2018年数学真题及解析_2018年天津市高考数学试卷（理科）.pdf

2018年 天 津 市 高 考 数 学 试 卷（理 科）一.选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.(5.00 分)设 全 集 为 R,集 合 A=x|0V xV 2,B=x|x 2 1,则 AH(RB)=)A.x|0 V xW lB.x|0 x lC.x|lW xV 2 D.x|0 x 2 2.（5.00分）设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件 x+y 5:I）则 目 标 函 数 z=3x+5y的 最 大.y 0值 为（）A.6 B.19 C.21 D.453.（5.00分）阅 读 如 图 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，若 输 入 N 的 值 为 2 0,则 输 出 T 的 值 为（）A.1 B.2 C.3 D.44.（5.00 分）设 x d R,则|x-v L，是 勺 3 b c B.b a c C.c b a D.c a b6.（5.00分）将 函 数 y=sin（2x+2L）的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，所 得 图 象 5 10对 应 的 函 数（）A.在 区 间 竺，匹 上 单 调 递 增 B.在 区 间 W 2 L,用 上 单 调 递 减 4 4 4C.在 区 间 旦 L,丝）上 单 调 递 增 D.在 区 间 竺，2用 上 单 调 递 减 4 2 22 27.（5.0 0分）已 知 双 曲 线 J5-=1（a0,b 0）的 离 心 率 为 2,过 右 焦 点 且 2.2a b垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 A,B两 点.设 A,B到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 5 和 d 2,且 d】+d2=6,则 双 曲 线 的 方 程 为（）A.B.A _-J!_=l C.A _-D.三-屋 14 12 12 4 3 9 9 38.（5.00 分）如 图，在 平 面 四 边 形 ABCD 中，ABBC,AD1CD,ZBAD=120,AB=AD=1.若 点 E为 边 CD上 的 动 点，则 疝 丽 的 最 小 值 为（）A-t B-t C f D-3二.填 空 题：本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 5分，共 3 0分.9.（5.00分）i 是 虚 数 单 位，复 数 组 Ll+2 i10.（5.00分）在（x-一）5的 展 开 式 中，X?的 系 数 为 11.（5.00分）已 知 正 方 体 ABCD-A iB iC iD i的 棱 长 为 1,除 面 ABCD外，该 正 方 体 其 余 各 面 的 中 心 分 别 为 点 E,F,G,H,M（如 图），则 四 棱 锥 M-E F G H的 体 卜=-1+冬 12.（5.00分）已 知 圆 x?+y2-2x=0的 圆 心 为 C,直 线 厂，（t 为 参 数）与 该 圆 相 交 于 A,B两 点，则 A A B C的 面 积 为.13.（5.00分）已 知 a,b C R,且 a-3 b+6=0,则 的 最 小 值 为 _.8b14.（5.00分）已 知 a 0,函 数 f（x）=（x4 2ax+a,x 0（x）=ax恰 有 2 个 互 异 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范 围 是.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 0分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.（13.00分）在 A A B C中，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.己 知 bsinA=acos（B-L）.6（I）求 角 B 的 大 小；(I I)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的 值.16.(1 3.0 0分)已 知 某 单 位 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 24,16,1 6.现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 7 人，进 行 睡 眠 时 间 的 调 查.(I)应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人？(H)若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足，3 人 睡 眠 充 足，现 从 这 7 人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步 的 身 体 检 查.(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；(i i)设 A 为 事 件 抽 取 的 3 人 中，既 有 睡 眠 充 足 的 员 工，也 有 睡 眠 不 足 的 员 工,求 事 件 A 发 生 的 概 率.17.(13.00 分)如 图，AD BC 且 AD=2BC,AD CD,EG AD 且 EG=AD,CD/FG 且 CD=2FG,DGJ_平 面 ABCD,DA=DC=DG=2.(I)若 M 为 CF的 中 点，N 为 EG的 中 点，求 证：MN 平 面 CDE；(I I)求 二 面 角 E-B C-F 的 正 弦 值；(I I I)若 点 P在 线 段 D G上，且 直 线 BP与 平 面 ADGE所 成 的 角 为 6 0,求 线 段 DP的 长.18.(1 3.0 0分)设 屈 是 等 比 数 列，公 比 大 于 0,其 前 n 项 和 为 S/n W N*),bn 是 等 差 数 列.已 知 ai=l 83=92+2 a4=b3+bs，a5=b4+2bg.(I)求 an 和 bn 的 通 项 公 式；(I I)设 数 列 Sn 的 前 n 项 和 为 Tn(n N*),(i)求 Tn；n(i i)证 明(Tk+b1 H2n+2(k+l)(k+2)n+2-2(nGN*).2 219.(1 4.0 0分)设 椭 圆 工(a b 0)的 左 焦 点 为 F,上 顶 点 为 B.已 知 2,2a b椭 圆 的 离 心 率 为 匹，点 A 的 坐 标 为(b,0),且|FB|A B|=6&.3(I)求 椭 圆 的 方 程；(I I)设 直 线 I：y=kx(k 0)与 椭 圆 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P,且 I 与 直 线 A B交 于 点 Q.若 二 包 且 inNAOQ(O 为 原 点)，求 k 的 值.20.(14.00 分)已 知 函 数 f(x)=ax,g(x)=logax,其 中 a l.(I)求 函 数 h(x)=f(x)-X ln a的 单 调 区 间；(I I)若 曲 线 y=f(x)在 点(x i，f(x i)处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 点(x2,g(x2)处 的 切 线 平 行，证 明 占+g(x2)=-21nlna.Ina1(H I)证 明 当 aNe 7 时，存 在 直 线 I,使 I是 曲 线 y=f(x)的 切 线，也 是 曲 线 y二 g(x)的 切 线.2018年 天 津 市 高 考 数 学 试 卷（理 科）参 考 答 案 与 试 题 解 析 一.选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.（5.00 分）设 全 集 为 R,集 合 A=x|0V xV 2,B=x|x l,则 AH（CRB）=（）A.x|0 x lB.x|0 x lC.x|l x 2 D.x|0 x 2【分 析】根 据 补 集、交 集 的 定 义 即 可 求 出.【解 答】解：A=x|0VxV2,B=x|x41,*.CRB=X|X1,A A A（CRB）=X 0X1.故 选:B.【点 评】本 题 考 查 了 集 合 的 化 简 与 运 算 问 题，是 基 础 题 目.2.（5.00分）设 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件，x+/C 52 x-y 4 4-x+y 1 则 目 标 函 数 z=3x+5y的 最 大 值 为（）A.6 B.19 C.21 D.45【分 析】先 画 出 约 束 条 件 的 可 行 域，利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义，分 析 后 易 得 目 标 函 数 z=3x+5y的 最 大 值.x+y1 5【解 答】解：由 变 量 x,y 满 足 约 束 条 件 二 二；：，得 如 图 所 示 的 可 行 域，由 解 得 人（2,3）.-x+y=l当 目 标 函 数 z=3x+5y经 过 A 时，直 线 的 截 距 最 大，z取 得 最 大 值.将 其 代 入 得 z 的 值 为 21,故 选：C.【点 评】在 解 决 线 性 规 划 的 小 题 时，常 用“角 点 法，其 步 骤 为：由 约 束 条 件 画 出 可 行 域 求 出 可 行 域 各 个 角 点 的 坐 标=将 坐 标 逐 一 代 入 目 标 函 数,验 证，求 出 最 优 解.也 可 以 利 用 目 标 函 数 的 几 何 意 义 求 解 最 优 解，求 解 最 值.3.（5.00分）阅 读 如 图 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，若 输 入 N 的 值 为 2 0,则 输 出 T 的 值 为（）A.1 B.2 C.3 D.4【分 析】根 据 程 序 框 图 进 行 模 拟 计 算 即 可.【解 答】解：若 输 入 N=20,则 i=2,T=0,旦=四 1 0是 整 数，满 足 条 件.T=O+1=1,i=2+l=3,i 2 5 不 成 立，i 2循 环，风 里 不 是 整 数，不 满 足 条 件.，i=3+l=4,i 2 5 不 成 立，i 3循 环，丛 延 5 是 整 数，满 足 条 件，T=l+1=2,i=4+l=5,iN 5 成 立，i 4输 出 T=2,故 选：B.【点 评】本 题 主 要 考 查 程 序 框 图 的 识 别 和 判 断，根 据 条 件 进 行 模 拟 计 算 是 解 决 本 题 的 关 键.4.(5.00 分)设 x d R,则|x-山 v l 是 外 1”的()2 2A.充 分 而 不 必 要 条 件 B.必 要 而 不 充 分 条 件 C.充 要 条 件 D.既 不 充 分 也 不 必 要 条 件【分 析】先 解 不 等 式，再 根 据 充 分 条 件 和 必 要 条 件 的 定 义 即 可 求 出.【解 答】解：由 可 得-L v x-L v L,解 得 O V x V l,2 2 2 2 2由 x 3 b c B.b a c C.c b a D.c a b【分 析】根 据 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 比 较.【解 答】解：a=log2e l,0 b=ln 2 log2e=a,73则 a,b,c 的 大 小 关 系 c a b,故 选：D.【点 评】本 题 考 查 了 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质，属 于 基 础 题，6.（5.00分）将 函 数 y=sin（2x+2L）的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，所 得 图 象 5 10对 应 的 函 数（）A.在 区 间 亚，旦 口 上 单 调 递 增 B.在 区 间 小，加 上 单 调 递 减 4 4 4c.在 区 间 且 L,咨 上 单 调 递 增 D.在 区 间 02L,2兀 上 单 调 递 减 4 2 2【分 析】将 函 数 y=sin（2x+2L）的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，得 到 的 函 数 为:5 10y=sin2x,增 区 间 为-L+kn,+kn,k e乙 减 区 间 为 工+kn,-L+kn,k4 4 4 4G Z,由 此 能 求 出 结 果.【解 答】解：将 函 数 y=sin（2x+2L）的 图 象 向 右 平 移 工 个 单 位 长 度，5 10得 到 的 函 数 为：y=sin2x,增 区 间 满 足：-?L+2k7TW2xW T 2 k兀，乙 2 2 减 区 间 满 足：g*+2 k兀 W 2 x W T 2 k：)T，k Z,.增 区 间 为-2L+kn,-L+k n,k 乙 4 4减 区 间 为 工+kn,+kn,k e z,4 4将 函 数 y=sin(2 X+2 L)的 图 象 向 右 平 移 2 L个 单 位 长 度,5 10所 得 图 象 对 应 的 函 数 在 区 间”，且 L 上 单 调 递 增.4 4故 选:A.【点 评】本 题 考 查 三 角 函 数 的 单 调 区 间 的 确 定，考 查 三 角 函 数 的 图 象 与 性 质、平 移 等 基 础 知 识，考 查 运 算 求 解 能 力，考 查 函 数 与 方 程 思 想，是 中 档 题.2 27.(5.0 0分)已 知 双 曲 线 J 5 _ d _=l(a 0,b 0)的 离 心 率 为 2,过 右 焦 点 且 2.2a b垂 直 于 x 轴 的 直 线 与 双 曲 线 交 于 A,B 两 点.设 A,B 到 双 曲 线 的 同 一 条 渐 近 线 的 距 离 分 别 为 由 和 d 2,且 d i+d 2=6,则 双 曲 线 的 方 程 为()2 2 2 2 2 2 2 2A.=1 B.-_ _=1 C.-=1 D.-士=14 12 12 4 3 9 9 3【分 析】画 出 图 形，利 用 已 知 条 件，列 出 方 程 组 转 化 求 解 即 可.【解 答】解：由 题 意 可 得 图 象 如 图，CD是 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 y=-x,即 bx-ay=0,F(c,0),aAC1CD,BDJLCD,FE1CD,ACDB 是 梯 形，F是 A B的 中 点，E F=4 1 3,2 2所 以 b=3,双 曲 线(a 0,b 0)的 离 心 率 为 2,可 得=2,a2 b2 a2 2可 得：三 簧 二 4,解 得 a=我.a2 2则 双 曲 线 的 方 程 为：-L3 9【点 评】本 题 考 查 双 曲 线 的 简 单 性 质 的 应 用，双 曲 线 方 程 的 求 法，考 查 计 算 能 力.8.（5.00 分）如 图，在 平 面 四 边 形 ABCD 中,ABBC,AD1CD,ZBAD=120,A B=A D=1.若 点 E为 边 CD上 的 动 点，则 标 标 的 最 小 值 为（）A.2L B.2 C.至 D.316 2 16【分 析】如 图 所 示，以 D 为 原 点，以 D A所 在 的 直 线 为 x 轴，以 DC所 在 的 直 线 为 y 轴，求 出 A,B,C的 坐 标，根 据 向 量 的 数 量 积 和 二 次 函 数 的 性 质 即 可 求 出.【解 答】解：如 图 所 示，以 D 为 原 点，以 D A所 在 的 直 线 为 x 轴，以 DC所 在 的 直 线 为 y 轴，过 点 B做 BN_Lx轴，过 点 B做 BM，y 轴，V A B 1B C,AD1CD,ZBAD=120,AB=AD=1,.AN=ABcos60。，BN=ABsin60=Xl,2 2DN=1+L=W,2 2B M=X2，CM=MBtan30=返，2/.DC=DM+MC=V3，A A(1,0),B(3,叵),C(0,J 3),2 2设 E(0,m),/.A E=(-1 m),BE=(-,m-2Zl.),0 W m W,2 2*AEBE=+m2-2ZLD=(m-2+A-且=(m-返)？+生，2 2 4 2 16 4 16当 0I=返 时，取 得 最 小 值 为 生.4 16【点 评】本 题 考 查 了 向 量 在 几 何 中 的 应 用，考 查 了 运 算 能 力 和 数 形 结 合 的 能 力,属 于 中 档 题.二.填 空 题：本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30分.9.（5.0 0分）i 是 虚 数 单 位，复 数 丝 二 4-i.l+2 i【分 析】根 据 复 数 的 运 算 法 则 计 算 即 可.【解 答】解.6+7i=（6+7i）（l-2i）=6+14+7i-12i=20-5i=4 _ 己 口,l+2i（l+2i）（l-2i）5 5故 答 案 为：4-i【点 评】本 题 考 查 了 复 数 的 运 算 法 则，属 于 基 础 题.10.（5.00分）在（X-一）的 展 开 式 中，X?的 系 数 为 1.2 y 一 2 一【分 析】写 出 二 项 展 开 式 的 通 项，由 x 的 指 数 为 2 求 得 r值，则 答 案 可 求.【解 答】解：（X-一）5的 二 项 展 开 式 的 通 项 为 10-3rT 5-r/1 r-/1 r r 2Tr+l=C5x，4 底）一（为）W C5*X由 他 红=得 2 4的 系 数 为（_ 产=$.故 答 案 为：1.2【点 评】本 题 考 查 二 项 式 定 理 的 应 用，考 查 二 项 式 系 数 的 性 质，关 键 是 熟 记 二 项 展 开 式 的 通 项，是 基 础 题.11.（5.00分）已 知 正 方 体 ABCD-AiBiCiDi的 棱 长 为 1,除 面 ABCD外，该 正 方 体 其 余 各 面 的 中 心 分 别 为 点 E,F,G,H,M（如 图），则 四 棱 锥 M-EFGH 的 体【分 析】求 出 四 棱 锥 中 的 底 面 的 面 积，求 出 棱 锥 的 高，然 后 利 用 体 积 公 式 求 解 即可.【解 答】解：正 方 体 的 棱 长 为 1,M-EFGH的 底 面 是 正 方 形 的 边 长 为：返,2四 棱 锥 是 正 四 棱 锥，棱 锥 的 高 为 上，2四 棱 锥 M-EFGH的 体 积：x3 2 2 12【点 评】本 题 考 查 几 何 体 的 体 积 的 求 法，考 查 空 间 想 象 能 力 以 及 计 算 能 力.12.(5.0 0分)已 知 圆 x2+y2-2x=0的 圆 心 为 C,直 线，1,V2X=T+T产 3-争(t 为 参 数)与 该 圆 相 交 于 A,B两 点，则 A A B C的 面 积 为 1一 2一【分 析】把 圆 的 方 程 化 为 标 准 方 程，写 出 圆 心 与 半 径;直 线 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，求 出 圆 心 到 直 线 的 距 离，计 算 弦 长|A B|,利 用 三 角 形 面 积 公 式 求 出 A A B C的 面 积.【解 答】解：圆 x2+y2-2x=0化 为 标 准 方 程 是(x-1)2+y2=l,圆 心 为 C(1,0),半 径 r=l；V2直 线/化 为 普 通 方 程 是 x+y-2=0,则 圆 心 C到 该 直 线 的 距 离 为 d 1 l+*2|=返,V 2 2弦 长|AB 1=2平 导 2 6=2 X%遮，.ABC 的 面 积 为 S=L AB d=L x&x 1=L.2 2 2 2故 答 案 为：1.2【点 评】本 题 考 查 了 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 应 用 问 题，也 考 查 了 参 数 方 程 应 用 问 题,是 基 础 题.13.(5.0 0分)已 知 a,b G R,且 a-3 b+6=0,则 2a+_的 最 小 值 为 1.8b 更【分 析】化 简 所 求 表 达 式，利 用 基 本 不 等 式 转 化 求 解 即 可.【解 答】解：a,b R,且 a-3b+6=0,可 得：3b=a+6,贝 1 J 2a+-l-2aH 一=2a4一 2 2 La 1=8b 2叶 6 26-2a V 262a 4当 且 仅 当 2 a.即 a=-3 时 取 等 号.2a州 函 数 的 最 小 值 为：1.4故 答 案 为：1.4【点 评】本 题 考 查 函 数 的 最 值 的 求 法，基 本 不 等 式 的 应 用，也 可 以 利 用 换 元 法,求 解 函 数 的 最 值.考 查 计 算 能 力.14.(5.0 0分)已 知 a 0,函 数 f(x)=x,2 a x+a，x 0(x)=a x恰 有 2 个 互 异 的 实 数 解，则 a 的 取 值 范 围 是(4,8).【分 析】分 别 讨 论 当 xW O和 x 0 时，利 用 参 数 分 离 法 进 行 求 解 即 可.【解 答】解：当 x 0 时，由 f(x)=a x得 x?+2ax+a=ax,得 x2+ax+a=0,得 a(x+1)=-x2,设 g(x)=-,贝(x)=-也 处 止/-.2 2及 x+1(x+1)2(x+1)2由 g，(x)0 得-2 x V-1 或-1 XV 0,此 时 递 增，由 gz(x)0 得 x 0 时，由 f(x)=ax 得-x2+2ax-2a=ax,得 x2-ax+2a=0,得 a(x-2)=x2,当 x=2时，方 程 不 成 立，2当 xW2 时，a=x-2设 h(X)二 土，则 卜(X)=2岂 收 二 2)二 2 二 二 2二 热.,x-2(x-2 产(x-2 产 由 卜(x)0 得 x 4,此 时 递 增，由 卜(x)V 0 得 0 V x V 2或 2 V x V 4,此 时 递 减，即 当 x=4时，h(x)取 得 极 小 值 为 h(4)=8,要 使 f(x)=ax恰 有 2个 互 异 的 实 数 解，则 由 图 象 知 4 a 8,故 答 案 为：(4,8)【点 评】本 题 主 要 考 查 函 数 与 方 程 的 应 用，利 用 参 数 分 离 法 结 合 函 数 的 极 值 和 导数 之 间 的 关 系 以 及 数 形 结 合 是 解 决 本 题 的 关 键.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 80分.解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.(13.00分)在 A A B C中，内 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a,b,c.己 知 bsinA=acos(I)求 角 B 的 大 小；(I I)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的 值.【分 析】(I)由 正 弦 定 理 得 bsinA=asinB,与 bsinA=acos(B-2 L),由 此 能 求 出 B.(I I)由 余 弦 定 理 得 b=J,由 bsinA=acos(B-),得 sinA=4_,cosA=，6 V?V i由 此 能 求 出 sin(2A-B).【解 答】解：(I)在 A B C中，由 正 弦 定 理 得 二 b,得 bsinA=asinB,sinA sinB又 bsinA=acos(B-2 L).6asinB=acos(B-2 L),即 sinB=cos(B-2 L)=cosBcos H-sinBsin QsB+sinB，6 2tanB=/3，又 B(0,n),Z.B=2L.3(II)在 aA BC 中，a=2,c=3,B=-2L,3 _由 余 弦 定 理 得 b=a2+c2 _ _ 2a c c o sg=V T，由 bsinA=acos(B-看)，得 sinA二 乎 sin2A=2sinAcosA=COS2A=2COS2A-1=,7 _.sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=-!-x X,：l 7 2 7 2 14【点 评】本 题 考 查 角 的 求 法，考 查 两 角 差 的 余 弦 值 的 求 法，考 查 运 算 求 解 能 力,考 查 函 数 与 方 程 思 想，是 中 档 题.16.(13.00分)已 知 某 单 位 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 24,16,1 6.现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 从 中 抽 取 7 人，进 行 睡 眠 时 间 的 调 查.(I)应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 多 少 人？(I I)若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足，3 人 睡 眠 充 足，现 从 这 7 人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步 的 身 体 检 查.(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数，求 随 机 变 量 X 的 分 布 列 与 数 学 期 望；(i i)设 A 为 事 件 抽 取 的 3 人 中，既 有 睡 眠 充 足 的 员 工，也 有 睡 眠 不 足 的 员 工”,求 事 件 A 发 生 的 概 率.【分 析】(I)利 用 分 层 抽 样，通 过 抽 样 比 求 解 应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 人 数；(II)若(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数，的 可 能 值，求 出 概 率，得 到 随 机 变 量 X 的 分 布 列，然 后 求 解 数 学 期 望；(i i)利 用 互 斥 事 件 的 概 率 求 解 即 可.【解 答】解：(I)单 位 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 人 数 分 别 为 24,16,1 6.人 数 比 为:3：2：2,从 中 抽 取 7 人 现，应 从 甲、乙、丙 三 个 部 门 的 员 工 中 分 别 抽 取 3,2,2人.(I I)若 抽 出 的 7 人 中 有 4 人 睡 眠 不 足，3 人 睡 眠 充 足，现 从 这 7 人 中 随 机 抽 取 3 人 做 进 一 步 的 身 体 检 查.(i)用 X 表 示 抽 取 的 3 人 中 睡 眠 不 足 的 员 工 人 数，.c随 机 变 量 X 的 取 值 为：0,1,2,3,P(X-k)-k=0,1,2,3.c J所 以 随 机 变 量 的 分 布 列 为：X 0 1 2 3P 工 3512 1 S _ _4_35 35 35随 机 变 量 X 的 数 学 期 望 E(X)=O X-+1 X丝+2 X迫+3 X 2 丝；35 35 35 35 7(i i)设 A 为 事 件 抽 取 的 3 人 中，既 有 睡 眠 充 足 的 员 工，也 有 睡 眠 不 足 的 员 工,设 事 件 B为：抽 取 的 3 人 中，睡 眠 充 足 的 员 工 有 1 人，睡 眠 不 足 的 员 工 有 2 人，事 件 C 为 抽 取 的 3 人 中，睡 眠 充 足 的 员 工 有 2 人，睡 眠 不 足 的 员 工 有 1人，则：A=B U C,且 P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=l),故 P(A)=P(B U C)=P(X=2)+P(X=l)=旦.7所 以 事 件 A 发 生 的 概 率：1.7【点 评】本 题 考 查 分 层 抽 样，考 查 对 立 事 件 的 概 率，考 查 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 与 期 望，确 定 X 的 可 能 取 值，求 出 相 应 的 概 率 是 关 键.17.(13.00 分)如 图，AD BC 且 AD=2BC,AD1CD,EG AD 且 EG=AD,CD FG 且 CD=2FG,DGJ_平 面 ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若 M为 C F的 中 点，N 为 E G的 中 点，求 证：MN 平 面 CDE；(I I)求 二 面 角 E-B C-F 的 正 弦 值；(I I I)若 点 P在 线 段 D G上，且 直 线 B P与 平 面 ADGE所 成 的 角 为 6 0,求 线 段 DP的 长.【分 析】(I)依 题 意，以 D 为 坐 标 原 点，分 别 以 X、前、而 的 方 向 为 x 轴，y轴，z 轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.求 出 对 应 点 的 坐 标，求 出 平 面 CD E的 法 向 云 量 及 诵，由 诵=0,结 合 直 线 MN6平 面 C D E,可 得 MN 平 面 CDE；(II)分 别 求 出 平 面 BCE与 平 面 平 面 BCF的 一 个 法 向 量，由 两 法 向 量 所 成 角 的 余 弦 值 可 得 二 面 角 E-BC-F 的 正 弦 值；(I I I)设 线 段 D P的 长 为 h,(h e 0,2),则 点 P 的 坐 标 为(0,0,h),求 出 际=(-1,-2,h 而 天=(0,2,0)为 平 面 ADGE的 一 个 法 向 量，由 直 线 B P与 平 面 ADGE所 成 的 角 为 60。，可 得 线 段 D P的 长.【解 答】(I)证 明：依 题 意，以 D 为 坐 标 原 点，分 别 以 X、DC 比 的 方 向 为 x轴,y轴，z轴 的 正 方 向 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.可 得 D(0,0,0),A(2,0,0),B(1,2,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,1,2),G(0,0,2),M(0,3,1),N(1,0,2).2设 苴=(x,y,z)为 平 面 CDE的 法 向 量,则 nn*一 DC=2y=0，不 妨 令 z=-l,可 得 n0*DE=2x+2z=0又 病 6，V，1)，可 得 诵,=()又,直 线 MNQ平 面 CDE,ng=(l,0,T)；.MN 平 面 CDE；(II)解:依 题 意，可 得 前=(-i,0,0)，BE=(1,-2,2)，CF=(0,-1,2)-设 不(x,y,z)为 平 面 BCE的 法 向 量,则:上=-x=0,不 妨 令 z=l,可 得 左(,I,。.,n BE=x-2y+2z=0设”(x,y,z)为 平 面 BCF的 法 向 量,则 己 r=0,不 妨 令 z=l,可 得 品(0,2,1)-.m,CF=M2z=0因 此 有 cosV；,；=工 一 匹 于 是 sinV；,；=逗.m n|-|.|-|10 如 n 10，二 面 角 E-BC-F的 正 弦 值 为 近 工；10(III)解：设 线 段 DP的 长 为 h,(he0,2),则 点 P 的 坐 标 为(0,0,h),可 得 而=(-1,-2,h A 而 56=(0,2,o)为 平 面 ADGE的 一 个 法 向 量，故 I cos V 而,DCI=|BP C D|2IBPI-IDCTVIA B由 题 意，可 得-=$060 二 旦，解 得 卜=返 60,2.ViA5 2 3，线 段 D P的 长 为 返.3【点 评】本 题 考 查 直 线 与 平 面 平 行 的 判 定，考 查 空 间 角 的 求 法，训 练 了 利 用 空 间 向 量 求 解 空 间 角，是 中 档 题.18.(1 3.0 0分)设 屈 是 等 比 数 列，公 比 大 于 0,其 前 n 项 和 为 Sn(n N*),bn 是 等 差 数 列.已 知 a i=l 83=32+21 a4=b3+bs，a=b4+2b6.(I)求 a j和 bn 的 通 项 公 式；(I I)设 数 列 Sn 的 前 n 项 和 为 Tn(n G N*),(i)求 Tn；Z.X、工 口 日：(Tk+bk+2)bk 2n+2(ii)证 明 Y!=-.-2(n G N*).占(k+l)(k+2)n+2【分 析】(I)设 等 比 数 列 a。的 公 比 为 q,由 已 知 列 式 求 得 q,则 数 列 a j的 通 项 公 式 可 求；等 差 数 列 b j的 公 差 为 d,再 由 已 知 列 关 于 首 项 与 公 差 的 方 程 组，求 得 首 项 与 公 差，可 得 等 差 数 列 的 通 项 公 式；(I D(i)由 等 比 数 列 的 前 n 项 和 公 式 求 得 工，再 由 分 组 求 和 及 等 比 数 列 的 前 n项 和 求 得 数 列 S J的 前 n 项 和 为 L；(ii)化 简 整 理(丫 心 弊)上,再 由 裂 项 相 消 法 证 明 结 论.(k+l)(k+2)【解 答】(I)解：设 等 比 数 列 a j的 公 比 为 q,由 a1=l,a3=a2+2,可 得 q2-q-2=0.V q 0,可 得 q=2.故 设 等 差 数 列 的 公 差 为 d,由 a4=b3+b5，得 bi+3d=4,由 a5=b4+2be，得 3bi+13d=16,bi=d=l.故 bn=n；(I I)(i)解：E tl(I),可 得 S n=等=2 n-l，故 Tn=C(2k-l)=E 2-丝 容 J=2 l-n-2；k=l k=l-(ij)证 明.(Tk+bk42)bk=(2k*-k-2+k+2)k=k 2k H=2及+2 2卜+1.(k+l)(k+2)(k+1)(k+2)=(k+l)(k+2)k+2 k+F(Tk+bk+2)bk _723 22 x,z24 2、，/2 2向、_ 2n+21(k+1)(k+2)b 0)的 左 焦 点 为 F,上 顶 点 为 B.已 知 2,2a b椭 圆 的 离 心 率 为 返，点 A 的 坐 标 为(b,0),且|FB|A B|=6&.3(I)求 椭 圆 的 方 程；(I I)设 直 线 I：y=kx(k 0)与 椭 圆 在 第 一 象 限 的 交 点 为 P,且 I 与 直 线 A B交 于 点 Q.若 二 旭 inNAOQ(O 为 原 点)，求 k 的 值.【分 析】(I)设 椭 圆 的 焦 距 为 2 c,根 据 椭 圆 的 几 何 性 质 与 已 知 条 件，求 出 a、b 的 值，再 写 出 椭 圆 的 方 程；(I I)设 出 点 P、Q 的 坐 标，由 题 意 利 用 方 程 思 想，求 得 直 线 AB的 方 程 以 及 k 的 值.2 2【解 答】解：(I)设 椭 圆 q+J l(a b 0)的 焦 距 为 2c,2,2a b由 椭 圆 的 离 心 率 为 e=在，3多 旦 2 qa p又 a2=b2+c2,，2a=3b,由|F B|=a,3=扬,且|FB|AB=6&；可 得 ab=6,从 而 解 得 a=3,b=2,2 2椭 圆 的 方 程 为 三+建 1;9 4（I I）设 点 P的 坐 标 为（x i，y Q,点 Q 的 坐 标 为（X2，丫 2）,由 已 知 y i y 2 0；PQ sinZAO Q=yi-y2；又|AQ=2，且 N 0 A B=2L,s in/O A B 4 i A Q.二 由 迪|_=殳 in N A O Q,可 得 5yi=9y2；iPQl 4fy=kx由 方 程 组/v2，消 去 x,可 得 y 1=/6 k,舟+土 1 保 至，直 线 A B的 方 程 为 x+y-2=0；由 方 程 组 k k x,消 去 x,可 得 丫 2=&；x+y-2=0 k+1由 5y产 9丫 2，可 得 5（k+1）=3福 商 两 边 平 方，整 理 得 56k2-5 0 k+ll=0,解 得 k=l或 k=H-；2 28.k的 值 为 马 J UL2 28【点 评】本 题 主 要 考 查 了 椭 圆 的 标 准 方 程 与 几 何 性 质、直 线 方 程 等 知 识 的 应 用 问 题，也 考 查 了 利 用 代 数 方 法 求 研 究 圆 锥 曲 线 的 性 质 应 用 问 题，考 查 了 运 算 求 解 能 力 与 运 用 方 程 思 想 解 决 问 题 的 能 力.20.(14.00 分)已 知 函 数 f(x)=ax,g(x)=logax,其 中 a l.(I)求 函 数 h(x)=f(x)-x ln a的 单 调 区 间；(I I)若 曲 线 y=f(x)在 点(x i，f(x i)处 的 切 线 与 曲 线 y=g(x)在 点(x2,g(x2)处 的 切 线 平 行，证 明 Xi+g(x2)=-21nlna.Ina(H I)证 明 当 a e T 时，存 在 直 线 I,使 I是 曲 线 y=f(x)的 切 线，也 是 曲 线 y=g(x)的 切 线.【分 析】(I)把 f(x)的 解 析 式 代 入 函 数 h(x)=f(x)-x ln a,求 其 导 函 数，由 导 函 数 的 零 点 对 定 义 域 分 段，由 导 函 数 在 各 区 间 段 内 的 符 号 可 得 原 函 数 的 单 调 区 间；(I I)分 别 求 出 函 数 y=f(x)在 点(x i，f(x i)处 与 y=g(x)在 点(x2,g(x2)处 的 切 线 的 斜 率，由 斜 率 相 等