余弦定理教案16篇(余弦定理的教案).docx

余弦定理教案16篇(余弦定理的教案)余弦定理教案1 一、教学内容分析 人教版普通高中课程标准实验教科书·必修（五）（第2版）第一章解三角形第一单元第二课余弦定理。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余弦定理解决“边、边、角”，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。 二、学生学习情况分析 本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理，学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去审视，解决问题是学生学习的一大难点。 三、设计思想 新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考，作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。 四、教学目标 继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式，体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边”及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。 五、教学重点与难点 教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用；教学难点是用向量的数量积推导余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程： 七、教学反思 本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系，又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型），质（实质、本质），思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解，认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生建立自己的良好知识结构。 余弦定理教案2 目标 1知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。 2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题， 3情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学设想 创设情景 C 如图11-4，在 ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和 C，求边c b a A c B 探索研究 (图11-4) 联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因A、B均未知，所以较难求边c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图11-5，设 ， ， ，那么 ，则 C B (图11-5) 从而 同理可证 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？ （由学生总结）若 ABC中，C= ，则 ，这时 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题:例1在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A 解： = cos = = 8 求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：cos 解法二：sin 又 ， 即 评述：解法二应注意确定A的取值范围。 例2在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形 解：由余弦定理的推论得： Cos ； Cos ； 随堂练习第51页练习第1、2、3题。 补充练习在 ABC中，若 ，求角A（答案：A=120 ） 课堂小结（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律， 勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。 （五）：作业：第52页习题A组第5题。 三角形中的几何计算 教学目标 1知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 教学重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 教学难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学设想:创设情景:思考：在 ABC中，已知 ， ， ，解三角形。从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 探索研究:例1在 ABC中，已知 ，讨论三角形解的情况 分析：先由 可进一步求出B；则 从而 1当A为钝角或直角时，必须 才能有且只有一解；否则无解。 2当A为锐角时，如果 ，那么只有一解； 如果 ，那么可以分下面三种情况来讨论：（1）若 ，则有两解； （2）若 ，则只有一解； （3）若 ，则无解。 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且 时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习1 （1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。 （2）在 ABC中，若 ， ， ，则符合题意的b的值有_个。 （3）在 ABC中， ， ， ，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3） ） 例2在 ABC中，已知 ， ， ，判断 ABC的类型。 分析：由余弦定理可知 （注意： ） 解： ，即 ， 。 随堂练习2 （1）在 ABC中，已知 ，判断 ABC的类型。 （2）已知 ABC满足条件 ，判断 ABC的类型。 （答案：（1） ；（2） ABC是等腰或直角三角形） 例3在 ABC中， ， ，面积为 ，求 的值 分析：可利用三角形面积定理 以及正弦定理 解：由 得 ， 则 =3，即 ，从而 随堂练习3 （1）在 ABC中，若 ， ，且此三角形的面积 ，求角C （2）在 ABC中，其三边分别为a、b、c，三角形的面积 ，求角C （答案：（1） 或 ；（2） ） 课堂小结（1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 （五）课时作业: （1）在 ABC中，已知 ， ， ，试判断此三角形的解的情况。 （2）设x、x+1、x+2是钝角三角形的三边长，求实数x的取值范围。 双曲线、抛物线的参数方程学案 第05时 2、2、2双曲线、抛物线的参数方程 学习目标 了解双曲线的参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式，会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。 学习过程 一、学前准备 复习：复习抛物线的标准方程的四种形式，并填空： （1） 表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线； （2） 表示顶点在 ， 焦点在 的抛物线。 二、新导学 探究新知（预习教材P12P16，找出疑惑之处） 1、类比椭圆参数方程的建立，若给出一个三角公式 ，你能写出双曲线 的参数方程吗？ 2、如图，设抛物线的普通方程为 , 为抛物线上除顶点外的任一点，以 射线 为终边的角记作 ，则 ， 由 和解出 得到： （t为参数） 你能否根据本题的解题过程写出抛物线的四种不同形式方程对应的参数方程？并说出参数表示的意义。 应用示例 例1如图， 是直角坐标原点，A ，B是抛物线 上异于顶点的两动点，且 ，求点A、B在什么位置时， 的面积最小？最小值是多少？ 解： 反馈练习 1求过P（0，1）到双曲线 的最小距离. 解： 三、总结提升 本节小结 1本节学习了哪些内容？ 答：1.了解双曲线的"参数方程的建立，熟悉抛物线参数方程的形式. 2.会运用参数方程解决问题，进一步加深对参数方程的理解。 学习评价 一、自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ） A很好 B较好 C 一般 D较差 后作业 1、已知抛物线 ，则它的焦点坐标为（ ） A、 B、 C、 D、 2、对下列参数方程表示的图形说法正确的是（ ） A、是直线、是椭圆 B、是抛物线、是椭圆或圆 C、是抛物线的一部分、是椭圆 D、是抛物线的一部分、是椭圆或圆 3.设P为等轴双曲线 上的一点， 为两个焦点，证明 . 4、经过抛物线 的顶点O任作两条互相垂直的线段OA和OB，以直线OA的斜率k为参数，求线段AB的中点的轨迹的参数方程。 高二数学 二次分布学案 二项分布（二） 一、知识要点 1独立重复试验 二、典型例题 例1甲、乙两人进行五局三胜制的象棋比赛，若甲每盘的胜率为 ，乙每盘的胜率为 （和棋不算），求： （1）比赛以甲比乙为3比0胜出的概率； （2）比赛以甲比乙为3比2胜出的概率。 例2某地区为下岗免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响。 （1）任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； （2）任选3名下岗人员，记X为3人中参加过培训的人数，求X的分布列。 例3A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验，每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效。若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的多，就称该试验组为甲类组，设每只小白鼠服用A有效的概率为 ，服用B有效的概率为 。 （1）求一个试验组为甲类组的概率； （2）观察3个试验组，用X表示这3个试验组中甲类组的个数，求X的分布列。 三、巩固练习 1某种小麦在田间出现自然变异植株的概率为，今调查该种小麦100株，试计算两株和两株以上变异植株的概率。 2某批产品中有20%的不含格品，进行重复抽样检查，共取5个样品，其中不合格品数为X，试确定X的概率分布。 3若一个人由于输血而引起不良反应的概率为，求 （1）2000人中恰有2人引起不良反应的概率； （2）2000人中多于1人引起不良反应的概率； 四、堂小结 五、后反思 六、后作业 1接种某疫苗后，出现发热反应的概率为，现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为（精确为）_。 2一射击运动员射击时，击中10环的概率为，击中9环的概率，则该运动员射击3次所得环数之和不少于29环的概率为_。 3某射手射击1次，击中目标的概率是，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：他第3次击中目标的概率是；他恰好击中目标3次的概率是×；他至少击中目标1次的概率是1。 其中正确结论的序号是_。（写出所有正确结论的序号） 4某产品10，其中3次品，现依次从中随机抽取3（不放回），则3中恰有2次品的概率为_。 5某射手每次射击击中目标的概率都是，现在连续射击4次，求击中目标的次数X的概率分布。 6某安全生产监督部门对6家小型煤矿进行安全检查（简称安检），若安检不合格，则必须进行整改，若整改后经复查仍不合格，则强行关闭，设每家煤矿安检是否合格是相互独立的，每家煤矿整改前安检合格的概率是，整改后安检合格的概率是，计算： （1）恰好有三家煤矿必须整改的概率； （2）至少关闭一家煤矿的概率。（结果精确到） 79粒种子分种在甲、乙、丙3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种。 （1）求甲坑不需要补种的概率； （2）求3个坑中需要补种的坑数X的分布列； （3）求有坑需要补种的概率。（精确到） 解三角形 一、目标 1、知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题, 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 2、过程与方法：本节课补充了三角形新的面积公式，巧妙设疑，引导学生证明，同时总结出该公式的特点，循序渐进地具体运用于相关的题型。另外本节课的证明题体现了前面所学知识的生动运用，教师要放手让学生摸索，使学生在具体的论证中灵活把握正弦定理和余弦定理的特点，能不拘一格，一题多解。只要学生自行掌握了两定理的特点，就能很快开阔思维，有利地进一步突破难点。 3、情感态度与价值观：让学生进一步巩固所学的知识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验 二、重点：推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。 教学难点：利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 .课题导入 创设情境 师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在 ABC中，边BC、CA、AB上的高分别记为h 、h 、h ，那么它们如何用已知边和角表示？ 生：h =bsinC=csinB，h =csinA=asinC，h =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式S= ah,应用以上求出的高的公式如h =bsinC代入，可以推导出下面的三角形面积公式，S= absinC，大家能推出其它的几个公式吗？ 生：同理可得，S= bcsinA, S= acsinB 师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，知道哪些条件也可求出三角形的面积呢？ 生：如能知道三角形的任意两边以及它们夹角的正弦即可求解 .探析新课 范例讲解 例1、在 ABC中，根据下列条件，求三角形的面积S（精确到 ）（1）已知a=,c=,B= ;（2）已知B= ,C= ,b=;（3）已知三边的长分别为a=,b=,c= 分析：这是一道在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形面积的知识，观察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面积。 解：（1）应用S= acsinB，得 S= (cm ) (2)根据正弦定理， = ，c = ，S = bcsinA = b A = 180 -(B + C)= 180 -( + )= S = (cm ) (3)根据余弦定理的推论，得cosB = = SinB = 应用S= acsinB，得 S (cm ) 例2、如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园,经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到 ）？ 师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？ 生：本题可转化为已知三角形的三边，求角的问题，再利用三角形的面积公式求解。 由学生解答，老师巡视并对学生解答进行讲评小结。 解：设a=68m,b=88m,c=127m,根据余弦定理的推论，cosB= = ，sinB= 应用S= acsinB S 68 127 (m ) 答：这个区域的面积是 。 例3、在 ABC中，求证：（1） （2） + + =2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：这是一道关于三角形边角关系恒等式的证明问题，观察式子左右两边的特点，联想到用正弦定理来证明 证明：（1）根据正弦定理，可设 = = = k，显然 k 0，所以 左边= = =右边 （2）根据余弦定理的推论， 右边=2(bc +ca +ab ) =(b +c - a )+(c +a -b )+(a +b -c )=a +b +c =左边 变式练习1：已知在 ABC中， B=30 ,b=6,c=6 ,求a及 ABC的面积S 提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。 答案：a=6,S=9 ;a=12,S=18 .课堂练习：课本练习第1、2题 .课时小结：利用正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简并考察边或角的关系，从而确定三角形的形状。特别是有些条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以两者混用。 .课后作业：课本习题2-3 A组第12、14、15题 等比数列的概念及通项 M 课时20 等比数列的概念及通项 目标：1掌握等比数列的概念。 2能根据等比数列的通项公式，进行简单的应用。 过程： 1观察以下数列： 1，2，4，8，16， 3，3，3，3， 2相比与等差数列，以上数列有什么特点？ 等比数列的定义： 定义的符号表示 ，注意点： ， 。 3判断下列数列是否为等比数列，若是，请指出公比 的值。 （1） （2） （3） （4） 4求出下列等比数列的未知项。 （1） ； （2） 。 5已知 是公比为 的等比数列，新数列 也是等比数列吗？如果是，公比是多少？ 6已知无穷等比数列 的首项为 ，公比为 。 （1）依次取出数列 中的所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？ （2）数列 （其中常数 ）是等比数列吗？如果是，它的首项和公比是多少？ 二、通项公式 1推导通项公式 例1在等比数列 中， （1）已知 ，求 ； （2）已知 ，求 。 例2在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这三个数。 例3已知等比数列 的通项公式为 ，（1）求首项 和公比 ； （2）问表示这个数列的点 在什么函数的图像上？ 例4类比等差数列填空： 等差数列等比数列 通项 定义从第二项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数。 首项，公差（比） 取值有无限制没有任何限制 相应图像的特点直线 上孤立的点 课后作业： 1 成等比数列，则 = 。 2在等比数列 中， （1）已知 ，则 = ， = 。 （2）已知 ，则 = 。 （3）已知 ，则 = 。 3设 是等比数列，判断下列命题是否正确？ （1） 是等比数列 （ ）； （2） 是等比数列 （ ） （3） 是等比数列 （ ）； （4） 是等比数列 （ ） （5） 是等比数列 （ ）； （6） 是等比数列 （ ） 4设 成等比数列，公比 =2，则 = 。 5在 中，（1）已知 ，求 ；（2）已知 ，求 。 6在两个同号的非零实数 和 之间插入2个数，使它们成等比数列，试用 表示这个等比数列的公比。 7已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项，依次构成一个等比数列，求该等比数列的通项。 8已知 五个数构成等比数列，求 的值。 9在等比数列 中， ，求 。 10三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9就成等比数列，求这三个数。 11已知等比数列 ，若 ，求公比 。 12已知 ，点 在函数 的图像上，（ ），设 ，求证： 是等比数列。 问题统计与分析 平面向量的坐标表示 总 题向量的坐标表示总时第23时 分 题平面向量的坐标运算分时第2时 目标掌握平面向量的坐标表示及坐标运算 重点难点掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解 引入新 1、在直角坐标平面内一点 是如何表示的？ 。 2、以原点 为起点， 为终点，能不能也用坐标表示 呢？例： 3、平面向量的坐标表示。 4、平面向量的坐标运算。 已知 、 、实数 ，那么 例题剖析 例1、如图，已知 是坐标原点，点 在第一象限， ， ，求向量 的坐标。 例2、如图，已知 ， ， ， ，求向量 ， ， ， 的坐标。 例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为 的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为 ，求斜面对物体的摩擦力 。 例4、已知 ， ， 是直线 上一点，且 ，求点 的坐标。 巩固练习 1、与向量平行的单位向量为（ ） 、 、 、 或 、 2、已知 是坐标原点，点 在第二象限， ， ，求向量 的坐标。 3、已知四边形 的顶点分别为 ， ， ， ，求向量 ， 的坐标，并证明四边形 是平行四边形。 4、已知作用在原点的三个力 ， ， ，求它们的合力的坐标。 5、已知 是坐标原点， ， ，且 ，求 的坐标。 堂小结 平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。 后训练 班级：高一（ ）班 姓名_ 一、基础题 1、若向量 ， ，则 ， 的坐标分别为（ ） 2、已知 ，终点坐标是 ，则起点坐标是 。 3、已知 ， ，向量 与 相等.则 。 4、已知点 ， ， ，则 。 5、已知 的终点在以 ， 为端点的线段上，则 的最大值和最小值分别等于 。 6、已知平行四边形 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，求第四个顶点 的坐标。 7、已知向量 ， ，点 为坐标原点，若向量 ， ，求向量 的坐标。 8、已知点 ， 及 ， ，求点 ， 和 的坐标。 三、能力题 9、已知点 ， ， ，若点 满足 ， 当 为何值时：（1）点 在直线 上？ （2）点 在第四象限内？ 基本不等式 第04讲： 基本不等式 高考考试大纲的要求： 了解基本不等式的证明过程 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 （一）基础知识回顾： 1.定理1. 如果a,b ,那么 ，（当且仅当_时，等号成立）. 2.定理2（基本不等式）：如果a,b>0,那么_（当且仅当_时，等号成立）. 称_为a,b的算术平均数，_为a,b的几何平均数。基本不等式又称为_. 3. 基本不等式的几何意义是：_不小于_. 如图 4.利用基本不等式求最大（小）值时，要注意的问题：（一“正”；二“定”；三“相等”） 即: （1）和、积中的每一个数都必须是正数； （2）求积的最大值时，应看和是否为定值；求和的最小值时，应看积是否为定值，； 简记为：和定积最_，积定和最_. （3）只有等号能够成立时，才有最值。 （二）例题分析： 例1（2023陕西）设x、y为正数，则有(x+y)(1x4y)的最小值为（ ） A15 B12C9 D6 例2函数 的值域是_. 例3（2023江西、陕西、天津,全国、理） 设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为 ，画面的上、下各有8cm空白，左、右各有5cm空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张的面积最小？ （三）基础训练： 1.设 且 则必有( ) (A) (B) (C) (D) 2.（2023湖南理）设a0, b0，则以下不等式中不恒成立的是（ ） （A） 4 （B） （C） （D） 3.（2023春招北京、内蒙、安徽、理）若 为实数，且 ，则 的最小值是（ ） （A）18 （B）6（C） （D） 4. 已知a,b ,下列不等式中不正确的是（ ） （A） （B） （C） （D） 5（2023福建）下列结论正确的是（ ） A当 B C 的最小值为2D当 无最大值 6. 已知两个正实数 满足关系式 , 则 的最大值是_. 7.若 且 则 中最小的一个是_. 8.（2023北京春招、理）经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量 （千辆/小时）与汽车的平均速度 （千米/小时）之间的函数关系为： 。 （1）在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到 千辆/小时） （2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？ （四）拓展训练： 1.(2000全国、江西、天津、广东）若 ,P= ,Q= ,R= ,则（ ） （A）R 0） 解得t3, 即 ，所以ab9,a+b=ab-36. 法二：令 ，则由ab=a+b+3可知a+b+3 = ，得 ，（x>0） 整理得 ，又x>0，解得x6,即a+b6，所以ab=a+b+39. 答： ab与a+b的取值范围分别是 与 。 余弦定理教案3 各位老师大家好！ 今天我说课的内容是余弦定理，本节内容共分3课时，今天我将就第1课时的余弦定理的证明与简单应用进行说课。下面我分别从教材分析。教学目标的确定。教学方法的选择和教学过程的设计这四个方面来阐述我对这节课的教学设想。 一、教材分析 本节内容是江苏教育出版社出版的普通高中课程标准实验教科书数学必修五的第一章第2节，在此之前学生已经学习过了勾股定理。平面向量、正弦定理等相关知识，这为过渡到本节内容的学习起着铺垫作用。本节内容实质是学生已经学习的勾股定理的延伸和推广，它描述了三角形重要的边角关系，将三角形的“边”与“角”有机的联系起来，实现边角关系的互化，为解决斜三角形中的边角求解问题提供了一个重要的工具，同时也为在日后学习中判断三角形形状，证明三角形有关的等式与不等式提供了重要的依据。 在本节课中教学重点是余弦定理的内容和公式的掌握，余弦定理在三角形边角计算中的运用；教学难点是余弦定理的发现及证明；教学关键是余弦定理在三角形边角计算中的运用。 二、教学目标的确定 基于以上对教材的认识，根据数学课程标准的“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者。引导者与合作者”这一基本理念，考虑到学生已有的认知结构和心理特征，我认为本节课的教学目标有： 1、知识与技能：熟练掌握余弦定理的内容及公式，能初步应用余弦定理解决一些有关三角形边角计算的问题； 2、过程与方法：掌握余弦定理的两种证明方法，通过探究余弦定理的过程学会分析问题从特殊到一般的过程与方法，提高运用已有知识分析、解决问题的能力； 3、情感态度与价值观：在探究余弦定理的过程中培养学生探索精神和创新意识，形成严谨的数学思维方式，培养用数学观点解决问题的能力和意识、 三、教学方法的选择 基于本节课是属于新授课中的数学命题教学，根据学记中启发诱导的思想和布鲁纳的发现学习理论，我将主要采用“启发式教学”和“探究性教学”的教学方法即从一个实际问题出发，发现无法使用刚学习的正弦定理解决，造成学生在认知上的冲突，产生疑惑，从而激发学生的探索新知的欲望，之后进一步启发诱导学生分析，综合，概括从而得出原理解决问题，最终形成概念，获得方法，培养能力。 在教学中利用计算机多媒体来辅助教学，充分发挥其快捷、生动、形象的特点。 四、教学过程的设计 为达到本节课的教学目标、突出重点、突破难点，在教材分析、确定教学目标和合理选择教法与学法的基础上，我把教学过程设计为以下四个阶段：创设情境、引入课题；探索研究、构建新知；例题讲解、巩固练习；课堂小结，布置作业。具体过程如下： 1、创设情境，引入课题 利用多媒体引出如下问题： A地和B地之间隔着一个水塘现选择一地点C，可以测得的大小及，求A、B两地之间的距离c。 由于学生刚学过正弦定理，一定会采用刚学的知识解题，但由于无法找到一组已知的边及其所对角，从而产生疑惑，激发学生探索欲望。 2、探索研究、构建新知 （1）由于初中接触的是解直角三角形的问题，所以我将先带领学生从特殊情况为直角三角形（ ）时考虑。此时使用勾股定理，得。 （2）从直角三角形这一特殊情况出发，引导学生在一般三角形中构造直角即作边的高，从而在构造的直角三角形中利用勾股定理列出边之间的等式关系、 （3）考虑到我们所作的图为锐角三角形，讨论上述结论能否推广到在为钝角三角形（ ）中。 通过解决问题可以得到在任意三角形中都有，之后让同学们类比出