2019年普通高等学校招生全国统一考试数学理（安徽）.pdf

2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（安 徽 卷）数 学（理 科）本 试 卷 分 第 I卷（选 择 题）和 第 n 卷（非 选 择 题）两 部 分，第 I卷 第 1至 第 2 页，第 II卷 第 3页 至 第 4 页。全 卷 满 分 150分，考 试 时 间 120分 钟。考 生 注 意 事 项：答 题 前，务 必 在 试 题 卷、答 题 卡 规 定 填 写 自 己 的 姓 名、座 位 号，并 认 真 核 对 答 题 卡 上 所 粘 贴 的 条 形 码 中 姓 名、座 位 号 与 本 人 姓 名、座 位 号 是 否 一 致。务 必 在 答 题 卡 背 面 规 定 的 地 方 填 写 姓 名 和 座 位 号 后 两 位。答 第 I卷 时，每 小 题 选 出 答 案 后，用 2B铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。答 第 H 卷 时，必 须 使 用 0.5毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 踵 卡 上 书 写，要 求 字 体 工 整、笔 迹 清 晰。作 图 题 可 先 用 铅 笔 在 答 跑 卡 规 定 的 位 置 绘 出，确 认 后 再 用 0.5毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 描 清 楚。必 须 在 题 号 所 指 示 的 答 题 区 域 作 答，超 出 书 写 的 答 案 无 效，在 试 题 卷、草 稿 纸 上 答 题 无 效。考 试 结 束 后，务 必 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。参 考 公 式：椎 体 体 积 丫=，5力，其 中 S 为 椎 体 的 底 面 积，h 为 椎 体 的 高.3I 若 y 二（X,y），（x2,y2）（x“，y）为 样 本 点，$=为 回 归 直 线，则 i=iZ（%一 9）（“一 歹）Xxy a=y-b x1=1 1=1a=y-b x说 明：若 对 数 据 适 当 的 预 处 理，可 避 免 对 大 数 字 进 行 运 算.第 I卷（选 择 题 共 50分）一、选 择 题：本 大 题 共 10小 题，每 小 题 5 分，共 50分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。（1）设 i是 虚 数 单 位，复 数 匕 丝 为 纯 虚 数，则 实 数。为 2-Z（A）2（B）-2（C）-（D）-2 2(2)双 曲 线 2 d 2=8的 实 轴 长 是(A)2(B)272(C)4(D)472(3)设/(x)是 定 义 在 R上 的 奇 函 数，当 x O 0寸 J(x)=2,一 x,贝=(A)-3(B)-1(C)I(D)3(4)设 变 量 满 足|x|+|y 区 1,贝 k+2y 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为(A)1,-1(B)2,-2(C)1,-2(D)2,-17T(5)在 极 坐 标 系 中，点(2,)到 圆 夕=2005。的 圆 心 的 距 离 为(A)2(B)卜+在(D)V3(6)一 个 空 间 几 何 体 的 三 视 图 如 图 所 示，则 该 几 何 体 的 表 面 积 为(A)48(B)32+8而(C)48+8V17(D)80(7)命 题“所 有 能 被 2 整 聊 的 整 数 都 是 偶 数”的 行 定 是(A)所 有 不 能 被 2 整 除 的 数 都 是 偶 数(B)所 有 能 被 2 整 除 的 整 数 都 不 是 偶 数(C)存 在 一 个 不 能 被 2 整 除 的 数 都 是 偶 数(D)存 在 一 个 能 被 2 整 除 的 数 都 不 是 偶 数 第(8)11图(8)设 集 合 4=1,2,3,4,5,6,8=4,5,6,7,8则 满 足 5 1 4 且 5 的 集 合 S 为(A)57(B)56(C)49(D)8TT(9)已 知 函 数/(%)=sin(2x+0)，其 中 9 为 实 数，若 f(x)/()，则/&)的 单 调 递 增 区 间 是(A)左 一 事,我 十 菅:(&Z)(B)卜 肛+/c、L 兀、2万(C)kjr-,kjr H-1 6 3(AeZ)(D)1上 万 一 5，万 1(%e Z)(10)函 数/(幻=。1(1一 幻 在 区 间 0,1上 的 图 像 如 图 所 示，则 m,n 的 值 可 能 是(A)m=l,n=l(C)m=2,n=1(B)m=l,n=2(D)m=3,n=l第 H 卷(非 选 择 题 共 100分)考 生 注 意 事 项：请 用 0.5毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效.二.填 空 题：本 大 题 共 5 小 题，每 小 题 5 分，共 25分.把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置.(11)如 图 所 示，程 序 框 图(算 法 流 程 图)的 输 出 结 果 是.(12)设(x I)-=4+a1+cix+,+2/，则 40+q=。(13)己 知 向 量 满 足(a+2Z?)(a-份=-6,且 同=1,同=2,则 a与 b 的 夹 角 为.(14)已 知 A 4 B C 的 一 个 内 角 为 120,并 且 三 边 长 构 成 公 差 为 4 的 等 差 数 列，则 AABC的 面 积 为.(15)在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 果 与)，都 是 整 数，就 称 点(x,y)为 整 点，下 列 命 题 中 正 确 的 是(写 出 所 有 正 确 命 题 的 编 号).存 在 这 样 的 直 线，既 不 与 坐 标 轴 平 行 又 不 经 过 任 何 整 点/希 出(结 束)*(ii)as 如 果 k 与 匕 都 是 无 理 数，则 直 线 y=奴+2 不 经 过 任 何 整 点 直 线/经 过 无 穷 多 个 整 点，当 且 仅 当/经 过 两 个 不 同 的 整 点 直 线 y=履+匕 经 过 无 穷 多 个 整 点 的 充 分 必 要 条 件 是：人 与 人 都 是 有 理 数 存 在 恰 经 过 一 个 整 点 的 直 线 三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 75分，解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.解 答 写 在 答 题 卡 的 制 定 区 域 内.(16)(本 小 题 满 分 12分)设/(x)=J*，其 中。为 正 实 数 1+OX4(I)当 Q=时，求/(工)的 极 值 点；(II)若/(九)为 R 上 的 单 调 函 数，求。的 取 值 范 围。(17)(本 小 题 满 分 12分)如 图，A 8 C O E F C 为 多 面 体，平 面 A B E O 与 平 面 A G P。垂 直，点。在 线 段 A。上,O A=1,O D=2Q0AB,OAC,O D E,0。/7都 是 正 三 角 形。(I)证 明 直 线 8 C E F；(II)求 棱 锥 FO B E D 的 体 积。(1 7)B S(18)(本 小 题 满 分 13分)在 数 1和 100之 间 插 入 个 实 数，使 得 这+2 个 数 构 成 递 增 的 等 比 数 列，将 这+2 个 数 的 乘 积 记 作 T,再 令 an=lg T,B l.(I)求 数 列%的 通 项 公 式；(II)设 d=tan an tan an+i,求 数 列 包 的 前 项 和 Sn.(19)(本 小 题 满 分 12分).(I)设 x N L y N l,证 明+L+盯;,(II)a b c,iiEloga b+log/?c+log(,a logfc a+Iog(,b+log,（20）（本 小 题 满 分 13分）工 作 人 员 需 进 入 核 电 站 完 成 某 项 具 有 高 辐 射 危 险 的 任 务，每 次 只 派 一 个 人 进 去，且 每 个 人 只 派 一 次，工 作 时 间 不 超 过 10分 钟，如 果 有 一 个 人 10分 钟 内 不 能 完 成 任 务 则 撤 出，再 派 下 一 个 人。现 在 一 共 只 有 甲、乙、丙 三 个 人 可 派，他 们 各 自 能 完 成 任 务 的 概 率 分 别 由，生，2,假 设 P I，P 2，P 3互 不 相 等，且 假 定 各 人 能 否 完 成 任 务 的 事 件 相 互 独 立.（I）如 果 按 甲 最 先，乙 次 之，丙 最 后 的 顺 序 派 人，求 任 务 能 被 完 成 的 概 率。若 改 变 三 个 人 被 派 出 的 先 后 顺 序，任 务 能 被 完 成 的 概 率 是 否 发 生 变 化？（n）若 按 某 指 定 顺 序 派 人，这 三 个 人 各 自 能 完 成 任 务 的 概 率 依 次 为 彷,%,%,其 中 0,%,%是 回，必,3的 一 个 排 列，求 所 需 派 出 人 员 数 目 x 的 分 布 列 和 均 值（数 字 期 望）EX；（ni）假 定 1 目 2 3,试 分 析 以 怎 样 的 先 后 顺 序 派 出 人 员，可 使 所 需 派 出 的 人 员 数 目 的 均 值（数 字 期 望）达 到 最 小。（21）（本 小 题 满 分 13分）设 义 0,点 A 的 坐 标 为（1,1）,点 B 在 抛 物 线 y 上 运 动，点。满 足=经 过。点 与 M x 轴 垂 直 的 直 线 交 抛 物 线 于 点 M，点 P 满 足 丽=2 诉，求 点 P 的 轨 迹 方 程。第（21）题 图参 考 答 案 一、选 择 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5 分，满 分 50分.(1)A(2)C(3)A(4)B(5)D(6)C(7)D(8)B(9)C(10)B二、填 空 题：本 题 考 查 基 本 知 识 和 基 本 运 算，每 小 题 5分，满 分 25分.(1)15(0(13)-(14)1573(15)，3三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 75分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.(16)(本 小 题 满 分 12分)本 题 考 查 导 数 的 运 算，极 值 点 的 判 断，导 数 符 号 与 函 数 单 调 性 之 间 的 关 系，求 解 一 元 二 次 不 等 式 基 本 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，综 合 分 析 和 解 决 问 题 的 能 力.解：对/(x)求 导 得 八 X)=e*1*二(l+ar)(I)当 a=g,若/(x)=0,则 4x?8x+3=0,解 得 网=,x2=g.综 合，可 知 XT)2 23(|,8)r(x)+00+/(x)/极 大 值 极 小 值/3 1所 以，玉=2 是 极 小 值 点,/=是 极 大 值 点.2 2(II)若/(x)为 R 上 的 单 调 函 数，则/(x)在 R 上 不 变 号，结 合 与 条 件 a0,知 ax1 2ax+1 0在 R 上 恒 成 立，因 此 A=4Q2-4。=4。(。-1)0,知 0。41.(17)(本 小 题 满 分 12分)本 题 考 查 空 间 直 线 与 直 线，直 线 与 平 面、平 面 与 平 面 的 位 置 关 系，空 间 直 线 平 行 的 证 明，多 面 体 体 积 的 计 算 等 基 本 知 识，考 查 空 间 想 象 能 力，推 理 论 证 能 力 和 运 算 求 解 能 第(17)题 综 合 法 解 答 用 图 第(17)噩 向 量 法 解 答 用 图(I)(综 合 法)证 明：设 G 是 线 段 D 4与 E B延 长 线 的 交 点.由 于 A O A B与 4 0 D E都 是 正 三 角 形，所 以 OB/-DE,0G=0D=2,=2同 理，设 G 是 线 段 D A与 线 段 F C延 长 线 的 交 点，有 O G=OD=2.又 由 于 G 和 G 都 在 线 段 D A的 延 长 线 上，所 以 G 与 G 重 合.在 4 GED和 A G F D中，由 工 O E和 0 C 工 D F,可 知 B 和 C 分 别 是 G E和 G F的 中 点，=2=2所 以 B C是 A G E F的 中 位 线，故 BC EF.(向 量 法)过 点 F 作 F Q _ L A Z),交 A D于 点 Q,连 Q E,由 平 面 ABED_L平 面 A D FC,知 FQ_L平 面 ABED,以 Q 为 坐 标 原 点，瓦 为 X轴 正 向，而 为 y 轴 正 向，砺 为 z 轴 正 向，建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系.由 条 件 知 E(g,O,O),尸(0,0,石),8(,-=,0),。(0,-1,).2 2 2 2则 有 前=(立,0,立)，三 苏=(Q,0,J 5).2 2所 以 说=2册 即 得 BC EF.(I I)解：由 OB=1,OE=2,N E Q B=6 0,知 S EOB=5-，而 O E D是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，故 SQED=所 以 SOBED=S EOB+S QO=2.过 点 F 作 F Q L A D,交 A D于 点 Q,由 平 面 A B E D,平 面 ACFD知，F Q就 是 四 棱 锥 FOBED的 局,且 FQ=5/3,所 以 Vp-OBED _ 2 F Q SOBED=万.(1 8)(本 小 题 满 分 1 3分)本 题 考 查 等 比 和 等 差 数 列，指 数 和 对 数 的 运 算，两 角 差 的 正 切 公 式 等 基 本 知 识，考 查 灵 活 运 用 知 识 解 决 问 题 的 能 力，综 合 运 算 能 力 和 创 新 思 维 能 力.解：设 U,晨 2构 成 等 比 数 列，其 中 4=L*2=1 Q 则 Tn=t-t2.tH+,tn+2,T=tn+i,，+2.12,G，x 并 利 用 亿+3T=亿+2=1。2（注 力+2）,得=（4%+2）（，2%i）.（乙+也）,（匕+2，1）=102”?-）an=1g，=H+2,n l.(I I)由 题 意 和(I)中 计 算 结 果，知 a=ta n 3+2)tanQ?+3),N 1.C qIE i/1、7、tan+l)-tan女 另 一 方 面，利 用 tanl=tan(8+l)-攵)=-,l+tan+l)Tan改/口 八 八，tan(Z:+l)-tan k.得 1 加(4+1)7311攵=-1.tan 1n n+2所 以 S,=b k=Z t a n/+l)-tanZ=1 k=3_ q ta n-+1)tanltan+3)-tan3=-n.tanl(1 9)(本 小 题 满 分 12分)本 题 考 查 不 等 式 的 基 本 性 质，对 数 函 数 的 性 质 和 对 数 换 底 公 式 等 基 本 知 识，考 查 代 数 式 的 恒 等 变 形 能 力 和 推 理 论 证 能 力.证 明：由 于 x 2 1,y N l,所 以 x+y+-4 4+工+孙=x y(尤+y)+l+X+(%-)2)(xy(x+y)+1)=(孙)2-1)一(移(x+y)(x+y)=(xy+1)(孙-l)-(x+y)(xy-1)=(x y _ l)(x y-x _ y+l)=(x y-l)(x-l)(j-l).即 x l,y 1,所 以(呼-l)(x-l)(y-l)0,从 而 所 要 证 明 的 不 等 式 成 立.(I I)设 log“Z?=x,log c=y,由 对 数 的 换 底 公 式 得,1,1,1,log,a=,log&a=,log,=一 og“c=xyxy x y于 是，所 要 证 明 的 不 等 式 即 为 1+)，+-4,+,+个，xy x y其 中 x=log(/b l,y logb c 1.故 由(D 立 知 所 要 证 明 的 不 等 式 成 立.(2 0)(本 小 题 满 分 13分)本 题 考 查 相 互 独 立 事 件 的 概 率 计 算，考 查 离 散 型 随 机 变 量 及 其 分 布 列、均 值 等 基 本 知 识，考 查 在 复 杂 情 境 下 处 理 问 题 的 能 力 以 及 抽 象 概 括 能 力、合 情 推 理 与 演 绎 推 理，分 类 读 者 论 论 思 想，应 用 意 识 与 创 新 意 识.解：(I)无 论 以 怎 样 的 顺 序 派 出 人 员，任 务 不 能 被 完 成 的 概 率 都 是(1 乃)(1 2)。一 3)，所以 任 务 能 被 完 成 的 概 率 与 三 个 被 派 出 的 先 后 顺 序 无 关，并 等 于 1一（1一。1）（1 一 2）（1-。3）=，1+。2+。3-也 一。2P3-。3，1 2P3。（I D 当 依 次 派 出 的 三 个 人 各 自 完 成 任 务 的 概 率 分 别 为 0,0,%时，随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 所 需 派 出 的 人 员 数 目 的 均 值（数 学 期 望）E X是 X 1 2 3P0(1一 1)%(1 1)(1%)EX=1+2（1%）%+3（1）（1 一 q、）=3-2q、%+（III）（方 法 一）由（II）的 结 论 知，当 以 甲 最 先、乙 次 之、丙 最 后 的 顺 序 派 人 时，EX=3 2/7 p2+/?!p2.根 据 常 理，优 先 派 出 完 成 任 务 概 率 大 的 人，可 减 少 所 需 派 出 的 人 员 数 目 的 均 值.下 面 证 明：对 于 2,/?2，。3的 任 意 排 列 41，%，%，都 有 3-2 名-%+4。2 3-2 0-p2+PiP2,.（*）事 实 上，A=（3-2 q2+qlq2）-（3-2pl p2+PiP2）=2（Pi-%）+（P 2-%）-P iP 2+%=2（Pi-）+（2一）一（Pl 一 名）2 一 0（2 一%）=（2-2）（P1）+（1-/）（。2-%）之（1 一%）（Pl+-2）-+%）0.即（*）成 立.（方 法 二）（i）可 将（II）中 所 求 的 E X改 写 为 3-（/+%）+%4,若 交 换 前 两 人 的 派 出 顺 序，则 变 为 3-（4+%）+0%-/,.由 此 可 见，当 时，交 换 前 两 人 的 派 出 顺 序 可 减 小 均 值.（ii）也 可 将（II）中 所 求 的 E X改 写 为 3 2 4%+4 冈 2,或 交 换 后 两 人 的 派 出 顺 序，则 变 为 3 2%+%.由 此 可 见，若 保 持 第 一 个 派 出 的 人 选 不 变，当%时，交 换 后 两 人 的 派 出 顺 序 也 可 减 小 均 值.综 合（ii）可 知，当（%,%，43）=（回，2，。3）时，破 达 到 最 小.即 完 成 任 务 概 率 大 的 人 优 先 派 出，可 减 小 所 需 派 出 人 员 数 目 的 均 值，这 一 结 论 是 合 乎 常 理 的.（21）（本 小 题 满 分 1 3分）本 题 考 查 直 线 和 抛 物 线 的 方 程，平 面 向 量 的 概 念，性 质 与 运 算，动 点 的 轨 迹 方 程 等 基 本 知 识，考 查 灵 活 运 用 知 识 探 究 问 题 和 解 决 问 题 的 能 力，全 面 考 核 综 合 数 学 素 养.解：由 丽=4 而 知 Q,M,P 三 点 在 同 一 条 垂 直 于 x 轴 的 直 线 上，故 可 设 y）,Q（x,y0）,M（x,A：2）,Jililx2 一%=%0-/）,则 为=（1+团 2 一 办.再 设 8(X|,y),由 B Q=AQA,即(x-2-y)=4(1 x,l%)，解 得 X=(1+A)x-2,*=(l+/l)y0-2.将 式 代 入 式，消 去 光，得 X=(1+A)x A,=(1+A)x2 A(l+2)y A.又 点 B 在 抛 物 线 y=/上，所 以 必=后，再 将 式 代 入 y=x；,得(1+A)2 x A.(l+A)y A,=(1+A)x 2)2,(1+A)4(1+/)y 丸=(1+?1)x 24(1+A)x+A,2A(1+A)x-A(+A)y-2(1+4)=0.因 4 0,两 边 同 除 Ml(l+4),得 2x-y-1=0.故 所 求 点 P 的 轨 迹 方 程 为 y=2x-l.