新高考数学必会基础复习讲义 考点44 双曲线（教师版含解析）.docx

考点44 双曲线知识理解一双曲线的定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距二.双曲线的标准方程(1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)(2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为1(a0，b0)“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.三双曲线的几何性质标准方程1(a>0，b>0)1(a>0，b>0)图形性质范围xa或xa，yRxR，ya或ya对称性对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)对称轴：x轴，y轴对称中心：(0,0)顶点顶点坐标：A1(a,0)，A2(a,0)顶点坐标：A1(0，a)，A2(0，a)渐近线y±xy±x离心率e，e(1，)实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长A1A22a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长B1B22b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a，b，c的关系c2a2b2(c>a>0，c>b>0)四直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程例：由消去y，得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则：>0直线与圆锥曲线C相交；0直线与圆锥曲线C相切；<0直线与圆锥曲线C相离(2)当a0，b0时，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合考向分析考向一 双曲线的定义【例1-1】(2021·浙江省德清县第三中学)已知双曲线的左右焦点分别为，若点在的右支上，且，则( )A3B5CD【答案】B【解析】由题可知：双曲线方程为，所以又，所以故选：B【例1-2】(2020·河北张家口市)已知，动点P满足，当分别为4和12时，点P的轨迹分别为( )A双曲线和一条直线B双曲线和一条射线C双曲线的一支和一条射线D双曲线的一支和一条直线【答案】C【解析】由题意，得当时，可知点P的轨迹为双曲线左支；当时，可知点P的轨迹为以为端点的一条射线.故选：C【例1-3】(2021·全国课时练习)已知F1，F2分别为双曲线C：的左右焦点，点P在C上，F1PF2=60°，则|PF1|·|PF2|等于_.【答案】4【解析】由双曲线方程知：，在PF1F2中，由余弦定理知：，而，.故答案为：4.【方法总结】双曲线定义(1)根据动点与两定点的距离的差判断动点的轨迹是否为双曲线(2)利用双曲线的定义解决与双曲线的焦点有关的问题，如最值问题、距离问题(3)利用双曲线的定义解决问题时应注意三点：距离之差的绝对值；2a<|F1F2|；焦点所在坐标轴的位置【举一反三】1(2021·上海普陀区)设P是双曲线上的点，若，是双曲线的两个焦点，则( )A4B5C8D10【答案】C【解析】由双曲线可得 根据双曲线的定义可得：故选：C2(2021·上海市)已知两点和，动点满足，则动点的轨迹是( )A椭圆B双曲线C一条射线D双曲线的右支【答案】C【解析】由两点和，动点满足，所以动点的轨迹是一条射线.故选：C3(2021·浙江省宁海中学高三月考)在平面直角坐标系中，()，若点的轨迹为双曲线，则的取值范围是( )ABCD【答案】A【解析】，由点的轨迹为双曲线，根据双曲线的定义.则，所以 故选: A4(2021·全国高三专题练习)已知、为双曲线的左、右焦点，点P在C上，则的面积为_【答案】【解析】双曲线，则，所以，利用双曲线定义知， ，两边平方得，且，由余弦定理，解得：，则.故答案为：考向二 双曲线的标准方程【例2-1】(2021·福建龙岩市)“”是“方程表示双曲线”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若方程表示双曲线，则，得，则能推出，不能推出，“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件，故选：A【例2-2】(2021·全国课时练习)过点(1,1)，且的双曲线的标准方程是( )ABCD或【答案】D【解析】由，知：.当焦点在x轴上时，设双曲线方程为，将点(1,1)代入可得，则双曲线方程为.同理，焦点在y轴上时，双曲线方程为.故选：D【举一反三】1(2021·海原县第一中学)根据下列条件，求双曲线的标准方程(1)焦点在轴上，离心率，求双曲线的标准方程；(2)，焦点在轴上，求双曲线的标准方程【答案】(1)；(2).【解析】(1)由题意可得，因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为；(2)由已知条件可得，解得，因为双曲线的焦点在轴上，因此，双曲线的标准方程为2(2021·浙江)已知曲线，( )A若E表示双曲线，则B若，则E表示双曲线C若E表示椭圆，则D若且，则E表示椭圆【答案】D【解析】因为曲线，当解得或时曲线表示双曲线；当即且时曲线表示椭圆；故选：D3(2021·江苏南通市)命题“”是命题“曲线表示双曲线”的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】命题“曲线表示双曲线”，则，即，解得由于命题能推出命题，命题不能推出命题则命题是命题的充分不必要条件故选：C考向三 直线与曲线的位置关系【例3】(2021·全国课时练习)若直线ykx与双曲线4x2y216相交，求实数k的取值范围【答案】【解析】4x2y216渐近线方程为，因为直线ykx与双曲线4x2y216相交，所以k±2，将ykx代入4x2y216得关于x的一元二次方程(4k2)x2160，由可得，解得.【举一反三】1(2021·徐汇区·上海中学)已知直线与双曲线，则为何值时，直线与双曲线有一个公共点？【答案】或【解析】由得，因为直线与双曲线有一个公共点，所以或，解得或2(2021·江苏南通市)直线与双曲线有且只有一个公共点，则的取值有( )个ABCD【答案】D【解析】联立，消去并整理得，由于直线与双曲线有且只有一个公共点，所以，或，解得或，对于方程，判别式为，方程有两个不等的实数解.显然不满足方程.综上所述，的取值有个.故选：D.3(2021·陕西宝鸡市)如果直线与双曲线只有一个交点，则符合条件的直线有( )A1条B2条C3条D4条【答案】D【解析】由，得，若，即，时，方程组只有一解；时，方程组只有一解；时，此时方程组也只有一解方程组只有一解，即直线与双曲线只有一个交点因此这样的直线有4条故选：D考向四 弦长【例4】(2020·全国高三专题练习)直线xy1与双曲线4x2y21相交所得弦长为( )ABCD【答案】B【解析】将直线代入得.设两交点，则，.故选:B【举一反三】1(2020·辽宁朝阳市·高三月考)直线与双曲线有两个交点为，则( )A2BC4D【答案】C【解析】由，得，.故选：C2(2021·全国高三专题练习)过点P(4，2)作一直线AB与双曲线C：y21相交于A，B两点，若P为线段AB的中点，则|AB|( )A2B2C3D4【答案】D【解析】解法一：由题意可知，直线AB的斜率存在设直线AB的斜率为k，则直线AB的方程为yk(x4)2.由消去y并整理，得(12k2)x28k(2k1)x32k232k100.设A(x1，y1)，B(x2，y2)因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，解得k1.所以x1x210.所以|AB|·4.故选:D.解法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ，.得(x1x2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)0.因为P(4，2)为线段AB的中点，所以x1x28，y1y24.所以4(x1x2)4(y1y2)0，即x1x2y1y2，所以直线AB的斜率k1.则直线AB的方程为yx2.由消去y并整理，得x28x100，所以x1x28，x1x210.所以|AB|·4.故选：D考向五 离心率与渐近线【例3】(2021·浙江湖州市)双曲线的离心率是_，渐近线方程是_(两条都写出)【答案】 【解析】由题可知，故渐近线方程为：即.故答案为：；【举一反三】1(2021·浙江杭州市·学军中学)双曲线的渐近线方程是_；离心率为_.【答案】 【解析】由双曲线方程得：，则因此渐近线方程是；离心率为故答案为：；2(2021·湖北高三一模)已知分别是双曲线的左右焦点，若双曲线上存在一点满足，则该双曲线的离心率为_.【答案】5【解析】设双曲线的离心率.故答案为：3(2020·河北张家口市)已知椭圆和双曲线有共同焦点是它们的一个交点，且，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】椭圆的长半轴长为5，双曲线的半实轴长为，根据椭圆及双曲线的定义：，所以，由余弦定理可得，整理得，.故答案为：.强化练习1(2021·甘肃高三一模(文)设，是双曲线的左、右焦点，一条渐近线方程为，为双曲线上一点，且，则的面积等于( )ABCD【答案】A【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：，又一条渐近线方程为，由双曲线定义知：，解得：，又，.故选：A.2(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(文)点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，若，则双曲线的一条渐进方程是( )ABCD【答案】C【解析】由题意，点为双曲线右支上一点，分别是双曲线的左、右焦点，因为，由双曲线的定义，可得，解得，所以双曲线的一条渐进方程是，即.所以双曲线的一条渐进方程是.故选：C.3(2021·云南高三其他模拟(理)设双曲线：的左右焦点分别为，若为右支上的一点，且，则( )ABC2D【答案】A【解析】易知，则，.因为为右支上的一点，所以.因为，所以，则，解得，所以，故.故选：A4(2021·江西赣州市·高三期末(理)已知双曲线的离心率为，则实数的值为( )A1BCD1或【答案】D【解析】当焦点在轴时，即(舍)当焦点在轴上时，即，(舍)，故选：D5(2021·定远县育才学校)已知方程的图像是双曲线，那么k的取值范围是( )ABC或D【答案】C【解析】因为方程的图像是双曲线，所以，解得或，故选：C6(2021·陕西省黄陵县中学)若方程表示双曲线，则的取值范围是( )A或BC或D【答案】A【解析】由题意，解得或故选：A7(2021·全国单元测试)焦距为10，且的双曲线的标准方程为( )ABCD或【答案】D【解析】由题意知2c10，c5，又，c2b2a2，a29，b216，所求双曲线的标准方程为或故选：D8(2021·江西上)已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点，则双曲线的方程为( )ABCD【答案】C【解析】由椭圆可得，所以，可得，所以椭圆的长轴端点为，焦点为所以双曲线的焦点为，顶点为设双曲线方程为，可得，所以，所以双曲线的方程为，故选：C.9(2021·安徽)已知双曲线：经过点，则的渐近线方程为( )ABCD【答案】C【解析】依题意可得，解得，所以双曲线：，所以，则的渐近线方程为.故选：C10(2021·安徽淮南市)已知双曲线的焦点在y轴上，焦距为4，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是( )ABCD【答案】B【解析】设双曲线的标准方程为，由已知条件可得，解得，因此，该双曲线的标准方程为.故选：B11(2021·宁夏银川市·银川一中)已知两定点，曲线上的点P到的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为( )ABCD【答案】A【解析】，该曲线是以为焦点的双曲线，即，则该曲线的方程为.故选：A.12(2021·全国高三月考(理)已知双曲线的一个顶点坐标为，且该双曲线的离心率是，则( )ABCD【答案】C【解析】据题意，得所以.又该双曲线的离心率等于，所以，所以故选：C13(2021·全国高三月考(文)若双曲线的离心率等于，则该双曲线的渐近线方程为( )ABCD【答案】C【解析】据题意，得，所以，所以所求双曲线渐近线的方程为故选：C.14(2021·浙江高三其他模拟)已知双曲线的焦距为10，则双曲线的渐近线方程为( )ABCD【答案】D【解析】双曲线的焦距为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：D15(2021·湖北黄石市·黄石二中)已知直线的方程为，双曲线的方程为.若直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则实数的取值范围是( )ABCD【答案】D【解析】联立直线方程和双曲线方程，化为，因为直线与双曲线的右支交于不同两点，所以，且，解得，所以实数的取值范围为，故选：D16(2020·全国高三专题练习)过点与双曲线只有一个公共点的直线有( )条A1B2C3D4【答案】B【解析】因为双曲线的方程为，所以，所以双曲线的渐近线方程为，又点在直线上，如图所示：当过点的直线与直线平行或与x轴垂直(过右焦点)时，与双曲线只有一个公共点，所以这样的直线有2条故选：B17(多选)(2020·江苏)关于、的方程(其中)对应的曲线可能是( )A焦点在轴上的椭圆B焦点在轴上的椭圆C焦点在轴上的双曲线D焦点在轴上的双曲线【答案】ABC【解析】对于A选项，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，A选项正确；对于B选项，若方程表示在焦点在轴上的椭圆，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的椭圆，B选项正确；对于C选项，若方程表示的曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，即当时，曲线是焦点在轴上的双曲线，C选项正确；对于D选项，若表示焦点在轴上的双曲线，则，这样的不存在，D选项错误.故选：ABC.18(多选)(2021·广东东莞市)已知曲线，则下列选项正确的是( )A，曲线表示椭圆B，曲线表示椭圆C，曲线表示双曲线D，曲线表示双曲线【答案】BD【解析】时，方程表示双曲线，A错；时，且，方程表示椭圆，B正确；时，且，方程表示椭圆，C错；时，方程表示双曲线，D正确故选：BD19(多选)(2021·福建漳州市·龙海二中高三月考)已知直线与双曲线无公共点，则双曲线离心率可能为( )ABCD【答案】BC【解析】双曲线的一条渐近线为，因为直线与双曲线无公共点，故有.即，所以，所以.故选：BC.20(多选)(2020·武冈市第二中学)已知直线过点，且与双曲线仅有一个公共点，则直线的方程可能为( )ABCD【答案】ACD【解析】双曲线的渐近线方程为，因为点为双曲线的一个顶点，所以过点，且与双曲线仅有一个公共点的直线为，或，或，即满足的直线可以为，或，故选：ACD21(2021·全国高三专题练习)已知双曲线的离心率为，则( )A的焦点在轴上B的虚轴长为2C直线与相交的弦长为1D的渐近线方程为【答案】BC【解析】由可知双曲线的焦点在轴上，A错误；的离心率，解得，的虚轴长为，故B正确；由B选项知，把代入双曲线的方程得，故弦长为1，C正确；由B选项知且，且焦点在x轴上，双曲线的渐近线方程为，故D错误.故选：BC.22(2021·广西玉林市)已知双曲线的左右焦点分别是，点关于，对称的点分别是，线段的中点在双曲线的右支上，则_.【答案】【解析】如图，设线段的中点为.由双曲线的定义可得.由对称性可得，分别是线段，的中点，则，故.故答案为：1623(2021·赣州市赣县第三中学)若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围_.【答案】【解析】方程，表示焦点在轴上的双曲线，故答案为：24(2021·湖北高三月考)写出一个渐近线的倾斜角为且焦点在y轴上的双曲线标准方程_.【答案】(答案不唯一)【解析】如，焦点在y轴上，令，得渐近线方程为，其中的倾斜角为.故答案为：(答案不唯一).25(2020·北京人大附中高三月考)若直线l：与双曲线C：有两个公共点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】联立方程组 ，整理得，因为直线l：与双曲线C：有两个公共点，所以，解得，且，所以实数的取值范围是.故答案为：.26(2021·全国课时练习)求双曲线被直线截得的弦长_【答案】【解析】联立方程组，整理得，设直线与双曲线交于两点，设，则，由弦长公式可得.故答案为：.27(2021·河南新乡市)过双曲线：的右焦点作圆：的切线，此切线与的右支交于，两点，则_.【答案】【解析】因为直线过双曲线的右焦点且与圆相切，所以直线的斜率存在，设直线方程为()，由直线与圆相切知，解得或，当时，双曲线的一条渐近线的斜率是，该直线不与双曲线右支相交于两点，故舍去；所以直线方程为，联立双曲线方程，消元得.设，则，所以.故答案为：28(2020·全国课时练习)已知双曲线：的一条渐近线方程是，过其左焦点作斜率为2的直线交双曲线于，两点，则截得的弦长_.【答案】10【解析】双曲线：的一条渐近线方程是，即，左焦点，双曲线方程为，直线的方程为，设，由，消可得，故答案为：10.29(2020·全国高三专题练习)过双曲线的左焦点F1，作倾斜角为的直线l与双曲线的交点为A、B，则|AB|_.【答案】3【解析】双曲线焦点坐标为F1(2，0)、F2(2，0)，直线AB的方程为y (x2)把该直线方程代入双曲线方程得，8x24x130设A(x1，y1)，B(x2，y2)所以x1x2，x1x2|AB|·×3故答案为：330(2020·江苏宿迁市·宿迁中学高三期中)倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则_.【答案】【解析】由双曲线标准方程可知：，所以有，因此焦点的坐标为，由双曲线的对称性不妨设，直线过右焦点，所以直线方程方程为，与双曲线联立得：，设，因此有：，所以.故答案为：31(2021·北京海淀区·高三期末)已知双曲线的左右焦点分别为，点，则双曲线的渐近线方程为_；_.【答案】 【解析】因为双曲线，半实轴，半虚轴,所以渐近线方程为，即；因为满足双曲线方程，且在双曲线的左支上，根据双曲线的定义得，所以-2.故答案为：；-232(2021·全国课时练习)已知曲线C：x2y21和直线l：ykx1.(1)若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；(2)若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且AOB的面积为，求实数k的值【答案】(1)；(2)0，.【解析】(1)由，得(1k2)x22kx20.直线与双曲线有两个不同的交点， 解得，且，k的取值范围为(2)结合(1)，设A(x1，y1)、B(x2，y2)则x1x2，x1x2，点O到直线l的距离d，解得，故或，检验符合.故实数k的值为0，.33(2021·六安市裕安区新安中学)已知双曲线及直线(1)若与有两个不同的交点，求实数的取值范围(2)若与交于，两点，且线段中点的横坐标为，求线段的长【答案】(1)且；(2)【解析】(1)联立y=2可得与有两个不同的交点，且，且(2)设，由(1)可知，又中点的横坐标为，或又由(1)可知，为与有两个不同交点时，34(2020·福建福州)双曲线C：，过点，作一直线交双曲线于A、B两点，若P为的中点(1)求直线的方程；(2)求弦的长【答案】(1)；(2).【解析】(1)设，P为的中点，两式相减得：，所以所以直线的斜率，直线的方程即，将代入双曲线，满足题意所以直线的方程；(2)由(1)将代入双曲线，35(2021·全国高三专题练习)过双曲线的右焦点F作斜率为2的直线l，交双曲线于A，B两点.(1)求双曲线的离心率和渐近线；(2)求的长.【答案】(1)，渐近线方程为；(2).【解析】(1)因为双曲线方程为，所以，则，所以，渐近线方程为.(2)双曲线右焦点为，则直线l的方程为代入双曲线中，化简可得设，所以，所以.