2019年数学真题及解析_2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标ⅰ）.pdf

2019年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷(理 科)(新 课 标 I)一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.(5 分)已 知 集 合 知=3-4 x V 2,-X-6 V 0,则 M C N=()A.x|-4 x 3 B.x|-4 x-2 C.x-2 x 2 D.x|2xg20.2,Z=202,c=0.20,3,则()A.a b c B.a c b C.c a b D.b c a4.(5 分)古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 在 工(，红 心 0.6 1 8,称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此.此 外，2 2最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 晅 工.若 某 人 满 足 上 述 两 2个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m,头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m,则 其 身 高 可 能 是()A.165cm B.T75cm C.185cm D.190cm5.（5 分）函 数 f（x）=W.乱 巴 在 L n,用 的 图 象 大 致 为（）cosx+XA.B.6.（5分）我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化.每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为 阳 爻“一”和 阴 爻“一 一”，如 图 就 是 一 重 卦.在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的 概 率 是（）2+A.二 16B.旦 C.2132 32D.167.（5 分）已 知 非 零 向 量 W，蔬 足 百=2|芯,且（a-b）l b.则 W 与 4的 夹 角 为（A.2L6B.c.22L3 3D.亚 68.（5 分）如 图 是 求-4 一 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）（开 始 Ik=lF|结 束 A.A=-B.A=2+C.A-D.A=1+_A_2+A A 1+2A 2A9.（5 分）记 为 等 差 数 列 斯 的 前 项 和.已 知$4=0,的=5,则（）A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.5,；=2n2-8n D.-2 210.（5 分）己 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 尸（-1,0）,F2（1,0）,过 用 的 直 线 与 C 交 于 A,B 两 点.若|4&|=2|&用，|AB|=|BFi|,则 C 的 方 程 为（）2.2 2A._+，=B.+=12 3 22 2 2 2C.-5=1 D.=14 3 5 411.（5 分）关 于 函 数/（x）=sin|x|+kin_r|有 下 述 四 个 结 论：/（x）是 偶 函 数 f（x）在 区 间（工，n）单 调 递 增 2 f（X）在-TT，TT 有 4 个 零 点/（X）的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是（A.B.C.D.12.（5 分）已 知 三 棱 锥 P-A 8 C 的 四 个 顶 点 在 球。的 球 面 上，PA=PB=PC,ABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E,尸 分 别 是 出，A B 的 中 点，NCEF=90,则 球。的 体 积 为（）A.B.C.2注 11 D.遍 IT二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.（5 分）曲 线 y=3（，+x），在 点（0,0）处 的 切 线 方 程 为.14.（5 分）记 S?为 等 比 数 列 斯 的 前 项 和.若。1=L，。/=46，则$5=.315.（5 分）甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，决 赛 结 束）.根 据 前 期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”.设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6,客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5,且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队 以 4：1获 胜 的 概 率 是.2 216.（5 分）已 知 双 曲 线 C：三 _-2 _=1（a 0,%0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F,尸 2，过 2,2a bF i的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A,B 两 点.若 F=AB,p1 B,F2B 0,则。的 离 心 率 为.三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0分。17.（12 分）ZA8C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为“，h,c.设（sinB-sinC）2=5 1/4-sinBsinC.（1）求 A；（2）若 J a+6=2 c,求 sinC.18.（12分）如 图，直 四 棱 柱 ABC。-AIBICQ I的 底 面 是 菱 形，AA i=4,AB=2,NBAD=60,E,M,N 分 别 是 BC,BB,Ai。的 中 点.（1）证 明：MN 平 面 G O E；（2）求 二 面 角 A-MA N 的 正 弦 值.19.(12分)已 知 抛 物 线 C：，=3 x 的 焦 点 为 尸，斜 率 为 3 的 直 线/与 C 的 交 点 为 A,B,与 2x 轴 的 交 点 为 P.(1)若|AF|+|BF|=4,求/的 方 程；(2)若 屈=3而，求|AB|.20.(12分)已 知 函 数/(尤)=sirLv-In(1+x),f(x)为/(尤)的 导 数.证 明：(1)r(X)在 区 间(-1,工)存 在 唯 一 极 大 值 点；2(2)/(%)有 且 仅 有 2 个 零 点.21.(12分)为 治 疗 某 种 疾 病，研 制 了 甲、乙 两 种 新 药，希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效，为 此 进 行 动 物 试 验.试 验 方 案 如 下：每 一 轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验.对 于 两 只 白 鼠,随 机 选 一 只 施 以 甲 药，另 一 只 施 以 乙 药.一 轮 的 治 疗 结 果 得 出 后，再 安 排 下 一 轮 试 验.当 其 中 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 比 另 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 多 4 只 时，就 停 止 试 验，并 认 为 治 愈 只 数 多 的 药 更 有 效.为 了 方 便 描 述 问 题，约 定：对 于 每 轮 试 验，若 施 以 甲 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 中 药 得 1分，乙 药 得-1分；若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 甲 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1分，甲 药 得-1 分；若 都 治 愈 或 都 未 治 愈 则 两 种 药 均 得 0 分.甲、乙 两 种 药 的 治 愈 率 分 别 记 为 a 和 p,一 轮 试 验 中 甲 药 的 得 分 记 为 X.(1)求 X 的 分 布 列；(2)若 甲 药、乙 药 在 试 验 开 始 时 都 赋 予 4 分，pi(i=0,1,，8)表 示“甲 药 的 累 计 得 分 为 i时，最 终 认 为 甲 药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率，则 po=O,P8=l，Pi=api-i+bPi+cpi+i(i=l,2,7),其 中(X=-l),b=P(X=0),c=P(X=l).假 设 a=0.5,P=0.8.(0 证 明：pHi-p,(i=0,1,2,7)为 等 比 数 列；(ii)求 P4,并 根 据 P4的 值 解 释 这 种 试 验 方 案 的 合 理 性.(二)选 考 题：共 1 0分。请 考 生 在 第 22、2 3题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程(1 0分)1+1，22.(10分)在 直 角 坐 标 系 xOy中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为(C 为 参 数).以 坐 4t标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线/的 极 坐 标 方 程 为2pcos0+V3psinO+l 1=0.(1)求。和/的 直 角 坐 标 方 程；(2)求 C 上 的 点 到/距 离 的 最 小 值.选 修 4 5：不 等 式 选 讲(1 0分)23.已 知 m b,c为 正 数，且 满 足 abc=l.证 明:(1)+_6f2+Z?2+c2；a b c(2)(。+力)3+(A+c)3+(c+a)3224.2019年 全 国 统 一 高 考 数 学 试 卷（理 科）（新 课 标 I）参 考 答 案 与 试 题 解 析 一、选 择 题：本 题 共 12小 题，每 小 题 5 分，共 60分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.（5 分）已 知 集 合 用=卫-4 x 2,=8-一 6 0,则 A/n N=（）A.x|-4 x 3 B.x|-4 x-2 C.r|-2 x 2 D.A|2 X3【考 点】IE：交 集 及 其 运 算；73：一 元 二 次 不 等 式 及 其 应 用.【分 析】利 用 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 和 交 集 的 运 算 即 可 得 出.【解 答】解：-4 c x 2,N=x|f-X-6 V 0=x|-2 x V 3,.M AN=x|-2 x 2.故 选：C.【点 评】本 题 考 查 了 一 元 二 次 不 等 式 的 解 法 和 交 集 的 运 算，属 基 础 题.2.（5 分）设 复 数 z 满 足|z-i|=1,z在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x,y）,则（）A.（X+1）B.（X-1）2+）,2=1C.x+（y-1）2=D.x+（y+1）2=【考 点】A4：复 数 的 代 数 表 示 法 及 其 几 何 意 义；J3：轨 迹 方 程.【分 析】由 z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x,y）,可 得 z=x+y i,然 后 根 据|z-i|=l即 可 得 解.【解 答】解：.飞 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为（x,y）,.z=x+yi,，z-i=x+（j-1）i,心 片+_）2=1，.,.x2+（y-1）2=1,故 选：C.【点 评】本 题 考 查 复 数 的 模、复 数 的 几 何 意 义，正 确 理 解 复 数 的 几 何 意 义 是 解 题 关 键，属 基 础 题.3.（5 分）已 知 a=log20.2,b=20 2,c=0.2-3,则（）A.a h c B.a c h C.c a b D.b c a【考 点】4M：对 数 值 大 小 的 比 较.【分 析】由 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性 易 得 log20.2 1,0 0.2 3 1,从 而 得 出 a,b,c 的 大 小 关 系.【解 答 解:a=lo g20.2=2-2 20=1,V00.2-3 0.2=l,，c=0.20%(0,1),:.aV cV b,故 选：B.【点 评】本 题 考 查 了 指 数 函 数 和 对 数 函 数 的 单 调 性，增 函 数 和 减 函 数 的 定 义，属 基 础 题.4.（5 分）古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 返 工（近 二 2 0.6 1 8,称 为 黄 金 分 割 比 例），著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此.此 外，2 2最 美 人 体 的 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是 返 工.若 某 人 满 足 上 述 两 2个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 105c?，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26a”，则 其 身 高 可 能 是 B.75cm C.1S5cm D.190cm【考 点】71：不 等 关 系 与 不 等 式；F4：进 行 简 单 的 合 情 推 理.【分 析】充 分 运 用 黄 金 分 割 比 例，结 合 图 形，计 算 可 估 计 身 高.【解 答】解：头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 26c%，说 明 头 顶 到 咽 喉 的 长 度 小 于 26a”，由 头 顶 至 咽 喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 是 在 二 处 0.618,2可 得 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 小 于 工 一 七 42。，0.618由 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是 唬 工，2可 得 肚 脐 至 足 底 的 长 度 小 于 丝 适=110,0.618即 有 该 人 的 身 高 小 于 110+68=178cw,又 肚 脐 至 足 底 的 长 度 大 于 105C/M,可 得 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 大 于 105X0.618七 65c切，即 该 人 的 身 高 大 于 65+105=170。”，故 选：B.【点 评】本 题 考 查 简 单 的 推 理 和 估 算，考 查 运 算 能 力 和 推 理 能 力，属 于 中 档 题.5.（5 分）函 数/（x）=点.迈 对、在-m E 的 图 象 大 致 为（）cosx+XB.【考 点】3A：函 数 的 图 象 与 图 象 的 变 换.【分 析】由/（%）的 解 析 式 知/（X）为 奇 函 数 可 排 除 4,然 后 计 算 f（冗），判 断 正 负 即 可 排 除 B,C.【解 答】解：./（x）=一 里 2工 枕 XE-TT,U,cosx+X.V（-X）=-sinx-x=_ Sinx+x=_y（x）（cos（-x）+x cosx+X.V（x）为-IT,m 上 的 奇 函 数,因 此 排 除 A；又/（兀）=s i n 兀+兀 二 _ 7T_。因 此 排 除 5,C；cos兀+兀 2-1+兀 2故 选：D.【点 评】本 题 考 查 了 函 数 的 图 象 与 性 质，解 题 关 键 是 奇 偶 性 和 特 殊 值，属 基 础 题.6.（5分）我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化.每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为 阳 爻“一”和 阴 爻“一 一”，如 图 就 是 一 重 卦.在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3个 阳 爻 的 概 率 是（）A.-L B.红 C.2L D.16 32 32 16【考 点】CB：古 典 概 型 及 其 概 率 计 算 公 式.【分 析】基 本 事 件 总 数“=26=64,该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 包 含 的 基 本 个 数 机=c3c 3=20,由 此 能 求 出 该 重 卦 恰 有 3个 阳 爻 的 概 率.【解 答】解：在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，基 本 事 件 总 数“=26=64,该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 包 含 的 基 本 个 数 机=c 闩 C 9=20,则 该 重 卦 恰 有 3个 阳 爻 的 概 率 p=jn=20=5n 64 16故 选:A.【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 古 典 概 型、排 列 组 合 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.7.（5分）已 知 非 零 向 量 W，京 茜 足 印=2|认 且 G-E）b.则 W 与 工 的 夹 角 为（）A.B.C.2 兀 D.5 兀 6 3 3 6【考 点】9S：数 量 积 表 示 两 个 向 量 的 夹 角.【分 析】由（a-b）Jb，可 得（a-b），b=0,进 一 步 得 到|a|b|cosZ,E A E，。，然 后 求 出 夹 角 即 可.【解 答】解：:-b）L b,(a-b)b=a*b-b=|af|bfcos-b2=0,cos=丁 中!千 lai Ib|TH2 i2fbl2 2V 0,叶 o故 选：B.【点 评】本 题 考 查 了 平 面 向 量 的 数 量 积 和 向 量 的 夹 角，属 基 础 题.8.（5 分）如 图 是 求 4 的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入（）A.A=B.A=2+C.A=-D.A=l+-1_2+A A 1+2A 2A【考 点】EF：程 序 框 图.【分 析】模 拟 程 序 的 运 行，由 题 意，依 次 写 出 每 次 得 到 的 A 的 值，观 察 规 律 即 可 得 解.【解 答】解：模 拟 程 序 的 运 行，可 得：A=,k=1；2满 足 条 件 ZW2,执 行 循 环 体，A=一 上 一，&=2；满 足 条 件 ZW2,执 行 循 环 体，A=-1,k=3；2十 此 时，不 满 足 条 件 ZW2,退 出 循 环，输 出 A 的 值 为-72十 观 察 4 的 取 值 规 律 可 知 图 中 空 白 框 中 应 填 入 A=_.2+A故 选：A.【点 评】本 题 考 查 了 程 序 框 图 的 应 用 问 题，解 题 时 应 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程，以 便 得 出 正 确 的 结 论，是 基 础 题.9.(5分)记 必 为 等 差 数 列%的 前 附 项 和.已 知 S4=0,“5=5,贝 U()A.斯=2-5 B.an3n-10 C.Sn2if-8n D.Sn=-n2-2n2【考 点】83：等 差 数 列 的 性 质：85：等 差 数 列 的 前 n 项 和.(4ai+6d=0【分 析】根 据 题 意，设 等 差 数 列 斯 的 公 差 为 d，则 有 I 1，求 出 首 项 和 公 差,a1+4d=5然 后 求 出 通 项 公 式 和 前 n 项 和 即 可.【解 答】解：设 等 差 数 列 斯 的 公 差 为 人 由 54=0,“5=5,得，4a1+6d=0(a.=-31 1aj4 d=5 d=2；.斯=2-5，Sn=n2-4n,故 选：A.【点 评】本 题 考 查 等 差 数 列 的 通 项 公 式 以 及 前 项 和 公 式，关 键 是 求 出 等 差 数 列 的 公 差 以 及 首 项，属 于 基 础 题.10.(5分)已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 Q(-1,0),七(1，0),过 出 的 直 线 与 C 交 于 A,3 两 点.若 依 尸 21=2|济|,AB=BF,则 C 的 方 程 为()2 c 2 2A.+v=l B.+=12 3 22 2 2 2C.+X _=1 D.A _+y _=14 3 5 4【考 点】K4：椭 圆 的 性 质.【分 析】根 据 椭 圆 的 定 义 以 及 余 弦 定 理 列 方 程 可 解 得。=代，b=&，可 得 椭 圆 的 方 程.【解 答】解：|AF2|=2|8F2l，|AB|=3|BF2l，又|A8|=|BQ|,：.BFi=3BF2,XBF+BF=2a,：.BF2=-,2：.AF2=a,BFi=.a,2在 RtZA&。中，cosZAF2O=4+(y)2-(|-a)2在 中，由 余 弦 定 理 可 得 cosNB&Q=-，2 X 2 X y2 _根 据 COS/A&O+COS/B F 2 F=0,可 得 工+42 W _=o,解 得 J=3,a 2a,2 2 2 c,cb=a-c=3-1=2.2 2所 以 椭 圆 C 的 方 程 为：+?_=1.3 2故 选：B.【点 评】本 题 考 查 了 椭 圆 的 性 质，属 中 档 题.11.（5 分）关 于 函 数/（x）=sin|x|+|sirLr|有 下 述 四 个 结 论：/（x）是 偶 函 数/（X）在 区 间（今，n）单 调 递 增 f（x）在 L m n 有 4 个 零 点 f（%）的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是（）A.B.C,D.【考 点】2K：命 题 的 真 假 判 断 与 应 用.【分 析】根 据 绝 对 值 的 应 用，结 合 三 角 函 数 的 图 象 和 性 质 分 别 进 行 判 断 即 可.【解 答】解：/(-x)=sin|-x|+|sin(-x)|=sin|x|+|sin x|=/(x)则 函 数(x)是 偶 函 数,故 正 确，兀 当(-,ir)时,sin|x|=sinx,|sinx|=sinx,2则/(x)=siru+sin x=2 sin x为 减 函 数，故 错 误，当 OWxWn 时，f(x)=sin|x|+|siiir|=sirLi+sinx=2siar,由/(x)=0 得 2sin=0 得 x=O 或 元=ir,由/(x)是 偶 函 数，得 在-T T,)上 还 有 一 个 零 点 x=-冗，即 函 数/(/)在-1 T,豆 有 3个 零 点，故 错 误，当 si中|=1,|sinx|=l 时,/(x)取 得 最 大 值 2,故 正 确，故 正 确 是，故 选：C.力 k2【点 评】本 题 主 要 考 查 与 三 角 函 数 有 关 的 命 题 的 真 假 判 断，结 合 绝 对 值 的 应 用 以 及 利 用 三 角 函 数 的 性 质 是 解 决 本 题 的 关 键.12.(5 分)已 知 三 棱 锥 P-A B C 的 四 个 顶 点 在 球。的 球 面 上，PA=PB=PC,是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E,尸 分 别 是,A B的 中 点，/C E F=9 0,则 球 0 的 体 积 为()A.8泥 n B.4遍 n C.2遍 IT D.捉 IT【考 点】L G：球 的 体 积 和 表 面 积.【分 析】由 题 意 画 出 图 形，证 明 三 棱 锥 P-A B C 为 正 三 棱 锥，且 三 条 侧 棱 两 两 互 相 垂 直,再 由 补 形 法 求 外 接 球 球 0 的 体 积.【解 答】解：如 图，p由 必=P 8=P C,ZABC是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，可 知 三 棱 锥 P-A B C为 正 三 棱 锥，则 顶 点 P在 底 面 的 射 影。为 底 面 三 角 形 的 中 心，连 接 8。并 延 长，交 A C于 G,则 AC_LBG,又 PO_LAC,P O B G=O,可 得 AC_L平 面 P B G,则 PB_LAC,:E,尸 分 别 是 出，4 8 的 中 点，：.EF/PB,又 NCEF=90,即 EF_LCE,C.PBLCE,得 尸 8_L平 面 B4C,.正 三 棱 锥 P-A B C 的 三 条 侧 棱 两 两 互 相 垂 直，把 三 棱 锥 补 形 为 正 方 体，则 正 方 体 外 接 球 即 为 三 棱 锥 的 外 接 球，其 直 径 为 O=V PA2+P B2+P C2=V 6,半 径 为 返，则 球。的 体 积 为 4K x溟)3=%兀,2 3 2故 选：D.【点 评】本 题 考 查 多 面 体 外 接 球 体 积 的 求 法，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，考 查 计 算 能 力，是 中 档 题.二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 20分。13.(5 分)曲 线 y=3(f+x)/在 点(0,0)处 的 切 线 方 程 为 y=3x.【考 点】6H：利 用 导 数 研 究 曲 线 上 某 点 切 线 方 程.【分 析】对 y=3(/+x)/求 导，可 将 x=0 代 入 导 函 数，求 得 斜 率，即 可 得 到 切 线 方 程.【解 答】解：y=3(J+x)/,；.y=3e*(/+3 x+l),当 x=o 时，y=3,，y=3(x2+x)/在 点(0,0)处 的 切 线 斜 率&=3,.切 线 方 程 为：y=3x.故 答 案 为：y=3x.【点 评】本 题 考 查 了 利 用 导 数 研 究 函 数 上 某 点 的 切 线 方 程，切 点 处 的 导 数 值 为 斜 率 是 解 题 关 键，属 基 础 题.14.（5 分）记 S”为 等 比 数 列 斯 的 前 项 和.若“1=_L,42 则$5=_ 工 红 3 3【考 点】89：等 比 数 列 的 前 n 项 和.【分 析】根 据 等 比 数 列 的 通 项 公 式，建 立 方 程 求 出 g 的 值，结 合 等 比 数 列 的 前 项 和 公 式 进 行 计 算 即 可.【解 答】解：在 等 比 数 列 中，由 四 2=6,得 46al2=q5”|0,即 q0,q=3,故 答 案 为：坦 3【点 评】本 题 主 要 考 查 等 比 数 列 前 n 项 和 的 计 算，结 合 条 件 建 立 方 程 组 求 出 q 是 解 决 本 题 的 关 键.15.（5 分）甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，决 赛 结 束）.根 据 前 期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”.设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6,客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5,且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队 以 4：1获 胜 的 概 率 是 0.18.【考 点】C8：相 互 独 立 事 件 和 相 互 独 立 事 件 的 概 率 乘 法 公 式.【分 析】甲 队 以 4：1获 胜 包 含 的 情 况 有：前 5 场 比 赛 中，第 一 场 负，另 外 4 场 全 胜，前 5 场 比 赛 中，第 二 场 负，另 外 4 场 全 胜，前 5 场 比 赛 中，第 三 场 负，另 外 4 场 全 胜，前 5 场 比 赛 中，第 四 场 负，另 外 4 场 全 胜，由 此 能 求 出 甲 队 以 4：1获 胜 的 概 率.【解 答】解：甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”.设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6,客 场 取 胜 的 概 率 为 0.5,且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，甲 队 以 4：1获 胜 包 含 的 情 况 有：前 5 场 比 赛 中，第 一 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：pi=0.4X0.6X0.5X0.5X0.6=0.036,前 5 场 比 赛 中，第 二 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：p2=0.6X0.4X0.5X0.5X0.6=0.036,前 5 场 比 赛 中，第 三 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：03=0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,前 5 场 比 赛 中，第 四 场 负，另 外 4 场 全 胜，其 概 率 为：03=0.6X0.6X0.5X0.5X0.6=0.054,则 甲 队 以 4：1获 胜 的 概 率 为:p=p i+P2+P3+P4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18.故 答 案 为：0.18.【点 评】本 题 考 查 概 率 的 求 法，考 查 相 互 独 立 事 件 概 率 乘 法 公 式 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，是 基 础 题.2 216.（5 分）已 知 双 曲 线 C：三-2 _=1（。0,b 0）的 左、右 焦 点 分 别 为 F i，&,过 2,2a bF i的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分 别 交 于 A,B 两 点.若 F=AB，F 卜&=，则 C的 离 心 率 为 2.【考 点】KC：双 曲 线 的 性 质.【分 析】由 题 意 画 出 图 形，结 合 已 知 可 得 写 出 尸 iB的 方 程，与 y=k 避 立 求 a得 3 点 坐 标，再 由 斜 边 的 中 线 等 于 斜 边 的 一 半 求 解.【解 答】解：如 图,；F I=AB，且 卜 土 尸 2 d=3-O AFB,则 F向 联 立 y=-r(x+c)2,解 得 B(且 b,2 2y=x b-aa4 2 2,2 2则 0 B 2=-n o o+9 c(b2-a2)2(b2-a2)2 J.),b2-a22,整 理 得：b2-3a2,c2-a2=3a2,B P 4a2 c1,故 答 案 为：2.【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质，考 查 数 形 结 合 的 解 题 思 想 方 法，考 查 计 算 能 力，是 中 档 题.三、解 答 题：共 7 0分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 17 2 1题 为 必 考 题,每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 22、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。(一)必 考 题：共 6 0分。17.(12 分)ZA8C 的 内 角 A,B,C 的 对 边 分 别 为 m b,c.S(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsinC.(1)求 A；(2)若，无+b=2c,求 sinC.【考 点】HP：正 弦 定 理；H R：余 弦 定 理.【分 析】(1)由 正 弦 定 理 得：呈+J-2=仇.，再 由 余 弦 定 理 能 求 出 A.(2)由 已 知 及 正 弦 定 理 可 得：sin(C-)=返，可 解 得 C 的 值，由 两 角 和 的 正 弦 函 6 2数 公 式 即 可 得 解.【解 答】解：(1);ABC的 内 角 A,B,。的 对 边 分 别 为 小 b,c.设(sinB-sinC)2=sin2A-sinBsin C.则 siJB+sin2。-2sin5sinC=sin2A-sinBsinC,由 正 弦 定 理 得：/?2+c2-a2=bcf,2,2 2,1:.cosA=J=,2bc 2bc 2V0An,：.A=.3(2).:心+b=2c,A=93由 正 弦 定 理 得&sinA+sinB=2sinC,.娓,2兀、,-歹+sin(工 一-C)=2sinC解 得 sin(c-2 L)=返，：.c-L2L,c=+2L,6 2 6 4 4 6 _/.sinC=sii1(工 J L)=sin2s2L+cos三 in2L=返 x 返+亚 x U 近 返.4 6 4 6 4 6 2 2 2 2 4【点 评】本 题 考 查 了 正 弦 定 理、余 弦 定 理、三 角 函 数 性 质，考 查 了 推 理 能 力 与 计 算 能 力,属 于 中 档 题.18.(1 2分)如 图，直 四 棱 柱 ABC。-A1B1C15的 底 面 是 菱 形，A 4=4,A8=2,Z B A D=60,E,M,N 分 别 是 8C,BB,A Q 的 中 点.(1)证 明：MN 平 面 GOE；(2)求 二 面 角 A-MAi-N 的 正 弦 值.【考 点】LS：直 线 与 平 面 平 行；MJ：二 面 角 的 平 面 角 及 求 法.【分 析】(1)过 N 作 M/_ L A Q,证 明 再 证 明 可 得 NM DE,再 由 线 面 平 行 的 判 定 可 得 平 面 CiDE；(2)以。为 坐 标 原 点，以 垂 直 于。C 得 直 线 为 x 轴，以。C 所 在 直 线 为 y 轴，以。所 在 直 线 为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，分 别 求 出 平 面 与 平 面 的 一 个 法 向 量,由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 A-M A-N 的 正 弦 值.【解 答】(1)证 明：如 图，过 N 作 NH_LA。，则 NH A 4 i，且 用 号 庆 庆，又 MB/U i，M B=L A A，四 边 形 为 平 行 四 边 形，则 NM/BH,2 1由 NH/U i，N 为 仆。中 点，得，为 A O中 点，而 E 为 B C中 点，：.BE/DH,B E=D H,则 四 边 形 BED”为 平 行 四 边 形，则 B OE,.NM/DE,平 面 CiDE,Eu平 面 CDE,平 面 Ci DE；(2)解：以。为 坐 标 原 点，以 垂 直 于。C 得 直 线 为 x 轴，以 O C所 在 直 线 为 y 轴，以 DD所 在 直 线 为 z轴 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，则 N(返，,X,2),M(J3,1,2),A,(5/3.-1 4),2 2 _NM=(-，-1-)，NA=(，2，2),设 平 面 4 M N 的 一 个 法 向 量 为 去（x,y,z），取 x=，得 益 V，-1,-1），又 平 面 MA4的 一 个 法 向 量 为 U（l,0,0）1，cos=mn=V15I in|,I n|5二 面 角 A-M A-N 的 正 弦 值 为 H.5【点 评】本 题 考 查 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定，考 查 空 间 想 象 能 力 与 思 维 能 力，训 练 了 利 用 空 间 向 量 求 解 空 间 角，是 中 档 题.19.（12分）已 知 抛 物 线 C：9=3 的 焦 点 为 F,斜 率 为 乡 的 直 线/与 C 的 交 点 为 4,B,与 2x 轴 的 交 点 为 P.（1）若）/=+|防=4,求/的 方 程;（2）若 屈=3而，求|A8.【考 点】K8：抛 物 线 的 性 质.【分 析】（1）根 据 韦 达 定 理 以 及 抛 物 线 的 定 义 可 得.（2）若 屈=3而，则=-3/，=修=-3也+射，再 结 合 韦 达 定 理 可 解 得 t=l,肛=3,必=上，再 用 弦 长 公 式 可 得.3【解 答】解：设 直 线 I的 方 程 为 y=.|（x-f）,将 其 代 入 抛 物 线）?=3x得:_（_|什 3）x+22=o,4设 A（xi，力），B（X2，光），y t+3则 Xl+X2=-=2t+,，Xl%2 f2旦 34由 抛 物 线 的 定 义 可 得：|A/q+由/q=xi+x2+p=2r+&+W=4,解 得/=j_,3 2 12直 线/的 方 程 为 丫=&-工.2 8（2）若 屈=3无，则=-3丫 2，W（R-力=-3 X?（X2-/），化 简 得 修=-3犯+432 2 由 解 得=1,XI=3,X2=y3,尸 旧 呜）【点 评】本 题 考 查 了 抛 物 线 的 性 质，属 中 档 题.20.（12 分）已 知 函 数 f（x）=sin-In（1+x）,f（x）为/（x）的 导 数.证 明：（i）r（X）在 区 间（-1,）存 在 唯 一 极 大 值 点；2（2）/（x）有 且 仅 有 2 个 零 点.【考 点】6D：利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值.【分 析】（1）/（%）的 定 义 域 为（-1,+8）,求 出 原 函 数 的 导 函 数，进 一 步 求 导，得 到 f（x）在（-1,工）上 为 减 函 数，结 合 7（0）=1,f（2 L）=-1+今 一 2 2（1 产-1+1=0,由 零 点 存 在 定 理 可 知，函 数（x）在（-1,工）上 存 在 唯 一 得 零 点 出，2结 合 单 调 性 可 得，7（X）在（-1,刈）上 单 调 递 增，在（加，）上 单 调 递 减，可 得 2/（X）在 区 间（-1,）存 在 唯 一 极 大 值 点