2016年理科数学考纲专题解读考点题组训练：专题九数列含答案.pdf

第 4部 分 专 题 九 数 列 考 纲 专 题 解 读 考 点 分 布：I 考 点 分 频:I 考 纲 内 容 命 题 趋 势 1.数 列 的 概 念 与 简 单 表 示 法,5年 19考 工 数 列 的 程 念 和 商 单 表 示 法(1)了 解 数 列 的 此 色 和 几 种 解 的 球 示 方 法(9 图 氧 通 项 公 式)(2)了 策 效 列 是 自 变 为 正 整 敷 的 一 类 的 数 2等 整 数 列、等 比 数 列(1)理 制 等 差 数 刊、等 比 数 列 的 概 念.(2)拿 最 等 整 数 列.号 比 数 列 的 通 项 公 式 与 前 项 和 公 式.(3)能 在 具 体 的 同 情 境 中 识 别 数 列 的 等 差 关 系 或 等 比 关 系,并 能 用 有 关 知 识 解 决 相 应 的 心(4)了 解 等 差 数 列 与 一 次 函 数、等 比 数 列 与 百 t函 数 的 关 系.内 容 探 究：1数 列 的 概 念 和 篇 单 表 示 法 在 高 考 中 主 要 考 查 利 用 a 和 S 的 关 系 求 通 项 外,或 者 利 用 递 推 数 列 构 造 等 差 或 等 比 敛 列 求 通 项 a.2.等 差、等 比 数 列 在 高 考 中 主 要 考 查 数 列 的 定 义、通 项 公 式、前”项 和 公 式 及 其 性 质,二 看 常 结 合 考 查 3.敷 为 求 和 是 高 考 的 点，特 别 是 错 位 相 减 法 和 裂 项 法 求 和 几 乎 年 年 考 查 4 敷 列 的 第 合 同 常 以 退 推 关 系 为 背 景，考 壹 等 夔、等 比 数 列 的 通 宝 公 式 及 前”项 和 公 式,日 常 与 函 数.不 等 式、解 析 几 何 等 知 识 交 汇 命 题 彩 式 舞 究：基 本 上 还 会 保 持“一 小 一 大”的 格 局,一 小”注 重 等 主、等 比 数 列 性 质 的 简 单 应 用 以 及 基 本 的 求 解，分 值 为 5分；“大”即 解 答 题.以 等 差、等 比 数 列 的 综 合 运 算 为 主.年 度 中 等.分 值 1214分.2.等 差 数 列 及 其 前 项 和*,5年 49考 3.等 比 数 列 及 其 前 项 和 T 5年 44考 4.数 列 求 和 r 5年 27考 5.数 列 的 综 合 问 题 及 应 用 5年 29考 考 点 题 组 训 练 数 我 的 概 念 与 简 单 表 示 法*仆 1第 n 步 试 真 题 A 组 新 题 速 递(2015课 标 I,17,12分，中)S”为 数 列 斯 的 前 项 和.已 知 斯 0,%十 2a=4S+3.(1)求 S 的 通 项 公 式；(2)设 儿=一，求 数 列 儿 的 前 项 和.。斯+1解:(1)。解+2an=4s+3,.片+i+2斯+i=4sLi+3.两 式 才 目 篇 M于 c i f i+i c i)i+2(a+Q)4a+1,即 2(即+1+斯)=片+1 一%=(即+1+即)(即+1-an).由 于。0,可 得 an+i-an=2.又 添+2a=4。|+3,角 毕 得=一 1（舍 去），a=3.所 以 斯 是 首 项 为 3,公 差 为 2 的 等 差 数 列，所 以 通 项 公 式 斯=2+1.由 斯=2+1可 知 b=-1-anan*1（2M+1）（2M+3）-A2w+1 2M+3/设 数 列 ba 的 前 n 项 和 为 Tn,则 G=仇+岳+bn3+3)B 组 经 典 回 顾 1.（2013辽 宁，4,易）下 面 是 关 于 公 差 办 0 的 等 差 数 列 斯 的 四 个 命 题：pi：数 列%是 递 增 数 列；P2-.数 列 即 是 递 增 数 列；P3：数 列 惜 是 递 增 数 列；P4：数 列 a+3 d 是 递 增 数 列.其 中 的 真 命 题 为（）A.pi，p2 B.pi，P4C.22，P3 D.p,p4【答 案】D 斯 是 等 差 数 列，则&=ai+（-l）d=+m d,因 为 冷 0,所 以 斯 是 递 增 数 列，故 P1正 确；对 P2，举 反 例，令 m=-3,42=-2,d=l,则*2 的 故 叫 不 是 递 增 数 列，P2不 正 确；*=1+七 工，当 一 介。时，愣 递 减，P3不 正 确；a+3nd=4nd+al-d,4d0,aa+3 d 是 递 增 数 列，内 正 确.故 p”P4是 正 确 的，故 选 D.2.（2011江 西，5,易）已 知 数 列 斯 的 前“项 和 S”满 足：S“+S”=S+M，且41=1,那 么。10=()A.1 B.9 C.10 D.55【答 案】A Q10=Si()Sg=(jSSg)Sg S=Cl=l 9 故 选 A.3.(2013湖 南，1 5,难)设 S“为 数 列 斯 的 前“项 和，nG N*,贝 U 的=；(2)5i+52+S o o=.【解 析】(利 用 即 与 S”的 关 系 求 通 项 公 式)(1)由 已 次 口 得 S3=-吩，S&=a1 1 1 3=下 一 叶-1 6-(2)已 知 巳=(-I)”,-/,S+1=斯+1-当 n 为 奇 数 时，Sn-Q-两 式 相 减 得 斯+1=斯+1+an+1.必=一 尹 不 Sn*=-a,当 为 偶 数 时，则 S”_ 4“-2,两 式 相 减 得。+1=-an an+iB 1 1即 a”-2。=+1+2+1 2,C 1-T T(”为 奇 数),综 上，an=敬(为 偶 数)，$+S2+Sioo=(-0-g)4 一 外，两 式 相 减 得。4=。4+。3 一 艺+及，1严 1*1-2+，+1，(.2-&+1 0 0 _ 施)=(2+如+4-+yrnnj=惊+/+券）【答 案】一 七（2）|（2-04.（2012四 川，20,12分,中）已 知 数 列 为 的 前 项 和 为 S”，K a2an=S2+S,对 一 切 正 整 数 n 都 成 立.（1）求 处，色 的 值；（2）设 00,数 列“g嘲 的 前 n 项 和 为 G.当 n 为 何 值 时，7；最 大？并 求 出 G 的 最 大 值.解：（1）取=1,得 念 m=S2+Si=2a+a?,取 胃=2,得”2。1+2。2,由-，得。2（。2-Q1）=。2.若 做=0，由 知 a=0.若。2#0，由 次 口。2-m=1.由 解 得|=也+1,2=2+也 或 a=1-念=2-也.综 上 可 得，a=0,。2=0 或。1=也+1,。2=/+2 或。1=1-也，。2=2-啦.（2）当 0时，由 知。1=也+1,做=也+2.当 22 时，有(2+啦)aa=S2+S”(2+啦)即-i=S2+S“-i，所 以(1+”=(2+”T，即 an=2an-i(n2),所 以 an=处（小 尸=（啦+1）（啦）1令 b=1g 则 b,=-lg（V2）n=1-l）lg2=3 成 兽.所 以 数 列。“是 单 调 递 减 的 等 差 数 列（公 差 为-；lg 2）,从 而 仇 力 2=lgVlg 1=0，当 心 8 时，bnWbg=j 噌 1=2,则 数 列 为 的 通 项 公 式 是4OB yA)-B2A”2(2)(2014安 徽 合 肥 一 模，14)已 知 数 列 斯 满 足 m=l,一=4,an+2+2a=3an+i(N*),则 数 列 斯 的 通 项 公 式 an=.(3)(2015山 东 临 沂 模 拟，11)已 知 数 列 斯 满 足 田=1,即+产 3%+2,则 数 列 斯 的 通 项 公 式 为.【解 析】(1)设 小 8。的 面 积 为&),梯 形 4 A 圈 4+i 的 面 积 为 S,由 比 例 性 质 得 含 J S=3S。，所 以(即+甲 1+3 an+2J=4+3 2、得 到 M M 曲)由 累 乘 法 可 得 2 O|y 1 4 7 3/7-2荷 匕=(曲 言 不 即 而 7 7且 力=4X7XT0XX3M+1=1，则 an=-2.(2)由 an，2+2a-3a+i=0,得 斯+2 一 斯+i=2 a.i-斯)，二 数 列 斯+1 一 为 是 以 做-=3 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列,.,.斯+1-an=3 2 1.2 2 时，an-an-=3-2H 2,，俏 一。2=3,2,恁 一。1=3,将 以 上 各 式 累 加 得 an-a=3,2-2+32+3=3(2/,-1-1),斯=3 2-2(当=1 时,也 满 足).(3)：恁+=3a,j+2,+1+1=3(a+1).?=3,.数 列,+1 是 等 比 数 列，公 比 q=3.斯 十 1又 m+l=2,+1=2 3一，an=2-3 1-1.【答 案】(1加 产 逢 3-2(2)32-12(3)斯=2-3”|_【点 拨】解 题(1)的 关 键 是 根 据 三 角 形 中 的 比 例 性 质 找 出 递 推 公 式，然 后 再 用 累 乘 法 求 斯;解 题(2)的 关 键 是 将 为+2+2an=3a”.1变 形 后 得 出 数 列 恁.|-an是 等 比 数 列，再 利 用 累 加 法 求 解；解 题(3)的 关 键 是 构 造 等 比 数 列.目 何 3 图 已 知 数 列 的 递 推 公 式 求 通 项 公 式 的 常 见 类 型 及 解 法(1)形 如 斯+1=源+9),常 用 累 加 法.即 利 用 恒 等 式 an=ai+(a2ai)+(a3-G2)H-1-(。一 的-1)求 通 项 公 式.(2)形 如 斯+1=劭/()，常 用 累 乘 法，即 利 用 恒 等 式 an=a 瓷 詈.卫-求 通 项 公 式.(3)形 如 知+1=%+(其 中 b,d 为 常 数,bWO,1)的 数 列，常 用 构 造 法.其 基 本 思 路 是：构 造 a”+i+x=b(a+x)(其 中 x=),贝 ij a”+x 是 公 比 为 b 的 等 比 数 列，利 用 它 即 可 求 出 斯.(4)形 如 为 q,r是 常 数)的 数 列，将 其 变 形 为 一 匚=；若。=心 贝 是 等 差 数 列，且 公 差 为 3 可 用 公 式 求 通 项；若 p#r，则 采 用(3)的 办 法 来 求.(5)形 如 an+2=pa+l+qa(p,q 是 常 数，且 p+q=l)的 数 歹 U，构 造 等 比 数 列.将 其 变 形 为 斯+2a.+i=(一 力(即+16)，则 为 一 6-|(22,WN*)是 等 比 数 歹!J,且 公 比 为 一 4,可 以 求 得。一。”-1=/()，然 后 用 累 加 法 求 得 通 项.(6)形 如。1+2a2+3。3 H-F即=/()的 式 子，由。1+2672+3。3+即=/()，得 m+2做+3。3+(1)斯-1=/(1)，再 由 一 可 得 a”.题 题 孤 窗(1)(2015山 东 临 沂 模 拟，5)在 数 列 斯 中,句=2,an+x=an+ln(l+J，则 诙 等 于()A.2+ln n B.2+(H l)ln nC.2+wln n D.l+w+ln n(2)(2015山 东 日 照 模 拟，12)设 aa 是 首 项 为 1 的 正 项 数 列，且(+1)“加na+a+i an=O(n l,2,3,)，则 它 的 通 项 公 式 为=.(3)(2015四 川 成 都 月 考，14)已 知 数 列%中，m=l,a”+i=?6”=则 数 列 出 的 通 项 公 式 bn=.(1)【答 案】A 由 已 知，斯+i c tn=In,。1=2,所 以 斯 一 a 一 1=ln _ 1(心 2),_/1cin-I 2 I”_ 2ci2-ci=Iny,将 以 上 一 1个 式 子 叠 加，得 an a=h r i+ln一 H-Flnvn-1-2 1(n n-2、-i 2 1J=ln n.所 以 a=2+ln(2 2),经 检 验 n=时 也 适 合.故 选 A.(2)【解 析】因 为(+1)%+a+i,斯-=0,所 以(即+1+%)(+1)%+1-斯=0.又 为 t+an 0,所 以(+1)斯+i-nan=0,g p-=-,an+1所 以”a。2。31 2 3 4Q5.-。4。-1n-=-x-x-x-x X-,2 3 4 5 n所 以 即=1.【答 案】1(3)【解 析】由 于 知,1-2=,-2-2=医：2,“1 2 斯 4-所 以=-7=+2,斯+1-2 an 2 an 2即 与 7=44?+2,力?+1+|=416+|).又。1=1,故 仇=-1.a2所 以,”+|：是 首 项 为-；，公 比 为 4 的 等 比 数 列，儿+|=-；*4 11 7b=-X 4 T-j1 o【答 案】一 X 4 T-：考 向 2 由 S”和 a的 关 系 求 通 项 1.斯 与，的 关 系 若 数 列 斯 的 前 项 和 为 则 5 1(=1),SnSn-(2 2).2.已 知 求 即 时 应 注 意 的 问 题(1)应 重 视 分 类 讨 论 思 想 的 应 用，分=1 和 2 2 两 种 情 况 讨 论，特 别 注 意 an=SnSn-i 中 需”22.(2)由 S”-S”=4”推 得 a”，当=1时,也 适 合 a 式，则 需 统 一“合 写”.(3)由 S”-S”-i=a”推 得 斯，当=1 时，幻 不 适 合“即 式”，则 数 列 的 通 项 公 式 应 分 段 表 示(“分 写”)，即 S(7 7=1),an-/Sn-Sn-l(3 2).2 I口 国 团 0 2(1)(2013课 标 I,14)若 数 列 斯 的 前 项 和=铲“+不 则 斯 的 通 项 公 式 是 a=.+2(2)(2012大 纲 全 国，18,12分)已 知 数 歹 H。中，勾=1,前 项 和 S”=y a”.求。2，。3；求 斯 的 通 项 公 式.2 1?1【解 析】(1)由 S=斯+1得，当“2 2 时，5?-1=/一+，两 式 相 减，整 2 1理 得 an=-2an-,又=1 时，Si=4=乎 1+,=1,.二。是 首 项 为 1,公 比 为-2 的 等 比 数 列，故 斯=(-2)一】.4(2)由 S?=铲 2 得 3(.1+。2)=4。2,解 得。2=3。1=3.由 S3=1,(73 得 3(。1+。2+。3)=5。3，解 得 a3=|+。2)=6.由 题 设 知 a=1.+2+1当/2 时，有 c i f i Su Su-1-3 3-1，%+1整 理 得 知=.I.n 一 1于 是 ai=L3。2=产 1，4。3=淤 2，即 1=_ 产-2,“十 1斯=拉 _ 产 7-1.将 以 上 M 个 等 式 两 端 分 别 相 乘，e/d(+1)整 理 何 a,=-2-显 然，当=1 时 也 满 足 上 式.Y I(+1)综 上 可 知，a”的 通 项 公 式 an=-【点 拨】解 题(1)的 关 键 是 由 a=S“-S-构 造 等 比 数 列 求 斯；解 题(2)的 关 键 是 通 过 给 出 的 工 与 斯 的 关 系，得 出 处 与 斯 t 之 间 的 关 系，再 利 用 累 乘 法 求 得 an.&出 国 目 已 知 S求 为 的 一 般 步 骤(1)先 利 用。1=$求 出 al；(2)用 M-1 替 换 S”中 的 n 得 到 一 个 新 的 关 系，利 用 品=5-工 一 1(22)便 可 求 出 当“2 2 时 许 的 表 达 式；(3)对=1 时 的 结 果 进 行 检 验，看 是 否 符 合 2 2 时 a”的 表 达 式，如 果 符 合,则 可 以 把 数 列 的 通 项 公 式 合 写；如 果 不 符 合，则 应 该 分=1 与 2 2 两 段 来 写.国 图 加 自(2012广 东，19,14分)设 数 列 斯 的 前 项 和 为 S”，数 列 S J的 前 n 项 和 为 Tn,满 足 豆=2sl 2,“GN*.(1)求 的 值；(2)求 数 列 斯 的 通 项 公 式.解：(1)令=1 时，T,=2Si-1,因 为 7 1=&=。1，所 以 m=2 a i-l,所 以 幻=1.(2)当 2 2 时，=1/,则 Sn=Tn-Tn-=2Sn-rT-2Sn-i-(M _ I)2=2(5,；-S,)-2n+1=2a-2M+1.因 为 当=1时，t?i=Si=1也 满 足 上 式，所 以 S=2a4-2+1(2 1).当”2 2 时，S4-1=2a”-1-2(-1)+1,两 式 相 减 得 a=2an-2an-i-2,所 以 an=2an.+2(22),所 以 an+2=2(a-i+2).因 为 3+2=3W0,所 以 数 列 斯+2 是 以 3 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.所 以 an+2=3X2所 以 a”=3X 2T-2.当=1时 也 满 足 上 式，所 以 斯=3X 2T-2.考 向 3 数 列 的 单 调 性 及 其 应 用1.数 列 与 函 数 的 关 系 从 函 数 观 点 看，数 列 可 以 看 成 是 以 正 整 数 集 N*或 N*的 有 限 子 集 1,2,3,为 定 义 域 的 函 数 斯=外)，当 自 变 量 按 照 从 小 到 大 的 顺 序 依 次 取 值 时 所 对 应 的 一 列 函 数 值.2.数 列 的 单 调 性(1)递 增 数 列=4+1 斯；(2)递 减 数 列=%+。1。2的。4,aa(ya7,an 1(n N*).数 列 斯 中 的 最 大 项 为 as=2,最 小 项 为.=0.1,、1 2(2)即=1+。+2(-1)=1+1?n 2已 知 对 任 意 的“CN*,都 有 成 立，12结 合 函 数/(X)=1+二 7的 单 调 性，x-.2-a g可 知 5-6,即 一 10-8.历 回 国 囹 判 断 数 列 单 调 性 的 常 用 方 法（1）作 差 比 较 法：诙+1。“0=数 列 斯 是 单 调 递 增 数 列；%+1为 0 时，则 誓 1=数 列 斯 是 单 调 递 增 数 列；誓 1Q数 列%是 单 调 递 减 数 列；誓=1Q 数 列%是 常 数 列.a”当 4”1=数 列 斯 是 单 调 递 减 数 列；?“&.求 实 数 人 的 取 值 范 围.解：（1）由 2-5+40,解 得 1 2+加+4,化 简 得，k-2n-1,又 有 N*,则 有 A-3.第 步 过 模 拟 1.（2015重 庆 模 拟，4）已 知 m=1,即=（斯+1斯）（叱），则 数 列,的 通 项 公 式 是（）A.2-1 B.+n 1nC.n2 D.n【答 案】D 因 为=（即+1a）,所 以 答 n+1n所 以 斯=a 一 2 的 a?a-2。-3 a?n n1 n2 3 2=x=x x-X/X j X1=.2.(2014河 北 四 校 联 考，5)已 知 数 列%满 足 条 件 g a i+&f 2+*a 3 H-=2+5,则 数 列 为 的 通 项 公 式 为()14(=1),A.斯=2 B.斯 丁 皿(心 2)C.an=2n D.a,=2n+2【答 案】B 由 题 意 可 知，数 列 斯 满 足 条 件 gai+gz+/sH-1品=2+5,则+/2 2+*4 3-1-an-二 2(-1)+5,心 1,两 式 相 减 可 得，|l=2n+5 2(n1)5=2,：.a,=2+,n,CN*.当=1 时，=7,.a=A,综 上 可 知，数 列 劣 的 通 项 公 式 为：14(=1),产 在(心 2)故 选 B3.(2015河 南 洛 阳 模 拟，7)将 石 子 摆 成 如 图 所 示 的 梯 形 形 状，称 数 列 5,9,14,20,为“梯 形 数”.根 据 图 形 的 构 成，此 数 列 的 第 2 014项 与 5 的 差，即。2 0 1 4-5=()A.2018X2 012 B.2 020X2 013C.1 009X2 012 D.1 010X2013【答 案】D 因 为 斯 一 a”-i=+2（22）,s=5,所 以。2 014=（。2 014。2 013）+伍 2 013 Q2 012）H-卜（。2一。1）+。1=2 016+2 015+4+5=(2016+4)X2013=1 010X2013+5,所 以。2014 5=1 010X2 0 1 3,故 选 D.4.(2015江 西 九 江 模 拟，13)在 数 列 斯 中，已 知。|=1,为+1=一 7,记 S为 数 列 斯 的 前 项 和，则 S2 0 1 4=.解 析 a2=-7 7=_T T 7=。+1 1+1 21 1的=一-；-=-2,必+1.1+1_.出 一 一 6+1=-2+1=1，可 见。4=。1，由 此 可 得，斯+3=斯，因 此 数 列 斯 是 以 3 为 周 期 的 周 期 数 列,则 2 014=671 X Q+。2+的)+C L=671x(1-1-2j+1=20112,【答 案】2011 25.(2015山 东 潍 坊 调 研，12)已 知 斯 是 递 增 数 列，且 对 于 任 意 的 WN*,a=2+初 恒 成 立，则 实 数 2 的 取 值 范 围 是【解 析】方 法 一(定 义 法)：因 为,是 递 增 数 列，所 以 对 任 意 的 nGN*,都 有 即(+1)2+2(+1)2+幼，整 理，得 2+1+%0,即-(2+1)(*).因 为 2 1,所 以-(2+1)-3.方 法 二(函 数 法)：设.火)=4=+M，其 图 象 的 对 称 轴 为 直 线=-日，要 使 数 列 为 为 递 增 数 列，只 需 使 定 义 域 在 正 整 数 上 的 函 数 次)为 增 函 数，故 只 需 满 足 人 1)勺,即-3.【答 案】拉 一 36.(2015山 东 青 岛 调 研，16,12分)已 知 数 列 诙 的 前 项 和 为,点(，S)(G N*)在 函 数 _/(%)=|x2+1x 的 图 象 上.(1)求 数 列 为 的 通 项 公 式；（2）设 数 列 I C T 的 前 项 和 为 T,不 等 式 7；电&（1一。）对 任 意 正 整 数 n恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.解:（1）.,点（，S）在 函 数 加）=$2+g x 的 图 象 上，S=；2+5.当“2 2 时，S-|=|（W-1）2+|（M-1）,一 得 an=n.当=1 时，a i=S=；+；=l,符 合 上 式，*an=n（n e N*）.（2）由（1）得,2=n（H+2）=2（-用），1 1 1.F=G+后+大 Tn+1-T=(+1)(+3)05数 列 4 单 调 递 增,G 中 的 最 小 项 为 r1=1.要 使 不 等 式 T”|iog（l-a）对 任 意 正 整 数“恒 成 立，只 要 g；lo&（l-a）,即 loga(l-a)0,a0,.-07a,.-07,即 实 数 a 的 取 值 范 围 为(0，J.等 差 数 外 及 其 前 项 和 第 HJL，试 真 题 A 组 新 题 速 递 1.（2015北 京，6,中）设 斯 是 等 差 数 列，下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.若 41+20，则。2+。30B.若 3V0，则 m+a2VoC.若 0 142，贝|JD.若 10【答 案】C 对 于 A,若 i=2,。2=1，的=4,则 2+。3=50，结 论 不 成 立；对 于 C,*.*0a 1 v 2，*介 0.。的=（。2 H-d）=2 d2 V 谒,.Ra 1 a3s.二 结 论 成 立；对 于 D,（做 一 q）=一/W 0，结 论 不 成 立.2.（2015广 东,10,易）在 等 差 数 列 斯 中，若 的+。4+的+。6+。7=25,则 a?+恁=.【解 析】.改+48=。3+。7=。4+。6=2/，+。8）=2 5,+48=10.【答 案】103.（2015陕 西，13,易）中 位 数 为 1 010的 一 组 数 构 成 等 差 数 列，其 末 项 为 2015,则 该 数 列 的 首 项 为.【解 析】设 首 项 为 0，由 等 差 中 项 的 定 义 知 0+2 015=2X1 010,=5.【答 案】54.（2015课 标 II,16,中）设 S 是 数 列 斯 的 前 项 和，且 田=-1,an+l=SnSn 4-1,则 Sn【解 析】,*an+=SnSn+1,且 斯 i-+1-Sn,S+1 Sf J=Sf JSn+1,1*1$侦 二 又 7；-=1，即-3=-1.+1 品+1匚-1,是 首 项 为-1,公 差 为-1的 等 差 数 列,-4=-1+(-1)X(-1)=-n.品 sn=n【答 案】1nB 组 经 典 回 顾 1.（2012辽 宁,6,易）在 等 差 数 列 斯 中,已 知。4+。8=16,则 该 数 列 前 11项 和 S”=（）A.58 B.88 C.143 D.176【答 案】B 由 等 差 数 列 性 质 可 知，。4+。8=0+勾 1=16,所 以 S“=1 1 X（m+a u）-2 工=88.2.（2014辽 宁，8,中）设 等 差 数 列 斯 的 公 差 为 若 数 列 2。为 递 减 数 列，则（）A.d0C.aid 0 D.aid 0【答 案】c 设 d=2 7”，则 仇 什 尸 2”+”由 于 2。5 是 递 减 数 列，则 bn bn+i，即 2匕 2,.,歹=2是 单 调 增 函 数，.ai斯.斯+1，.aana（an+d）0,a（aad）0,即 a（d）0,.,.ad 0,思 路 点 拨：把 20小 看 成 一 个 整 体 小，利 用 递 减 数 列 的 关 系 式 仇 仇.1求 解.3.（2012江 西，12,易）设 数 列 斯,仇 都 是 等 差 数 列，若 s+3=7,的+6=2 1,则 的+65=.解 析 方 法 一：设 cn=a+bn,：斯,伉 是 等 差 数 列,c”是 等 差 数 列，设 其 公 差 为 d,则 ci=7,C3=ci+2J=21,解 得 d=7,因 此,C5=的+人 5=7+(5-1)X7=35.方 法 二:设 C=4”+”是 等 差 数 列，二 是 等 差 数 列,-1(03+)=(。1+仇)+(的+仇)，即 42=7+(%+仇)，因“匕 恁+岳=42 7=35.【答 案】354.(2013重 庆，12,易)已 知 斯 是 等 差 数 列，田=1,公 差 dNO,为 其 前“项 和，若 a”a2,小 成 等 比 数 列，则$8=.【解 析】设 数 列 为 的 公 差 为 d,由 可，的 的 成 等 比 数 列，得(1+d)2=1,(1+4d),解 得 d=2 或 d=0(舍 去)，z 8X(8-1)所 以 Sg=8X 1+-X2=64.【答 案】645.(2013课 标 H,16,难)等 差 数 列 斯 的 前 项 和 为,已 知 Sio=O,$5=25,则 S”的 最 小 值 为.【解 析】设 数 列 为 的 首 项 为 s，公 差 为 乩 10X9 则 Sio=lOai+-2 4=10。1+45d=0,15X14 S15=15i+2 d=15al+105d=25.(2)2联 立，得 6=-3,d=y“M(M-1)2所 以 S”=-31+2 X-1 2 10=铲 一 5 九 令./()=nS,则=|3-与 2,.,、2 20f()=-y-20令/()=0,得=0 或=了.20 20 20当-y时，/(72)0,当 0 亍 时，/()0,所 以 当=于 时，/()取 最 小 值，而 SN*,而/(6)=-48,/(7)=-49,所 以 当=7 时，/()取 最 小 值 一 49.【答 案】-496.(2014大 纲 全 国，18,12分，中)等 差 数 列%的 前 项 和 为 S”已 知。1=10,。2 为 整 数，且 S,WS4.(1)求 6 的 通 项 公 式；(2)设 与=一，求 数 列 bn的 前“项 和 T.解：(1)由 41=10,劭 为 整 数 知，等 差 数 列 恁 的 公 差 d 为 整 数.又 S”WS4，故 242，。5，于 是 10+3d20,10+44W0.解 得-1,因 此 d=-3.数 列 为 的 通 项 公 式 为 an=13-3/2.(2也=(13 一 3”)1(1 一 1-5110-3 13-3.于 是 Tn=h+h2+10-+/(ln+3Mif i=4 10-3-10广 10(10-3).7.(2012陕 西，17,12分，中)设%是 公 比 不 为 1的 等 比 数 列，其 前 项 和 为 冬，且 的，的，如 成 等 差 数 列.(1)求 数 列 小 的 公 比；(2)证 明：对 任 意 左 GN*,S，Sk，&+i成 等 差 数 列.解：(1)设 数 列%的 公 比 为 q(q#0,1),由 as，的，。4成 等 差 数 列，得 2 6=。5+。4，即 2(14=aq+a、q,由。1#0,q*0 得/+4-2=0,解 得?1=-2,2=1(舍 去)，所 以 g=-2.(2)证 明：方 法 一：对 任 意 后 GN*,SR+2+SE-2Sk=(S s-s。+(S*+1-SQ=4*1+ak.2+ak-=2四*1+a*+i(-2)=0,所 以，对 任 意 人 dN*,S*+2，Sb S E 成 等 差 数 列.万 法 二：对 任 意 左 W N,2Sk=-,i-q_.(2-式 2 qk)i-q2 s L(Sh2+S*+i)2a i(1-q)a(2-qkt2-qk*1)-1-q 1-q=言 2(1-力-(2-六 2 一 式)=含+4-2)=0,因 此，对 任 意 左 GN*,S+2,Sk,S A T成 等 差 数 列.第 步,现 能 力 4考 向 1 等 差 数 列 的 性 质 及 基 本 运 算 1.等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 项 和 的 公 式(1)斯=。1+(1);_ _,n(-1)d n(2)S?=ai 2=2 2.等 差 数 列 的 常 用 性 质(1)通 项 公 式 的 推 广：an=am-(iim)d(n,w N*).(2)若 a 是 等 差 数 列，且 左+/=?+(左，I,m,n G N*),则 延+q=”+斯.(3)若&是 等 差 数 列,公 差 为 力 则。2“也 是 等 差 数 列，公 差 为 2d.(4)若 以,“是 等 差 数 列，则 仍 斯+/”伪，gS N*)也 是 等 差 数 列.(5)若&是 等 差 数 列,则 以,Clk+nt，四+2”(鼠 加 WN*)组 成 公 差 为 m d的 等 差 数 列.3.与 等 差 数 列 各 项 的 和 有 关 的 性 质(1)若 斯 是 等 差 数 列，则 也 成 等 差 数 列，其 首 项 与,首 项 相 同，公 差 是 公 差 的 去(2)若 斯 是 等 差 数 列，Sm，s2m,S3,”分 别 为 缶”的 前 机 项，前 2用 项，前 项 的 和，则 必，S2m-Sm,S3,”一 S2,”成 等 差 数 列.(3)关 于 等 差 数 列 奇 数 项 和 与 偶 数 项 和 的 性 质 若 项 数 为 2，则 S L S 1 力=-J偶 为+1S有 Y I 若 项 数 为 2 一 1,则 S 偶=(-1)af19 S 奇 S 奇 一 S 偶=a，,T-=1.J 偶 一 1(4)两 个 等 差 数 列%,出“的 前 项 和 S”，北 之 间 的 关 系 为 胃=黑 工 2n EJ回 EJ的 1(1)(2014福 建，3)等 差 数 列 小 的 前 n 项 和 为 Sn,若 卬=2,53=12,则 劭 等 于()A.8 B.10 C.12 D.14(2)(2013课 标 I,7)设 等 差 数 列 的 前 项 和 为 S,”若 S“i=2,S,”=0,S+i=3,则 z=()A.3 B.4 C.5 D.6(3)(2013广 东，12)在 等 差 数 列 恁 中,已 知 的+。8=10,所 以 3a5+a7=，刀 工 由 3X(3-1)3X2 工【角 翠 析】因 为 S3=3+-2-d=3X2+d=12,所 以 4=2.所 以 46=41+(6-1)1=2+5X2=12.故 选 C.(2)设 首 项 为 四，公 差 为 d,由 题 意 可 知，am=Sm-Sm-=2,am.-Sni=3,故 d=Lm(a+am),.又 Sm=2=0，故 m=-a,”=-2,m(w-1)又 Sm=ma+2 d=0,-1)所 以-2加+z=0,解 得 tn=5.故 选 C.(3)方 法 一:的+&8=2为+9d=10,贝 1 3。5+即=3(0+4d)+a+6d=2(2i+9d)=20.方 法 二：3a5+即=2a5+Q+a7)=2a5+2a(,=2 Q+tz6)=2(的+a8)=20.【答 案】(1)C(2)C 20【点 拨】解 题 的 关 键 是 根 据 S3求 出 公 差；题(2)的 关 键 是 弄 清,=*-S-),同 时 要 准 确 应 用 等 差 数 列 的 求 和 公 式；题(3)中 的 方 法 一 属 于 通 法 通 解，方 法 二 利 用 了 等 差 数 列 的 性 质.目 出 偏 囹,1.等 差 数 列 运 算 问 题 的 通 性 通 法(1)等 差 数 列 运 算 问 题 的 一 般 求 法 是 设 出 首 项 内 和 公 差 d,然 后 由 通 项 公 式 或 前 项 和 公 式 转 化 为 方 程(组)求 解.(2)等 差 数 列 的 通 项 公 式 及 前 项 和 公 式，共 涉 及 五 个 量 0，an,d,n,Sn,知 其 中 三 个 就 能 求 另 外 两 个，体 现 了 方 程 思 想.2.等 差 数 列 前 项 和 公 式 的 应 用 方 法 根 据 不 同 的 已 知 条 件 选 用 求 和 公 式，如 已 知 首 项 和 公 差 选 用=0+(丁)d；若 已 知 通 项 公 式，则 使 用 s,二，(、)，同 时 注 意 与 性 质+an=a2+an-=ai+an-2=,的 结 合 使 用.回 同 皿 窈(2014湖 北 襄 阳 调 研，5)在 等 差 数 列 斯 中,若。4+。6+。8+r。+a 1 2=9 0,贝 ij m o 5 1 4 的 值 为()A.12 B.14 C.16 D.18【答 案】A 方 法 一：由 等 差 数 列 性 质 及。4+。6+。8+。1()+。12=90,得。8,o g、i 3 0()-414 烦+恁+小 414 m o+a 6 2 2、，-=18,所 以 6Z|0-414=2-=铲 8=*8=2.故 选 A.方 法 二-：由 等 差 数 列 的 性 质 及 44+a6+。8+410+。12=90得 5 0+35d=90,1 I 2 2即 ai+7d=18,，aio4i4=ai+9d1(ai+13/)=(m+7/)=X 18=12,故 选 A.考 向 2 等 差 数 列 的 判 定 口 国 团 0 2(2014课 标 I,17,12分)已 知 数 列 知 的 前 项 和 为 S,0=1,斯#0,anan+XSn-1 其 中 丸 为 常 数.(1)证 明：an+1an=k-,(2)是 否 存 在 九 使 得 小 为 等 差 数 列？并 说 明 理 由.【思 路 导 引】题(1)利 用“.I=S“T-S”这 一 结 论；题(2)先 假 设 为 是 等 差 数 列 求 出 4,再 进 行 验 证.【解 析】(1)证 明：由 题 设，anan.=-1,a”+a”+2 AS+1 1两 式 相 减 得 an+i(a”.2-a”)=筋 t.由 于 a”+产 0,所 以。”+2-斯=尢(2)由 题 设，0=1,。1。2=丸&-1,可 得“2=1.由(1)知，的=/+L令 2a2=田+的,解 得=4.故 a”,2-%=4,由 此 可