高中数学知识盘点选修专题.pdf

-1-选修数学知识点选修数学知识点 专题一：常用逻辑用语专题一：常用逻辑用语 1、命题：可以判断真假的语句叫命题；逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑联结词；简单命题：不含逻辑联结词的命题;复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题.常用小写的拉丁字母，表示命题.2、四种命题及其相互关系 四种命题的真假性之间的关系：、两个命题互为逆否命题互为逆否命题，它们有相同的真假性有相同的真假性；、两个命题为互逆命题或互否命题互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系真假性没有关系 3、充分条件、必要条件与充要条件、一般地，如果已知 ，那么就说：是的充分条件，是的必要条件；若 ，则是的充分必要条件，简称充要条件、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命题的条件与结论之间的关系：、从逻辑推理关系上看：若 ，则是充分条件，是的必要条件；-2-若 ,但 ，则是充分而不必要条件;若 ,但 ，则是必要而不充分条件;若 ,且 ，则是的充要条件；若 ,且 ，则是的既不充分也不必要条件.、从集合与集合之间的关系上看：已知=|满足条件，=|满足条件：若 ,则是充分条件；若 ,则是必要条件；若 A B，则是充分而不必要条件;若 B A，则是必要而不充分条件;若=，则是的充要条件；若 且 ，则是的既不充分也不必要条件.4、复合命题 复合命题有三种形式：或（）；且（）；非（）.复合命题的真假判断“或”形式复合命题的真假判断方法：一真必真一真必真；“且”形式复合命题的真假判断方法：一假必假一假必假；“非”形式复合命题的真假判断方法：真假相对真假相对.5、全称量词与存在量词 全称量词与全称命题 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题.存在量词与特称命题 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词存在量词，并用符号“”表示.含 -3-有存在量词的命题，叫做特称命题.全称命题与特称命题的符号表示及否定 全称命题：,()，它的否定：0,(0).全称命题的否定是特称命题全称命题的否定是特称命题 特称命题：0,(0),，它的否定：,().特称命题的否定是全称命题特称命题的否定是全称命题.-4-专题二：圆锥曲线与方程专题二：圆锥曲线与方程 1 1椭圆椭圆 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 22+22=1(0)22+22=1(0)第一定义 到两定点1、2的距离之和等于常数 2，即|1|+|2|=2（2|12|）第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数，即=(0 1)范围 且 且 顶点 1(,0)、2(,0)1(0,)、2(0,)1(0,)、2(0,)1(,0)、2(,0)轴长 长轴的长=2 短轴的长=2 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 1(,0)、2(,0)1(0,)、2(0,)焦距|12|=2(2=2 2)离心率 =22=2 22=1 22(0 0,0)2222=1(0,0)第一定义 到两定点1、2的距离之差的绝对值等于常数2，即|1|2|=2（0 2 1)范围 或 ，或 ，顶点 1(,0)、2(,0)1(0,)、2(0,)轴长 实轴的长=2 虚轴的长=2 对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称 焦点 1(,0)、2(,0)1(0,)、2(0,)焦距|12|=2(2=2+2)离心率 =22=2+22=1+22(1)准线方程 =2 =2 渐近线方程渐近线方程 =焦半径(0,0)在右支左焦：|1|=0+右焦：|2|=0 在左支左焦：|1|=0 右焦：|2|=0+在上支左焦：|1|=0+右焦：|2|=0 在下支左焦：|1|=0 右焦：|2|=0+焦点三角形面积 12=22(=12)通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径：|=2 -6-3 3抛物线抛物线 图形 标准方程 2=2(0)2=2(0)2=2(0)2=2(0)定义 与一定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点不在定直线上)顶点(0,0)离心率 =1 对称轴 轴 轴 范围 0 0 0 0 焦点 (2,0)(2,0)(0,2)(0,2)准线方程 =2 =2 =2 =2 焦半径(0,0)|=0+2|=0+2|=0+2|=0+2 通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：|=2 焦点弦长 公式|=1+2+参数的几何意义 参数表示焦点到准线的距离，越大，开口越阔 设为过抛物线2=2(0)焦点的弦，(1,1)、(2,2)，直线的倾斜角为，则 12=24,12=2;|=22;以为直径的圆与准线相切；焦点对、在准线上射影的张角为2；1|+1|=2.-7-专题三：专题三：定积分定积分 1、定积分的概念 如果函数()f x在区间,a b上连续，用分点011iinaxxxxxb=将区间,a b等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点(1,2,)iin=，作和式11()(),nnniiiibaLfxfn=，当n 时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数()f x在区间,a b上的定积分.记作badxxf)(，即1()lim()nbianibaf x dxfn=，这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间,a b叫做积分区间，函数()f x叫做被积函数，x叫做积分变量，()f x dx叫做被积式.说明：说明：（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；（2）用定义求定积分的四个基本步骤：分割；近似代替；求和；取极限.2、微积分基本定理(牛顿-莱布尼兹公式)如果()()F xf x=，且()f x在,ba上可积，则()()()()bbaaf x dxF xF bF a=，【其中()F x叫做()f x的一个原函数，因为()()()()F xCF xf x+=】3、常用定积分公式 0dxc=（c为常数）1dxxc=+1(1)1xx dxc+=+-8-1lndxxcx=+xxe dxec=+(0,1)lnxxaa dxcaaa=+sincosxdxxc=+cossinxdxxc=+1sincos(0)axdxaxcaa=+1cossin(0)axdxaxcaa=+4、定积分的性质=babadxxfkdxxkf)()(（k为常数）；=bababadxxgdxxfdxxgxf)()()()(；()()()bcbaacf x dxf x dxf x dx=+（其中)acb;利用函数的奇偶性求定积分:若()f x是,a a上的奇函数奇函数,则;若()f x是,a a上的偶函数偶函数,则=a0aadx)x(f2dx)x(f.5、定积分的几何意义 定积分定积分()baf x dx表示在区间表示在区间,a b上的曲线上的曲线()yf x=与直线与直线xa=、xb=以及以及x轴所围成的平轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即()baxxf x dxSS=轴上方轴下方.（在（在 x x 轴上方的面积取正号轴上方的面积取正号,在在 x x 轴下方的面积取负号）轴下方的面积取负号）6、求曲边梯形面积的方法与步骤 画出草图画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；0dx)x(faa=-9-借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；写出定积分表达式；求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和.7、定积分在几何中的应用 几种常见的曲边梯形面积的计算方法:（1 1）x型区域：型区域：由一条曲线）其中0=)()(xfxfy与直线)(,babxax=以及x轴所围成的曲边梯形的面积：()bSf x dxa（如图（1）；图（1）由一条曲线）其中0=)()(xfxfy与直线)(,babxax=以及x轴所围成的曲边梯形的面积：babadxxfdxxfS)()(（如图（2）；图（2）由一条曲线()yf x=【当axc时，()0()0;caf xf x dx -10-当cxb时，()0()0.bcf xf x dx】与直线)(,babxax=以及x轴所围成的曲边梯形的面积：()()cbacSf x dxf x dx+()().cbacf x dxf x dx（如图（3）；图（3）由两条曲线()()yf xyg x=，（()()f xg x与直线)(,babxax=所围成的曲边梯形的面积：()()()().bbbaaaSf x dxg x dxf xg x dx=（如图（4）图（4）（2 2）y型区域：型区域：由一条曲线）其中0=xxfy)(与直线)(,babyay=以及y轴所围成的曲边梯形的面积,可由)(xfy=得)(yhx=，然后利用 badyyhS)(求出（如图（5）；-11-图（5）由一条曲线）其中0=xxfy)(与直线)(,babyay=以及y轴所围成的曲边梯形的面积，可由)(xfy=先求出)(yhx=，然后利用 babadyyhdyyhS)()(求出（如图（6）；图（6）由两条曲线)()(xgyxfy=，与直线)(,babyay=所围成的曲边梯形的面积，可由)()(xgyxfy=，先分别求出)(yhx1=，)(yhx2=，然后利用 badyyhyhS|)()(|21求出（如图（7）；图（7）-12-专题四：推理与证明专题四：推理与证明 1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质；从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理的一般步骤：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；检验猜想。推理与证明 推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 数学归纳法 间接证明 比较法 类比推理 归纳推理 分析法 综合法 反证法 知识结构知识结构 -13-3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理.归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理演绎推理是由一般到特殊的推理.演绎推理的一般模式“三段论”，“三段论”，包括 大前提大前提-已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提-所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论-据一般原理，对特殊情况做出的判断据一般原理，对特殊情况做出的判断 用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集 那么S中所有元素也都具有性质 P.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.5、直接证明与间接证明 综合法综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示：要点：顺推证法；由因导果顺推证法；由因导果.分析法分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.M a S -14-框图表示：要点：逆推证法；执果索因逆推证法；执果索因.反证法反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法.反证法法证明一个命题的一般步骤：(1)（反设）假设命题的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题的结论成立.6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数证明关于正整数n的命题的命题的一种方法.用数学归纳法证明命题的步骤;（1 1）（归纳奠基）证明当）（归纳奠基）证明当n取第一个值取第一个值*00()n nN时命题成立；时命题成立；（2 2）（）（归纳递推）归纳递推）假设假设*0(,)nk knkN=时命题成立，推证当时命题成立，推证当1nk=+时命题也成立时命题也成立.只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立.用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等.-15-专题五：数系的扩充与复数 1、复数的概念 虚数单位i；复数的代数形式(,)zabia bR=+；复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.2、复数的分类 复数(),zabia bR=+(0)(0,0)(0)(0,0)babbab=实数纯虚数虚数非纯虚数 3、相关公式 dcbadicbia=+=+且,00=+babia 22babiaz+=+=zabi=zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.4、复数运算 复数加减法：()()()()idbcadicbia+=+；复数的乘法：()()()()abicdiacbdbcad i+=+；复数的除法：()()()()abicdiabicdicdicdi+=+-16-()()222222acbdbcad iacbdbcadicdcdcd+=+（类似于无理数除法的分母有理化分母有理化虚数除法的分母实数化分母实数化）5、常见的运算规律(1);(2)2,2;zzzza zzbi=+=2222(3);(4);(5)z zzzabzzzzzR=+=41424344(6),1,1;nnnnii iii i+=()22111(7)1;(8),112iiiiiiiiii+=+)9(设231i+=是 1 的立方虚根，则012=+，1,332313=+nnn 6、复数的几何意义 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.zabiZ=+一一对应复数复平面内的点（a,b)zabiOZ=+一一对应复数平面向量 -17-专题六：排列组合与二项式定理 1、基本计数原理 分类加法计数原理：(分类相加分类相加)做一件事情，完成它有n类办法，在第一类办法中有1m种不同的方法，在第二类办法中有2m种不同的方法在第n类办法中有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN+=21种不同的方法.分步乘法计数原理：(分步相乘分步相乘)做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有1m种不同的方法，做第二个步骤有2m种不同的方法做第n个步骤有nm种不同的方法.那么完成这件事情共有nmmmN=21种不同的方法.2、排列与组合 排列定义：一般地，从n个不同的元素中任取()nmm个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个排列.组合定义：一般地，从n个不同的元素中任取()nmm个元素并成一组，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的一个组合.排列数：从n个不同的元素中任取()nmm个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的排列数，记作mnA.组合数：从n个不同的元素中任取()nmm个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同的元素中任取m个元素的组合数，记作mnC.排列数公式：()()()121+=mnnnnAmn -18-()!mnnAmn=！；!nAnn=，规定1!0=.组合数公式：()()()!121mmnnnnCmn+=或()!mnmnCmn=！；mnnmnCC=，规定10=nC.排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序排列有顺序，组合无顺序.排列与组合的联系：mmmnmnACA=，即排列就是先组合再全排列.()(1)(1)!()(1)2 1!mmnnmmAnnnmnCmnAmmm nm+=排列与组合的两个性质：排列11+=mnmnmnmAAA；组合11+=mnmnmnCCC.解排列组合问题的方法 特殊元素、特殊位置优先法特殊元素、特殊位置优先法（元素优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）.间接法间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）.不相邻不相邻(相间相间)问题插空法问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）.有序问题组合法有序问题组合法.选取问题先选后排法选取问题先选后排法.至多至少问题间接法至多至少问题间接法.相同元素分组可采用隔板法相同元素分组可采用隔板法.分组问题分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成平均分成 n n 组问题别忘除以组问题别忘除以 n n！.-19-3、二项式定理 二项展开公式：()011222nnnnrn rrnnnnabC aC abC abC ab+=+()nnnC bnN+.二项展开式的通项公式：()+=NnNrnrbaCTrrnrnr,01.主要用途是求指定的项.项的系数与二项式系数 项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系数.如 在在()naxb+的展开式中，第的展开式中，第1r+项的二项式系数为项的二项式系数为rnC，第，第1r+项的系数为项的系数为rn rrnC ab；而；而1()nxx+的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正的展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为正，而项的系数不一定为正.()nx+1的展开式：()0221101xCxCxCxCxnnnnnnnnn+=+，若令1=x，则有()nnnnnnnCCCC+=+210211.二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 二项式系数的性质：（1）对称性对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即mnnmnCC=；（2）增减性与最大值增减性与最大值：当12nr+时，二项式系数 Crn的值逐渐增大，当12nr+时,Crn的值逐渐减小，且在中间取得最大值。当 n 为偶数时，中间一项（第2n1 项）的二项式系数2nnC取得最大值.当 n 为奇数时，中间两项（第21+n和21+n1 项）的二项式系数1122nnnnCC+=相等并同时取最大值.系数最大项的求法 设第r项的系数rA最大，由不等式组11rrrrAAAA+可确定r.赋值法 131202=+=+nnnnnCCCC -20-若2012().,nnnaxbaa xa xa x+=+则设()().nf xaxb=+有：0(0);af=012.(1);naaaaf+=0123.(1)(1);nnaaaaaf+=0246(1)(1).;2ffaaaa+=1357(1)(1).2ffaaaa+=-21-专题七：随机变量及其分布 1、基本概念 互斥事件：不可能同时发生的两个事件.如果事件ABC、，其中任何两个都是互斥事件，则说事件ABC、彼此互斥.当AB、是互斥事件时，那么事件AB+发生（即AB、中有一个发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的和，即 ()()()P ABP AP B+=+.对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件A的对立事件通常记着A.对立事件的概率和等于 1.()1()P AP A=.特别提醒：特别提醒：“互斥事件”与“对立事件”都是就两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，因此，对立事件必然是互斥事件，对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件但互斥事件不一定是对立事件，也就是说“互斥”是“对立”的必要但不充分的条件.相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，（即其中即其中一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响一个事件是否发生对另一个事件发生的概率没有影响）.这样的两个事件叫做相互独立事件.当AB、是相互独立事件时，那么事件A B发生（即AB、同时发生）的概率，等于事件AB、分别发生的概率的积.即 ()()()P A BP AP B=.若 A、B 两事件相互独立，则 A 与、与 B、与也都是相互独立的.BAAB知识结构知识结构 -22-独立重复试验 一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.独立重复试验的概率公式 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率 ()()(1)0,1 2,.,kkn knnPknkC pp=条件概率：对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A 发生的条件下事件 B 发生的概率，叫做条件概率.记作 P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率.公式：()(),()0.()P ABP B AP AP A=2、离散型随机变量 随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用字母,X Y 等表示.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出.若X是随机变量，(,YaXb a b=+是常数）则Y也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）.奎屯王新敞新疆奎屯王新敞新疆 -23-3 3、离散型随机变量的分布列 概率分布（分布列）设离散型随机变量X可能取的不同值为12,x x，ix，nx，X的每一个值ix（1,2,in=）的概率()iiP Xxp=，则称表 X P 为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.性质：性质：0,1,2,.;ipin=11.niip=两点分布 如果随机变量X的分布列为 则称X服从两点分布两点分布，并称(1)pP X=为成功概率.二项分布 如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是()(1).kkn knP XkC pp=其中0,1,2,.,1knqp=，于是得到随机变量X的概率分布如下：X 0 1 k n P 00nnC p q 111nnC p q kkn knC p q 0nnnC p q 我们称这样的随机变量X服从二项分布二项分布，记作()pnBX,，并称 p 为成功概率.判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：对立性：对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；重复性：重复性：即试验是独立重复地进行了n次;1x2xixnx1p2pipnpX 0 1 P 1p p -24-等概率性：等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.注：二项分布的模型是有放回抽样；二项分布的模型是有放回抽样；二项分布中的参数是,.p k n 超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n件,其中恰有X件次品数,则事件 Xk=发生的概率为()(0,1,2,)kn kMNMnNC CP XkkmC =,于是得到随机变量X的概率分布如下：其中 min,mM n=,*,nN MN n M NN.我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,且称随机变量X服从超几何分布超几何分布.注:超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布的模型是不放回抽样；超几何分布中的参数是超几何分布中的参数是,.M N n其意义分别是 总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量.4 4、离散型随机变量的均值与方差 离散型随机变量的均值 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P 则称()1122iinnE Xx px px px p=+为离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）均值或数学期望（简称期望）.它反映了离散型随机变量取值的平均水平它反映了离散型随机变量取值的平均水平.性质：()().E aXbaE Xb+=+1x2xixnx1p2pipnpX 0 1 m P 00nMN MnNC CC 11nMN MnNC CC mn mMN MnNC CC -25-若X服从两点分布，则().E Xp=若()pnBX,，则().E Xnp=离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X P 则称21()()niiiD XxE Xp=为离散型随机变量X的方差，方差，并称其算术平方根()D X为为随机变量X的标准差标准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.()D X越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集中；()D X越大，X的稳定性越差，波动越大，取值越分散.性质：2()().D aXba D X+=若X服从两点分布，则()(1).D XpP=若()pnBX,，则()(1).D XnpP=5 5、正态分布 正态变量概率密度曲线函数表达式：()()Rxexfx=,21222，其中,是参数，且+,0.记作2(,).N 如下图：1x2xixnx1p2pipnp -26-专题八：统计案例 1、回归分析 回归直线方程bxay+=，其中()()()1122211nniiiiiinniiiixxyyx ynx ybxxxnxaybx=相关系数：()()()()12211niiinniiiixxyyrxxyy=1222211niiinniiiix ynxyxnxyny=2、独立性检验 假设有两个分类变量 X、Y，它们的值域分别为x1,x2和y1,y2,其样本频数 22 列联表为：y1 y2 总计 x1 a b a+b x2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 若要推断的论述为 H1：“X 与 Y 有关系”，可以利用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断的可靠程度.具体的做法是，由表中的数据算出随机变量2K的值22()()()()()n adbcKab cdac bd=+，其中nabcd=+为样本容量，K2的值越大，说明“X 与 Y 有关系”成立的可能性越大.随机变量2K越大，说明两个分类变量，关系越强；反之，越弱。23.841K 时，时，X X 与与 Y Y 无关；无关；23.841K 时，时，X X 与与 Y Y 有有 95%95%可能性有关；可能性有关；26.635K 时时 X X 与与 Y Y 有有 99%99%可能性有关可能性有关.-27-专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换 设点),(yxP是平面直角坐标系中的任意一点，在变换=).0(,yy0),(x,x:的作用下，点),(yxP对应到点),(yxP，称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换坐标伸缩变换，简称伸缩变换伸缩变换。2、极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，叫做极点极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系极坐标系。点点M的极坐标：的极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM叫做点M的极径极径，记为；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的xOM叫做点M的极角极角，记为。有序数对),(叫做点点M的极坐标的极坐标，记为),(M.注：注：极坐标),(与)Z)(2,(+kk表示同一个点。极点O的坐标为)R)(,0(.若0,则0,规定点),(与点),(关于极点对称，即),(与),(+表示同一点。如果规定0,02，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数、O 图 1 M(,)-28-对应惟一点P(，)，但平面内任一个点P的极坐标不惟一一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P(，)（极点除外）的全部坐标为(,k2)或（，)12(+k），(kZ Z)极点的极径为 0，而极角任意取若对、的取值范围加以限制则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定0，02或0，等 极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的即一个点的极坐标是不唯一的 3、极坐标与直角坐标的互化 设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y，极坐标是(,)，从图中可以得出：222cos,sin,t n(0).xyyxyaxx=+=4、简单曲线的极坐标方程 圆的极坐标方程 以极点为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是 a=；（如图 1）-29-以(,0)a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是cos2a=；（如图 2）以(,)2a)0(a为圆心，a为半径的圆的极坐标方程是sin2a=；（如图 4）直线的极坐标方程 过极点的直线的极坐标方程是)0(=和(0)=+.（如图 1）过点)0)(0,(aaA，且垂直于极轴的直线 l 的极坐标方程是a=cos.化为直角坐标程为xa=.（如图 2）过点(,)2A a且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程是sina=.化为直角坐标方程为ya=.（如图 4）5、柱坐标系与球坐标系 柱坐标：cos2a=axOM图2sin2a=axOM图4sin2a=axOM图5cos2a=axOM图3a=axOM图1),(a)cos(2=aaxOM图60=0 xOM图1（，）cosa=aOM图2cosa=aOM图3sina=OM图4asina=OM图5a),(a)cos(=aOMpN图6（，）a -30-空间点P的直角坐标(,)x y z与柱坐标(,)z 的变换关系为：cossinxyzz=.球坐标系 空间点P直角坐标),(zyx与球坐标),(r的变换关系：2222sincossinsincosxyzrxryrzr+=.6、参数方程的概念 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标yx,都是某个变数t的函数=),(),(tgytfx 并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点),(yxM都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数yx,的变数t叫做参变数参变数，简称参数参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程普通方程。7、常见曲线的参数方程（1）圆222()()xaybr+=的参数方程为cossinxarybr=+=+（为参数）；（2）椭圆22221(0)xyabab+=的参数方程为cossinxayb=（为参数）；椭圆22221(0)yxabab+=的参数方程为cossinxbya=（为参数）；（3）双曲线22221(0)xyabab=的参数方程 sectanxayb=（为参数）；-31-双曲线22221(0)yxabab=的参数方程 cotcscxbya=（为参数）；（4）抛物线22ypx=参数方程222xptypt=(t为参数，1tant=）；参数参数t的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数的几何意义：抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.（5）过定点),(00yxP、倾斜角为()2 的直线的参数方程+=+=sincos00tyytxx（t为参数）.8、参数方程与普通方程之间的互化 在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。在参数方程与普通方程的互化在参数方程与普通方程的互化中，必须使中，必须使yx,的取值范围保持一致的取值范围保持一致.参数方程化为普通方程的关键是消参数，并且要保证等价性。若不可避免地破坏了同解变形，则一定要通过。根据 t 的取值范围导出的取值范围.)(),(tgytfx=yx,