2015年数学高考分类汇编——函数.pdf

专 题 二 函 数 1.（15年 北 京 理 科）如 图,函 数 x）的 图 象 为 折 线 A C B,则 不 等 式 力 1（+1）的 解 集 是 A.x|-lxWO B.X|-1 W X W 1C.x|-lxWl D.x|-lxW2【答 案】C【解 析】试 题 分 析：如 图 所 示，把 函 数 y=log?x 的 图 冢 向 左 平 移 一 个 单 位 得 到 y=log2（x+1）的 图 冢 x=1时 两 图 冢 相 交，不 等 式 的 解 为-1 x 4 1,用 集 合 表 示 解 集 选 C考 点：1.函 数 图 象；2.解 不 等 式.2.（15年 北 京 理 科）汽 车 的 燃 油 效 率”是 指 汽 车 每 消 耗 1 升 汽 油 行 驶 的 里 程，下 图 描 述 了 甲、乙、丙 三 辆 汽 车 在 不 同 速 度 下 的 燃 油 效 率 情 况.下 列 叙 述 中 正 确 的 是 一 燃 油 效 率(km/L)速 度(km/h)A.消 耗 1 升 汽 油，乙 车 最 多 可 行 驶 5 千 米 B.以 相 同 速 度 行 驶 相 同 路 程，三 辆 车 中，甲 车 消 耗 汽 油 最 多 C.甲 车 以 80千 米/小 时 的 速 度 行 驶 1 小 时,消 耗 10升 汽 油 D.某 城 市 机 动 车 最 高 限 速 80千 米/小 时.相 同 条 件 下，在 该 市 用 丙 车 比 用 乙 车 更 省 油【答 案】【解 析】试 题 分 析：燃 油 效 率”是 指 汽 车 每 消 耗 1 升 汽 油 行 驶 的 里 程，A 中 乙 车 消 耗 1 升 汽 油，最 多 行 驶 的 路 程 为 乙 车 图 象 最 高 点 的 纵 坐 标 值，A 错 误；B 中 以 相 同 速 度 行 驶 相 同 路 程,甲 燃 油 效 率 最 高，所 以 甲 最 省 油，B 错 误，C 中 甲 车 以 80千 米/小 时 的 速 度 行 驶 1 小 时,甲 车 每 消 耗 1 升 汽 油 行 驶 的 里 程 10km,行 驶 80km,消 耗 8 升 汽 油，C 错 误，D 中 某 城 市 机 动 车 最 高 限 速 80千 米/小 时.由 于 丙 比 乙 的 燃 油 效 率 高，相 同 条 件 下，在 该 市 用 丙 车 比 用 乙 车 更 省 油，选 D.考 点：1.函 数 应 用 问 题；2.对“燃 油 效 率”新 定 义 的 理 解；3.对 图 象 的 理 解.3.(15年 北 京 理 科)设 函 数/(=2 a，4(x-a)(x-2n),若。=1,则 的 最 小 值 为 若/(x)恰 有 2 个 零 点，则 实 数 a 的 取 值 范 围 是.【答 案】(1)1,(2)-a 2.2【解 析】试 题 分 析：Q a=1时，/IX I=(2.I，函 数/缶)在(-8,1)上 为 增 函 数，函 数 值 4i r-1 i t r-2i,x?1.大 于 1,在 口 二 为 魂 函 数，在 声，4)为 噌 函 数，当 x=之 时，/取 得 最 小 值 为 1；2 2 2(2)若 函 数 g(x)=2-3在 X 0,并 且 当 X=1时，g=2-a0,则 0 a 1且 a 1=匕 a 1与 x 轴 有 无 交 点,不 合 题 意:当 H1)=2-a 0时，a 2,(*)与 又 轴 有 两 个 交 点，x-a和 x-2a,由 于 a 2 2,再 交 点 横 坐 标 均 满 足 X 1；综 上 所 述 a 的 取 值 范 围 1 K a 1或 a N 2.2考 点：1.函 数 的 图 象；2.函 数 的 零 点；3.分 类 讨 论 思 想.4.(15年 北 京 文 科)下 列 函 数 中 为 偶 函 数 的 是()A.y=x2 sin x B.y=x cosx C.y=|ln.r|D.y=2x【答 案】B【解 析】试 题 分 析：根 据 偶 函 数 的 定 义/(-x)=/(x),A 选 项 为 奇 函 数，B 选 项 为 偶 函 数，C 选 项 定 义 域 为(0,+QO)不 具 有 奇 偶 性，D 选 项 既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数，故 选 B.考 点：函 数 的 奇 偶 性.5.(15年 北 京 文 科)2一 3,3 log?5三 个 数 中 最 大 数 的 是.【答 案】log25【解 析】1 1 L试 题 分 析：2=1,log2 5 log2 4 2 V3,所 以 1(5 最 大.8考 点：比 较 大 小.6.(15年 广 东 理 科)下 列 函 数 中，既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数 的 是 t1 2 1A.y=x+e B.y=x+C.y=2+D.y=A/1+X2【答 案】A.【解 析 令.f(x)=x+e 则/(l)=l+e,/(l)=l+ei 即/(l)xf(l),所 以 y=x+既 不 是 奇 函 数 也 不 是 偶 函 数，而 BCD依 次 是 奇 函 数、偶 函 数、偶 函 数，故 选 4.【考 点 定 位】本 题 考 查 函 数 的 奇 偶 性，属 于 容 易 题.7.(15年 广 东 理 科)设 a 1,函 数/。)=(1+X 2)/-4。(1)求/(x)的 单 调 区 间；(2)证 明：/(X)在(一 8,+8)上 仅 有 一 个 零 点；若 曲 线 y=/(x)在 点 P 处 的 切 线 与 x轴 平 行，且 在 点 用(见)处 的 切 线 与 直 线。P 平 行(。是 坐 标 原 点)，证 明：【答 案】(1)(一 8,+8)；(2)见 解 析；(3)见 解 析.【解 析】(1)依 题/)=(1+巧 2，+(1+/)卜)=(1+)2,20,.)(X)在(-00,+8)上 是 单 调 增 函 数；(2),/al,7101=1-1 一 个-a 0,flxl在 9 a I上 有 零 点，又 由(1)知 邛 在 l-E-xl上 是 单 调 噌 函 数，。X I在 i-工-工 上 仅 有 一 个 零 点；(3)由 知 令/Txi=o 得 x=T,又。-1|=二-a,即 9：-1二-J,0 1,-0),kap=a-,又 fTml=ll+m e，,11-m r=a 一 二，e令 gl i I=c戋-i-1,贝 I I gim I=/；-i,由 gl 电 I 0得 i 0,由 gl i I f f c 3-7”-41，。一 二=11-m I*(1-m I*(1-m|=(1 一 加 f BP fa 一 二 1-,小“后 7.【考 点 定 位】本 题 考 查 导 数 与 函 数 单 调 性、零 点、不 等 式 等 知 识，属 于 中 高 档 题.8.（15年 广 东 文 科）下 列 函 数 中，既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数 的 是（）2 A.y=x+sin x2 r 1B.y=x-cos x C.y=2+D.y=x+sin2x【答 案】A【解 析】试 题 分 析：函 数/(x)=x2+sinx的 定 义 域 为 R,关 于 原 点 对 称，因 为/(l)=l+sinl,/(-x)=l-sinl,所 以 函 数 x)=x2+sinx既 不 是 奇 函 数，也 不 是 偶 函 数；函 数 x)=x2cosx的 定 义 域 为 R,关 于 原 点 对 称，因 为/(-%)=(-%)-cos(-x)=X2-cos X=/(x),所 以 函 数/(x)=x2-cos 尤 是 偶 函 数；函 数/(力=2+5 的 定 义 域 为 区，关 于 原 点 对 称，因 为/()=2-+；=*+2=/(x),所 以 函 数 八 月 二？、!是 偶 函 数；函 数/(x)=x+sin2x的 定 义 域 为 R,关 于 原 点 对 称，因 为=-x+sin(-2x)=-x-sin2x=-/(x),所 以 函 数/(x)=x+sin2尤 是 奇 函 数.故 选 A.考 点：函 数 的 奇 偶 性.4.9.(15年 安 徽 文 科)下 列 函 数 中，既 是 偶 函 数 又 存 在 零 点 的 是()(A)y=lnx(B)y=x?+1(C)y=sinx(D)y=cosx【答 案】D【解 析】试 题 分 析：选 项 A：y=/inx的 定 义 域 为(0：+8),故】=不 具 备 奇 偶 性，故 A 错 误;选 项 B：p=/+l 是 偶 函 数，但 丁=/+1=0 无 解，即 不 存 在 零 点，故 3 错 误；选 项 C：p=sinx是 奇 函 数，故 C 错；选 项 D：y=cosx是 偶 函 数，-T-且 j=cosx=0=x=+ATT,k ez 9 故 D 项 正 确.考 点：1.函 数 的 奇 偶 性；2.零 点.10.10.(15年 安 徽 文 科)函 数“H i d+b F+c x+d 的 图 像 如 图 所 示，则 下 列 结 论 成 立 的 是()(A)a0,b0,d0(B)a0,b0,c0(C)a0,b0,c0(D)a0,b0,c0,d0考 点：函 数 图 象 与 性 质 11.(15 年 安 徽 文 科)l g|+2 1 g 2-(i)-【答 案】-1【解 析】试 题 分 析：原 式=lg 5 lg2+21g2=lg5+lg2 2=1 2=1考 点：1.指 数 幕 运 算；2.对 数 运 算.12.（15年 安 徽 文 科）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y中，若 直 线 y=2 a 与 函 数 y=|x-a|-l 的 图 像 只 有 一 个 交 点，则 a 的 值 为。【答 案】2【解 析】试 题 分 析：在 同 一 直 角 坐 株 系 内，作 出 y=2a与 y=|x-4-1 的 大 致 图 像，如 下 图：由 题 意，可 知 C,12a=a=2考 点：函 数 与 方 程.13.(15年 福 建 理 科)下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是()A.y=-Jx B.y=|sin x C.y=cosx D.y=ex-ex【答 案】D【解 析】试 题 分 析：函 数 p=g 是 非 奇 非 偶 函 数；1=卜 也 乂 和=cosx是 偶 函 数；j=是 奇 函 数，故 选 D.考 点：函 数 的 奇 偶 性.,、-x+6,x 42,14.(15年 福 建 理 科)若 函 数 X)=4(。0 且 4W1)的 值 域 是)3+log“x,x2,4,+oo),则 实 数。的 取 值 范 围 是.t答 案】(1,2【解 析】试 题 分 析：当 x 2,故 一 x+6 N 4,要 使 得 函 数：/(x)的 值 域 为 口 二+工)，只 需 工(x)=3+log&x(x2)的 值 域 包 含 于 4,48),故 a l,所 以 3+logj,所 以 3+l o g/N 4,解 得 1。工 2,所 以 实 数 a 的 取 值 范 围 是(L2.考 点：分 段 函 数 求 值 域.15.(15年 福 建 文 科)下 列 函 数 为 奇 函 数 的 是()A.y-sx B.y-ex C.y=cosx D.y-ex-ex【答 案】D【解 析】试 题 分 析：函 数 了=和 丁=是 非 奇 非 偶 函 数；y=cosx是 偶 函 数；y=/-e f 是 奇 函 数，故 选 D.考 点：函 数 的 奇 偶 性.16.(15年 福 建 文 科)若 函 数/(x)=2 i(a e R)满 足/(l+x)=/(l x),且/*)在 加,+oo)单 调 递 增，则 实 数?的 最 小 值 等 于.【答 案】1【解 析】试 题 分 析:由 l+x)=/(l x)得 函 数/(X)关 于 X=1对 称，故 a=l,则/(x)=2kT,山 复 合 函 数 单 调 性 得/(x)在 1,+8)递 增，故 加 之 1,所 以 实 数 机 的 最 小 值 等 于 1.考 点：函 数 的 图 象 与 性 质.17.(15年 新 课 标 1 理 科)若 函 数 f(x)=xln(x+Ja+f)为 偶 函 数，则 a=【答 案】1 解 析 由 题 知 y=ln(x+ja+x2)是 奇 函 数，所 以 ln(x+ja+x2)+ln(-x+la+x2)=ln(a+x2-x2)=In a=0 解 得 a=l.科)设 函 数)又 log,12 1,所 以/(log212)=2logz12-=2log：6=6,故 18.(15 年 新 课 标 2 理/(x)=l+log2(2-x),xl,2*1 2 1,/(-2)+/(log212)=(A)3(B)6(C)9(D)12【答 案】C】由 已 知 3/(-2)+/(log212)=9.19.(15年 新 课 标 2 理 科)如 图，长 方 形 A B C D 的 边 AB=2,BC=1,0 是 A B 的 中 点，点 P沿 着 边 BC,C D 与 D A 运 动，记/BOP=x.将 动 点 P 到 A、B 两 点 距 离 之 和 表 示 为 x 的 函 数 f(x),则 f(x)的 图 像 大 致 为(A【答 案】BI-1【解 析】.由 已 知 得，当 点 尸 在 8。边 上 运 动 时，即 0 M x 时，PA+PB=7tan.r+4+tan.v；当 点 尸 在。边 i 运 动 时，P-x.x#-W.Pa+PB=J-+1):+1.当.丫=工 时，4 4 2 V tan.r tanx 2PA+PB=2拒;当 点 尸 在 边 上 运 动 时，BP PA+PB=7tan*.r+4-tan x.从 点 产 4 的 运 动 过 程 可 以 看 出，轨 迹 关 于 直 线 x=对 称，且/(7)/(),且 轨 迹 非 线 型，故 选 B.20.(15年 新 课 标 2 文 科)如 图，长 方 形 的 边 AB=2,BC=1,0是 A B 的 中 点，点 P 沿 着 边 BC,CD与 D A 运 动，记 Z B O P=x，将 动 点 P 到 A,B两 点 距 离 之 和 表 示 为 x大 致 为()D._ _ L.-.CA o By y y21 21 A A1.1.1.开 TT 3 _ 万 万 3万 _ 7T 7T 37r4 2 4 4 2 4 4 2 4A.B.C.的 函 数/(1)，则 的 图 像 ycr 1T T”-37-r _ 7T4 2 4D.【答 案】B【解 析】试 题 分 析：由 题 意 可 得/；=2 彳 胃=&+火=储 勺 卜/方 由 此 可 排 除。当?T 1 7 T二 乂 上 学 时 到=1/工+!-：可 知 X6.,T 时 图 像 不 是 线 段:可 排 除 A,故 选 84 cos x 4考 点：函 数 图 像 21.（15年 新 课 标 2 文 科）设 函 数/（x）=ln（l+|x|）二，则 使 得/（x）/（2 x-1）成 立 1+x的 X 的 取 值 范 围 是（）A.刖 B.卜。,加（1收）c.1 翡）【答 案】A【解 析】试 题 分 析：由/（幻=111（1+|刈）-/彳 可 知/（力 是 偶 函 数,且 在 0,+8）是 增 函 数,所 以/（x）/（2x-l）/（附/（|2x-l|）=|x|Rx l=；x 023.（15 年 陕 西 文 科）设/（x）=V,则/（/（2）=（）T,x Q,1 1 3A.-1 B.一 C.一 D.一 4 2 2【答 案】C 解 析】就 题 分 析：因 为/(2)=2=1，所 以/(/(一 2)：)：-=!=:，4 4 4 2 2 答 案 选 C 考 点：1.分 段 函 数；2.函 数 求 值.24.(15 年 陕 西 文 科)设/(x)=x-sinx,则/(x)=()A.既 是 奇 函 数 又 是 减 函 数 B.既 是 奇 函 数 又 是 增 函 数 C.是 有 零 点 的 减 函 数 D.是 没 有 零 点 的 奇 函 数【答 案】B【解 析】试 题 分 析：/(x)=x-sinx=/(-x)=(-x)-sin(-x)=-x+sin x=-(x-sin x)=-/(x)又/(x)的 定 义 域 为 R 是 关 于 原 点 对 称，所 以/(x)是 奇 函 数;f(x)=1-cos x 0=f(x)是 增 函 数.故 答 案 选 8考 点：函 数 的 性 质.25.(15 年 陕 西 文 科)设/(x)=lnx,0ab,若/?=/(而)，q=；(/(4)+/()，则 下 列 关 系 式 中 正 确 的 是()A.q=r p C.p=r q【答 案】c【解 析】试 题 分 析：p=InV=glnab；q=于(=In；r=；(/(a)+/3)=gln因 为 手 J拓，由/(x)=lnx是 个 递 增 函 数，/(g)/(J 拓)所 以 q p=r,故 答 案 选 C考 点：函 数 单 调 性 的 应 用.26.(15年 天 津 理 科)已 知 定 义 在 R 上 的 函 数/()=2卜 一 询-1(m 为 实 数)为 偶 函 数,记 a=/(k)go3 3),b=/(log2 5),c=/(2 2),则。，仇 c 的 大 小 关 系 为(A)a b c(B)a c b(C)c a b(D)c b a【答 案】C【解 析】试 题 分 析:因 为 函 数%)=2卜 川-1为 偶 函 数,所 以 机=0,即/()=2同-1,所 以 a=/(lo g05 3)=/f l o g2+2 卜 时 i=2晦 3 1=3 1=2,b=/(l o g,5)=2噫 5 _ i=4,c=/(2 z)=/(0)=2-1=0所 以 c a b,故 选 C.考 点：1,函 数 奇 偶 性；2.指 数 式、对 数 式 的 运 算.2-IXL x 2,中 若 函 数 y=/(x)g(x)恰 有 4 个 零 点，则 的 取 值 范 围 是(A)7.4-004(B)-8；(C)(D)?2【答 案】D【解 析】/、f2-lxL x 0试 题 分 析：山 x)=?得/(2-尤)=j I,(x-2),x 2,X29 x 02-|x|+x2,x 0所 以 y=/(x)+/(2-x)=4-|x|-|2-x|?0 x 2x2-x+2,x 0即 y=/(i)+/(2 r)=2,0 x 2y=f(x)-g(x)=f(x)+/(2-x)-。，所 以 y=/(元)一 g(x)恰 有 4 个 零 点 等 价 于 方 程/(x)+/(2 x)8=0 有 4 个 不 同 的 解,即 函 数 y=b 与 函 数 y=/(x)+/(2 x)的 图 象【答 案】I6【解 析】试 题 分 析：两 曲 线 的 交 点 坐 标 为(0,0),(1,1)，所 以 它 们 所 围 成 的 封 闭 图 形 的 面 积 S=f(x-/)公=1/一 3 36考 点：定 积 分 几 何 意 义.29.(15年 天 津 文 科)已 知 定 义 在 R 上 的 函 数/(幻=2以 川-1(机 为 实 数)为 偶 函 数，记 a=/(log。5 3),b=/(log2 5),c=/(2m)，则 a也 c,的 大 小 关 系 为()(A)a b c【答 案】B【解 析】(B)cab(C)acb(D)cb2函 数 g(x)=3-(2-x),则 函 数 y=7(x)-g(x)的 零 点 的 个 数 为(A)2【答 案】A(B)3(C)4(D)5【解 析】试 题 分 析：当 x 2-x，=/,此 时 方 程 x，-g，x=T-|x|+x2的 小 于 零 的 景 点 为 x=1+J s 当 04x42 时/，2-x=2-|2-x|=x 方 程/，x，-g，x，=2-卜|+x=2无 零 点；当 x2 时 J，2-xi=2-|2-x|=4-x方 程/，x-g，x，=，x-2,+x-7=x?-3x-3大 于 1 枣 点 有 一 个 故 选 A.考 点：函 数 与 方 程.31.(15年 湖 南 理 科)设 函 数 x)=ln(l+x)ln(l x),则/是()A.奇 函 数，且 在(0,1)上 是 增 函 数 B.奇 函 数，且 在(0,1)上 是 减 函 数 C.偶 函 数，且 在(0,1)上 是 增 函 数 D.偶 函 数，且 在(0,1)上 是 减 函 数【答 案】A.【解 析】试 题 分 析：显 然，/(%)定 义 域 为,关 于 原 点 对 称，又 1,/(-X)=ln(l-x)-ln(l+x)=-/(x),；.f(x)为 奇 函 数，显 然，/力 在 O D上 单 调 递 增，故 选 A.考 点：函 数 的 性 质.，332.(15年 湖 南 理 科)已 知/(x)=1X 2元 a个 零 点，则。的 取 值 范 围 是.【答 案】(一 oo,0)U(L+oo).【解 析】试 题 分 析：分 析 题 意 可 知，问 题 等 价 于 方 程/=8(x4。)叮 方 程=b(x a)的 根 的 个 数 和 为 2,.工 有 解，从 而。1；-y/b a若 方 程 x3=b(xa)无 解，方 程 x2=/；(xa)有 2 个 根：则 可 知 关 于 b 的 不 等 式 组 a有 解，从 而 4b aa 1.贝”或 1 1 解 得 a N g，答 案 选 C)35.(15年 山 东 理 科)已 知 函 数/(x)=a+b(a 0,a#l)的 定 义 域 和 值 域 都 是 1,0，则 a+b=.解 析：当 a l 时 巴 士=一，无 解；a+b=0当 0 4 1 时:。，解 得 人=-2,4=1,a+b=-l 21 3则 a+b=2=.2 20,0 x 1实 根 的 个 数 为【答 案】4【解 析】试 题 分 析；由 题 意 得：求 函 数 J=x)与 1=l-g(x)交 点 个 数 以 及 函 数 1=八*与 J=-l-g(x)交 点 个 数 之:lTOx2,所 以 函 数=/1 与 J=l-g(x)有 两 个 交 点 又|.x:-Llx2-1:0 X 2,所 以 函 数 J=/(x)与=-l-g(x)有 两 个 交 点 因 此 共 有 4个 交 点 x:-11 x 2考 点：函 数 与 方 程