新高考数学必会基础复习讲义 考点45 抛物线（教师版含解析）.docx

考点 45 抛物 线知 识 理 解一 抛 物 线 的 定 义平 面 内 与 一 个 定 点 F 和 一 条 定 直 线 l(点 F 不 在 直 线 l 上)的 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 叫 做 抛 物 线，定 点 F 叫 做 抛物 线 的 焦 点，定 直 线 l 叫 做 抛 物 线 的 准 线.二 抛 物 线 的 标 准 方 程 和 几 何 性 质标 准 方 程 y2 2 p x(p 0)y2 2 p x(p 0)x2 2 p y(p 0)x2 2 p y(p 0)p 的 几 何 意 义焦 点 F 到 准 线 l 的 距 离，焦 点 到 顶 点 以 及 顶 点 到 准 线 的 距 离 均 为p2.图 形顶 点 O(0,0)对 称 轴 x 轴 y 轴焦 点Fp2，0Fp2，0F0，p2 F0，p2离 心 率 e 1准 线 方 程 x p2x p2y p2y p2范 围 x 0，y R x 0，y R y 0，x R y 0，x R开 口 方 向 向 右 向 左 向 上 向 下焦 半 径(其 中P(x0，y0)|P F|x0p2|P F|x0p2|P F|y0p2|P F|y0p2三 直 线 与 圆 锥 曲 线 的 位 置 关 系判 断 直 线 l 与 圆 锥 曲 线 C 的 位 置 关 系 时，通 常 将 直 线 l 的 方 程 A x B y C 0(A，B 不 同 时 为 0)代 入 圆 锥 曲线 C 的 方 程 F(x，y)0，消 去 y(或 x)得 到 一 个 关 于 变 量 x(或 y)的 一 元 方 程 例：由A x B y C 0，F x，y 0消 去 y，得 a x2 b x c 0.(1)当 a 0 时，设 一 元 二 次 方 程 a x2 b x c 0 的 判 别 式 为，则：0 直 线 与 圆 锥 曲 线 C 相 交；0 直 线 与 圆 锥 曲 线 C 相 切；0 直 线 与 圆 锥 曲 线 C 相 离(2)当 a 0，b 0 时，即 得 到 一 个 一 元 一 次 方 程，则 直 线 l 与 圆 锥 曲 线 C 相 交，且 只 有 一 个 交 点，此 时，若 C 为 双 曲 线，则 直 线 l 与 双 曲 线 的 渐 近 线 的 位 置 关 系 是 平 行；若 C 为 抛 物 线，则 直 线 l 与 抛 物 线 的 对 称 轴 的 位 置 关 系 是 平 行 或 重 合 考 向 分 析考 向 一 抛 物 线 的 定 义【例 1】(2 0 2 1 陕 西 宝 鸡 市 高 三 二 模(文)设 抛 物 线 C：24 x y 的 焦 点 为 F，准 线 l 与y轴 的 交 点 为 M，P 是 C 上 一 点，若5 P F，则 P M()A 21B 5 C 2 7D 41【答 案】D【解 析】如 图 所 示，过 P 作 P Q 垂 直 l，交 l 于 Q，不 妨 设 0(,)P x y x，根 据 抛 物 线 定 义 得 1 52pP F P Q y y，所 以 y=4，所 以 x=4，即(4,4)P，所 以 4 Q M，所 以2 22 25 4 41 P M P Q Q M.故 选：D【举 一 反 三】1(2 0 2 1 山 东 烟 台 市 高 三 一 模)已 知 F 为 抛 物 线2:8 C y x 的 焦 点，直 线 l 与 C 交 于,A B 两 点，若 A B中 点 的 横 坐 标 为 4,则 A F B F()A 8 B 10 C 12 D 16【答 案】C【解 析】抛 物 线2:8 C y x 的 焦 点 为 F，直 线 l 与 抛 物 线 C 交 于 A，B 两 点，若 A B 的 中 点 的 横 坐 标 为 4，设1(A x，1)y，2(B x，2)y，1 28 x x，则1 2|8 4 12 A F B F x x p 故 选：C 2(2 0 2 1 内 蒙 古 高 三 月 考(文)点 F 为 抛 物 线24 y x 的 焦 点，点(2,1)A，点 P 为 物 线 上 与 直 线 A F 不 共线 的 一 点，则 A P F 周 长 的 最 小 值 为()A 3 2 B 3 2 C 4 D 2 2【答 案】B【解 析】根 据 题 意，焦 点 1,0 F，准 线 方 程 为：1 x，过 点 P 作 准 线 的 垂 线，垂 足 为P，过 点 A 作 准 线 的 垂 线，垂 足 为 A，且 与 抛 物 线 交 于 点0P，作 出 图 像 如 图，故 2 A F，由 抛 物 线 的 定 义 得：P F P P，则 A P F 周 长 为：2 2 2 C P F P A P P P A A A，当 且 仅 当 点 P 在 点0P 处 时，等 号 成 立；因 为 3 A A，2 2 3 2 C P F P A A A，所 以 A P F 周 长 的 最 小 值 为：3 2.故 选：B.3(2 0 2 1 全 国 高 三 专 题 练 习(文)已 知 抛 物 线214y x 上 的 动 点 P 到 直 线 l 3 y 的 距 离 为 d，A 点 坐标 为(2，0)，则|P A d 的 最 小 值 等 于()A 4 B 2 5 C 2 5D 3 5【答 案】B【解 析】如 图 所 示，抛 物 线214y x 化 为24 x y，可 得 焦 点 0,1 F，准 线 方 程 为 1 y，可 得 动 点 P 到 直 线 l 3 y 的 距 离 为 2 2 d P E P F，又 由 5 P F P A F A，从 而 2 5 2 P A d P A P F.所 以 P A d+的 最 小 值 等 于2 5.故 选:B.4(2 0 2 1 浙 江 杭 州 市 学 军 中 学)已 知 拋 物 线2y m x 的 焦 点 坐 标 F 为 2,0，则m的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；若 点 P 在 抛 物 线 上，点 5,3,A 则 P A P F 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】8 7【解 析】拋 物 线2y m x 的 焦 点 坐 标 F 为 2,0，则 24m，解 得 8 m；抛 物 线28 y x 的 准 线 方 程 为 2 x，过 P 作 直 线 2 x 的 垂 线，垂 足 为 C，P A P F P A P C A C，当,A P C 三 点 共 线 时，P A P F 取 得 最 小 值，且 5 2 7 A C 故 答 案 为：8;7 考 向 二 抛 物 线 的 标 准 方 程【例 2-1】(2 0 2 1 全 国 单 元 测 试)顶 点 在 原 点，关 于 y 轴 对 称，并 且 经 过 点 M(4，5)的 抛 物 线 方 程 为()A y2165x B y2 165xC x2165y D x2 165y【答 案】C【解 析】由 题 设 知，抛 物 线 开 口 向 上，设 方 程 为 x2 2 p y(p 0)，将(4，5)代 入 得8,5p 所 以，抛 物 线 方程 为2165x y 故 选：C【例 2-2】(2 0 2 1 浙 江)已 知 抛 物 线 C 的 焦 点 1,0 F，则 拋 物 线 C 的 标 准 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，焦 点 到 准 线的 距 离 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】24 y x 2【解 析】根 据 抛 物 线 C 的 焦 点 1,0 F，设 抛 物 线 方 程22 y p x，12p，则 2 p，故 抛 物 线 方 程24 y x；抛 物 线 中，焦 点 到 准 线 的 距 离 为p，2 p，即 距 离 为 2.故 答 案 为：24 y x；2.【举 一 反 三】1(2 0 2 1 全 国 课 时 练 习)以x轴 为 对 称 轴 的 抛 物 线 的 通 径(过 焦 点 且 与 对 称 轴 垂 直 的 弦)长 为 8，若 抛 物 线的 顶 点 在 坐 标 原 点，则 其 方 程 为()A 28 y x B 28 y x C 28 y x 或28 y x D 28 x y 或28 x y=-【答 案】C【解 析】设 抛 物 线 方 程 为22 y p x 或22 y px，依 题 意 得2px，代 入22 y p x 或22 y px 得 y p，2 2=8 y p，4 p 抛 物 线 方 程 为28 y x 或28 y x，故 选：C.2(2 0 2 1 山 东 德 州 市 高 二 期 末)抛 物 线2y a x 的 焦 点 是 直 线4 8 1 0 x y 与 坐 标 轴 的 交 点，则 该 抛 物线 的 准 线 方 程 是()A 14x B 18y C 18y D 14x【答 案】C【解 析】由2y a x 可 知 抛 物 线 开 口 向 上 或 向 下，4 8 1 0 x y，令10,8 x y，焦 点 坐 标 为1 1(0,),8 2 8 p准 线 为18y 故 选：C3(2 0 2 1 绵 阳 南 山 中 学 实 验 学 校(文)顶 点 在 原 点，对 称 轴 是 y 轴，并 且 顶 点 与 焦 点 的 距 离 等 于 3 的 抛 物线 的 标 准 方 程 是()A 23 x y B 26 y x C 212 x y D 26 x y【答 案】C【解 析】由 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点，对 称 轴 是 y 轴，设 抛 物 线 的 方 程 为22(0)x m y m，因 为 顶 点 与 焦 点 的 距 离 等 于 3，可 得 32m，解 得 12 m，所 以 所 求 抛 物 线 的 方 程 为212 x y.故 选：C.4(2 0 2 1 广 东 湛 江 市 高 三 一 模)已 知 抛 物 线 C：x2=-2 p y(p 0)的 焦 点 为 F，点 M 是 C 上 的 一 点，M 到 直 线 y=2 p的 距 离 是 M 到 C 的 准 线 距 离 的 2 倍，且 M F|=6，则 p=()A 4 B 6 C 8 D 1 0【答 案】A【解 析】设 0 0,M x y，则002 6 262p ypy，解 得 4 p 故 选：A考 向 三 抛 物 线 的 几 何 性 质【例 3】(2 0 2 1 江 苏 省 天 一 中 学 高 三 二 模)过 抛 物 线 y2 4 x 的 焦 点 作 直 线 交 抛 物 线 于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两 点，如 果 x1 x2 6，则|A B|_ _ _ _ _ _ _ _【答 案】8【解 析】抛 物 线 y2 4 x 中，2 p，焦 点 F(1，0)，而 直 线 A B 过 焦 点 F(1，0)，故 根 据 抛 物 线 定 义 可 知1 2 1 26 2 82 2p pp A B A F F B x x x x=.故 答 案 为：8.【举 一 反 三】1(2 0 2 1 四 川 遂 宁 市 高 三 二 模(文)若 过 抛 物 线 C：24 y x 的 焦 点 且 斜 率 为 2 的 直 线 与 C 交 于 A，B两 点，则 线 段 A B 的 长 为()A 3.B 4 C 5 D 6【答 案】C【解 析】抛 物 线 C：24 y x 的 焦 点(1,0)F所 以 直 线 A B 的 方 程 为 2 2 y x，设 1 1,A x y，2 2,B x y，由22 24y xy x，消 去y并 整 理 得23 1 0 x x，所 以1 23 x x，1 22 5 A B x x.故 选：C.2(2 0 2 1 广 西 玉 林 市 高 三 其 他 模 拟(理)已 知 抛 物 线2:2(0)C x py p 的 焦 点 在 直 线 1 0 x y 上，又 经 过 抛 物 线 C 的 焦 点 且 倾 斜 角 为 60 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 A B 两 点，则|A B()A 1 2 B 1 4 C 1 6 D 1 8【答 案】C【解 析】因 为 直 线 1 0 x y 与y轴 的 交 点 为(0,1)，所 以 抛 物 线2:2(0)C x py p 的 焦 点 坐 标 为(0,1)，设(0,1)F，抛 物 线 方 程 为24 x y，所 以 过 焦 点 且 倾 斜 角 为 60 的 直 线 方 程 为 3 1 y x，设1 1 2 2(,),(,)A x y B x y，由243 1x yy x，得214 1 0 y y，所 以1 214 y y，所 以1 2|14 2 16 A B y y p，故 选：C3(2 0 2 1 商 丘 市 第 一 高 级 中 学)设 F 为 抛 物 线22(0)y px p 的 焦 点，过 F 作 倾 斜 角 为 60 的 直 线 与 该抛 物 线 交 于,A B 两 点，且 3,O A O B O 为 坐 标 原 点，则 A O B 的 面 积 为()A 4 33B 5 33C 8 33D 10 33【答 案】A【解 析】由 题 意 得 焦 点 坐 标 为(,0)2p，则 直 线 的 方 程 为 3()2py x，设1 1 2 2(,),(,)A x y B x y，直 线 与 曲 线 联 立23()22py xy p x，可 得2 233 5 04x p x p，2 2 2325 4 3 16 04p p p，21 2 1 25,3 4p px x x x，221 2 1 2 1 2 1 23()3()3()2 2 2 4p p p py y x x x x x x p 又221 2 1 2()34px x y y p O A O B，解 得24 p，又 0 p，所 以 2 p，所 以1 25 163 3pA B x x p p，直 线 方 程 为 3 3 y x，即 3 3 0 x y，所 以 原 点 O 到 直 线 3 3 0 x y 的 距 离332 1 3d，所 以 A O B 的 面 积1 1 16 3 4 32 2 3 2 3S A B d.故 选：A.强 化 练 习1(2 0 2 1 四 川 高 三 月 考(理)设 O 为 坐 标 原 点，直 线 l 过 定 点 1,0，与 抛 物 线 2:2 0 C y p x p 交 于,A B 两 点，若 O A O B，则 抛 物 线 C 的 准 线 方 程 为()A 14x B 12x C 1 x D 2 x【答 案】A【解 析】由 题 意 可 知 直 线 l 斜 率 不 为 0.设 直 线:1 l x m y 与22 y p x 联 立.得22 2 0 0,y pm y p 恒 成 立.设 1 1 2 2,A x y B x y，则1 22 y y p.由,O A O B 得1 2 1 20 x x y y，即2 21 21 202 2y yy yp p.即2242 04ppp.得12p.所 以 其 准 线 方 程 为14x 故 选：A.2(2 0 2 1 北 京 丰 台 区 高 三 一 模)P 为 抛 物 线22(0)y px p 上 一 点，点 P 到 抛 物 线 准 线 和 对 称 轴 的 距离 分 别 为 1 0 和 6，则p()A 2 B 4 C 4 或9 D 2 或18【答 案】D【解 析】由 题 意 可 得：抛 物 线22(0)y px p 的 准 线 l 的 方 程 为：2px 设 点(,)P x y，又 因 点 P 到 抛 物 线 准 线 和 对 称 轴 的 距 离 分 别 为 1 0 和 6，所 以 有210262pxyy p x，解 得118xp 或92xp，即p的 值 分 别 为18 或 2.故 选：D.3(2 0 2 1 河 南 高 三 其 他 模 拟(文)已 知 点 P 为 抛 物 线24 x y 上 任 意 一 点，点 A 是 圆 22:6 5 C x y 上 任 意 一 点，则 P A 的 最 小 值 为()A 6 5 B 5C 2 5D 3 5【答 案】B【解 析】设2,4xP x，则222264xP C x，422 3616xx，22116 2016x，当216 x 时，min2 5 P C，所 以min2 5 5 5 P A 故 选：B4(2 0 2 1 浙 江 高 三 其 他 模 拟)已 知 点 1,1 P a a 在 抛 物 线 22 0 y p x p 上，过 P 作 圆 221 1 x y 的 两 条 切 线，分 别 交 抛 物 线 于 点 A，B，若 直 线 A B 的 斜 率 为 1，则 抛 物 线 的 方 程 为()A 24 y x B 22 y x C 2y x D 24xy【答 案】A【解 析】由 题 意 可 知 过 P 所 作 圆 的 两 条 切 线 关 于 直 线 1 x 对 称，所 以 0P A P Bk k，设 1 1,A x y，2 2,B x y，,P PP x y，则1 12 21 1 122 2P PP AP P Py y y y pky y x x y yp p，同 理 可 得22P BPpky y，1 22A Bpky y，则1 22 20P Pp py y y y，得 1 22 12 20PP Py y yypy y y，得1 22Py y y，所 以1 22 212A BPp pky y y，故Py p，将 1,p 代 入 抛 物 线 方 程，得22 1 p p，得 2 p，故 抛 物 线 方 程 为24 y x 故 选：A5(2 0 2 1 吉 林 长 春 市 高 三 二 模(理)已 知 抛 物 线 22 0 y p x p 上 一 点 02,A y，F 为 焦 点，直 线 F A交 抛 物 线 的 准 线 于 点M，满 足 2,F A A M 则 抛 物 线 方 程 为()A 28 y x B 216 y x C 224 y x D 232 y x【答 案】C【解 析】如 图 所 示：作 A B x 轴，则/A B M K，因 为2 F A A M，且 02,A y，所 以212222PA F B FPA M B K,即 2 2 22 2p p，解 得 12 p，所 以 抛 物 线 方 程 是224 y x 故 选：C 6(2 0 2 1 四 川 成 都 市 石 室 中 学 高 三 月 考(理)已 知 双 曲 线2 28 8 1 x y 有 一 个 焦 点 在 抛 物 线 C：22 0 x p y p 准 线 上，则p的 值 为()A 2 B 1 C 12D 14【答 案】B【解 析】双 曲 线 标 准 方 程 是2 211 18 8y x，2 218a b，2 2 214c a b，12c，焦 点 为1(0,)2，所 以12 2p，1 p 故 选：B 7(2 0 2 1 辽 宁 丹 东 市 高 三 月 考)倾 斜 角 为 4 5 的 直 线 经 过 点(2,0)M，且 与 抛 物 线 C：24 y x 交 于 A，B 两 点，若 F 为 C 的 焦 点，则 A F B F()A 5 B 8 C 1 0 D 1 2【答 案】C【解 析】由 题 可 知 直 线 A B 的 方 程 为 2 y x，设 1 1 2 2,A x y B x y，所 以 由 焦 半 径 公 式 得：1 21,1 A F x B F x，所 以 联 立 方 程224 y xy x 得：28 4 0 x x，64 16 48 0，所 以1 2 1 28,4 x x x x，所 以1 22 10 A F B F x x.故 选：C.8(2 0 2 1 广 西 南 宁 市 高 三 一 模(文)已 知 抛 物 线 2:2 0 C x py p 的 焦 点 为 圆 221 2 x y 的 圆心，又 经 过 抛 物 线 C 的 焦 点 且 倾 斜 角 为 6 0 的 直 线 交 抛 物 线 C 于 A、B 两 点，则 A B()A 1 2 B 1 4 C 1 6 D 1 8【答 案】C【解 析】由 题 可 得 抛 物 线 焦 点 为 0,1，则 12p，即 2 p，则 抛 物 线 方 程 为24 x y，直 线 A B 的 倾 斜 角 为 6 0，则 斜 率 为3，故 直 线 A B 的 方 程 为 3 1 y x，联 立 直 线 与 抛 物 线243 1x yy x 可 得24 3 4 0 x x，设 1 1 2 2,A x y B x y，则1 2 1 24 3,4 x x x x，则 21 3 4 3 4 4 16 A B.故 选：C.9(多 选)(2 0 2 1 广 东 广 州 市 高 三 一 模)已 知 点 O 为 坐 标 原 点，直 线 1 y x 与 抛 物 线2:4 C y x 相 交于,A B 两 点，则()A|8 A B B O A O B C A O B 的 面 积 为2 2D 线 段 A B 的 中 点 到 直 线 0 x 的 距 离 为 2【答 案】A C【解 析】设 1 1 2 2,A x y B x y，抛 物 线2:4 C y x，则 2 P，焦 点 为 1,0，则 直 线 1 y x 过 焦 点；联 立 方 程 组214y xy x 消 去y得26 1 0 x x，则1 2 1 26,1 x x x x，1 2 1 2 1 2 1 21 1 1 4 y y x x x x x x 所 以1 26 2 8 A B x x P，故 A 正 确；由1 2 1 21 4 3 0 O A O B x x y y，所 以 OA 与 O B 不 垂 直，B 错；原 点 到 直 线 1 y x 的 距 离 为112 2d，所 以 A O B 的 面 积 为1 1 18 2 22 2 2S d A B，则 C 正 确；因 为 线 段 A B 的 中 点 到 直 线 0 x 的 距 离 为1 2632 2x x，故 D 错故 选：A C1 0(2 0 2 1 湖 北 高 三 月 考)已 知 点M在 抛 物 线 C：24 y x 上 运 动，圆 C 过 点 5,0，2,3，3,2，过 点M引 直 线1l，2l 与 圆 C 相 切，切 点 分 别 为 P，Q，则 P Q 的 取 值 范 围 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2 2,4【解 析】设 圆 C 的 方 程 为2 20 x y D x E y F，将 5,0，2,3，3,2 分 别 代 入，可 得25 5 07 2 3 013 3 2 0D FD E FD E F，解 得605DEF，即 圆 C：223 4 x y；如 图，连 接 M C，C P，C Q，P Q，易 得 C P M P，C Q M Q，M C P Q，所 以 四 边 形 M P C Q 的 面 积 为12M C P Q；另 外 四 边 形 M P C Q 的 面 积 为 M P C 面 积 的 两 倍，所 以12M C P Q M P C P，故2 M P C PQCPM 224 444 1C MC MC M，故 当 C M 最 小 时，P Q 最 小，设,M x y，则 223 M C x y 22 9 x x，所 以 当 1 x 时，min2 2 M C，当x正 无 穷大 时，P Q 趋 近 圆 的 直 径 4，故 P Q 的 取 值 范 围 为2 2,4.故 答 案 为：2 2,41 1(2 0 2 1 江 西 高 三 其 他 模 拟(理)已 知 离 心 率 为 2 的 双 曲 线1C：2 22 21 0,0 x ya ba b 的 右 焦 点 F 与抛 物 线2C 的 焦 点 重 合，1C 的 中 心 与2C 的 顶 点 重 合，M是1C 与2C 的 公 共 点，若 5 M F，则1C 的 标 准方 程 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】2213yx【解 析】2 2,3ce c a b aa，(2,0)F a所 以 双 曲 线 方 程 为：2 22 213x ya a 2 2 82pa p a，设 抛 物 线 方 程 为：28 y ax 联 立 方 程 可 得：2 2 22 223 33 8 3 08x y ax a x ay a x 解 得8 1036a ax a 或3a(舍)3 3 2 5 5 12pM F a a a a a 所 以 双 曲 线 方 程 为：2213yx 故 答 案 为：2213yx 1 2(2 0 2 1 浙 江)抛 物 线28 y x 焦 点 为 F，P 为 抛 物 线 线 上 的 动 点，定 点(3,2)A，则|P A P F 的 最 小值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】5【解 析】准 线 为 2 x，过 P 作 准 线 l 的 垂 线P M，垂 足 为M，则 P M P F，所 以 P F P A P M P A，易 知 当,M P A 三 点 共 线 时 P M P A 取 得 最 小 值 为 3(2)5，故 答 案 为：5 1 3(2 0 2 1 广 东 肇 庆 市 高 三 二 模)已 知 点 P 是 抛 物 线28 x y 上 的 一 个 动 点，则 点 P 到 点 2,0 A 的 距 离与 到 抛 物 线 的 准 线 的 距 离 之 和 的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】2 2【解 析】设 点 P 在 抛 物 线 的 准 线 的 投 影 为 点 P，抛 物 线 的 焦 点 为 F，则 0,2 F.依 抛 物 线 的 定 义，知 点 P 到 该 抛 物 线 的 准 线 的 距 离 为 P P P F，则 点 P 到 点 2,0 A 的 距 离 与 到 该 抛 物 线 的 准 线 的 距 离 之 和2 22 2 2 2 d P A P F A F.故 答 案 为：2 2.1 4(2 0 2 1 河 北 张 家 口 市 高 三 一 模)若(4,1)P 为 抛 物 线2:2(0)C x py p 上 一 点，抛 物 线 C 的 焦 点 为F，则|P F _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】5【解 析】由(4,1)P 为 抛 物 线2:2(0)C x py p 上 一 点，得24 2 1 p，可 得 8 p，则8|1 52P F 故 答 案 为：51 5(2 0 2 1 全 国 高 三 其 他 模 拟)已 知 抛 物 线22(0)y px p，点(1,)(1)P a a 在 抛 物 线 上，过 P 作 圆2 2(1)1 x y 的 两 条 切 线，分 别 交 抛 物 线 于 点 A，B，若 直 线 A B 的 斜 率 为-1，则 抛 物 线 的 方 程 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】24 y x【解 析】由 题 意 可 知，过 P 所 作 圆 的 两 条 切 线 关 于 直 线 1 x 对 称.设 1 1,A x y，2 2,B x y，,P PP x y，则1 12 21 1 122 2P PP AP P Py y y y pky y x x y yp p，同 理22P BPpky y，1 22A Bpky y，因 为 两 条 切 线 关 于 直 线 1 x 对 称，所 以 0P A P Bk k，即1 22 20P Pp py y y y，得 1 21 22 20pP Pp y y yy y y y，得 1 22py y y，所 以1 22 212A BPp pky y y，故Py p，(1,)P p，代 入 抛 物 线 方 程，得22 1 p p，所 以 2 p，故 抛 物 线 方 程 为24 y x.故 答 案 为：24 y x 1 6(2 0 2 1 桃 江 县 第 一 中 学)已 知 拋 物 线 2:2 0 M y p x p 的 焦 点 为 F，O 为 坐 标 原 点，M 的 准 线 为 l且 与 x 轴 相 交 于 点 B，A 为 M 上 的 一 点，直 线 A O 与 直 线 l 相 交 于 C 点，若 B O C B C F，6 A F，则 M的 标 准 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】28 y x【解 析】因 为 B O C B C F，90 O B C C B F，所 以 O B C C B F，则O B C BB C B F，如 图，,2pO B B F p，故2pC BB C p，解 得22B C p，所 以22tan tan 212pA O F C O Bp，直 线 O A 的 斜 率 为2，O A 的 方 程 2 y x，联 立 直 线 O A 与 抛 物 线 方 程222y xy p x，解 得,2 A p p，所 以362 2Ap pA F x，故 4 p，则 抛 物 线 标 准 方 程 为28 y x.故 答 案 为：28 y x.1 7(2 0 2 1 黑 龙 江 哈 尔 滨 市 哈 尔 滨 三 中 高 三 一 模(理)人 们 已 经 证 明，抛 物 线 有 一 条 重 要 性 质：从 焦 点发 出 的 光 线，经 过 抛 物 线 上 的 一 点 反 射 后，反 射 光 线 平 行 于 抛 物 线 的 轴，探 照 灯、手 电 筒 就 是 利 用 这 个 原理 设 计 的.已 知 抛 物 线 22 0 y p x p 的 焦 点 为 F，从 点 F 出 发 的 光 线 经 抛 物 线 上 第 一 象 限 内 的 一 点 P 反射 后 的 光 线 所 在 直 线 方 程 为 2 y，若 入 射 光 线 F P 的 斜 率 为2 2，则 抛 物 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _.【答 案】22 y x【解 析】从 点 F 出 发 的 光 线 第 一 象 限 内 抛 物 线 上 一 点 P 反 射 后 的 光 线 所 在 直 线 方 程 为 y 2，可 得 P(1p，2)，入 射 光 线 F P 的 斜 率 为2 2，所 以2 02 212pp，解 得 p 1 或 p 2(舍 去)，所 以 抛 物 线 方 程 为：y2 2 x 故 答 案 为：y2 2 x1 8(2 0 2 1 贵 溪 市 实 验 中 学)若 抛 物 线22(0)y px p 上 的 点 0,3 A x 到 其 焦 点 的 距 离 是 A 到 y 轴 距 离的 2 倍，则p等 于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答 案】3【解 析】由 题 意，得0 022px x，解 得02px，即,32pA，代 入22(0)y px p，得2(3)22pp，结 合 0 p，解 得 3 p 故 答 案 为：31 9(2 0 2 1 江 苏 南 通 市)已 知 抛 物 线2:4 C y x，过 焦 点 F 且 斜 率 为 1 的 直 线 与 C 相 交 于 P、Q 两 点，且P、Q 两 点 在 准 线 上 的 投 影 分 别 为M，N 两 点，则 M F N 的 面 积 为 _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】4 2【解 析】抛 物 线 C:24 y x 则 焦 点 坐 标 为 1,0 F,准 线 方 程 为 1 x 过 焦 点 F 且 斜 率 为1 的 直 线 方 程 为 1 y x,化 简 可 得 1 x y 抛 物 线 C 与 直 线 相 交 于 P,Q 两 点,设 1 1 2 2,P x y Q x y 且 P,Q 两 点 在 准 线 上 的 投 影 分 别 为M,N则214x yy x,化 简 可 得24 4 0 y y 所 以1 2 1 24,4 y y y y 则 21 2 1 2 1 24 M N y y y y y y 16 16 4 2 所 以14 2 2 4 22M F NS 故 答 案 为:4 22 0(2 0 2 1 全 国 高 三 其 他 模 拟)已 知 抛 物 线 2:2 0 C y p x p 经 过 点 3,6，直 线 l 经 过 点 2,2 M 且 与抛 物 线 C 交 于 A，B 两 点 若 线 段 A B 的 中 点 为M，F 为 抛 物 线 C 的 焦 点，则 A B F 的 周 长 为 _ _ _ _ _ _【答 案】20 2103【解 析】把 点 3,6 代 入22 y p x 中 得 6 p=，故 抛 物 线 C 的 方 程 为212 y x 设 1 1,A x y，2 2,B x y，由 题 意 可 知 直 线 l 的 斜 率 存 在 且 不 为 0，故1 2x x 则21 112 y x，22 212 y x，两 式 相 减 得 1 2 1 2 1 212 y y y y x x，又 因 为 A B 的 中 点 为 2,2 M，所 以1 24 y y，将1 24 y y 代 入 上 式 得 直 线 l 的 斜 率 3 k，于 是 直 线 A B 的 方 程 为 2 3 2 y x，即 3 4 y x 联 立212,3 4,y xy x 消 去y得29 36 16 0 x x，0，由 根 与 系 数 的 关 系 得1 24 x x，1 2169x x，由 抛 物 线 的 定 义 得1 24 6 10 A F B F x x p，而 A B 22 2 21 2 1 216 20 21 4 3 1 4 49 3k x x x x，因 此 A B F 的 周 长 为20 2103故 答 案 为：20 21032 1(2 0 2 1 陕 西 安 康 市)已 知 抛 物 线2:2(0)C x py p 上 一 点,2 P m 到 其 焦 点 F 的 距 离 为 4.(1)求 抛 物 线 C 的 方 程；(2)过 点 F 且 斜 率 为1 的 直 线 l 与 C 交 于 A，B 两 点，O 为 坐 标 原 点，求 O A B 的 面 积.【答 案】(1)28 x y；(2)8 2.【解 析】(1)因 为 抛 物 线2:2(0)C x py p 上 一 点,2 P m 到 其 焦 点 F 的 距 离 为 4，所 以 2 42p，解 得 4 p，所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为28 x y；(2)由(1)可 得，0,2 F；则 过 点 F 且 斜 率 为1 的 直 线 l 的 方 程 为：2 y x，即 2 0 x y，设 1 1,A x y，2 2,B x y，由228y xx y 消 去x，整 理 得212 4 0 y y，则1 212 y y，因 此1 212 4 16 A B A F B F y y p，又 点 O 到 直 线 2 0 x y 的 距 离 为0 0 221 1d，所 以 O A B 的 面 积 为18 22O A BS A B d.2 2(2 0 2 1 湖 北 开 学 考 试)已 知 抛 物 线2:2 C y p x 的 焦 点 为 F，(1,)M t 为 抛 物 线 C 上 的 点，且3|2M F.(1)求 抛 物 线 C 的 方 程；(2)若 直 线 2 y x 与 抛 物 线 C 相 交 于 A，B 两 点，求 弦 长|A B.【答 案】(1)22 y x；(2)2 10.【解 析】(1)3|12 2PM F，所 以 1 p，即 抛 物 线 C 的 方 程22 y x.(2)设 1 1 2 2,A x y B x y，由222y xy x 得26 4 0 x x 所 以1 26 x x，1 24 x x 所 以 221 2 1 2 1 2|1 2 4 A B k x x x x x x 2 36 16 2 10.2 3(2 0 2 0 江 苏)求 适 合 下 列 条 件 的 曲 线 的 标 准 方 程：(1)4,1 a b，焦 点 在x轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程；(2)4,3 a b，焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程；(3)焦 点 在x轴 上，且 焦 点 到 准 线 的 距 离 是 2 的 抛 物 线 的 标 准 方 程.【答 案】(1)22116xy；(2)2 2116 25y x；(3)24 x y 或24 x y.【解 析】(1)根 据 题 意 知 4,1 a b，焦 点 在x轴 上，2 216,1 a b，故 椭