专题06 一次函数及综合问题-决胜2022年中考数学压轴题（江苏）（解析板）.pdf

决 胜 2022中 考 数 学 压 轴 题 全 揭 秘 精 品（江 苏 专 版）专 题 06 一 次 函 数 及 综 合 问 题 典 例 剖 析【考 点 1】一 次 函 数 的 图 象 与 性 质 例 1（2020南 京 一 模）已 知 一 次 函 数 y=kx+b的 图 象 如 图 所 示，则 y-2kx-b的 图 象 可 能 是（）【分 析】根 据 一 次 函 数 图 象 可 以 确 定 鼠 的 符 号，根 据 联 人 的 符 号 来 判 定 函 数 y=的 图 象 所 在 的 象 限.【解 答】解：一 次 函 数 的 图 象 经 过 二、三、四 象 限，：.k0,b0.函 数 y=-2 Z-6 的 图 象 经 过 第 一、二、三 象 限.因 为 因 5 2 用，所 以 一 次 函 数 ykx+b的 图 象 比 y=-2射-匕 的 图 象 的 倾 斜 度 小，综 上 所 述，符 合 条 件 的 图 象 是 C 选 项.故 选：C.【变 式 1-1（2020鼓 楼 区 校 级 二 模）已 知 过 点（1,3）的 直 线 y=ox+6 Q#0）不 经 过 第 四 象 限，设 5=a+2h,则 S 的 取 值 范 围 为（）A.3S6 B.3WS6 C.30,b 0,将 点（1,3）代 入 y=ax+6,得 到“+Q3,即 b=3-a.由 a0,b O 得 出 不 等 式 组，解 不 等 式 组 求 出 a 的 范 围，再 根 据 不 等 式 的 性 质 即 可 求 出 5的 取 值 范 围.【解 答】解：过 点（1,3）的 直 线 y=or+匕 Q W 0）不 经 过 第 四 象 限，：.a0,后 0,a+b=3,:.b=3-a,13-a 0,（a0，解 得：0aW3,所 以 S=a+26=a+2（3-a）=6”，-3W-a0,；.3W6-a4-2=（a-0.5）k+b,故 2=-0.5k,解 得，k-4,故 选：B.【变 式 1-3（2020灌 云 县 一 模）一 次 函 数（Z、人 为 常 数，且 ZWO）的 图 象 如 图，则 使 y0成 立 的 x 的 取 值 范 围 为（）C.x-2 D.x，0 时 x 的 取 值 范 围.【解 答】解：由 图 象 可 得，当 x=-2 时，y=0,当 x V-2 时，y 0,故 选：D【考 点 2】一 次 函 数 与 不 等 式【例 2】（2019苏 州）若 一 次 函 数（A b 为 常 数，且 丘 0）的 图 象 经 过 点 A（0,-1）,B（1,1）,则 不 等 式 丘+b l的 解 集 为（）A.x 0 C.x 1【分 析】直 接 利 用 已 知 点 画 出 函 数 图 象，利 用 图 象 得 出 答 案.【解 答】解：如 图 所 示：不 等 式 履+匕 1的 解 为：x.【变 式 2-1（2020徐 州 一 模）如 图 是 一 次 函 数 y=kx+b与 y2=x+a的 图 象，则 不 等 式 kx-xa-b 的 解A.x3 C.xa-b【分 析】利 用 函 数 图 象，写 出 直 线 在 直 线”下 方 所 对 应 的 自 变 量 的 范 围 即 可.【解 答】解：结 合 图 象，当 x 3 时，即 日+Vx+m所 以 不 等 式 kx-x3.故 选：B.【变 式 2-2（2020高 邮 市 一 模）如 图，直 线 丫=心 也 分 别 交 x 轴、y 轴 于 点 A、C,直 线 分 别 交 x 轴、y 轴 于 点 B、D,直 线 A C与 直 线 B D 相 交 于 点-1,2）,则 不 等 式 kx+biwc+n的 解 集 为（）【分 析】结 合 函 数 图 象，写 出 直 线 卜=丘+6 不 在 直 线 丫=的+的 上 方 所 对 应 的 自 变 量 的 范 围 即 可.【解 答】解：根 据 函 数 图 象，当 x W-1 时，kx+bmx+n,所 以 不 等 式 kx+b：mx+n的 解 集 为 xW-1.故 选：B.【变 式 2-3（2019无 锡）已 知 一 次 函 数），=丘+6 的 图 象 如 图 所 示，则 关 于 x 的 不 等 式 3日-6 0 的 解 集 为 x0,：k0,：.x-20,解 得：x2.故 答 案 为：x2.【考 点 3】一 次 函 数 与 生 活 应 用 问 题（图 象 类）【例 3】（2020淮 安）甲、乙 两 地 的 路 程 为 290千 米，一 辆 汽 车 早 上 8：00从 甲 地 出 发，匀 速 向 乙 地 行 驶，途 中 休 息 一 段 时 间 后.按 原 速 继 续 前 进，当 离 甲 地 路 程 为 240千 米 时 接 到 通 知，要 求 中 午 12：00准 时 到 达 乙 地.设 汽 车 出 发 x 小 时 后 离 甲 地 的 路 程 为），千 米，图 中 折 线 O C Q E 表 示 接 到 通 知 前 y 与 x 之 间 的 函 数 关 系.（1）根 据 图 象 可 知，休 息 前 汽 车 行 驶 的 速 度 为 8 0 千 米/小 时;（2）求 线 段。E 所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式；（3）接 到 通 知 后，汽 车 仍 按 原 速 行 驶 能 否 准 时 到 达？请 说 明 理 由.【分 析】（1）观 察 图 象 即 可 得 出 休 息 前 汽 车 行 驶 的 速 度；（2）根 据 题 意 求 出 点 E 的 横 坐 标，再 利 用 待 定 系 数 法 解 答 即 可；（3）求 出 到 达 乙 地 所 行 驶 的 时 间 即 可 解 答.【解 答】解：（1）由 图 象 可 知，休 息 前 汽 车 行 驶 的 速 度 为 80千 米/小 时；故 答 案 为：80；（2）休 息 后 按 原 速 继 续 前 进 行 驶 的 时 间 为：（240-80）+80=2（小 时）,二 点 E 的 坐 标 为（3.5,240）,设 线 段 D E 所 表 示 的 y 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 为 y=kx+b,则：黑。i T%解 哦=吗（3.5k+b=240 S=-40 线 段。E 所 表 示 的），与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 为：y=80 x-40（1.5Wx3.5）；接 到 通 知 后，汽 车 仍 按 原 速 行 驶，则 全 程 所 需 时 间 为：290+80+0.5=4.125(小 时)，12：00-8：00=4(小 时)，4.1254,所 以 接 到 通 知 后，汽 车 仍 按 原 速 行 驶 不 能 准 时 到 达.【变 式 3.1(2020连 云 港)快 车 从 甲 地 驶 往 乙 地，慢 车 从 乙 地 驶 往 甲 地，两 车 同 时 出 发 并 且 在 同 一 条 公 路 上 匀 速 行 驶.图 中 折 线 表 示 快、慢 两 车 之 间 的 路 程 y(h)与 它 们 的 行 驶 时 间 x()之 间 的 函 数 关 系.小 欣 同 学 结 合 图 象 得 出 如 下 结 论：快 车 途 中 停 留 了 0.5；快 车 速 度 比 慢 车 速 度 多 2 0 W A；图 中 67=340；快 车 先 到 达 目 的 地.【分 析】根 据 题 意 可 知 两 车 出 发 2 小 时 后 相 遇，据 此 可 知 他 们 的 速 度 和 为 180(km/h),相 遇 后 慢 车 停 留 了 0.5/?,快 车 停 留 了 1.6/?,此 时 两 车 距 离 为 8 8 k m 据 此 可 得 慢 车 的 速 度 为 80筋 7他 进 而 得 出 快 车 的 速 度 为 100h?，根 据“路 程 和=速 度 和 X 时 间”即 可 求 出。的 值，从 而 判 断 出 谁 先 到 达 目 的 地.【解 答】解：根 据 题 意 可 知，两 车 的 速 度 和 为：360+2=180(W/?),相 遇 后 慢 车 停 留 了 0.5%,快 车 停 留 了 1.6/7,此 时 两 车 距 离 为 88切?，故 结 论 错 误；慢 车 的 速 度 为：88+(3.6-2.5)=80(km/h),则 快 车 的 速 度 为 1006?，所 以 快 车 速 度 比 慢 车 速 度 多 20kmih；故 结 论 正 确；88+180X(5-3.6)=340(km),所 以 图 中 a=340,故 结 论 正 确；快 车 到 达 终 点 的 时 间 为 3604-100+1.6=5.2小 时，慢 车 到 达 终 点 的 时 间 为 360+80+0.5=5小 时，因 为 5.25,所 以 慢 车 先 到 达 目 的 地，故 结 论 错 误.所 以 正 确 的 是.故 选：B.【变 式 3.2(2019徐 州)如 图，将 南 北 向 的 中 山 路 与 东 西 向 的 北 京 路 看 成 两 条 直 线，十 字 路 口 记 作 点 A.甲 从 中 山 路 上 点 B 出 发，骑 车 向 北 匀 速 直 行；与 此 同 时，乙 从 点 A 出 发，沿 北 京 路 步 行 向 东 匀 速 直 行.设 出 发 沅 时，甲、乙 两 人 与 点 A 的 距 离 分 别 为 力 机、yim.已 知 巾、”与 x 之 间 的 函 数 关 系 如 图 所 示.北 t北 京 路 图 AB(1)求 甲、乙 两 人 的 速 度;(2)当 x 取 何 值 时，甲、乙 两 人 之 间 的 距 离 最 短？【分 析】(1)设 甲、乙 两 人 的 速 度，并 依 题 意 写 出 函 数 关 系 式，再 根 据 图 中 函 数 图 象 交 点 列 方 程 组 求 解;设 甲、乙 之 间 距 离 为 d,由 勾 股 定 理 可 得 a=(1200-240 x)2+(80 x)2=6 4000(x-|)2+1296000,根 据 二 次 函 数 最 值 即 可 得 出 结 论.【解 答】解：(1)设 甲、乙 两 人 的 速 度 分 别 为 ani/min,hm/min,则：_ 1200 ax二 lax-1200y2=bx由 图 知：X=3.75或 7.5时，y i=”，二 瑞 随 紫 匕,解 得：二 篇.yi=1200-240%,令 y i=0,则 x=5.fl2 0 0-240 x(0 x 5)y2=80 x答：甲 的 速 度 为 240m/)m力，乙 的 速 度 为 SOm/min.(2)设 甲、乙 之 间 距 离 为 d,则 整=(1200-240 x)2+(80%)29 o=64000(x-|)2+144000,当.r=狮，屋 的 最 小 值 为 144000,即 d 的 最 小 值 为 1 2 0 g；答：当 x=|时，甲、乙 两 人 之 间 的 距 离 最 短.【变 式 3.3(2019淮 安)快 车 从 甲 地 驶 向 乙 地，慢 车 从 乙 地 驶 向 甲 地，两 车 同 时 出 发 并 且 在 同 一 条 公 路 上 匀 速 行 驶，途 中 快 车 休 息 1.5小 时，慢 车 没 有 休 息.设 慢 车 行 驶 的 时 间 为 x 小 时，快 车 行 驶 的 路 程 为 11千 米，慢 车 行 驶 的 路 程 为”千 米.如 图 中 折 线。A E C表 示 y i与 x 之 间 的 函 数 关 系，线 段。表 示”与 x 之 间 的 函 数 关 系.请 解 答 下 列 问 题：(1)求 快 车 和 慢 车 的 速 度；(2)求 图 中 线 段 E C所 表 示 的 y i与 x 之 间 的 函 数 表 达 式；(3)线 段。与 线 段 E C相 交 于 点 凡 直 接 写 出 点 F 的 坐 标，并 解 释 点 F 的 实 际 意 义.【分 析】(1)根 据 函 数 图 象 中 的 数 据 可 以 求 得 快 车 和 慢 车 的 速 度；(2)根 据 函 数 图 象 中 的 数 据 可 以 求 得 点 E 和 点 C 的 坐 标，从 而 可 以 求 得 y i与 x 之 间 的 函 数 表 达 式；(3)根 据 图 象 可 知，点 尸 表 示 的 是 快 车 与 慢 车 行 驶 的 路 程 相 等，从 而 以 求 得 点 尸 的 坐 标，并 写 出 点 尸的 实 际 意 义.【解 答】解:（1）快 车 的 速 度 为：180+2=90千 米/小 时,慢 车 的 速 度 为：180+3=60千 米/小 时，答：快 车 的 速 度 为 90千 米/小 时，慢 车 的 速 度 为 60千 米/小 时；（2）由 题 意 可 得，点 E 的 横 坐 标 为：2+1.5=35则 点 E 的 坐 标 为（3.5,180）,快 车 从 点 E 到 点 C 用 的 时 间 为：（360-180）+90=2（小 时）,则 点 C 的 坐 标 为（5.5,360）,设 线 段 E C 所 表 示 的 yi与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 是 ykx+b,（3.5k+b=180 zu r/c=90（5.5k+b=360付 U=-135即 线 段 E C 所 表 示 的 巾 与 x 之 间 的 函 数 表 达 式 是 yi=9 0-135（3.54W5.5）；（3）设 点 F 的 横 坐 标 为 a.则 60a=90a-135,解 得，a=4.5,则 60a=270,即 点 尸 的 坐 标 为（4.5,270）,点 尸 代 表 的 实 际 意 义 是 在 4.5小 时 时，快 车 与 慢 车 行 驶 的 路 程 相 等.【考 点 4】一 次 函 数 与 应 用 问 题（图 表 文 字 类）【例 4】（2020苏 州）某 商 店 代 理 销 售 一 种 水 果，六 月 份 的 销 售 利 润 y（元）与 销 售 量 x（kg）之 间 函 数 关 系 的 图 象 如 图 中 折 线 所 示.请 你 根 据 图 象 及 这 种 水 果 的 相 关 销 售 记 录 提 供 的 信 息，解 答 下 列 问 题：（1）截 止 到 6 月 9 日，该 商 店 销 售 这 种 水 果 一 共 获 利 多 少 元？（2）求 图 象 中 线 段 B C 所 在 直 线 对 应 的 函 数 表 达 式.日 期 销 售 记 录 6 月 1 库 存 600&g,成 本 价 8 元 1kg,售 价 10元/依（除 日 了 促 销 降 价，其 他 时 间 售 价 保 持 不 变）.6 月 9 从 6 月 1 日 至 今，一 共 售 出 200依.日 6月 10、这 两 天 以 成 本 价 促 销，之 后 售 价 恢 复 到 10元 11日6 月 12【分 析】（1）由 表 格 信 息 可 知，从 6 月 1 日 到 6 月 9 日，成 本 价 8 元/依，售 价 10元/打，一 共 售 出 200总，根 据 利 润=每 千 克 的 利 润 X 销 售 量 列 式 计 算 即 可；（2）设 8 点 坐 标 为（a,400）,根 据 题 意 列 方 程 求 出 点 8 的 坐 标，设 线 段 8 c 所 在 直 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=M+b,利 用 待 定 系 数 法 解 答 即 可.【解 答】解：（1）200X（10-8）=400（元）答：截 止 到 6 月 9 日，该 商 店 销 售 这 种 水 果 一 共 获 利 400元；（2）设 点 8 坐 标 为（a,400）,根 据 题 意 得:(10-8)Xf(600-(a-200)+(10-8.5)X 200=1200,解 这 个 方 程，得。=350,.点 8 坐 标 为(350,400),设 线 段 B C 所 在 直 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=kx+h,WO：(350k+b=400l800/c+h=1200)16V2000)9 解 得 f线 段 B C 所 在 直 线 对 应 的 函 数 表 达 式 为 y=-等.【变 式 4.1（2020滨 湖 区 模 拟）由 于 新 冠 疫 情，市 场 上 防 护 口 罩 出 现 热 销，某 医 药 公 司 每 月 固 定 生 产 甲、乙 两 种 型 号 的 医 用 口 罩 20万 只，且 所 有 产 品 当 月 全 部 售 出，原 料 成 本、销 售 单 价 及 工 人 生 产 提 成 如 表:型 号 价 格（元/只）甲 乙（1）若 该 公 司 五 月 份 的 销 售 收 入 为 300万 元，求 甲、乙 两 种 型 号 的 产 品 分 别 是 多 少 万 只？种 类 原 料 成 本 12 8销 售 单 价 18 12生 产 提 成 1 0.8（2）公 司 实 行 计 件 工 资 制，即 工 人 每 生 产 一 只 口 罩 获 得 一 定 金 额 的 提 成，如 果 公 司 六 月 份 投 入 总 成 本（原 料 总 成 本+生 产 提 成 总 额）不 超 过 239万 元，应 怎 样 安 排 甲、乙 两 种 型 号 的 产 量，可 使 该 月 公 司 所 获 利 润 最 大？并 求 出 最 大 利 润.（利 润=销 售 收 入-投 入 总 成 本）【分 析】（I）根 据 题 意，可 以 列 出 相 应 的 二 元 一 次 方 程 组，从 而 可 以 得 到 甲、乙 两 种 型 号 的 产 品 分 别 是 多 少 万 只；（2）根 据 题 意，可 以 得 到 利 润 和 生 产 甲 种 产 品 数 量 的 函 数 关 系 式，再 根 据 公 司 六 月 份 投 入 总 成 本（原 料 总 成 本+生 产 提 成 总 额）不 超 过 239万 元，可 以 得 到 生 产 甲 种 产 品 数 量 的 取 值 范 围，然 后 根 据 一 次 函 数 的 性 质，即 可 得 到 应 怎 样 安 排 甲、乙 两 种 型 号 的 产 量，可 使 该 月 公 司 所 获 利 润 最 大，并 求 出 最 大 利 润.【解 答】解：（1）设 甲、乙 两 种 型 号 的 产 品 分 别 是。万 只，万 只，普/雪 3。，解 得 答：甲、乙 两 种 型 号 的 产 品 分 别 是 10万 只、10万 只；（2）设 利 润 为 卬 元，生 产 甲 种 产 品 x 万 只，则 生 产 乙 种 产 品（20-x）万 只，w=（18-12-I）x+（12-8-0.8）X（20-x）=1.8x+64,:公 司 六 月 份 投 入 总 成 本（原 料 总 成 本+生 产 提 成 总 额）不 超 过 239万 元,(12+1)x+(8+0.8)X(20-x)W239,解 得,xW15,=1.8,.w随 着 x 的 增 大 而 增 大，.当 x=15时，w 取 得 最 大 值，此 时 卬=91,20-x=15,答：当 安 排 生 产 甲 种 产 品 15万 只、乙 种 产 品 5 万 只 时，可 使 该 月 公 司 所 获 利 润 最 大，最 大 利 润 是 91万 元.【变 式 4.2（2020滨 湖 区 一 模）一 方 有 难，八 方 支 援.己 知 甲、乙 两 地 急 需 一 批 物 资，其 中 甲 地 需 要 240吨，乙 地 需 要 260吨.4、8 两 城 市 通 过 募 捐，很 快 筹 集 齐 了 这 种 物 资，其 中 A 城 市 筹 到 物 资 200吨，8 城 市 筹 到 物 资 300吨.已 知 从 A、B 两 城 市 将 每 吨 物 资 分 别 运 往 甲、乙 两 地 所 需 运 费 成 本（单 位：元/吨）如 表 所 示.问：怎 样 调 运 可 使 总 运 费 最 少？最 少 运 费 为 多 少 元？目 的 地 出 发 地 甲 地 乙 地 A 城 市 400 500B 城 市 300 480【分 析】设 4 城 市 运 往 甲 地 x 吨 物 资（0WxW200）,总 运 费 为 W 元，则 由 题 目 提 供 的 信 息 可 得 W 与 x的 一 次 函 数 关 系 式，利 用 一 次 函 数 的 增 减 性 即 可 得 到 怎 样 调 运 可 使 总 运 费 最 少 以 及 最 少 运 费 为 多 少 元.【解 答】解：设 A 城 市 运 往 甲 地 x 吨 物 资（0 0,随 着 x 的 增 大 而 增 大.，x=0 时，W 取 得 最 小 值 为 200800（元）.答：A 城 市 运 往 乙 地 200吨 物 资，8 城 市 运 往 甲 地 240吨 物 资，8 城 市 运 往 乙 地 60吨 物 资，运 费 最 少 为 200800 元.【变 式 4.3（2020鼓 楼 区 一 模）某 工 厂 生 产 A、B、C 三 种 产 品，这 三 种 产 品 的 生 产 数 量 均 为 x 件.它 们 的 单 件 成 本 和 固 定 成 本 如 表：产 品 单 件 成 本（元/件）固 定 成 本（元）A 0.1 1100B 0.8 aC h(/?0)200（注：总 成 本=单 件 成 本 X 生 产 数 量+固 定 成 本）（1）若 产 品 A 的 总 成 本 为 刻，则 用 关 于 x 的 函 数 表 达 式 为 v=0.Lr+1100.（2）当 x=1000时，产 品 A、8 的 总 成 本 相 同.求 a；当 xW2000时，产 品 C 的 总 成 本 最 低，求 力 的 取 值 范 围.【分 析】（1）根 据“总 成 本=单 件 成 本 X 生 产 数 量+固 定 成 本”即 可 得 出 产 品 A 的 总 成 本 为 印，则 明 关 于 x 的 函 数 表 达 式；（2）根 据 题 意 列 方 程 解 答 即 可；取 工=2000时 一，即 可 得 出 的 取 值 范 围.【解 答】解：（1）根 据 题 意 得：y=0.1x+1100；故 答 案 为：y=0.1x+1100.（2）由 题 意 得 0.8X 1000+a=0.1 X 1000+1100,解 得 a=400；当 x=2000 时，且 ycWys，即 20006+200W2000X0.8+400；20（X）/?+2002000X 0.1+1100,解 得：0bW0.55.【考 点 5 一 次 函 数 与 规 律 变 化 及 材 料 阅 读 题【例 5】（2020射 阳 县 二 模）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 xO y中，直 线/：y=x+2交 y 轴 于 点 4,点 42，加，4 在 直 线/上，点 B i，用，B”在 x 轴 的 正 半 轴 上，若 O 4 B i，A2B1&，438283 1“，期 依 次 均 为 等 腰 直 角 三 角 形，则 点 A”的 坐 标 是（2-2,2）.【分 析】根 据 题 意 分 别 求 出 4(0,2),A2(2,4),Si(2,0),历(6,0),加(6,8),&(14,0),4(1 4,1 6),，进 而 得 出 规 律，即 可 求 解.【解 答】解：y=x+2交 y 轴 于 点 A,.,.Ai(0,2),.4 0 8 1 是 等 腰 直 角 三 角 形，：.B(2,0),.若 A1OB”AA2B1B2,A3B2B3,均 为 等 腰 直 角 三 角 形，.A 2(2,4),历(6,0),加(6,8),明(14,0),4(14,1 6),：.An(2-2,2),故 答 案 为（2-2,2）.【变 式 5-1（2020张 家 港 市 校 级 模 拟）已 知 直 线 小 y=（4-1）x+%+1和 直 线 勿 y=k x+k+2,其 中 为不 小 于 2 的 自 然 数.当 攵=2,3,4,2019时，设 直 线 八、/2与 x 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 分 别 为 S2,40362019-S3,S4,2019，则 52+S3+S4+S2019=【分 析】利 用 一 次 函 数 图 象 上 点 的 坐 标 特 征 可 求 出 两 直 线 与 X 轴 的 交 点 坐 标，进 而 可 得 出 两 点 间 的 距 离,联 立 两 直 线 解 析 式 成 方 程 组，通 过 解 方 程 组 可 求 出 两 直 线 的 交 点 坐 标.即 可 得 出 直 线/1、/2与 X 轴 围 成 1 9 9的 三 角 形 的 面 积 8=白*26/=仁 曰-怖，分 别 代 入=2、3、4、2019求 出 52、S3、S4、S2019Z KL K值，将 其 相 加 即 可 得 出 结 论.【解 答】解：当 尸=0 时，有（A-1）x+k+=o,7解 得：x=-1”1，直 线/1与 x 轴 的 交 点 坐 标 为（-1-高，0），同 理，可 得 出：直 线/2与 X 轴 的 交 点 坐 标 为（-1-最 0），.两 直 线 与*轴 交 点 间 的 距 离 4-i-J-（-1-A-）=A-p联 立 直 线 八、/2成 方 程 组，得：?=:?曹 上+1，解 得：忱;.直 线“、/2的 交 点 坐 标 为（-1，2）.直 线/|/2与 X 轴 围 成 的 三 角 形 的 面 积 Sk=X2d=d=一 当 乙 K X K9 9当&=2 时,52若 一,9 7当 出=3 时,S 3=-9 7当 2=4 时,S4=1S2019=2 22018 2019)2 2 2 2 2 2 2 2S2+S3+S4+52019=1-2+2-3+3-4+，*+2018 20192 22019_ 4036=2019,故 答 案 为:40362019【变 式 5-2（2020新 北 区 一 模）定 义：在 平 面 直 角 坐 标 系 中，对 于 任 意 P（xi，yi）,Q（也，”），若 点 M（x,y）满 足 尤=3（X1+X2）,y=3（yi+”），则 称 点 M 是 点 P,。的“美 妙 点”.例 如：点 尸（1,2）,Q(-2,1),当 点 M(x,y)满 足 x=3X(1-2)=-3,y=3X(2+1)=9 时，则 点 M C-3,9)是 点 P，。的“美 妙 点”.(1)已 知 点 A(-1,3),B(3,3),C(2,-2),请 说 明 其 中 一 点 是 另 外 两 点 的“美 妙 点”；如 图，已 知 点。是 直 线 产 上+2上 的 一 点.点 E(3,0),点、M(x,y)是 点。、E 的“美 妙 点 求 y 与 x 的 函 数 关 系 式；若 直 线。M 与 x 轴 相 交 于 点 凡 当 为 直 角 三 角 形 时，求 点。的 坐 标.【分 析】(1)由 3X(-1+2)=3,3X(3-2)=3,故 点 B 是 A、C 的“美 妙 点”；1 1(2)设 点。(?，-m+2),M 是 点、E 的“美 妙 点”，则 x=3(3+m)=9+3，y=3(0+扣+2)=777+6,即 可 求 解;分/M E b 为 直 角、N M F E 是 直 角、N E M/是 直 角 三 种 情 况，分 别 求 解 即 可.【解 答】解：(1)V3X(-1+2)=3,3X(3-2)=3,点 3 是 A、C 的“美 妙 点”；1(2)设 点 D(7,-m+2),3 A M 是 点。、E 的“美 妙 点”.*x=3(3+/%)=9+3/,y=3(0+可/几+2)=z+6,故 m才-3,1 1.y=(x-3)+6=亍 r+3；”3 3 山 得，点 M(9+3m,?+6),如 图 1,当 N M E F 为 直 角 时，则 点 M(3,4),9+3/w=3,解 得：m=-2；4，点。(-2,-)；39-2，点。（-49,-1）；2 2当 N E M 尸 是 直 角 时，闩 阳 向 俎 占 n（141-72761 99 2761 141+72761 9 9 7 2 7 6 1问 理 可 得：点 O（-40-，一 石 一）或（-40-1 W-）-L 上 n/C 4、T,9 l、_p,141-V2761 99 2761、141+72761 99一.2 7 6 1、综 上，点。（-2,二）或（一 弓，-）或（-市-，-）或（-，-）.3 2 2 40 40 40 40【变 式 5-3（2020徐 州 一 模）【阅 读 理 解】定 义：在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 果 点 P 到 直 线=区+6（b WO）的 距 离 与 它 到 x 轴、y 轴 的 距 离 都 相 等,那 么 称 点 P 为 直 线 y=kx+b的“稳 定 点【解 决 问 题】（1）到 x 轴、y轴 的 距 离 相 等 的 点 一 定 在 直 线 丫=*或 丫=-心 上;（2）在 下 图 中 作 出 直 线 y=4%+4,并 求 出 该 直 线 所 有“稳 定 点”的 坐 标；【分 析 归 纳】（3）当 A=0 时，直 线 尸 履+匕 的“稳 定 点”P 的 坐 标 为 _（黑 打）或（一 拉 1b）_；（4）当 上 7 0 时，直 线 y=H+6 的 所 有“稳 定 点”的 横 坐 标 之 间 存 在 何 种 数 量 关 系，请 画 图 直 接 说 明,无 需 证 明.y.5-4-3-2-432321 1 t l i i i i I，1 i i,1 1 1 t l I，i i.-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5 x-5*4-3-2-1。1 2 3 4 5 x-5 4-3-2-1。1 2 3 4 5 x-4-5备 用 图-4-5备 用 图【分 析】（1）根 据-、三 象 限 角 或 二、四 象 限 角 的 平 分 线 上 的 点 到 到 x 轴、y 轴 的 距 离 相 等，进 行 解 答 便 可；（2）作 出 直 线 y=：x+4,根 据 角 平 分 线 的 性 质 作 出/胡。以 及 它 的 补 角 的 角 平 分 线 直 线 与 直 线），=x和 y=-x 的 交 点 就 是 直 线 y=9+4 匕 的 稳 定 点；（3）当&=0 时-，直 线 y=x+6与 直 线 y=x的 交 点，据 此 解 答 便 可；（4）作 出 图 象，根 据 图 象 即 可 得 到 结 论.【解 答】解：（1）根 据 题 意 得，到 x 轴、y 轴 的 距 离 相 等 的 点 一 定 在 直 线 直 线 y=x 或 直 线 y=-x 上，故 答 案 为 y=x 或 y=-x；（2）如 图 1,作 出 N B A。的 角 平 分 线 A C,交 y 轴 于 点 C.4y=gX+43 4 5 x4由 直 线 y=W%+4可 知，A 3,0),B(0,4),：.0A=3f 08=4,：.AB=5,设 C(0,),1 1 1 al 1 1 OA 7zAB9n=T Z OA OB,即 一 x 3 n+x 5 n=-x 3 x 4,2 2 2 2 2 2解 得 n=I，3：.C（0,-）,2设 直 线 A C为 产 h+9 代 入 A（-3,0）,即 可 求 得 上 宏 直 线 A C的 解 析 式 为 y=|x+|；再 作 出 NBA。的 补 角 的 角 平 分 线，同 样 可 求 第 二 条 角 平 分 线 所 在 直 线 的 解 析 式 为 y=-故 联 立 组 成 方 程 组 卜=9+9、9+9、厂 了-6、忧 二 芸-6.（.y=x ly=-x U x ty-x解 得“稳 定 点”的 Pi（3,3）,P 2（-1，1），P 3（-2,-2）,P 4（-6,6）；2x-6.（3）当=0 时，直 线 为 y=b,如 图 2,由 题 意 可 知 8 P为、=*+4解 y=-x+bR l D 得 出“稳 定 点”P 点 的 坐 标 为（与，坊）或（与，坊）,1 1 1 1故 答 案 为（2从）b）或（2从 2）;(4)如 图 3,记 四 个 稳 定 点 的 横 坐 标 分 别 为、Xp2、Xp3、Xp4，则 4 1+Xp4=Xp2+43或 孙 1-Xp3+Xp2-Xp4=0.【考 点 6】一 次 函 数 与 几 何 综 合 压 轴 问 题【例 6】（2020泰 兴 市 一 模）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 中，直 线 y=-x+6分 别 与 x、y轴 交 于 4、8 两 点,将 直 线 AB 沿 着 y轴 翻 折，交 x 轴 负 半 轴 于 点 C.（1）求 直 线 BC 的 函 数 关 系 式；（2）点 尸（0,力 在 y 轴 负 半 轴 上，。为 线 段 8 c 上 一 动 点（不 与 8、C 重 合）.连 接 孙、PQ,P Q=PA.若 点 Q 为 B C 中 点，求 f的 值；用 t的 代 数 式 表 示 点 Q 的 坐 标 和 直 线 P Q 的 函 数 关 系 式；【分 析】（1）求 出 A,B,C 坐 标，用 待 定 系 数 法 求 直 线 8 c 的 函 数 关 系 式.（2）利 用 中 点 坐 标 公 式 求 出。的 坐 标，再 根 据 以=?。求 心 利 用 两 点 之 间 的 距 离 公 式 求 Q 的 坐 标，再 求 直 线 P Q 的 函 数 关 系 式.将“用 f表 示，再 利 用 函 数 性 质 求 的 范 围.【解 答】解（1）在 y-x+6中，当 x0 时，y=6,当 y=0 时，x=6,A(6,0),B(0,6).点 A,。关 于 y 轴 对 称，AC(-6,0).设 直 线 8 c 的 函 数 关 系 式 为：y=kx+b,代 入 8(0,6),C(-6,0)得：(6=b(0=-6k+b解 得：普=:3=6.直 线 B C的 函 数 关 系 式 为:y=x+6.(2)I。是 8 C的 中 点，6+0 0+6/.Q(-,即 0(-3,3).U：PQ=PA：.(0+3)2+(r-3)2=(0-6)2+?.：.t=-3.设 Q(a,4+6),*：R=PQ./.62+?=tz2+(a+6-r)2.，或 a=-6(舍 去).：.Q C,f+6).设 直 线 P。的 函 数 关 系 式 为：y=H+瓦 则+b解 得：/V.=t二 直 线 P Q的 函 数 表 达 式 为：)=1+f.,：M,N 在 直 线 P。上，n 8=x 2m+tn=y(f 3+2t2 2m)+t消 去 得：=3於+7/+4.Q 在 线 段 BC上，且 不 与 b C重 合-6r0,抛 物 线 开 口 向 上.，当 u(时，n 取 得 最 小 值 七.当 f=-6 时，”=3X36-7X6+4=70.当 r=0时，=4.；.”的 取 值 范 围 是：i n70.【变 式 6-1(2020淮 阴 区 二 模)已 知，A(0,8),B(4,0),直 线 y=-x沿 x 轴 作 平 移 运 动，平 移 时 交 0 A 于 点。，交 0 8 于 点 C.(1)如 图 1.当 直 线 y=-x从 点 O 出 发 以 1单 位 长 度/s的 速 度 匀 速 沿 x 轴 正 方 向 平 移，平 移 到 达 点 8时 结 束 运 动，过 点。作 OE_Ly轴 交 AB 于 点 E,连 接 CE,设 运 动 时 间 为 f(s).是 否 存 在 t值，使 得 CDE是 以 C D 为 腰 的 等 腰 三 角 形？如 果 能，请 直 接 写 出 相 应 的/值：如 果 不 能，请 说 明 理 由；如 图 2,将 CDE沿 Q E 翻 折 后 得 到 尸。E,设 EOF与 AOE重 叠 部 分 的 面 积 为 S.求 S 与 f的 函 数 表 达 式；(2)如 图 3,若 点 M 是 A B 的 中 点，将 M C 绕 点 例 顺 时 针 旋 转 90得 到 M N,连 接 A N,请 直 接 写 出 A N+M N 的 最 小 值.【分 析】(1)求 出 A 8 直 线 解 析 式，设 出 移 动 后 的 直 线 y=-x+f,当 CZ)=CE时，当 C D=D E 时 分 别 求 出 f的 值；0W忘 2 时，S=SAEFD=-尸+4r；当 2 忘 4 时，。尸 所 在 直 线 解 析 式 为 y=x+t,得 到。尸 作 GP DPGPA.DE,F Q V D E,得 到=,即 可 求 解；(2)如 图 3 中，把 AMN绕 点 M 逆 时 针 旋 转 90,得 到?1 M C,作