高中数学选择性必修二 导数的概念及其几何意义教学设计.pdf

导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 教 学 设 计 课 题 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 单 元 第 二 单 元 学 科 数 学 年 级 高 二 教 材 分 析 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 是 2019人 教 A版 数 学 选 择 性 必 修 第 二 册 第 五 章 的 内 容。本 节 课 的 主 要 内 容 是 导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义。导 数 是 微 积 分 的 核 心 概 念 之 一，是 研 究 函 数 增 减、变 化 快 慢、最 值 等 问 题 的 最 有 效 工 具。教 材 按 照“平 均 变 化 率-瞬 时 变 化 率-导 数 的 概 念-导 数 的 几 何 意 义”的 顺 序 安 排，采 用“逼 近”的 方 法，从 数 形 结 合 的 角 度 定 义 导 数，使 导 数 概 念 的 建 立 形 象、直 观、易 于 理 解，突 出 了 导 数 概 念 的 本 质。导 数 及 其 几 何 意 义 是 本 章 中 的 核 心 概 念，它 是 研 究 函 数 的 基 础，在 学 习 过 程 中，注 意 特 殊 到 一 般，数 形 结 合，极 限 等 数 学 思 想 方 法 是 渗 透。教 学 目 标 与 核 心 素 养 1数 学 抽 象：导 数 的 概 念 2 逻 辑 推 理：导 数 的 概 念 及 其 几 何 意 义 3 数 学 运 算：求 曲 线 在 某 点 出 切 线 的 斜 率 4 数 学 建 模：掌 握“平 均 变 化 率-瞬 时 变 化 率”的 知 识，为 导 数 的 学 习 打 好 基 础 的 同 时，也 能 学 习 利 用 导 数 解 决 实 际 问 题 5 直 观 想 象：导 数 的 其 几 何 意 义 6 数 据 分 析：通 过 经 历“复 习 巩 固 一 归 纳 总 结 一 得 出 导 数 概 念 一 例 题 讲 解 一 练 习 巩 固”的 过 程，让 学 生 认 识 到 数 学 知 识 的 逻 辑 性 和 严 密 性。重 点 难 点 教 学 过 程 教 学 环 节 教 师 活 动 学 生 活 动 设 计 意 图 导 入 新 课 前 面 我 们 研 究 了 两 类 变 化 率 问 题：一 类 是 物 理 学 中 的 问 题，涉 及 平 均 速 度 和 瞬 时 速 度；另 一 类 是 几 何 学 中 的 问 题，涉 及 割 线 斜 率 和 切 线 斜 率.这 两 类 问 题 来 自 不 同 的 学 科 领 域，但 在 解 决 问 题 时，都 采 用 了 由“平 均 变 化 率”逼 近“瞬 时 变 化 率”的 思 想 方 法；问 题 的 答 案 也 有 一 样 的 表 示 形 式.下 面 我 们 用 上 述 思 想 方 法 研 究 更 一 般 的 问 题.复 习 引 入缩 短 时 间 间 隔 _平 均 速 度 力-瞬 时 速 度”(to)、缩 短 时 间 间 隔 平 均 变 化 率-瞬 时 变 化 率 讲 授 新 课 平 均 变 化 率 函 数 y=y&)，从 看 到 冷 的 平 均 变 化 率：(1)自 变 量 的 改 变 量：%=%2-工 1(2)函 数 值 的 改 变 量：Ay=/(x2)-/(Xi)(3)平 均 变 化 率 Ay _/(工 2)-/(%1)_ x x2-%i N K注：对 Ax,Ay的 理 解 1.Ax,Ay是 一 个 整 体 符 号，不 是 A与 x,y相 乘.2.Xi，x2是 定 义 域 内 不 同 的 两 点，因 此 Lx 0,但 可 正、可 负；y=/(%2)-/(Xi)是 函 数 值 的 改 变 量，可 正、可 负，也 可 为 0,因 此 平 均 变 化 率 可 正、可 负，也 可 为 零 函 数 的 平 均 变 化 率 为 0,并 不 一 定 说 明 函 数 火 x)没 有 变 化 瞬 时 变 化 率 函 数 y(x)在 x=而 处 的 瞬 时 变 化 率 是 函 数 式 的 从 Xo到&+的 平 均 变 化 率 在%T 0时 的 极 限，即.Ay.f(劭+%)-/(劭)lim-7-=hm-；-Ax-o Ax A x。A X导 数 的 概 念 定 义：如 果 当 Ax-0 时，平 均 变 化 率?无 限 Ax根 据 物 体 的 路 程 关 于 时 间 的 函 数 求 速 度 与 加 速 度 和 求 已 知 曲 线 的 切 线 这 两 类 问 题 直 接 促 使 了 导 数 的 产 生 通 过 对 上 节 两 个 知 识 的 回 顾，引 导 学 生 抽 象 出 导 数 的 概 念。发 展 学 生 数 学 抽 象、数 学 运 算、数 学 建 模 等 核 心 素 养。趋 近 于 一 个 确 定 的 值，即 受 有 极 限，则 称 y=/(x)在 x=出 处 可 导，并 把 这 个 确 定 的 值 叫 做 y=f(x)在 x=&处 的 导 数(也 称 为 瞬 时 变 化 率)，记 作/(殉)或 y|x=x。，即/,(q)=l i m=lim+词-殁。)几 何 意 义：函 数/U)在 点 X0处 的 导 数 f(xo)的 几 何 意 义 是 曲 线 y=A 龙)在 点 展 也 由 处 的 切 线 斜 率.(瞬 时 速 度 就 是 位 移 函 数 s 对 时 间 r的 导 数)相 应 地，切 线 方 程 为 丫 一 人 如)=尸(xo)(x演).注 意 求 曲 线 切 线 时，要 分 清 在 点 P 处 的 切 线 与 过 点 P 的 切 线 的 区 别，前 者 只 有 一 条，而 后 者 包 括 了 前 者.函 数/U)的 导 函 数：称 函 数/(x)l i m 八 J 八，为 外)的 Ax-0导 函 数.导 数 概 念 的 理 解(1)导 数 是 一 个 局 部 概 念，它 只 与 函 数 y=/x)在 x=g 处 及 其 附 近 的 函 数 值 有 关，与 Ax无 关.(2)fx0)是 一 个 常 数，即 当 Ax T O时，存 在 一 个 常 数 与 g 竽 I 无 限 接 近.x由 导 数 的 定 义 可 知，问 题 1 中 运 动 员 在 t=时 的 瞬 时 速 度 v(l),就 是 函 数/i(t)=-4.9 t2+4.8t+11在 1=1处 的 导 数%(1)；问 题 2 中 抛 物 线/(x)=%2在 点 Po(l，1)处 的 切 线 的 斜 率 心，就 是 函 数/(X)=产 在 X=1 处 的 导 数/(1).实 际 上，导 数 可 以 描 述 任 何 运 动 变 化 事 物 的 瞬 通 过 对 上 节 课 问 题 的 再 思 考 和 分 析，进 一 步 理 解 导 数 的 意 义。发 展 学 生 数 学 抽 象、数 学 运 算、数 学 建 模 等 核 心 素 养。时 变 化 率，如 效 率，国 内 生 产 总 值(G D P)的 增 长 率 等.例 1 设/(%)=;，求/(1).解：1/(l+Ax)-/1+A x 1/(1)=lim-=hm-x-0%A x-0 A%=lim(A)=1 xo 1+A%/例 2 将 原 油 精 炼 为 汽 油、柴 油、塑 胶 等 各 种 不 同 产 品，需 要 对 原 油 进 行 冷 却 和 加 热.已 知 在 第 x h时，原 油 的 温 度(单 位:。0 为 y=/(x)=x2-7x+15(0%8).计 算 第 2 h与 第 6 h时，原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率，并 说 明 它 们 的 意 义.解：在 第 2 h与 第 6 h时，原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率 就 是 尸(2)和(6).根 据 导 数 的 定 义，Ay _/(2+Ax)-/(2)_%Ax(2+AX)2-7(2+A X)+1 5-(22-7 X 2+15)_%4AX+(AX)2-7 A X _ 八&Ax-X 所 以 fQ)=愿 如 杷。3-3)=-3.同 理 可 得 r(6)=5在 第 2 h与 第 6 h时，原 油 温 度 的 瞬 时 变 化 率 分 别 为-3/h与 5/i.说 明 在 第 2 h附 近，原 油 温 度 大 约 以 3 的 速 率 下 降，在 第 6 h 附 近，原 油 温 度 大 约 以 5 汽 的 速 率 上 升.请 学 生 自 己 完 成 具 体 运 算 过 程一 般 地，f（x0）（0-的 W 8）反 映 了 原 油 温 度 在 时 刻 与 附 近 的 变 化 情 况.例 3 一 辆 汽 车 在 公 路 上 沿 直 线 变 速 行 驶，假 设 ts时 汽 车 的 速 度（单 位：m/s）为 y=v（t）=-t2+6t+60,求 汽 车 在 第 2 s 与 第 6 s 时 的 瞬 时 加 速 度，并 说 明 它 们 的 意 义.分 析：瞬 时 加 速 度 是 速 度 关 于 时 间 的 瞬 时 变 化 率，因 此，在 第 2s与 第 6s时，汽 车 的 瞬 时 加 速 度 分 别 为“(2),M(6).解：在 第 2s与 第 6s时，汽 车 的 瞬 时 加 速 度 分 别 为(2)和 v鼠 6).根 据 导 数 的 定 义，y _ v(2+At)-v(2)_ t At-(2+At)2+6(2+At)+60-(-22+6x2+60)A-CAt=禄+3，所 以 yvr(2)=lim=lim(At+2)=2Aso At At-O同 理 可 得 v(6)=-6在 第 2 s 与 第 6 s 时，汽 车 的 瞬 时 加 速 度 分 别 此 处 切 线 的 定 2 m/s2与 一 6 m/s2.说 明 在 第 2 s附 近，汽 车 的 义 与 初 中 学 过 速 度 每 秒 大 约 增 加 2m/s，；在 第 6 s 附 近，汽 车 的 速 的 圆 的 切 线 定 度 每 秒 大 约 减 少 6 m/s.思 考 义 有 什 么 不 同？利 用 信 息 技 术 观 察 函 数 内（x）的 图 象（图 5.1-3）,工 具，演 示 图 斗 y=fi.x)/危(Mx):k5.1-4 中 P0P/卜 的 人 讨 即）的 动 态 变 化 效 0&3+X果，做 一 做，图 5.1-3看 一 看！平 均 变 化 率 y=fGo+Ax)-/(殉)Ax表 示 什 么？瞬 时 变 化 率/，a)=同 学=仁 川。+?一/(3 Ax-0 A%Ax-0%表 示 什 么？提 示：平 均 变 化 率 y=fGo+Ax)-/(&)%表 示 割 线 PoP的 斜 率.如 图 5.1-4,图 5.1-4在 曲 线 产 y(x)上 任 取 一 点 P(X,/(%),如 果 当 点 P(x J(x)沿 曲 线 内(X)无 限 趋 近 于 点 PoQo,/Oo)时，割 线 PP无 限 趋 近 于 一 个 确 定 的 位 置，这 个 确 定 位 置 的 直 线 Pr称 为 曲 线 y=fM在 点 治 处 的 切 线.易 知，割 线&P 的 斜 率 x-%0记 Ax=x-xQ 9当 点 P 沿 着 曲 线 月(x)无 限 趋 近 于 点 P。时，即 当 t 0时，k 无 限 趋 近 于 函 数 y=f(X)在 X=出 处 的 导 数.因 此，函 数 内(X)在 x=%0处 的 导 数 尸(%0)(即 瞬 时 变 化 率)，就 是 切 线 的 斜 率 心，数 学 上 常 用 简 单 的 对 象 刻 画 复 杂 的 对 象.例 如，用 有 理 数 3.1416近 似 代 替 无 理 数 兀.这 里，我 们 用 曲 线 上 某 点 处 的 切 线 近 似 代 替 这 一 点 附 近 的 曲 线，这 是 微 积 分 中 重 要 的 思 想 方 法-以 直 代 曲.即=/(x0+A x)-/(x0)，-蚂 Ax-/(。)这 也 导 数 的 几 何 意 义.继 续 观 察 图 5.1 4,可 以 发 现 点 P。处 的 切 线 P r比 任 何 一 条 割 线 更 贴 近 点 Po附 近 的 曲 线.进 一 步 地，利 用 信 息 技 术 工 具 将 点 卅 附 近 的 曲 线 不 断 放 大(如 图 5.1-5),可 以 发 现 点 Po附 近 的 曲 线 越 来 越 接 近 于 直 线.因 此，在 点 附 近，曲 线 可 以 用 点 Pc处 的 切 线 近 似 代 替./图 5.1-5例 4 图 5.1 61 1图 5.1-6是 高 台 跳 水 运 动 员 的 重 心 相 对 于 水 面 的 高 度 随 时 间 变 化 的 函 数 h(t)=-4.9 t2+4.8t+11的 图 象.根 据 图 象，请 描 述、比 较 曲 线 6 在 t=附 近 的 变 化 情 况.解：我 们 用 曲 线 双。在 1=051 2处 的 切 线 的 斜 率，刻 画 曲 线 在 上 述 三 个 时 刻 附 近 的 变 化 情况.(1)当=无 时，曲 线 岚 0在=处 的 切 线“平 行 于，轴，(%)=0 这 时，在 片 附 近 曲 线 比 较 平 坦，几 乎 没 有 升 降.(2)当 t=一 时,曲 线 依)在 t=-处 的 切 线 k的 斜 率 Q D 0.这 时，在 t=t 附 近 曲 线 下 降，即 函 数 在 t=q 附 近 单 调 递 减.(3)当 t=，2时，曲 线 人 在 t=处 的 切 线，2的 斜 率 出 2)0.这 时，在 t=t2附 近 曲 线 下 降，即 函 数 在 t=t2附 近 也 单 调 递 减.从 图 5.1-6可 以 看 出，直 线 的 倾 斜 程 度 小 于 直 线，2的 倾 斜 程 度，这 说 明 曲 线 在 士=G附 近 比 在 t=匕 附 近 下 降 得 缓 慢.例 5 图 5.1-7是 人 体 血 管 中 药 物 浓 度 勺 7)(单 位：mg/mL)随 时 间 t(单 位：m in)变 化 的 函 数 图 象.根 据 图 象，估 计 t=0.2,0.4,0.6,0.8 m in时，血 管 中 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率(精 确 度 0.1).解：血 管 中 某 一 时 刻 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率，就 是 药 物 浓 度 W)在 此 时 刻 的 导 数，从 图 象 上 看，它 表 示 曲 线 大。在 此 点 处 的 切 线 的 斜 率.如 图 5.1-7,画 出 曲 线 上 某 点 处 的 切 线，利 用 网 格 估 计 这 条 切 线 的 斜 率，可 以 得 到 此 时 刻 药 物 浓 度 瞬 时 变 化 率 的 近 似 值.作 匚 0.8处 的 切 线,并 在 切 线 上 取 两 点，如(0.7,0.91),(1.0,0.4 8),则 该 切 线 的 斜 率 0.48-0.91k.=-x 1.41.0 0.7值.所 以 f(0.8)-1.4表 5.1-3给 出 了 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 的 估 计 5.1-3t a 2 0.4 0.6 0.8药 物 浓 度 的 时 变 化 率 Q4 o:7 7-L 4从 求 函 数 月(幻 在=与 处 导 数 的 过 程 可 以 看 到,当 X=Xo时，f(x0)是 一 个 唯 一 确 定 的 数.这 样，当 X 变 化 时，y=f(X)就 是 X 的 函 数，我 们 称 它 为 词 用 的 导 函 数(简 称 导 数).词 R 的 导 函 数 有 时 也 记 作 y,即 fx)=y=lim.Ax-0 Ax课 堂 练 习：1根 据 导 数 的 定 义 求 下 列 函 数 的 导 数.(1)求 函 数 y=%2+3 在 x=l 处 的 导 数；(2)求 函 数 y=:在%=a(a0 0)处 的 导 数.解:(1)Ay=f(l+Ax)/(I)=(1+Ax)2+3-(I2+3)=2Ax+(Ax)2.包=叫 块 立=2+A%Ax Axyx=i=lim(2+Ax)=2Ax-0(2)1 1 y=/(a+%)f(a)=a+Ax aa(a+%)Ax=-=-a(a+Ax)Q(Q+Ax).Ay _ Ax 1 _ 1Ax a(a+Ax)Ax a(a+Ax)Jy rlx x-a a=Hm(1A J-L a(a+Ax)J a2求 函 数 y=_Ax)在 点 X。处 的 导 数 的 三 个 步 骤1 求 函 数 的 增 量 1-=八 与+/(%)1求 函 数 的 平 均 _变 化 率)_ f(-0+.r)一 f(即)毕 帛 取 极 限，得 导 数 1 一/(二)=?啮 2 已 知 函 数,人 幻 在 x=出 处 导 数 的 4,则|im/(%0+3.二)一/(0)_ x-0 Ax解：|i m f(%o+3Ax)_/(ro)_Ax-O AX 包 山 x3=xO 3 Ax 3 H m f(x+3ya)=3/,(%0)=3 x 4=12-3Ax答 案：12注：(1)本 题 中 x 的 增 量 是 3Ax,即(%o+3Ax)%o=3Ax,而 分 母 为%,两 者 不 同，若 忽 视 这 一 点 则 易 得 出 结 论 为 4 的 错 误 答 案.(2)在 导 数 的 概 念 中，增 量 的 形 式 是 多 种 多 才 的，但 无 论 是 哪 种 形 式，分 子 中 自 变 量 的 增 量 与 5母 中 的 增 量 必 须 保 持 一 致.3 长 方 形 的 周 长 为 10,一 边 长 为 x.其 面 积 为 S.(1)写 出 S 与 x 之 间 的 函 数 关 系；(2)当 x 从 1增 加 到 1+Ax时，面 积 S 改 变 了 刍 少？此 时，面 积 S 关 于 x 的 平 均 变 化 率 是 多 少？角 释 它 的 实 际 意 义；(3)当 长 从 x 增 加 到 x+Ax时，面 积 S 改 变 了 4少？此 时，面 积 S 关 于 x 的 平 均 变 化 率 是 多 少？(4)在 x=处，面 积 S 关 于 x 的 瞬 时 变 化 率 是 W少？解 释 它 的 实 际 意 义；(5)在 x 处，面 积 S 关 于 x 的 瞬 时 变 化 率 是 多 少?解 释 它 的 实 际 意 义.解：(1)长 方 形 的 周 长 为 10,一 边 长 为 x,则 另 一 边 为 5-x,所 以 S=x(5-x)=-x2+5x(0 x 5)(2)S=-(1+Ax)2+5(1+Ax)-(-1+5)=3 Ax(Ax)2.A S=3-A.x x答：面 积 S 改 变 了：3Ax(Ax)2此 时，面 积 S 关 于 x 的 平 均 变 化 率 是 3,它 的 实 际 意 义：在 4 1处，长 度 改 变 1个 单 位，面 积 改 变 3个 单 位；(3)S=(x+Ax)2+5(x+Ax)(x2+5%)=2x-Ax+5Ax(Ax)2=-2,x+5-AxA x答：面 积 S 改 变 了：-2 x-Ax+5Ax-(Ax)2此 时，面 积 S 关 于 x 的 平 均 变 化 率 是-2x+5.(4)由(2)知，当 A xT 0 时，S=3,即 瞬 时 变 化 率 为 3,实 际 意 义 是 在 户 1时，面 积 的 增 加 速 度 为 3.(5)由(3)知，当 AX T O时,S=-2 x 4-5,即 瞬 时 变 化 率 为-2x+5,实 际 意 义 是 在 x 时，面 积 的 增 加 速 度 为-2x+5.4 一 质 点 的 运 动 方 程 为 s=t?+io(位 移 单 位:m；时 间 单 位：s),试 求 该 质 点 在 t=3时 的 瞬 时 速 度.解：y=s(3+At)-s(3)=(3+At)2+10-(32+10)=6At+(At)2,该 质 点 在 t=3时 的 瞬 时 速 度 为：y 6At+(At)2,lim-T-=lim-T-=lim(6+At)At-0 At AJO At AJO=6(m/s)所 以 该 质 点 在 t=3时 的 瞬 时 速 度 为 6m/s.课 堂 小 结 1平 均 变 彳 2 瞬 时 变 彳 3 导 数 的 才 4 求 函 数 1求 函 数 上 率 七 率 概 念 y=/(x)在 点 而 处 的 导 数 的 三 个 步 骤 的 增 量 1 3，=/(r+%)-1求 函 数 的 平 均 _=/(.+“.丽)变 化 率 x一 做 极 限.褥 导 数|/Q。)=!配 却 板 书 1平 均 变 化 率 2 瞬 时 变 化 率 3 导 数 的 概 念 4 例 题 讲 解 5 课 堂 练 习 6 求 函 数 y=_/(x)在 点 出 处 的 导 数 的 三 个 步 骤 教 学 反 思