2019年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)数学试题(文科).pdf

2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试(浙 江 卷)数 学 试 题(文 科)选 择 题 部 分(共 50分)一、选 择 题：本 大 题 共 10小 题，每 小 题 5 分，共 50分。在 每 小 题 给 也 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。(1)若=%,1,贝!A.P Q B.Q P C.CRP=Q D.Q=CRP(2)若 复 数 z=l+i,i为 虚 数 单 位，则(l+iz=A.l+3i B.3+3i C.3 i D.3x+2y-5 0,(3)若 实 数 x,y 满 足 不 等 式 组 2%+-720,则 3/书 的 最 小 值 是 x 0,y 0,A.13 B.15 C.20 D.28(4)若 直 线/不 平 行 于 平 面。，且/任。，则 A.Q 内 的 所 有 直 线 与 异 面 B.。内 不 存 在 与/平 行 的 直 线 C.。内 存 在 唯 一 的 直 线 与/平 行 D.内 的 直 线 与/都 相 交(5)在 A4BC 中，角 所 对 的 边 分.若 QCOS A=sin3,则 sin Acos A+cos?8=1 1A.-B.C.-1 D.12 2(6)若。3 为 实 数，则 0abl”是“b L，的 aA.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 分 必 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件(7)几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 这 个 几 何 体 的 直 观 图 可 以 是(8)从 装 有 3 个 红 球、2 个 白 球 的 袋 中 任 取 3 个 球，则 所 取 的 3 个 球 中 至 少 有 1个 白 球 的 概 率 是2 2 2(9)已 知 椭 圆 G：5+方=1(ab0)与 双 曲 线。2：2-3=1有 公 共 的 焦 点，C2的 一 条 渐 近 线 与 以 Ci的 长 轴 为 直 径 的 圆 相 交 于 A,8 两 点.若 Ci恰 好 将 线 段 A 8 三 等 分，则 1 3 1A.a2=B.a2=13 C.b2=-D.b2=22 2(10)设 函 数/1(x)=or2+hx+c(a,8,ceH),若 x=-l为 函 数/(x)/的 一 个 极 值 点，则 下 列 图 象 不 可 能 为 y=/(x)的 图 象 是 非 选 择 题 部 分(共 100分)二、填 空 题：本 大 题 共 7 小 题，每 小 题 4 分，共 28分。4(11)设 函 数 左-无)=，若/(。)=2,则 实 数 0=1+x(12)若 直 线 x 2y+5=0 与 直 线 2x+冲 6=0 互 相 垂 直，则 实 数 机=(13)某 小 学 为 了 解 学 生 数 学 课 程 的 学 习 情 况，在 3000名 学 生 中 随 机 抽 取 200名，并 统 计 这 200名 学 生 的 某 次 数 学 考 试 成 绩，得 到 了 样 本 的 频 率 分 布 直 方 图(如 图)。根 据 频 率 分 布 直 方 图 推 测 3000名 学 生 在 该 次 数 学 考 试 中 成 绩 小 于 60分 的 学 生 数 是(14)某 程 序 框 图 如 图 所 示，则 该 程 序 运 行 后 输 出 的 攵 的 值 是(15)若 平 面 向 量 a、P 满 足 冏=1|尸(),TT0|.y=/(x)的 部 分 图 像，如 图 所 示，P、。分 别 为 该 图 像 的 最 高 点 和 最 低 点，点 P 的 坐 标 为(1,A).(第 14题)(I)求 f x 的 最 小 正 周 期 及 9 的 值；27r(H)若 点 R 的 坐 标 为(1,0),N P R Q=r，求 A 的 值.(19)(本 题 满 分 14分)已 知 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 4 的 首 项 为 a(a e R),且 成 q a,a4等 比 数 列.(I)求 数 列%的 通 项 公 式；(II)对 E N,试 比 较-1-H-+.H-与 的 大 小.a2 a；a；ax(20)(本 题 满 分 14分)如 图，在 三 棱 锥 尸 A B C 中，A B=4 C,。为 B C 的 中 点，P O m A B C,垂 足。落 在 线 段 A O 上.(I)证 明：AP 1 B C；太(II)己 知 B C=8,P O=4,A O=3,O D=2.求 二 面 角 8-A P C 的 大 小./：(21)(本 小 题 满 分 15 分)设 函 数/(x)=a2 lnx-x2+ax,a 0(I)求/(x)的 单 调 区 间；(II)求 所 有 实 数 a,使 e 1 W/0)02对 61,6恒 成 立.注：e 为 自 然 对 数 的 底 数.(22)(本 小 题 满 分 15分)如 图，设 P 是 抛 物 线 G：上 的 动 点。过 点 做 圆。2：/+(+3)2=1的 两 条 切 线，交 直 线/：y=一 3 于 A 8 两 点。(I)求 G 的 圆 心 M 到 抛 物 线 G 准 线 的 距 离。(II)是 否 存 在 点 尸，使 线 段 A 3 被 抛 物 线 在 点 P 处 得 切 线 平 分，若 存 在，求 出 点 P 的 坐 标；若 不 存 在，请 说 明 理 由。参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算。每 小 题 5 分，满 分 50分。15CAABD 610DBDCD二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算。每 小 题 4 分，满 分 28分。万 5万、2A/311.-1 12.1 13.600 14.5 15.f,16.二 一 17.46 6 3三、解 答 题：本 大 题 共 5 小 题，其 72分。（1）本 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、三 角 运 算 等 基 础 知 识。满 分 14分。（I）解：由 题 意 得，T=6.71TJT因 为 尸（,A）在 y=A sin（彳 龙+夕）的 图 象 上,7T所 以 sin（w，+）=1.TT又 因 为 0。5，所 以 9=工 6（II）解：设 点 Q 的 坐 标 为（七,A）由 题 意 可 知+5=与，得 面=4,所 以 Q(4,A)3 6 2r 连 接 P Q,在 A P R Q 中,N P R Q=T，由 余 弦 定 理 得 八 R p 2+RQ2 pQ2 A2+9+A2-(9+4A2)1cos Z-PKQ=-=-/-=.2 R P R Q 2 A.历 不 2解 得 A?=3.又 A 0,月 以 A=G.（19）本 题 主 要 考 查 等 差、等 比 数 列 的 概 念 以 及 通 项 公 式，等 比 数 列 的 求 和 公 式 等 基 础 知 识，同 时 考 查 运 算 求 解 能 力 及 推 理 论 证 能 力。满 分 14分。（I）解：设 等 差 数 列%的 公 差 为 d,由 题 意 可 知（L y=1即(4+d)2=4(4+3d),从 而=因 为 d w 0,所 以。=a=a.故 通 项 公 式 q?=加.(H)解：记 7；二-+一+-,因 为%,=2%。2 4 2%所 以 小 拈+9 小 7 工”一 夕 2从 而，当”()时，?；,；当。0时,7；q%(2 0)本 题 主 要 考 查 空 间 线 线、线 面、面 面 位 置 关 系，二 面 角 等 基 础 知 识，同 时 考 查 空 间 想 象 能 力 和 推 理 论 证 能 力。满 分 14分。(I)证 明：由 AB=AC,D 是 B C中 点，得 A O _ L 8 C,又 PO_1_平 面 A B C,得 PO 1.B C因 为 P O c A D=O,所 以 平 面 P A D,故 3 C L P A(II)解：如 图，在 平 面 PA B内 作 8W _ L P A于 M,连 CM。因 为 BC_L 9 4,得 A4_L 平 面 B M C,所 以 AP_LCM。故 N B M C为 二 面 角 B-A P-C 的 平 面 角。在 R fA A D B中,A B2=A D2+B D2=41,得 AB=历 在 R t/P O D,PD2=PO-+O D2,在 R tA P D B 中，P B2=P D2+B D2,所 以 PB?=P O2+0 0+B D2=3 6,得 P B=6.在 向 APOA中,PA2=A O2+O P2=2 5,得 PA=5.P“D A PA2+P B2-A B2 1 m/D D.2 及 又 cos Z B P A=-=,从 而 sin N B P A=-2 P A P B 3 3故 B M=P B sin N B P A=4 7 2同 理 G M=4，5.因 为 B M2+M C2=B C2所 以 N 8M C=90。即 二 面 角 BAPC 的 大 小 为 90.(21)本 题 主 要 考 查 函 数 的 单 调 性、导 数 运 算 法 则、导 数 应 用 等 基 础 知 识，同 时 考 查 抽 象 概 括、推 理 论 证 能 力。满 分 15分。(I)解：因 为/(x)=InxV 其 中 无。、a2(x-a)(2x+a)所 以/(x)=-2x+a=-X X由 于。0,所 以/(x)的 增 区 间 为(0,a),减 区 间 为(a,+8)(II)证 明：由 题 意 得，/(l)=a l N c 1,即 a N c由(I)知/(x)在 l,e 内 单 调 递 增，要 使 e-1W/(x)Tx e fl,e 恒 成 立,J/=a lNe-l,八 要,7、2 2/2j(e)=a-e+aee解 得 a=e.(22)本 题 主 要 考 查 抛 物 线 几 何 性 质，直 线 与 抛 物 线、直 线 与 圆 的 位 置 关 系，同 时 考 查 解 析 几 何 的 基 本 思 想 方 法 和 运 算 求 解 能 力。满 分 15分。(I)解：因 为 抛 物 线 Ci的 准 线 方 程 为：j=4所 以 圆 心 M 到 抛 物 线 C,准 线 的 距 离 为：|一！(3)|=.4 4(H)解：设 点 P 的 坐 标 为(工,片)，抛 物 线 Ci在 点 P 处 的 切 线 交 直 线/于 点 D。再 设 A,B,D 的 横 坐 标 分 别 为 4,/，匕 过 点 尸(飞,片)的 抛 物 线 G 的 切 线 方 程 为：y 一 片=2%)(%-/)(1)当 5=1 时，过 点 P(1,1)与 圆 C2的 切 线 P A 为：y-l=(x-l)O17可 得=-，=1，%)=T，XA+4#23)当 尤 0=1时，过 点 P(1，1)与 圆 Q 的 切 线 P A 为：y l=号(x-l)o17可 得 X.=-i,XB=,XD=1,无 A+尤 B H 2XD所 以 片 一 I H O设 切 线 PA,PB 的 斜 率 为 勺，内,则 P A:y-=ki(x-xQ)(2)PB:y-x=%2(一 垢)(3)将 丁=一 3分 别 代 入（1）,（2）,（3）得 片+3 x：-3 片+3-o-U o O);xA=xo-;xB=x0-(4,女 2。0)从 而 xA+xB=2xa-(x；+3)(+).k k2乂 I-x(R+x；+3=+1即(片 一 1)片-2(片+3)叫+(片+3)2 1=0同 理，（片 一 1限 2（片+3）国 质+（片+3）2-1=0所 以，总 是 方 程（其 一 1比 2一 2+3尔 左+&+3）七 的 两 个 不 相 等 的 根，从 而 广 当 华，左,k 2=+：./_ 1 X()-1因 为 4+xe=2/所 以 2%-(3+片)(+)=-，即 1+=一 k、K2 XQ Kj k2 xQ从 而 2(3+%)尤 0 _ 1(片+3)2-1 小 进 而 得 又：=8,/=我 综 上 所 述，存 在 点 P 满 足 题 意，点 P 的 坐 标 为（近,2 0）.