2015年数学高考模拟试卷3.pdf

2015年 江 苏 高 考 数 学 模 拟 试 卷(三)第 I 卷(必 做 题 分 值 160分)一、填 空 题：本 大 题 共 1 4小 题，每 小 题 5 分，共 计 7 0分.请 把 答 案 填 写 在 答 题 卡 相 应 位 置 上.1.已 知 集 合 4=1,2,3,4,5,集 合 2=珅 四,其 中 a e Z,若 208=1,2,则 a=.2.若 复 数(l+i)z=3-4i(i为 虚 数 单 位)，则 复 数 z 的 模 lzl=.3.右 图 是 七 位 评 委 打 出 的 分 数 的 茎 叶 统 计 图，去 掉 一 个 最 高 分 和 一 个 最 低 分 后，所 剩 数 据 的 方 差 为 4.右 边 是 一 个 算 法 的 伪 代 码，若 输 入 x 的 值 为 1,则 输 出 的 x 的 值 是.5.有 三 张 大 小 形 状 都 相 同 的 卡 片，它 们 的 正 反 面 分 别 写 有 1 和 2、3 和 4、5 和 6,现 将 它 们 随 机 放 在 桌 面 上，则 三 张 卡 片 上 显 示 的 数 字 之 和 大 于 10的 概 率 是.6.已 知 2 为 等 差 数 列，其 前 项 和 为 S,若 见+2%+3%5-%7=3,贝 iJSp=.7.已 知 正 四 棱 锥 的 底 面 边 长 是 2,这 个 正 四 棱 锥 的 侧 面 积 为 16,则 该 正 四 棱 锥 的 体 积 为.8.设 a,P e(0,兀)，且 sin(a+?)=tany=.则 cos 6 的 值 为.Read%If x3 thenx-3Else3-xEndlfPrint x9.已 知 x,y 满 足 约 束 条 件 x+y W 3,则 z=2 x+y 的 最 小 值 为 2y 2 工 一 3,10.若 V x b0)的 左、右 焦 点 分 别 是 大,鸟，力 为 椭 圆 上 一 点，AFCAF2=09 4 K 与 ya b轴 交 与 点 A Z,若 可 7=(南，则 椭 圆 离 心 率 的 值 为 12.已 知 二 次 函 数(x)=2+(16。3卜 16。2(a 0)的 图 象 与 x 轴 交 于 4 8 两 点，则 线 段 4 8 长 度 的 最 小 最.13.如 图，在 正 N B C中，点 G 为 边 8 c 上 的 中 点，线 段 43,Z C 上 的 动 点。，E分 别 满 足 而=丸 标，A E=(1-2A)AC(2 s R),设 D E 中 点 为 凡 记 FG=7?(2),则 7?(2)的 取 值 范 围 为 BC14.设 二 次 函 数 f(x)=ax2+(2b+l)x-a-2(。丰 0)在 区 间 3,4 上 至 少 有 一 个 零 点，则 cr+b1的 最 小 值 为 二、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 计 9 0分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.(本 小 题 满 分 14分)三 角 形 中，角/、B、C 所 对 边 分 别 为 a,b,c,且/+,2=/.(1)若 cos/=：,求 siC 的 值；(2)若 6=巾，a=3c,求 三 角 形/8C的 面 积.16.(本 小 题 满 分 14分)如 图，已 知 四 棱 锥 尸 N5C。中，底 面 Z 8 C D 是 菱 形，4 8 C=45。，E、尸 分 别 是 棱 8C、力 上 的 点，EF 平 面 P C D,平 面 平 面 P 4 X(1)求 证：E F 1 B C；(2)若 4 F=2FP,求 实 数 2 的 值.17.（本 小 题 满 分 14分）如 图，有 一 景 区 的 平 面 图 是 半 圆 形，其 中 N8 长 为 2h，C、。两 点 在 半 圆 弧 上，满 足 8C=CZ）.设 NCOB=0.（1）现 要 在 景 区 内 铺 设 一 条 观 光 道 路，由 线 段/8、BC、C O 和。/组 成，则 当 J 为 何 值 时，观 光 道 路 的 总 长/最 长，并 求/的 最 大 值.（2）若 要 在 景 区 内 种 植 鲜 花，其 中 在 A4。和 A 8 O C 内 种 满 鲜 花，在 扇 形 CO。内 种 一 半 面 积 的 鲜 花，则 当。为 何 值 时，鲜 花 种 植 面 积 S 最 大.18.（本 小 题 满 分 16分）如 图，设/、B 分 别 为 椭 圆 氏+=1（。60）的 左、右 顶 点，P 是 椭 圆 E 上 不 同 于 力、8 的 一 动 点，点/是 椭 圆 的 右 焦 点，直 线/是 椭 圆 E 的 右 准 线.若 直 线/P 与 直 线：x=。和/分 别 相 交 于 C、。两 点，尸。与 直 线 8C 交 于 M(1)求 BA/：A/C 的 值;（2）若 椭 圆 E 的 离 心 率 为 走，直 线 的 方 程 为 2x+2岛-8=0,求 椭 圆 E 的 方 程.19.(本 小 题 满 分 16分)已 知 数 列,、a 满 足:q=!，a+h=,4M=_ 4-a i)求 如 仇 也,“；(2)证 明:二 一 卜 是 等 差 数 列,3 一 1.并 求 数 列 4 的 通 项 公 式;(3)设 S“=ara2+42a3+a3a4+%+求 实 数 为 何 值 时 4asi t 恒 成 立.20.(本 小 题 满 分 16分)已 知 函 数/(x)满 足 2/(x+2)=/(x),当 x w(O,2)xe(o,2)时，/(x)=lnx+ax(。一；)，当 xw(-4,一 2)时，/(x)的 最 大 值 为-4.(1)求 实 数。的 值；(2)设 后 0,函 数 g(x)=-bx,xe(1,2).若 对 任 意$e(1,2)，总 存 在 e(1,2),使/(须)一 8(丫 2)=0,求 实 数 6 的 取 值 范 围.第 I I 卷（附 加 题 分 值 4 0分）21.【选 做 题】在 A,B,C,D 四 小 题 中 只 能 选 做 两 题，每 小 题 10分，共 计 20分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.A.选 修 4一 1：几 何 证 明 选 讲,如 图，Ri是 圆。的 切 线，切 点 为 4 P o 交 圆。于 8,C 两 点，PA=yfi,PB=1 求 NN8C 的 大 小.B.选 修 42：矩 阵 与 变 换 已 知 矩 阵：,若 矩 阵 A 属 于 特 征 值 6 的 一 个 特 征 向 量 为 四=1，属 于 特 征 值 1的 一 个 特 征 Lc d.L1J 3 1向 量 为 处=。.求 矩 阵 4 和 4 的 逆 矩 阵.L 2 C.选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 已 知 直 线/：1 k，cos+m（为 参 数）恒 经 过 椭 圆 c=5cos（夕 为 参 数）的 右 焦 点？y=sina y=3sin）（1）求 加 的 值；（2）设 直 线/与 椭 圆 C 交 于 4 B 两 点,求|阿|尸 B|的 最 大 值 与 最 小 值.D.选 修 45：不 等 式 选 讲 已 知 实 数“，b,c,d 满 足 a+b+c+4=l,2a2+3Z2+6c2+t/2=25,求 实 数 d 的 取 值 范 围.【必 做 题】第 22题，第 23题，每 题 10分，共 计 20分.请 在 答 题 卡 指 定 区 域 内 作 答，解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.22.(本 小 题 满 分 10分)如 图，正 方 体 N8CO一 m S G Q 的 所 有 棱 长 都 为 1,M、N 分 别 为 线 段 8。和 B Q 上 的 两 个 动 点.(1)求 线 段 长 的 最 小 值；(2)当 线 段 长 最 小 时，求 二 面 角 8M N-C 的 大 小.23.(本 小 题 满 分 10分)设 函 数/(x)=xV-|x3-x2(xeR).(1)求 函 数 歹=/(x)的 单 调 区 间；Xn(2)当 xe(l,+8)时，用 数 学 归 纳 法 证 明：V eN*,ex.2015年 江 苏 高 考 数 学 模 拟 试 卷（三）第 I 卷 参 考 答 案 与 解 析 一、填 空 题：本 大 题 共 1 4小 题，每 小 题 5 分,共 7 0分.1.3 3.1.04 4.215.2 6.10.24V157.-38-61569.1 1 0.心 2 13.25114.-1002.卡”乎“解 析:2.由|(l+i)z|=|3-4i|和|(l+i)z|=|1+胴 可 知 匕|=3 四.3.由 题 意 知,只 要 求 83,84,84,85,86 的 方 差，得 到 j=1,舒+舒+6+0 6+L62=.04.4.13,故 x=3-l=2.5.1+3+5=9,1+3+6=10,1+4+5=10,1+4+6=11,2+3+5=10,2+3+6=11,2+4+5=11,2+4+6=12 共 8 种 其 中 和 54 1大 于 10的 有 4 种，故 概 率 为 一 二 一.8 26.由 条 件 得 5%=3,故 Su=17%=10.29.作 出 不 等 式 组 表 示 的 可 行 域，如 图（阴 影 部 分）.易 知 直 线 z=2 x+y过 交 点 X 1.-1,力 时，z取 最 小 值，由 得、Z“力=2 1 1.2y=x-3,ly=-l,1O-1-2-3-42-_ 5 _ 5 4 911.设 Af（0,/w）,A（x,y）,因 为 g=4 期，所 以（-c,/w）=（8 卜 一，解 得 工=一。,歹=加，2 2又 因 为 正 通=0,所 以（，,一 驯）（生,-%）=0,解 得。2=9/，因 为 点 4 在 椭 圆+彳=1上，5 5 5 5 a b所 以+以 4=1，即 G+2=1，又 即 16c，-50a 2 c 2+25/=0,从 而 16e4-50e2+25=0,25 a1 25 b2 25 a2 25 h2解 得 e=强.412.因 式 分 解 可 得/（）=（彳-。2）（办+16）,于 是 4 8 两 点 的 坐 标 分 别 是（。2,0）,（11,0）,于 是 线 段 Z 8a的 长 度 等 于。2+3.记/（4）=。2+3，尸（0=2。Y=2 9 1 8）,于 是 飞 0 在（0,2）上 单 调 a a a a递 减，在（2,+00）上 单 调 递 增，从 而 尸（幻 的 最 小 值 就 是 尸（2）=22+=12.13.吊=!（反+丽），不 妨 设 三 角 形 边 长 为 1,则|吊|=22；1正+（1-4）益|=+1,又 由点。，分 别 在 线 段 上 可 知 0W/LWl,0Wl-2/lWl*|第 0 W/l W；,那 么 火(14.设/+从=/&0),再 令 卜“cos。；那 么 由“对=公?+(2b+l)x-a-2 在 3,4 上 存 在 零 点 可 知:b=rsin 03X G 3,4,使 得-l)cos+2rxsin=2-x 成 立；即 yl(x2-I)2+4r2x2 sin(+9)=2-x,则 有:|sin(0+)|=2-xJ，,一)2+4-2.化 简 得 至 心 会 g Q又 g(X)=3；在 3,4上 g(x)0 恒 成 立，那 么 gmin(x)=g=、；综 上 可 知 100另 解：以。0 6 建 立 平 面 坐 标 系，则 原 点 到 直 线 的 距 离 满 足 W J/+方 2,下 略.二、解 答 题:本 大 题 共 6 小 题，共 计 90分.解 答 时 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.15.,人+c2 b2 ac由 余 弦 定 理，cosB-=-2ac 2acI JT又 8 为 三 角 形 内 角,则 8寸 因 为 cosA=1,且 力 为 三 角 形 内 角，则 sE4=22解：3，故 sinCsin(B+A)=1sin+A)=乎 cos/+sinA=蓝(2)由 q=3 c,由 余 弦 定 理 知：b2=ac-laccosB,则 7=902+232,解 得=匕 则。=3.面 积 s彩 平.平 面 P/EJ.平 面 P/。16.证 明：(1)平 面 P/E n 平 面=PAA D u 平 面 尸/QA D L P A,=/_1.平 面 尸/母 EF u 平 面 P/E jAD/BCA D V E F=E F 1 B C(2)过 尸 作 FG/AD交 棱 P D 于 点、G,连 结 CG.FGHADECU A D n F G H E C n F、G、C、四 点 共 面；川 平 面 PCQEF u 平 面 EFGC=E F M C G；平 面 尸 CO A 平 面 EFGC=CGF G II EC=四 边 形 EFGC是 平 行 四 边 形 n EC=FG；EF/CG平 面 P4EAE u 平 面 ADUBCAD A.AE=A E J.B C n B E=A B cos Z.ABC=争 C1 7c V2 1EC=7=BC r FG=yEJC2 F G=VT2-1A D P F=1A-P A=2+AD=BC FG/AD 1 7.解：(1)由 题 NCOD=。，ZAOD=7 r-2 0f 北(吟 J取 BC 中 点 M,连 结 O A 1 贝 ijOM J_5C,ABOM=-.2n：.BC=2BM=2 s m-.2同 理 可 得 CQ=2 s i n,，/Q=2sin壬 3=2cos6.2 20 0 f/.Z=2+2sin+2sin+2cos=2 l-2 s in2+4sin+2.2 2 2)2即/=4(sing+5,e f o,|,当 sing=；,即 6=(时,，有./max=5.(2)S o cu g sin。，-is in(-2)-s in c o s,Sm c 0 D/.S=sin+sin cos.2 4/.S.g c o s O+cos?O sin?夕+；=；(4cos8+3)(2cos夕 一 1)271.解 S，=0得 夕=?,列 表 得 e*7TT（箕 S+0 s 递 增 极 大 值 递 减 IT当 e=忖，有 S a.T T答：（1）当。=生 时，观 光 道 路 的 总 长/最 长，最 长 为 5%?；377（2）当。=一 时，鲜 花 种 植 面 积 S最 大.31 8.解：（1）设。（机,），则 直 线/P：yn7+Qx+a),分 别 令 x=a 和 x=g-得 C（a,2anV F（c,O）,则 直 线 FQ：y=-an0、a2 Q(4+C)I C C+Q)x-c令 x=a 得 a,a11 m+a，：.BM:MC=.（2）,椭 圆 E 的 离 心 率 为 丫,2h*2 7=,椭 圆 E：x2+4y2a 4:PM：x+2岛 一 8=0,故 m+2A/3n-8=0(-an,解 得 6 7+2V3-8=0m+a2atn=一 84 a2F Fm2+4n2=a2,代 入 得(/_ 1 6 乂/64)=0,.2=1 6 或=64.当/=6 4 时;（7=8,加=8,故 点 尸 与 8 重 合，舍 去.二 椭 圆 E的 方 程 为 三+亡=1.16 41 9.解：(1)bn+l=-(l-)(l+)b“14(2-4)2-b*a=4934,4 5,6b2=-,b=4=-(2)b.-l=12-414+1 Tj=一 bn-1 bn-1二 数 列 一 一 是 以 一 4 为 首 项,-1 为 公 差 的 等 差 数 列.二-4-1)=-3 1:b“1 n+21-=-+3+3 T=*S,=%+%+4%+=-1-1-=-1-1-=-n-4x5 5x6-(+3)(+4)4+4 4(/7 4-4)4*-bnan n+2(Q-1)/+(3。-6)一 8+4+3(4+3)(+4)由 条 件 可 知(a-1)M2+(3a-6-80恒 成 立 即 可 满 足 条 件 设/()=(a 1)/+3(a 2)一 8,。=1时:/()=3 一 8 1时，由 二 次 函 数 的 性 质 知 不 可 能 成 立.时，对 称 轴 3 纥 2=-3(1 一)2+(3O-6)M-8=(-1)+(367-6)-8=4O-1 5 0,a 1 时 4c/S“6 怛 成.综 上 知：延 1时，4as“6 恒 成 立.20.解：(1)当 xG(0,2)时，/(x)=-/(x-2)=-/(x-4),由 条 件，当 x-46(-4,-2),/(x-4)的 最 大 值 为-4,./(X)的 最 大 值 为-1./,(x)=l+67=l,令/x)=0,得=一,.A 0,/(x)是 增 函 数；a当 X G(-L 2)时，fx)0 时，g(x)0,g(x)是 增 函 数，B=(-b b).2 3A _Zln2-2.63-ln2.3 2 b0 时，gr(x)0,g(x)是 减 函 数，B=(-b,-b).2 3：.-bn2-2.6W-3+ln2.3 2由，知，6 3+ln2,或 ln2.2 2第 n 卷 参 考 答 案 与 解 析 21、【选 做 题】在 A、B、C、D 四 小 题 中 只 能 选 做 两 题，每 小 题 10分，共 计 20分.A.选 修 4 1：几 何 证 明 选 讲 解：连 接 N。，由 弦 切 角 等 于 同 弦 所 对 的 圆 周 角 知 又 N 4 P B=N A P C,所 以 AAPBS A C F 于 是 PB PAP A P C即 PA2=PB P C,由 题 设 得 P C=3,由 于 08=1,所 以 BC=2,从 而 AO,PO=2,AP=y/3,于 是/0。=30,/物。=90,又 由 于 P8=80,B.选 修 42：矩 阵 与 变 换 解：由 矩 阵 工 属 于 特 征 值 6 的 一 个 特 征 向 量 为 内 由 矩 阵 力 属 于 特 征 值 1 的 一 个 特 征 向 量 为。2=解 得，c=2,d=4.即”-3 3-.2 4.,“逆 矩 阵 是/T=-23r2 312.C.选 修 44：坐 标 系 与 参 数 方 程 2 2解：(1)椭 圆 的 参 数 方 程 化 为 普 通 方 程，得 二+匕 25 91,.。=3,c=4,则 点 尸 的 坐 标 为(4,0).直 线 I 经 过 点(m,0),:.m=4.(2)将 直 线/的 参 数 方 程 代 入 椭 圆 C 的 普 通 方 程，并 整 理 得:(9cos2a+25sin2a)/+72/cos a-81=0.设 点 4 8 在 直 线 参 数 方 程 中 对 应 的 参 数 分 别 为 4,右，则 81FAFB=tt2819 cos2 a+25sin2 a 9+16sin2 a当 sin a=0 时，取 最 大 值 9；Q 当 sin&=1时，|&川 尸 8|取 最 小 值 五.D.选 修 45：不 等 式 选 讲 解：由 柯 西 不 等 式 得(a+b+c)2=y/3b f=+V6cV32W(2/+3/+6 c)(；1 1 十 十 3 6当 且 仅 当 2a=36=6 c时 取 等 号.：a+b+c=-d,2/+3/+6。2=2 5-凡：.(-d)2 25-d2,即/一 1-1 2 W 0.解 得 de-3,4.【必 做 题】第 2 2题、第 2 3题，每 题 10分，共 计 2 0分.2 2.解：(1)以 刀，反,万 万 为 单 位 正 交 基 底，如 图 建 立 空 间 直 角 坐 标 系.设 的=?而，CN=nCB,则.m-?)+(1-m y+“2=2n-2mn+2m-Im+1=2 n2 1 4m 23 i+rA7-=02，即 2m=03.当 0.:DB】MN,B C 1 M N.二 面 角 8M N C 的 大 小 等 于 向 量 该 与 向 量 质 的 夹 角，即 向 量 而 与 向 量 配 的 夹 角.一 _ D B.B C-1.-jrV cos=!1|=0,乃,/.=.二 面 角 B-M N-C 的 大 小 为 三.32 3.解:(1)ff(x)=2xex+x2ex-1-x2-2x=x(x+2)(ex-1-1)令 f(x)=0,得 x=-2 或 x=0 或 x=l,易 知 当 X W(-2,0)与 X(l,+8)时，/r(x)0；当(-oo,-2)与 X(0,l)时，/(x)l时，g G)=eT-x0,由 gi(x)=，T-l0,得 g G)在(1,+8)上 为 增 函 数,所 以 g(x)&=0,原 不 等 式 成 立.假 设 当=时，不 等 式 成 立，即 当 1时，g.(x)=e 1 一 色 0,K.则 当 I时，因 为“(x)-品 所 以 以-需 干-。，即 g G)在。，同 上 为 增 函 数，所 以 g，+G)Q(1)=1 一 忌 下,所 以 当=人+1时，不 等 式 也 成 立.Yn综 上 可 知，当 xw(l,+8)时，对 X/wN*,ex 成 立.n