平 方 米,且 剩 下 部 分 正 好 是 一 个 正 方 形。求 这 个 正 方 形 的 周 长。2,有 两 个 相 同 的 长 方 形，长 是 8 厘 米，宽 是 3 厘 米，如 果 按 下 图 叠 放 在 一 起,这 个 图 形 的 周 长 是 多 少？3,有 一 块 长 方 形 广 场，沿 着 它 不 同 的 两 条 边 各 划 出 2米 做 绿 化 带，剩 下 的 部 分 仍 是 长 方 形，旦 周 长 为 280米。求 划 去 的 绿 化 带 的 面 积 是 多 少 平 方 米？例 3 已 知 下 图 中，甲 是 正 方 形，乙 是 长 方 形，整 个 图 形 的 周 长 是 多 少？甲 乙 a b思 路 导 航 从 图 中 可 以 看 出，整 个 图 形 的 周 长 由 六 条 线 段 围 成，其 中 三 条 横 着，三 条 竖 着。三 条 横 着 的 线 段 和 是(a+b)X 2,三 条 竖 着 的 线 段 和 是 b X2O所 以，整 个 图 形 的 周 长 是(a+b)X 2+b X 2,即 2a+4b0试 一 试 1.有 一 张 长 40厘 米，宽 30厘 米 的 硬 纸 板，在 四 个 角 上 各 剪 去 一 个 同 样 大 小 的 正 方 形 后 准 备 做 一 个 长 方 体 纸 盒，求 被 剪 后 硬 纸 板 的 周 长 2.一 个 长 12厘 米，宽 2厘 米 的 长 方 形 和 两 个 正 方 形 正 好 拼 成 下 图(1)所 示 长 方 形，求 所 拼 长 方 形 的 周 长。3,求 下 面 图 形（图 2）的 周 长（单 位：厘 米）。图 图（2）例 4 下 图 是 边 长 为 4 厘 米 的 正 方 形，求 正 方 形 中 阴 影 部 分 的 周 长。思 路 导 航 我 们 把 阴 影 部 分 周 长 中 左 边 的 5条 线 段 全 部 平 移 到 左 边，其 和 正 好 是 4 厘 米。再 把 下 面 的 线 段 全 部 平 移 到 F面，其 和 也 正 好 是 4厘 米。因 此,阴 影 部 分 的 周 长 与 边 长 是 4 厘 米 的 正 方 形 的 周 长 是 相 等 的。试 一 试 1,求 下 面 图 形 的 周 长（单 位：厘 米）。2,在（中 的 周 长（）里 填 上 V”或）乙 的 周 长甲 乙 3,下 图 中 的 每 一 小 段 的 长 度 都 相 等，求 图 形 的 周 长。22厘 米 例 5 如 下 图，阴 影 部 分 是 正 方 形，DF=6厘 米，AB=9厘 米，求 最 大 的 长 方 形 的 周 长。分 析 根 据 题 意 可 知，最 大 长 方 形 的 宽 就 是 正 方 形 的 边 长。因 为 BC=EF,CF=DE,所 以，AB+BC+CF=AB+FE+ED=9+6=15（厘 米），这 正 好 是 最 大 长 方 形 周 长 的 一 半。因 此，最 大 长 方 形 的 周 长 是（9+6）X2=30（厘 米）。B C A试 一 试 1,下 面 三 个 正 方 形 的 面 积 相 等，剪 去 阴 影 部 分 的 面 积 也 相 等，求 原 来 正 方 形 的 周 长 发 生 了 什 么 变 化？（单 位：厘 米）12,下 面 是 一 个 零 件 的 平 面 图，图 中 每 条 短 线 段 都 是 5 厘 米，零 件 长 3 5厘 米，高 3 0厘 米。这 个 零 件 的 周 长 是 多 少 厘 米？3,有 两 个 相 同 的 长 方 形，长 7厘 米，宽 3 厘 米，如 下 图 重 叠 着，求 重 叠 图 形 的 周 长。第 十 四 讲 长 方 形、正 方 形 的 面 积 专 题 简 析：长 方 形 的 面 积=长 乂 宽，正 方 形 的 面 积=边 长 X 边 长。掌 握 并 能 运 用 这 两 个 面 积 公 式，就 能 计 算 它 们 的 面 积。但 是，在 平 时 的 学 习 过 程 中，我 们 常 常 会 遇 到 一 些 已 知 条 件 比 较 隐 蔽、图 形 比 较 复 杂、不 能 简 单 地 用 公 式 直 接 求 出 面 积 的 题 目。这 就 需 要 我 们 切 实 掌 握 有 关 概 念，利 用“割 补”、“平 移”、“旋 转”等 方 法，使 复 杂 的 问 题 转 化 为 普 通 的 求 长 方 形、正 方 形 面 积 的 问 题，从 而 正 确 解 答。例 1 已 知 大 正 方 形 比 小 正 方 形 边 长 多 2 厘 米，大 正 方 形 比 小 正 方 形 的 面 积 大 4 0平 方 厘 米。求 大、小 正 方 形 的 面 积 各 是 多 少 平 方 厘 米？分 析 从 图 中 可 以 看 出，大 正 方 形 的 面 积 比 小 正 方 形 的 面 积 大 出 的 4 0平 方 厘 米,可 以 分 成 三 部 分，其 中 A 和 B 的 面 积 相 等。因 此，用 4 0平 方 厘 米 减 去 阴 影 部 分 的 面 积，再 除 以 2 就 能 得 到 长 方 形 A 和 B 的 面 积，再 用 A或 B 的 面 积 除 以 2 就 是 小 正 方 形 的 边 长。求 到 了 小 正 方 形 的 边 长，计 算 大、小 正 方 形 的 面 积 就 非 常 简 单 了。讽 一 似 1.有 一 块 长 方 形 草 地，长 2 0米，宽 1 5米。在 它 的 四 周 向 外 筑 一 条 宽 2 米 的 小 路,求 小 路 的 面 积。2.正 方 形 的 一 组 对 边 增 加 3 0厘 米，另 一 组 对 边 减 少 1 8厘 米，结 果 得 到 一 个 与 原 正 方 形 面 积 相 等 的 长 方 形。原 正 方 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米？3.把 一 个 长 方 形 的 长 增 加 5 分 米，宽 增 加 8 分 米 后，得 到 一 个 面 积 比 原 长 方 形 多 181平 方 分 米 的 正 方 形。求 这 个 正 方 形 的 边 长 是 多 少 分 米？例 2 一 个 大 长 方 形 被 两 条 平 行 于 它 的 两 条 边 的 线 段 分 成 四 个 较 小 的 长 方 形,其 中 三 个 长 方 形 的 面 积 如 下 图 所 求，求 第 四 个 长 方 形 的 面 积。C6 142E35D分 析 因 为 A E X C E=6,D E X E B=3 5,把 两 个 式 子 相 乘 A E X C E X D E X E B=3 5 X 6,而 C E X E B=1 4,所 以 A E X D E=3 5 X 6+1 4=1 5。I式 一 讽 1,下 图 一 个 长 方 形 被 分 成 四 个 小 长 方 形，其 中 三 个 长 方 形 的 面 积 分 别 是 2 4平 方 厘 米、3 0平 方 厘 米 和 3 2平 方 厘 米，求 阴 影 部 分 的 面 积。*_ _32 p2430B E C2,下 面 一 个 长 方 形 被 分 成 六 个 小 长 方 形，其 中 四 个 长 方 形 的 面 积 如 图 所 示（单 位：平 方 厘 米），求 A 和 B 的 面 积。15 A 1245 24 B3,下 图 中 阴 影 部 分 是 边 长 5 厘 米 的 正 方 形，四 块 完 全 一 样 的 长 方 形 的 宽 是 8 厘 米，求 整 个 图 形 的 面 积。例 3 把 2 0分 米 长 的 线 段 分 成 两 段，并 且 在 每 一 段 上 作 一 正 方 形，已 知 两 个 正 方 形 的 面 积 相 差 4 0平 方 分 米，大 正 方 形 的 面 积 是 多 少 平 方 分 米？AB?20 20分 析 我 们 可 以 把 小 正 方 形 移 至 大 正 方 形 里 面 进 行 分 析。两 个 正 方 形 的 面 积 差 4 0平 方 分 米 就 是 图 中 的 A和 B两 部 分，如 图。如 果 把 B移 到 原 来 小 正 方 形 的 上 面，不 难 看 出，A和 B正 好 组 成 一 个 长 方 形，此 长 方 形 的 面 积 是 4 0平 方 分 米，长 2 0分 米，宽 是 40+20=2（分 米），即 大、小 两 个 正 方 形 的 边 长 相 差 2 分 米。因 此，大 正 方 形 的 边 长 就 是（20+2）+2=11（分 米），面 积 是 11X11=121（平 方 分 米）、-4 一 1 式 1.一 块 正 方 形，一 边 划 出 1.5米，另 一 边 划 出 10米 搞 绿 化，剩 下 的 面 积 比 原 来 减 少 了 1350平 方 米。这 块 地 原 来 的 面 积 是 多 少 平 方 米？2,一 个 正 方 形，如 果 它 的 边 长 增 加 5 厘 米，那 么，面 积 就 比 原 来 增 加 9 5平 方 厘 米。原 来 正 方 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米？3,有 一 个 正 方 形 草 坪，沿 草 坪 四 周 向 外 修 建 一 米 宽 的 小 路，路 面 面 积 是 80平 方 米。求 草 坪 的 面 积 例 4 有 一 个 正 方 形 ABCD如 下 图，请 把 这 个 正 方 形 的 面 积 扩 大 1倍，并 画 出 来。分 析 由 于 不 知 道 正 方 形 的 边 长 和 面 积，所 以，也 没 有 办 法 计 算 出 所 画 正 方 形 的 边 长 或 面 积。我 们 可 以 利 用 两 个 正 方 形 之 间 的 关 系 进 行 分 析。以 正 方 形 的 四 条 边 为 准，分 别 作 出 4 个 等 腰 直 角 三 角 形，如 图 中 虚 线 部 分，显 然，虚 线 表 示 的 正 方 形 的 面 积 就 是 原 正 方 形 面 积 的 2 倍。试 一 试 L 四 个 完 全-一 样 的 长 方 形 和-一 个 小 正 方 形 组 成 了 一 个 大 正 方 形，如 果 大、小 正 方 形 的 面 积 分 别 是 49平 方 米 和 4 平 方 米，求 其 中 一 个 长 方 形 的 宽。2,正 图 的 每 条 边 都 垂 直 于 与 它 相 邻 的 边，并 且 28条 边 的 长 都 相 等。如 果 此 图 的 周 长 是 56厘 米，那 么，这 个 图 形 的 面 积 是 多 少？3,正 图 中，正 方 形 ABCD的 边 长 4 厘 米，求 长 方 形 EFGD的 面 积。例 5 有 一 个 周 长 是 7 2厘 米 的 长 方 形，它 是 由 三 个 大 小 相 等 的 正 方 形 拼 成 的。一 个 正 方 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米？分 析 三 个 同 样 大 小 的 正 方 形 拼 成 的 长 方 形，它 的 周 长 是 原 正 方 形 边 长 的 8倍,正 方 形 的 边 长 为 72+8=9（厘 米），一 个 正 方 形 的 面 积 就 是 9X9=81（平 方 厘 米）。试 一 试 1.五 个 同 样 大 小 的 正 方 形 拼 成 一 个 长 方 形，这 个 长 方 形 的 周 长 是 3 6厘 米，求 每 个 正 方 形 的 面 积 是 多 少 平 方 厘 米？2,有 一 张 长 方 形 纸，长 1 2厘 米，宽 1 0厘 米。从 这 张 纸 上 剪 下 一 个 最 大 的 正 方 形 后，剩 下 部 分 的 周 长 是 多 少 厘 米？3,有 一 个 小 长 方 形，它 和 一 个 正 方 形 拼 成 了 一 个 大 长 方 形 A B C D（如 下 图），已 知 大 长 方 形 的 面 积 是 3 5平 方 厘 米，且 周 长 比 原 来 小 长 方 形 的 周 长 多 10厘 米。求 原 来 小 长 方 形 的 面 积。第 5周 分 类 数 图 形 专 题 简 析：我 们 在 数 数 的 时 候，遵 循 不 重 复、不 遗 漏 的 原 则，不 能 使 数 出 的 结 果 准 确。但 是 在 数 图 形 的 个 数 的 时 候，往 往 就 不 容 易 了。分 类 数 图 形 的 方 法 能 够 帮 助 我 们 找 到 图 形 的 规 律，从 而 有 秩 序、有 条 理 并 且 正 确 地 数 出 图 形 的 个 数。例 题 1 下 面 图 形 中 有 多 少 个 正 方 形？分 析：图 中 的 正 方 形 的 个 数 可 以 分 类 数，如 由 一 个 小 正 方 形 组 成 的 有 6X 3=18个，2 X 2的 正 方 形 有 5 X 2=1 0个，3 X 3 的 正 方 形 有 4X 1=4个。因 此 图 中 共 有 18+10+4=32个 正 方 形。练 习 一 1,下 图 中 共 有 多 少 个 正 方 形？3,下 图 中 共 有 多 少 个 正 方 形，多 少 个 三 角 形？例 题 2 下 图 中 共 有 多 少 个 三 角 形？分 析 为 了 保 证 不 漏 数 又 不 重 复，我 们 可 以 分 类 来 数 三 角 形，然 后 再 把 数 出 的 各 类 三 角 形 的 个 数 相 加。(1)图 中 共 有 6 个 小 三 角 形；(2)由 两 个 小 三 角 形 组 合 的 三 角 形 有 3 个；(3)由 三 个 小 三 角 形 组 合 的 三 角 形 有 4 个；(4)由 六 个 小 三 角 形 组 合 的 三 角 形 有 1个。所 以 共 有 6+3+4+1=14个 三 角 形。练 习 二 1，下 面 图 中 共 有 多 少 个 三 角 形？2,数 一 数，图 中 共 有 多 少 个 三 角 形。3,数 一 数，图 中 共 有 多 少 个 三 角 形？例 题 3 数 出 下 图 中 所 有 三 角 形 的 个 数。分 析 和 三 角 形 AFG一 样 形 状 的 三 角 形 有 5 个；和 三 角 形 ABF 一 样 形 状 的 三 角 形 有 10个；和 三 角 形 ABG 一 样 形 状 的 三 角 形 有 5 个；和 三 角 形 ABE 一 样 形 的 三 角 形 有 5 个；和 三 角 形 AMD 一 样 形 状 的 三 角 形 有 5 个，共 35个 三 角 形。练 习 三 数 出 下 面 图 形 中 分 别 有 多 少 个 三 角 形。例 题 4 如 下 图，平 面 上 有 12个 点，可 任 意 取 其 中 四 个 点 围 成 一 个 正 方 形,这 样 的 正 方 形 有 多 少 个？分 析 把 相 邻 的 两 点 连 接 起 来 可 以 得 到 下 面 图 形，从 图 中 可 以 看 出:(1)最 小 的 正 方 形 有 6 个；(2)由 4 个 小 正 方 形 组 合 而 成 的 正 方 形 有 2 个；(3)中 间 还 可 围 成 2 个 正 方 形。所 以 共 有 6+2+2=10个。练 习 四 1，下 图 中 共 有 8 个 点，连 接 任 意 四 点 围 成 一 个 长 方 形，一 共 能 围 成 多 少 个 长 方 形？2,下 图 中 共 有