备战2023年上海高考黄金30题系列之数学选择题压轴题专题2 数列（含详解）.pdf

专 题 2 数 列 1.（2022上 海 市 松 江 二 中 高 三 开 学 考 试）阿 基 米 德 螺 线 广 泛 存 在 于 自 然 界 中，具 有 重 要 作 用，如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 xQ y中，螺 线 与 坐 标 轴 依 次 交 于 点 A（T O）,4（0,-2）,4（3,0）,4（。，4）,人（一 5,0）4（0,-6）、4（7,0）,4（0,8）,并 按 这 样 的 规 律 继 续 下 去，给 出 下 列 两 个 结 论：存 在 正 整 数”,4 4川 4.2 的 面 积 为 2022；对 于 任 意 正 整 数”,A4 4 MA“+2为 锐 角 三 角 形.则（）A.错 误，错 误 C.错 误，正 确 B.正 确，错 误 D.正 确，正 确）22.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）记 椭 圆 3+谭 匕=1围 成 的 区 域（含 边 界）为。“（=1,2,）,当 点（x,y）分 别 在 2，%,.上 时 x+y 的 最 大 值 分 别 是 M,%,.,则 吧=（）A.2C.3B.4D.2723.（2022上 海,高 三 专 题 练 习）记 S.为 数 列）的 前 项 和，已 知 点（,）在 直 线），=10-2%上,若 有 且 只 有 两 个 正 整 数 n 满 足 S“2%,则 实 数 k 的 取 值 范 围 是（）A.(8,14J B.(14,网 C.(18,201Q 1D.4.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 等 比 数 列%的 公 比 为 4（4*0）,则 关 于 x、V的 二 元 一 次 方 程 组 a.x+a,y=4力 的 解，下 列 说 法 中 正 确 的 是（）a2x+a4y=-3A.对 任 意 q e R（gwO）,方 程 组 都 有 无 穷 多 组 解 B.对 任 意“e R（qwO）,方 程 组 都 无 解 3C.当 且 仅 当 9=-二 时，方 程 组 无 解 43D.当 且 仅 当 夕=-二 时，方 程 组 有 无 穷 多 组 解 5.（2022上 海 市 复 兴 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习）设 函 数/）=/,启 x）=2（x-x 2）（x）=g|sin 2;rx|,a；=击,i=0,1,2,99,记 4=1/（4）-（四）I+，（%）-力（4）1+|&9）一 启）1，1=1 2 3则（）A./1 V，2，3 B.，2/|，3 C.，1，3，2 D.，3，2，16.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设%是 以 2为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列，勿 是 1为 首 项，2为 公 比 的 等 比 数 列，记=%+%+-+%，则 M“中 不 超 过 2009的 项 的 个 数 为（）A.8 B.9 C.10 D.117.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列%，也 的 通 项 公 式 分 别 为%=（-1广 2 2。，2=2+3 一，且 对 任 意 w N 恒 成 立，则 实 数。的 取 值 范 围 为（）nA.B.T）C.D.8.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列 为 满 足 q=T，且 4=可 一+（-2）之 2）,若 使 不 等 式 切 区 2 成 立 的 4 有 且 只 有 三 项，则 2 的 取 值 范 围 为-13 35 A 13 35 35 61、,35 61一 L 3 3 J（3 3 L 3 3；1 3 3 U,1 uu9.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 配 了 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，向 量 满 足：e y,=，之=2+1,2 是 向 量：与 乙 夹 角 的 正 切 值，则 数 列 出 是.A.单 调 递 增 数 列 且 B.单 调 递 减 数 列 且 lim 2=:8 2 8 2C.单 调 递 增 数 列 且 lim=2 D.单 调 递 减 数 列 且 1如=210.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列 4 的 每 一 项 都 是 数 列 a,中 的 项，则 称 也 是 a,的 子 数 歹 ij.已 知 两 个 无 穷 数 列 4、4 的 各 项 均 为 正 数，其 中”“=丁 三，他,是 各 项 和 为 3 的 等 比 数 列，且 4 是 应 的 子 数 列，则 满 足 条 件 的 数 列 也 的 个 数 为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无 穷 多 个 11.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列 满 足：对 任 意 的 6 N*,只 有 有 限 个 正 整 数，使 得 am V”成 立,记 这 样 的 机 的 个 数 为（加）*,则 得 到 一 个 新 数 列 Can）*.例 如，若 数 列 是 1,2,3,.n,则 数 列 Can）*是 0,1,2,-1,.已 知 对 任 意 的 GN*,an=n2f 贝 lj(w)*)*=A.8 B.20 C.32 D.16f（l 3a）n+10。,n 6 若 4 是 递 减 数 歹 U,则 实 数 的 取 值 范 围 是（）13.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 等 比 数 列 为 的 公 比 为 g,则 关 于 x,y的 二 元 一 次 方 程 组 a,x+a-,y=2,的 解 的 情 况 下 列 说 法 正 确 的 是（）a2x+aAy=A.对 任 意 g e R（gwO）,方 程 组 都 有 唯 一 解 B.对 任 意 g e R（gwO）,方 程 组 都 无 解 C.当 且 仅 当 q=g 时，方 程 组 有 无 穷 多 解 D.当 且 仅 当 q 时，方 程 组 无 解 14.（2022上 海 市 奉 贤 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 数 列 4 满 足：4 e N*,n+I=j n.（a“表 示 不 超 过“的 最 大 整 数）.设 当 确 定 q=&（e N）时 得 到/可 能 的 值 的 个 数 记 为/；,仅），下 列 四 个 命 题:力（展 1）=1 若 丘 N*且 二 e N，以。）=力 伊）若 此 M,则 力 仕）=2公+2%+1%2=1+以 2）+力+&+力.正 确 的 命 题 个 数 是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 15.（2022上 海 奉 贤 区 致 远 高 级 中 学 高 三 开 学 考 试）数 列 4 的 前”项 和 为 S,=，且 对 任 意 的 都 有 向=2+1,则 下 列 三 个 命 题 中，所 有 真 命 题 的 序 号 是（）存 在 实 数 机，使 得 4 为 等 差 数 列；存 在 实 数 机，使 得%为 等 比 数 列；若 存 在 h N*,使 得 S*=S*,=5 5,则 实 数 加 唯 一.A.B.C.D.16.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列,“满 足 q=g,ae=%+亨（e N*）,则 下 列 选 项 正 确 的 是（）2021,A.“2021%0 2 0 B 4043 42021 1C*0/021 117.(2022 上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 a,b e R,a 8 0,函 数/()=加+人(刀 口.若/(s r)J(s)J(s+f)成 等 比 数 列，则 平 面 上 点(s j)的 轨 迹 是()A.直 线 和 圆 B.直 线 和 椭 圆 C.直 线 和 双 曲 线 D.直 线 和 抛 物 线 18.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 递 增 正 整 数 数 列 4 满 足 4”=：”(e N),则 下 列 结 论 中 正 确 的 有()(1)囚、的、的 可 能 成 等 差 数 列；(2)4、%可 能 成 等 比 数 列；(3)。“中 任 意 三 项 不 可 能 成 等 比 数 列；(4)当 2 3时，a,.4+丹 恒 成 立.A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 19.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数/(x)=s i n x,各 项 均 不 相 等 的 数 列 q 满 足 同 0;若%是 等 差 数 列，且 4+生+4产，贝 UG(”)0 对“eN恒 成 立.关 于 上 述 两 个 命 题，以 下 说 法 正 确 的 是()A.均 正 确 B.均 错 误 C.对 错 D.错 对 20.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)如 果 数 列 同 时 满 足 以 下 四 个 条 件:(1)w,-eZ(i=1,2,10)；1 1(2)点(“5,2”,)在 函 数 y=4 的 图 像 上；(3)向 量“=(1必)与 8=(3必。)互 相 平 行；(4)“川-%与 一 的 等 差 中 项 为：(i=L2,9)；那 么，这 样 的 数 列 叫,，即)的 个 数 为()w/+i-ui 2A.78 B.80 C.82 D.9021.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 无 穷 数 列%满 足 勺+2=同+4,|卜 仁 2),且 卬=1,=工(x e Z),若 数 列”“的 前 2020项 中 有 100项 是 0,则 下 列 哪 个 不 能 是 的 取 值()A.1147 B.1148 C.-1142 D.-114322.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)若 数 列 4 满 足：对 任 意“e N,只 有 有 限 个 正 整 数”，使 得 4,成 立，记 这 样 的 切 的 个 数 为(q)*,则 得 到 一 有 限 的 数 列(%)*,例 如，若 数 列 q 是 1,2,3,，”,则 得 数 列 是 0,1,2,/7 1,已 知 对 任 意 的 n e N*，,则（2 O I5）=（）A.20142 B.2014 C.20152 D.201523.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）单 调 递 增 的 数 列 q 中 共 有 N 项，且 对 任 意 i,j,k（ijk nq/见，C（k）=Z q q（k=】，2,加-1）是 描 述 其 性 质 的 重 要 指 标，下 列 周 期 为 5 的 0-1m l=i序 列 中，满 足 C伙）v g（&=l,2,3,4）的 序 列 是（）A.11010.B.11011.C.10001.D.11001.26.（2022上 海,高 三 专 题 练 习）设 函 数 x）=2 x-c o s x,也 是 公 差 为 的 等 差 数 列，8/+/（）+）=5不，则/（%）了-出 生=1 2 1 2 13 2A.0 B.T C C.一 冗 D.兀 16 8 1627.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）在 平 面 直 角 坐 标 系 中，定 义（e N“）为 点 lz,+1=%+yK（x,y,）到 点 么（加，”“）的 变 换，我 们 把 它 称 为 点 变 换,已 知 6（1.0）,2（步,%），6（0%），是 经 过 点 变 换 得 到 一 组 无 穷 点 列，设 a“=EK+K+,+z，则 满 足 不 等 式 4+%+4,2020最 小 正 整 数 的 值 为（）A.9 B.10 C.11 D.1228.（2022上 海 市 实 验 学 校 高 三 开 学 考 试）已 知 数 列 玉 满 足 玉=2,翌=/2 x“-l（e N*）.给 出 以 下 两 个 命 题：命 题 P：对 任 意 都 有 命 题 4：存 在（0,1）,使 得 对任 意“,都 有 玉 4/1+1.则（）A.p 真,q 真 B.p 真，q假 C.p 假，q 真 D.p 假，q假 29.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）如 图 所 示，向 量 而 的 模 是 向 量 通 的 模 的，倍，而 与 前 的 夹 角 为 凡 那 么 我 们 称 向 量 而 经 过 一 次 G。）变 换 得 到 向 量 宽.在 直 角 坐 标 平 面 内，设 起 始 UUU/_ 1 7 jr UUUUUV向 量。4=（4,0）,向 量 0 A 经 过 t 次（子 彳）变 换 得 到 的 向 量 为 4 M（W N*,I）,其 中 4、4、为 逆 时 针 排 列,记 从 坐 标 为（4 屹）（i e N）,则 下 列 命 题 中 不 无 确 的 是（）A.a=石 B.为“一/=0（%eN*）C.%L 4 i=（ZeN*）D.8（4“-a-）+（q“-a*）=0（Z e N.）30.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设 的 三 边 长 分 别 为%也,q,的 面 积 为 S”,”=1,2,3.若 仇。，a+q=2 4，a+l=a,用=与&,明 产 与,则 A.S.为 递 减 数 列 B.，为 递 增 数 列 C.S 2“_ J为 递 增 数 列，%,为 递 减 数 列 D.S2,1 为 递 减 数 列，设 2“为 递 增 数 列专 题 2 数 列 1.（2022上 海 市 松 江 二 中 高 三 开 学 考 试）阿 基 米 德 螺 线 广 泛 存 在 于 自 然 界 中，具 有 重 要 作 用，如 图，在 平 面 直 角 坐 标 系 xQy中，螺 线 与 坐 标 轴 依 次 交 于 点 A（-1,0）,4（0,-2）,4（3,0）,4（0,4）,（-5,0）,4（0,-6）、4（7,0）,4（0,8）,并 按 这 样 的 规 律 继 续 下 去，给 出 下 列 两 个 结 论：存 在 正 整 数,的 面 积 为 2022：对 于 任 意 正 整 数,A A.A,川 A,?为 锐 角 三 角 形 则（）A.错 误，错 误 C.错 误，正 确【答 案】cB.正 确，错 误 D.正 确，正 确【解 析】【分 析】由 题 设 可 得“=5+1）2,儿 儿 出.2中 最 大 边 为 44,2且 4 4|+4+4+2 4 4+2,即 可 判 断 结 论 的 正 误.【详 解】由 题 设 知：S A H M=5(+D(2+2)=(+1广 1 w N*,而 44?=1936 20224(+1)2=4 1+8+4,所 以+|4 U A+2 l2 I A A+212.故 对 于 任 意 正 整 数,A A A M A K 为 锐 角 三 角 形，正 确.故 选：c2 22.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）记 椭 圆 上+宜 一=1围 成 的 区 域（含 边 界）为 Q,（”=1,2,）,4 4+1当 点（工。）分 别 在 5,Q?,上 时 x+y 的 最 大 值 分 别 是 M，加 2,则 照 此=（）A.2 B.4C.3 D.2/2【答 案】D【解 析】【分 析】先 根 据 椭 圆 参 数 方 程 化 简 x+y,再 根 据 辅 助 角 公 式 得 其 最 大 值，最 后 求 极 限 即 可 得 解.【详 解】椭 圆+/匚=1的 参 数 方 程 为：4 4+1)x=2cos，r 为 参 数)，所 以：x+y=2cos0+4+sin0=22+4+sin(0 4-?)=8+sin(0+,所 以：(工+丁)曲=向 三，V n所 以：lim M/l=lim j8+-=2 V 2.C C”T 8 A/故 选：D.3.(2022 上 海 高 三 专 题 练 习)记 S.为 数 列&“的 前 项 和，己 知 点(,”“)在 直 线 y=1 0-法 上,若 有 且 只 有 两 个 正 整 数“满 足 S,2%,则 实 数 k 的 取 值 范 围 是()A.(8,14 B.(14,18Q 1C.(18,20 D.(18,4【答 案】C【解 析】由 已 知 可 得 数 列%为 等 差 数 列，首 项 为 8,公 差 为-2,由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 可 得 S=-n2+9 n,由 二 次 函 数 的 性 质 可 得”=4或 5 时，S“取 得 最 大 值 为 2 0,根 据 题 意，结 合 二 次 函 数 的 图 象 与 性 质 即 可 求 得 k 的 取 值 范 围.【详 解】解：由 已 知 可 得。“=1 0-2，由 a“-a,i=-2,所 以 数 列%为 等 差 数 列，首 项 为 8,公 差 为-2,所 以 S“=8+x(-2)=-n2+9，当=4或 5 时，5“取 得 最 大 值 为 20,因 为 有 且 只 有 两 个 正 整 数 n 满 足 S“*k,所 以 满 足 条 件 的=4和=5,因 为 S 3=%=1 8,所 以 实 数 k 的 取 值 范 围 是（18,2（）.故 选：C.【点 睛】方 法 点 睛：最 值 范 围 问 题 常 用 的 方 法 有：（1）函 数 单 调 性 法；（2）数 形 结 合 法；（3）导 数 法;（4）基 本 不 等 式 法.要 根 据 己 知 灵 活 选 择 合 适 的 方 法 求 解.4.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 等 比 数 列 4 的 公 比 为 9（4力 0）,则 关 于 工、），的 二 元 一 次 a,x+a,y=4方 程 组 的 解，下 列 说 法 中 正 确 的 是（）OjX+a4y=-3A.对 任 意 方 程 组 都 有 无 穷 多 组 解 B.对 任 意 q e R（qRO）,方 程 组 都 无 解 C.当 且 仅 当 q=时，方 程 组 无 解 4D.当 且 仅 当 q=时，方 程 组 有 无 穷 多 组 解 4【答 案】D【解 析】首 先 解 方 程 组 消 去 y 得：（的 4-x=%+3%,根 据 等 比 数 列 的 性 质 得 到 4%-毋 3=（），从 而 得 到 答 案.【详 解】解 方 程 组 qx+q3y=4a2x+a4y-3,消 去 y 得：（4 4-6%）犬=4%+3a3,因 为,为 等 比 数 列，所 以 年 4=。必，即 4 4-2 4=。.3所 以 当 4。4+3%=0时，即 q 时，方 程 组 有 无 穷 多 解.4故 选：D【点 睛】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 的 性 质，属 于 中 档 题.5.（2022上 海 市 复 兴 高 级 中 学 高 三 阶 段 练 习）设 函 数 工*）=/,/j（x）=2（x-x 2）/（x）=g|sin2%x|,%=或，i=0,l,2,99,记/*=（4）-/（旬）|+1（%）-（）1+1力（外）一 力（为 8）1，左=1,2,3贝！（)A./1/2 I3 B./,/（/3 C./,A D.h f2 0,工（见）-工（q）o,，Z（aw）-Z（98）0，人=|f（q）-I/；（%）|+1/（七）-工（q）|+1 f（阳）-工（阳）|/（al）-/（a0）+/；（a2）-/（al）+-+/（99）-/；（u98）=y；（aw）-/；（a（）=（）2-0=1V 人。）=2 k 一 巧 在 0,热 上 单 调 递 增，在 母 1 单 调 递 减；/（%）-加）0，力（。4 9）一 人（。4 8），力（。5 0）-（。4 9）=，力（）-力（50）。，,力（出 9）一 左（出 8）。:，2 N 人（4）一 人（。0）1+1 人（2）一 人（1）1H+1 6（9 9）一 人（98）=f l（49）一 人（%）-，（99）一 人（。50）=2于 2（%）-人（4）-力（%）/50 八 50、9800=4x x（l-）=-（2sm-sin）=（-）=-13 12 12 3 4 4 4因 此 人 人 八.故 选：B.【点 睛】本 题 考 查 数 列 求 和，涉 及 正 弦 型 三 角 函 数 的 单 调 性，属 综 合 中 档 题.6.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）设,是 以 2为 首 项，1为 公 差 的 等 差 数 列，也 是 1为 首 项，2为 公 比 的 等 比 数 列，记+%+%,贝 4 M“中 不 超 过 2009的 项 的 个 数 为（）A.8 B.9 C.10 D.11【答 案】C【解 析】【分 析】求 出 数 列 q、,的 通 项 公 式，可 得 出 数 列%的 通 项 公 式，利 用 分 组 求 和 法 可 求 得 用“，找 出 使 得 不 等 式 加“4 2009成 立 的 最 大 正 整 数”的 值，进 而 可 得 出 结 论.【详 解】由 题 意 可 得 4=2+(l)x l=+l,b=lx2-=2n-,所 以，=+1=2T+1,i _ 2 则 Mn=4+,+%=(2 4-21 H-F 2 一,)+=-F=2 十 一 1,1 2所 以，数 列 M,单 调 递 增，因 为 陷。=21+9=1033,=2+1 0=2 0 5 8,则%。2009%,则 使 得 不 等 式 2009成 立 的 最 大 正 整 数 的 值 为 10.因 此，数 列 M,中 不 超 过 2009的 项 的 个 数 为 10.故 选：C.【点 睛】本 题 考 查 数 列 不 等 式 的 求 解，考 查 了 数 列 单 调 性 的 应 用 以 及 分 组 求 和 法，考 查 计 算 能 力，属 于 中 等 题.7.(2022 上 海 高 三 专 题 练 习)若 数 列 q,包 的 通 项 公 式 分 别 为 q,=(-I)20?%,/+20192=2+口 一，且 4 么 对 任 意 恒 成 立，则 实 数。的 取 值 范 围 为()nA.-2 J)B.-2,1 j C.f g)D.-1,1)【答 案】B【解 析】【分 析】由 4,bn可 得(-i f。+5 2,分 别 讨 论 n 为 奇 数 和 n 为 偶 数 的 情 况，即 可 求 解.【详 解】因 为 4 2,则(-1)，+202 a 2+(fi,即(T V+j 2,因 为 对 任 意 n e N,恒 成 立,当 为 奇 数 时 一：，则 1 2-工-2；当 为 偶 数 时,2,则 卜-口=2-；=：,所 以”匕 nnmin 2 Z 2故 选:B【点 睛】本 题 考 查 由 数 列 的 不 等 式 恒 成 立 问 题 求 参 数 范 围，考 查 分 类 讨 论 思 想.8.(2022上 海 高 三 专 题 练 习)若 数 列%满 足 q=-；,且 4,=a,i+(-2)”(N2),若 使 不 等 式 以 14/I成 立 的 有 且 只 有 三 项，则 2 的 取 值 范 围 为 A.13 35T TB.13 35T TC.35 61T,TD.35 61石 T【答 案】A【解 析】【分 析】利 用 累 和 法 求 出 数 列 4“的 通 项 公 式，再 分 类 讨 论，根 据 数 列 的 单 调 性 和 绝 对 值 的 性 质 进 行 求 解 即 可.【详 解】当 九 2 2 时,4t=(%)+an_2)+(an_2-an_3)+(-4)+%,_二 曰 右 _ 4-f-4-4-L f-O2 1(-2)2 1-(-2 严 1于 是 有：-2)4-(-2)+(-2)+(-2)+(-)=-,3 1(2)3所 以 4=1-?-2)向，显 然 也 适 合，因 此 数 列,的 通 项 公 式 为：q=1-：(-2严.当 为 奇 数 时，严=1-*2 向=*2 e-1,此 时 数 列%的 奇 数 项 数 列 是 单 调 递 增 函 数；当 为 偶 数 时，同=1-?-2 严=1+/2 向=*2 e+1,此 时 数 列 俎 的 偶 数 项 数 列 是 单 调 递 增 函 数，要 想 使 不 等 式 V 几 成 立 的 应 有 且 只 有 三 项，只 需 有:1、-22-l-3 31 Q-23+l 2 21 352 3 3=4444A-:J-J选 Q44a、口 口 Um故【点 睛】本 题 考 查 了 数 列 累 和 法 的 应 用，考 查 了 数 列 的 单 调 性，考 查 了 等 比 数 列 前 项 和 公 式 的 应 用,考 查 了 数 学 运 算 能 力 和 分 析 能 力.9.(2022 上 海 高 三 专 题 练 习)已 知 人 是 互 相 垂 直 的 单 位 向 量，向 量 1 满 足：=2 7=2+1,2 是 向 量 I 与 7 夹 角 的 正 切 值，则 数 列 出 是.A.单 调 递 增 数 列 且 B.单 调 递 减 数 列 且 出 端,=：C.单 调 递 增 数 列 且:%2=2 D.单 调 递 减 数 列 且 则=2【答 案】A【解 析】【分 析】设 了=(1,0),=(0,1),屋=(怎,%),设 向 量 与 工 夹 角 为 4,则 可 求 当，K，则 可 得 到=tan 4=&=,从 而 得 到 答 案.xn 2n+1【详 解】设 了=（1,0）,=（0,1）,而=Z=（x”,y”），设 向 量 与 初 夹 角 为 久.则 6“=tanQ,P（x,y）1 uu由 可 得 y=，u uu由/4,=2+l,可 得 Z=2+l所 以 6“=tan2=&xn 2+1,+l n 1 八 所 以 以 bEn.,-b“n=-2（；-+-1；）-+-2-/-7-+-1=-（2-n-+-3）-（-2-n-+-l）r 0所 以 数 列 2 是 单 调 递 增 数 列，又!吧=!吧 5 缶=故 选：A【点 睛】本 题 考 查 向 量 的 数 量 积 的 坐 标 表 示 和 运 算 和 数 列 极 限，关 键 是 根 据 直 条 件 将 所 求 问 题 坐 标 化,属 于 中 档 题.10.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列 也 的 每 一 项 都 是 数 列%中 的 项,则 称 也 是 为 的 子 数 歹 U.已 知 两 个 无 穷 数 列%、色 的 各 项 均 为 正 数，其 中 可=一；,也 是 各 项 和 为 3 的 等 比 数 列，且 圾 是,的 子 数 列，则 满 足 条 件 的 数 列 帆 的 个 数 为 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.无 穷 多 个【答 案】C【解 析】【分 析】根 据 数 列 也 的 每 一 项 都 是 数 列 an 中 的 项，其 中 册=诉，设=去 石（k,kEN+）,1 3 1 3公 比 g=（?0）,则 24二 不 一 r r=；（%，eN+）对 任 意 的 N+都 成 立，得 到 m 2K+1 m 2p+lb 1 3m 是 正 奇 数，又 S 存 在，则 然 后 根 据 5=-=彳，结 合 二 丁:对 刀 进 行 讨 论 分 析.【详 解】3 1设 4=37；7（%N1，%N+），公 比 4=一（加 0）,24+1 m对 任 意 的 wN+都 成 立，故 m 是 正 奇 数，又 5 存 在，所 以 机 1.1 3 3机=3 时，5=-,此 时=A，即 2=T，成 立.2 9 31 9当=5时，S=,此 时 伉=,7（不 是 数 列 4 中 的 项，故 不 成 立.1 3 3机=7 时，S=-,此 时 仇=于=,成 立.力 当 机 2 9 时，由 一=延=；,m 9-q,2m3又 因 为 ZE N+,所 以 k=1,2,此 时 a=1 或 丁 分 别 代 入 S=3=:，得 到 0 不 合 题 意，-q 2由 此 满 足 条 件 的 数 列 只 有 两 个，即=尸 3，或 力 3故 选：C.【点 睛】本 题 主 要 考 查 数 列 的 新 定 义 及 无 穷 等 比 数 列 各 项 和 的 应 用，还 考 查 了 特 殊 与 的 思 想 和 推 理 论 证 的 能 力，属 于 中 档 题.11.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）若 数 列 的 满 足：对 任 意 的 C M,只 有 有 限 个 正 整 数 机 使 得 小”成 立，记 这 样 的，的 个 数 为（加）*,则 得 到 一 个 新 数 列（an）*.例 如,若 数 列“是 1,2,3,.n,则 数 列（.an）*是 0,1,2,1,.已 知 对 任 意 的 wGN*,an=n2,贝!（a）*）*=A.8 B.20 C.32 D.16【答 案】D【解 析】对 任 意 的 wN*,4=a?,则(q)*=O,(七)*=(6)*=(%)*=1,(%)*=.=(%)*=2,可 得(4)*=1,(%)=4,即 可 得 出.【详 解】解：对 任 意 的 a”=n2,则(q)*=0，(a?)=(4)*=(4)*=1，(%)*=(%)=2,(io)4=.=(a16)*=3,(!),)*=1,(%)=4,(%)*)=9,则(4)=4?=16.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 了 递 推 关 系 的 应 用、新 定 义，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力，属 于 中 档 题.12.（2022 上 海 高 三 专 题 练 习）a=（l-37）/?+10a,6（e N）,若 4 是 递 减 数 歹！I,则 实 数。的 取 值 范 围 是（）【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 凡 是 递 减 数 列，结 合 分 段 函 数 的 单 调 性 列 不 等 式 组，解 不 等 式 组 求 得。的 取 值 范 围.【详 解】依 题 意 数 列 4 是 递 减 数 列，且 所 以 l-3a00a=：的 解 的 情 况 下 列 说 法 正 确 的 是（）a2x+a4y=1A.对 任 意 方 程 组 都 有 唯 一 解 B.对 任 意 4氏 工。），方 程 组 都 无 解 C.当 且 仅 当 4=g 时，方 程 组 有 无 穷 多 解 D.当 且 仅 当 q=g 时，方 程 组 无 解【答 案】C【解 析】【分 析】化 简 得 到 卜+吗 片，讨 论。二 和 4 4 得 到 答 案.ax+aq y=2 2【详 解】Jqx+a3y=2 a x-ayq2y=2 a qx+a q3y=2qa2x+a4y=1 aqx-ay=aAqx+aAq3 y=故 当 4 时，方 程 组 有 无 穷 多 解；当 口 工；时，方 程 组 无 解 故 选：C【点 睛】本 题 考 查 了 方 程 组 解 的 问 题，包 含 等 比 数 列 公 式 知 识，意 在 考 查 学 生 的 综 合 应 用 能 力.14.（2022上 海 市 奉 贤 中 学 高 三 阶 段 练 习）已 知 数 列 叫 满 足：%e N*,。，+产 含（%表 示 不 超 过 死 的 最 大 整 数）.设 当 确 定 4,=k（二 e N）时 得 到 为 可 能 的 值 的 个 数 记 为 力（左）,下 列 四 个 命 题：人（同）=1 若 丘 M 且 X w N,力 M（A）=力（r）若 4 w N*,则 为 出=2公+2M+1 源 0）=1+工+#2）+力+工+人+工,.正 确 的 命 题 个 数 是（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 尤 伏）定 义，即 对=&确 定&.T的 可 能 值，利 用 归 纳 法 得 出 为 的 个 数，即 力 的 值，从 而 判 断 各 命 题.【详 解】力（755可=1,即 6=闻 T,因 此 见=2021（若 生 免 N*,则 由 e N*,因 此 生 只 能 是 整 数），所 以 4=2 0 2产，只 有 一 种 可 能，因 此 力（0 i）=l,正 确：若 自 N*且 标 e N*,以,俨）a“=k Z N*,所 以=左，反 之 若=%N*,因 此 a.e N*一 定 成 立，所 以 必 有。=公，从 而 加）=力（公）成 立，正 确；若 丘 N*,力=2公+2Z+1,对 力（氏），4=k w N*，则%=父 或%=收+1,“2+2.,公+2及，若 生=2+耳=1,2,24）,则%=/+，于 是 4=（/+毋，共 歌 种，若 4=%2，则 生=/或%=4+1，7 F+2 yjk+llc 这 里 对 应 任 何 一 种 情 况，必 有 力=%，因 此 共 有 2公+1种，所 以 力 优）=2公+1+2%,正 确:加。）=1+工（2）+人（2）+（2）+/（3）+人（3）+（3）若。“+2=1，则 a“+i=1 或 a,”=3,4用=6,若 an+l=/2,贝!a“=2,若 a+l=垂）,贝 U=3,若 4+i=l,则“=1 或 0,6，同 样 若 q=&,则=2,若 a=6，则 an_t=3,因 此+2。=以（D+工+，（3）=/（l）+Z1T+加（3）+工+（3）=,依 此 类 推,猿（1）=启 D+&+无+工+&（3）+力 又 生=1时，只 能 有 4=1,即 启 1）=1,所 以 篇 0）=1+工（2）+&+力（2）+力+3 成 立,命 题 正 确.正 确 命 题 有 4 个.故 选：D.【点 睛】本 题 考 查 数 列 新 定 义，解 题 难 点 是 确 定 数 列 的 项，方 法 是 归 纳 法（数 学 归 纳 法 的 思 想），关 键 是 数 列 的 定 义，当，任 N*时，勺”=%为 正 整 数，4 e N*时，。向=禽 可 能 为 整 数 也 可 以 不 是 整 数，这 样 才 能 正 确 4 的 取 值 确 定。,一 的 取 值，从 而 得 出 结 论，本 题 属 于 难 题.15.（2022上 海 奉 贤 区 致 远 高 级 中 学 高 三 开 学 考 试）数 列/的 前 项 和 为 致,a,=m,且 对 任 意 的“e N“都 有 向=2+1,则 下 列 三 个 命 题 中，所 有 真 命 题 的 序 号 是（）存 在 实 数 小，使 得 他,J 为 等 差 数 列；存 在 实 数 机，使 得 4 为 等 比 数 列；若 存 在 k e N*,使 得 5*=S*“=5 5,则 实 数 加 唯 一.A.B.C.D.【答 案】B【解 析】【分 析】先 求 出 q=,C,依 e N,由 此 容 易 判 断，对 于，当”为 偶 数 时，一 机+1,=2攵/邑=地 罗，当 为 奇 数 时，S,=m+（T；+2）,若 存 在 发 e M,使 得 5,=S,+l=55,则 S,=55,且 4M=0,由 此 可 分 女 为 奇 数 和 偶 数 讨 论 即 可 判 断.【详 解】解：因 为。“+可+|=2+1,所 以。，川+q+2=2+3=2/7+1贝 I M+2-4,=2,所 以 数 列%,、%-为 等 差 数 列，且 公 差 为 2,由 4+4=3,4=加 得，a2=3-m,所 以=m+n yn=2k-m+n+l,n=2k(k w N*),当 m=l 时，a=n,所 以 a“+|-a“=l 所 以 6 为 等 差 数 列，对;若 存 在 实 数 加，使 得 但,J 为 等 比 数 列，则 即，m(/n+2)=(3-/w)(m+2)=(3-/z)(5-/n)因 为 方 程 组 无 解，所 以 勺 不 可 能 为 等 比 数 列，错:当 为 偶 数 时，S“=妁 罗，当 为 奇 数 时，S,=S,T+w+l=m+（-D，+2）,若 存 在 w N”,使 得 S*=S z=5 5,所 以&=5 5,且 为+尸 0,%(%+1)-=33当 儿 为 偶 数 时，2?+攵+1 1=0解 得 机=-10*=10当&为 奇 数 时，机 十 一 2一 二 5 5,解 得 代 1,7 1 1 c Z=9-m+%+l+l=O i所 以 用 不 唯 错.故 选：B.1 216.（2022上 海 高 三 专 题 练 习）已 知 数 列“满 足 q=彳，=%+3（e N*）,则 下 列 选 3 n 项 正 确 的 是()2021 A.02021 2020 B.V a2021 V 1Jc 2021,C.0“2021 1【答 案】B【解 析】【分 析】利 用 数 列 的 单 调 性 可 判 断 A 选 项 的 正 误：利 用 放 缩 法 得 出-=i 2,n&N Y-,利 用 放 缩 法 可 判 断 BCD 选%an+l n all+l n-1 an at l n-n项 的 正 误.【详 解】1a2由 q=。，蕾 N)可 得 出=0,3 0,L,以 此 类 推 可 知，对 任 意 的 q。，所 以，-4=3 0,即。“讨。，n所 以，数 列 勺 为 单 调 递 增 数 列，故%2 1&。2。，A 错；2在 等 式。向=%+3