新高考数学必会基础复习讲义 考点25 空间几何体的体积及表面积（学生版）.docx

考点25 空间几何体的体积及表面积知识理解一圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧2rlS圆锥侧rlS圆台侧(rr)l二空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积S侧2S底VSh锥体(棱锥和圆锥)S表面积S侧S底VSh台体(棱台和圆台)S表面积S侧S上S下V(S上S下)h球S4R2VR3考向分析考向一 空间几何的体积【例1】(2021·陕西咸阳市·高三一模)如图，在三棱锥中，平面平面是的中点(1)求证：平面；(2)设点N是的中点，求三棱锥的体积【方法总结】求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题，可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的图形分割成规则的图形，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算其体积等体积法等体积法也称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决三棱锥的体积【举一反三】1(2020·江西吉安市·高三其他模拟)在四棱锥中，平面，底面四边形是边长为1的正方形，侧棱与底面成的角是，分别是，的中点.(1)求证：平面；(2)求三棱锥的体积.2(2021·内蒙古赤峰市·高三月考)如图，四棱锥中，底面为直角梯形，其中，面面，且，点在棱上.(1)证明：当时，直线平面；(2)当平面时，求的体积.3(2021·安徽芜湖市·高三期末)如图，三棱柱的各棱的长均为2，在底面上的射影为的重心(1)若为的中点，求证：平面；(2)求四棱锥的体积考向二 空间几何的表面积【例2-1】(2020·全国高三专题练习)一个六棱锥的体积为，其底面是边长为的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 .【例2-2】(2020·全国高三专题练习)某组合体如图所示，上半部分是正四棱锥，下半部分是长方体.正四棱锥的高为，则该组合体的表面积为( )A20BC16D【方法总结】求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形，利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手，将其展开后求表面积求不规则几何体的表面积时通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体，先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积，再通过求和或作差，求出所给几何体的表面积【举一反三】1(2020·湖南高三月考)如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，.(1)证明：直线平面；(2)若四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积.2(2020·全国高三专题练习)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D底面ABCD，BD1B1D，四边形ABCD是边长为4的菱形，D1D6，E，F分别是线段AB的两个三等分点(1)求证：D1F/平面A1DE；(2)求四棱柱ABCDA1B1C1D1的表面积3(2020·上海闵行区·高三一模)如图，在圆柱中，是圆柱的母线，是圆柱的底面的直径，是底面圆周上异于的点.(1)求证：平面；(2)若，求圆柱的侧面积.考向三 点面距【例3】(2021·河南信阳市·高三月考)如图，在长方体中，为中点(1)求证：平面；(2)若，求点到平面的距离【举一反三】1(2021·安徽蚌埠市·高三二模)如图，已知四边形和均为直角梯形，且，(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离2(2021·河南高三期末)如图，直四棱柱的底面为平行四边形，是的中点()求证：平面平面；()求点到平面的距离3(2021·河南驻马店市·高三期末)如图，该多面体由底面为正方形的直四棱柱被截面所截而成，其中正方形的边长为，是线段上(不含端点)的动点，(1)证明：平面；(2)求到平面的距离强化练习1(2021·安徽高三期末)如图，在直四棱柱(侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱)中，底面是边长为2的菱形，且，点E，F分别为，的中点，点G在上(1)证明：平面ACE(2)求三棱锥B-ACE的体积2(2021·安徽六安市·高三一模)如图，在四棱锥中，平面ABCD，E是PD的中点(1)证明：平面PBC；(2)若，求三棱锥的体积3(2021·陕西西安市·高三一模)如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.(1)证明：；(2)若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.4(2021·安徽池州市·高三期末)已知正方体，棱长为2，为棱的中点，为面对角线的中点，如下图.(1)求三棱锥的体积；(2)求证：平面.5(2021·六盘山高级中学高三期末)如图，四边形为矩形，且，平面，为的中点.(1)求证：；(2)若为的中点，求三棱锥的体积.6(2020·江西吉安市·高三其他模拟)如图，在三棱锥中，已知是正三角形，为的重心，分别为，的中点，在上，且.(1)求证：平面；(2)若平面平面，求三棱锥的体积.7(2021·陕西宝鸡市·高三一模)如图三棱柱中，底面是边长2为等边三角形，分别为，的中点，.(1)证明：平面；(2)求三棱锥的体积.8(2021·全国高三专题练习)如图，已知直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC=BC=AA1=1，ACBC，E在AB上，且BA=3BE，G在AA1上，且AA1=3GA1.(1)求三棱锥A1­ABC1的体积；(2)求证：AC1EG.9(2020·洛阳市教育局中小学教研室高三月考)如图，在三棱柱中，侧面底面，(1)求证：；(2)求三棱柱的侧面积10(2020·全国高三专题练习)如图所示，在直三棱柱中，为的中点，.(1)求证：平面；(2)若三棱锥的体积为，求直三棱柱的表面积.11(2020·全国高三专题练习)如图，正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为3.(1)求正三棱锥的表面积；(2)求正三棱锥的体积.12(2021·山西吕梁市·高三一模)棱长为的正方体，为中点，为的中点(1)求证：平面；(2)求点到平面的距离13(2021·江西新余市·高三期末)在四棱锥中，四边形为正方形，平面平面为等腰直角三角形，(1)求证：平面平面；(2)设为的中点，求点到平面的距离14(2020·全国高三专题练习)如图，已知为等边三角形，D，E分别为，边的中点，把沿折起，使点A到达点P，平面平面，若.(1)求与平面所成角的正弦值；(2)求直线到平面的距离.15(2020·上海高三专题练习)如图，立方体的棱长为，分别是，的中点，求：(1)到截面的距离；(2)点到截面的距离