【8份】2019高考数学（京、津）专用（理）优编增分练：压轴大题突破练 中档大题规范练.pdf

（8 份 2019高考数学（京、津）专 用（理）优编增分练:压轴大题突破练 中档大题规范练目录压轴大题突破练（一）直线与圆锥曲线（1）.1（二）直线与圆锥曲线（2）.8（三）函数与导数（1）.14（四）函数与导数（2）.22（一）三角函数与解三角形.31（二）数 列.35（三）概率与统计.39（四）立体几何与空间向量.43（一）直线与圆锥曲线（1）1.（2018 唐山模拟）己知点A（2,0）,点B（1,0）,点C（I,0）,动 圆O 与x轴相切于点A,过点B的直线。与圆。相切于点。，过点C的直线b与 圆 相 切 于 点E（Q,E均不同于点A）,且A与b交于点尸，设点尸的轨迹为曲线厂（1）证明：|尸 剧+IPQ为定值，并求的方程；（2）设直线A与厂的另一个交点为。，直线CC与 交于M,N两点，当O,D,C三点共线时，求四边形MPNQ的面积.解（1）由已知可得|P）|=|P,BA=BD,CE=CA,所以|PB|+|PC=|P|+DB+PC=PE+PC+AB=|CE1+|AB|=AC+AB=42=BC,所以点P 的轨迹是以8,C 为焦点的椭圆(去掉与x 轴的交点),2 2可求得的方程为亍+5=1 严0).(2)由。，D,C 三点共线及圆的几何性质，可知P8LC。，又由直线CE,C 4 为圆0 的切线，可知|CE|=|C4|,|0 A=0,所以O A C A O1 E C,进而有/A C O =N E C O,所以|PC|=|8C|=2,又由椭圆的定义，|P阴+|P Q=4,得明=2,所以PBC为等边三角形，即点P 在 y 轴上，点 P 的坐标为(0,73).(i)当点尸的坐标为(0,小)时，ZPfiC=60,/BC)=30,此时直线/i的方程为y=45(x+l),直线C D的方程为)=一乎(x1),由1晨 整理得5 f+8 x=0,得 4T-明所以1 尸。1=与，整理得 13X2-8X-32=0,设例(X”,),N(X2，/)，X|+x2-73 X1X2=-7J，所以四边形M P N Q的面积S=；|PQ|MN=鬻.(ii)当点尸的坐标为(0,一小)时，由椭圆的对称性，得四边形MPNQ的面积为3就84.384综上，四边形MPNQ的面积为2.(2018 合肥模拟)己知椭圆?+/=1(“61)的离心率为最左、右焦点分别为品，出,且|F1F2|=2C,。心(x-c 尸+丁=1与该椭圆有且只有一个公共点.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点P(4c,0)的直线与O B 相切，且与椭圆相交于A,B两 点,求证：F2A F2B；(3)过点P(4c,0)的直线/与。Q：相切，且与椭圆相交于A,B 两点，试探究k&A,kFzB的数量关系.(1)解；。尸2与椭圆有且只有一个公共点，.公共点为m,o)或(一,0),若公共点为(-4,0),则 a+c=l,2解得。=1 1矛盾，故公共点为(,0).c 11,又 e=Z=，a=2,c=l.(X1)2+/=1,反之，当c=l 时，联立解得2满足条件.=0，2 2椭圆的标准方程为=1.(2)证 明 .尸(4,0),设过P(4,0)的直线/的方程为x=m y+4,x=tny+4,联立得(4+3.2)y2+24 zy+36=0,由 1=5 76切2 144(4+3/H2)0,得 w2 4.设 A(x i,M),3a 2,以)，e 1 2 4m 36则%+”=-y =+又 尸2(1,0)，：.F A F B=(x ,y i(Q-l,y2)=(1+n j 2)y )，2+3，w(y 1 +)，2)+9_ 36(1+疗)72病 729W4+3/4+3”/9 4+3/M2 由 /：x my+4 与。&：(x l):+y 2=l相 切 得 病=8,满足机2%：.F2A F2B=O,即尸2A，尸2注（3）解猜想：kF A+kE B=0.证明如下：由（2）得 kF A+kF B +*二 1-人 J L 人 2 L_ 2），1），2 +3。，1+2）毋）+力）+9.36 72m 2“），|龙+3。+儿）=2，“4+3，/4+3，.=,玛 A +%加=。f v23.（2018成都模拟）设 Q,尸 2分别是椭圆E：彳+力=1 的左、右焦 点.若 P 是该椭圆上的一个动点，即 百、2的最大值为1.（1）求椭圆E 的方程；（2）设直线x=妗一 1 与椭圆E 交于A,B两 点,点 A 关于x 轴的对称点为A（A 与 B 不重合），则直线A B 与 x 轴是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由.解（1）由题意得。=2,。=与，b 0.设 A3，j i),8(X 2，丫 2)，则 A即一%),2%3故力+)2=西7 )2=西1,经过点A (x i，yi),仇检，)的直线方程为y+yi _ xxtyi+yxzx令 y=0,n,l Q,则尸 肝 寸 叶 芍_(X 2X i)，i+3 +)，2区y+y2_ x2y+xiy2%+y 2，又 X|=&|1 ,X2=Icy2-1,.X2M+x i)2.x-力+2_(6 2-l)l +(公 111)了 2y+y22 -|3-2-6?1 +,y2)2kF+46k 2k好+4一然+4F+4即当x=-4时，y=0.，直线A B与x轴交于定点(-4,0).4.(2 0 18济南模拟)在平面直角坐标系x O y 中，抛物线C：f=2 p)0 O),斜率为k(kW O)的直线/经过C的焦点，且与C交于A,B两点，满足 加=一*(1)求抛物线C 的方程；(2)已知线段AB的垂直平分线与抛物线C 交于M,N 两点，R 为线段M N的中点，记 点 R到直线AB的距离为d,若 品=当，求 A的值.AD L解 由 已知，得直线/的方程为设 A（x”l）,B（X2，）2）,f=2 p y,由 y=fcc+g,得 X22pfcvp2=0,（*）2 2 22-V T X2 PXX2=-p,y，2=2p2p=4，2 q 2d A O B=xix2+yly2=一夕之十勺二一拳，由已知得一 =-*即=1,；抛物线C 的方程为f =2y.（2）由（1）知，p=l,C：f=2 y,/：y=k x+9方程（*）即：/一 2H 一 1=0,%+工2=2址 X X2=-1.设 A 3 的中点为0（即，川），则沏=/（工1+冗2）=鼠y0=Ax0+|=A2+1,：.AB的垂直平分线MN的方程为厂 位+=一 拼 一。1)3即 K _ k T乙=0.将直线MN的方程与C:d=2 y 联立,2得 f+讲 一2 d 3=0,(*)设 加（右，3）,N（X4,%）,则曲,空）,.X3+x4 _1 2 k 乃+42=+F+|,R 点到直线A 8：后一y+尹。的距离产+R+2KAB=y l +x i x2=炉+1 7(1 1+X2)2 -4 X M=、必+1#4 /+4=2(1 +d),),1k+7+2K所 以 磊也，+i q炉型2（1+必）=2 公,_,4记+1 y 2由已知得七1=一,即得A=l.把=1 代入验证知（*）与（*）式的判别式都大于零.2 2 f25.（2 0 1 8 甘肃省西北师范大学附属中学模拟）已知椭圆C：夕+5=13*0）的离心率为半过右焦点尸且斜率为1 的直线交椭圆C于 A,8两点，N为弦AB的中点，O为坐标原点.求直线ON的斜率AON；（2）求证：对于椭圆C上的任意一点M,都存在（9 G 0,2 兀），使得。例=c o s W M+si n 6。8 成立.解 设椭圆的焦距为2 c,因为；里斫以 2 二4 2所以二 一 3，故有 a23b2.从而椭圆C的方程可化为/+3/=3 层，右焦点F 的坐标为（也反0）,据题意有A B所在的直线方程为y=x-由得，4 x2-6y 2bx+3b2=0,/=7 2/一4 义4*3 层=24 b20.设 A。,y i）,8（无 2，义），弦A3 的中点为M x o,刈），由根与系数的关系得,11+应 3y i b r-.0 b%o=2 =4，%=孙-y j 2h=-4 .所 以 痴 弋=_13-（2）证 明 显 然 后 与 无 可 作为平面向量的一组基底,由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量而，有且只有一对实数2,n，使得等 式 曲=乂*+加 成立.设 M（x,y）,由（1）中各点的坐标有（x,y）=x i,y t）+/i（x2,V 2），故=M 1+/凶，y k y +n y 2.又因为点M 在椭圆C上，所以有（如+必 2/+3（加+夕2）2 =36 1整理可得产（x；+3y；）+2 濯+3,2）+2 心也+3y ly 2）=3后上 八 皿 ,3 0 b _ 3 由（1）可知，XI+M 2 ，4，所以犬也+3）仍=1 2+3。一也与3 也匕）=4 即 尤 2 3 6 b（x i +必）+6/=3/9/+6。2=0.又点4,8在椭圆C上，故有（宕+3殆=3/,（+3 灵）=3 后将代入可得，乃+“2=1.所以对于椭圆上的每一个点M,总存在一对实数，使等 式 而=%殖+加 成立，且不+/?=1.所以存在。0,2兀），使得2=c o s 0,=s i n O.即对于椭圆C上任意一点M,总存在0 G 0,271）,使得等 式 而=c o s 6 O A+s i n。油 成立.（二）直线与圆锥曲线c1 31.（20 1 8洛阳模拟）已知抛物线C：y=,点 A,8 在抛物线上，且横坐标分别为一点参抛物线C上的点P在 A,8 之间(不包括点A,点 B),过点8 作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP的斜率k的取值范围；(2)求 解 H P Q I 的最大值.解由题意可知4(一/一)，8修 一?，几 n/2 1 3设 P(xp,-Xp),一5%25，T+；1所以 Z=-=无?+(1,1),故直线AP的斜率攵的取值范围是(一 1,1).(2)直线 A P：y=kx+k,=0,3-2%-,K94一中3一2y+LLb1-29-4立联可知,点 Q的横坐标为XQ-2层+一,尸。1=/口。一 孙)=V1TH 2炉+2 +&司_d)2(l+k)q i+J，照 I=1+小 灯+)=q i +公(i 孰所以附卜|。|=(1 一姨(1+左)，令_/U)=(i-#3(i+x),-i x i,则/(x)=(l-x)2(-2-4 x)=-2(l-x)2(2x+1),当一l a 0,当一3*1 时，f(x)/0）的焦距为2 c,离 心率为小圆O：x2+y2=c2,A”4 是椭圆的左、右顶点，AB是圆。的任意一条直径，A BB面积的最大值为2.求椭圆C 及圆O 的方程；（2）若/为 圆。的任意一条切线，/与椭圆C 交于两点P,Q,求|PQ|的取值范围.解（1）设 8 点到x 轴距离为万，则 S 的=2S AiOB-2-AxO-h=a-h,易知当线段AB在y 轴时,人max=8 0|=C,S 4A8=，C=2,C 1e=a=29,=2c,。=2,c=l,2 2椭圆C 的方程为+5=1,圆。的方程为f+y 2=l.（2）当直线/的斜率不存在时，求得|PQ|=3；当直线/的斜率存在时，设直线/的方程为 =丘+，,直线为圆的切线，公仔=1V i+P.1=炉+1，联立1y=kx+m9*=14 十 3得（4必+3）f+Sknvc+4m-1 2=0,判别式/=4 8（3产+2）0,由根与系数的关系得-8kmX1+X2=4 如+3 4m212x X2=4如+3，.弦长年。|=、1+&2出一对4 4 1+后3炉+24 必+3 5令/=4必+323,3.(2018江西省重点中学协作体联考)已知椭圆C：，+白=1(9 0)的离心率为坐，短轴为 M N,点 P(4,0)满 足 丽 PN=15.(1)求椭圆C 的方程；(2)设 O 为坐标原点，过点尸的动直线/与椭圆交于点A,B,是否存在常数2,使 得 后 励+义丽丽为定值？若存在，求出2 的值；若不存在，请说明理由.解(1)丽 丽=(一4,6)=16廿=15,所以b=T,c fcT b2 近 2又所以。一=4,从而椭圆C 的方程为点+/=1.(2)当/不为x 轴时，设/：x=my+4,A(xi，y),B(x2,)联立/与C 的方程可得(加2+4)2+8团 7+12=0,所以=OA OB+%/8=即 应+)一)2+2%14)(%24)+丫 1力=(1+A)(1+?2)“N2+4加()+刈)+16(12/120)m2 +12(4+1)=1+4 +1 6因为以.宓+7丽成为定值,所以，1 2 20112(1+2)-4-解得2=/，此时定值为了当 /为 x 轴时，A(2,0),8(2,0).后 08+2或崩=-4+争 12=笔综上，存在/=号，使得万i.协 十九环而为定值空7J4.(2018宿州质检)已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点在x 轴上，离心率6=乎，以椭圆C的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为4 小.（1）求椭圆C的标准方程；若经过点尸（1,0）的直线/交椭圆C于 A,B两点，是否存在直线/o：x=w（x o 2）,使得A,8到直线/o的距离心,办满足a=周 恒 成 立，若存在，求出沏的值；若不存在，请说明理由.2 2解（1）设椭圆C的标准方程为5+卓=15*0）,.=近.=近 a 2 c 2 a,又；4 亚行=4 小，：.a2+b25,由卜2=,一金=$2,解得。=2,b=,c=2）都满足要求；当直线/的斜率存在时，设其方程为y=2（x-l）,设 A 3,j i）,6（如力）（不妨令曲 1%2），则以=X0-X,di 3=Xo-X2f|例=11+4（修一1）,|。阴=41+必（1 一型）,.dAPA*dB PB V.沏_ 汨_.1+炉Q l l）_X1 1一沏一必一 +,（1 _ 必）一 必，得（1+4 的 工2-8 正工+4/一 4=0,y=k x 1),8 13+念=+4 后,4/r4即必=+4 及8-一 8 8 一1+4。-1 +4 产的=8k L 一=4.T W-2综上可知，存在直线/（）：%4,使得A,B到直线/（）的距离小，办满足丁dA =|尸PA身怛成立.5.（2 0 1 8 四省大联考）如图，在平面直角坐标系中，已知点F（l,0）,过直线/：x=2 左侧的动点 P作 尸 于 点 H,/HPF的角平分线交x轴于点M,且1 P H i=g|M Q,记动点P的轨迹为曲线厂（1）求曲线厂的方程；（2）过点尸作直线机交曲线厂于A,8两点，点 C在/上，且 B C x 轴，试问：直线AC是否恒过定点？请说明理由.解（1）设 P（x,y）,由题意可知|M Q=|P F|,|P f|/W V 2即x+尸=乎,化简整理得5+y2=l,|A 乙 乙即曲线厂的方程为、+y2=l.由 已知可得直线m的斜率不为0,可设直线m的方程为x=n y+1 x=n y+1,得（2 +2 2+2 1 =0,/0 恒成立，设 A（M，/）,3（如 丫 2），则 A（2,），则），+”=一黄弃，力”=一 悬 万，两=y +1,直线AC的斜率为左=*二，X2直线A C的方程为y一=二景工2）,X|Z.即 V-.7 x 2+-,又 儿（内-2）_y y 22（斯+为，直线AC的方程为 直线4c过定点(三)函数与导数1.(2 0 1 8 江南十校模拟)设兀0=如1 一/7*2+(3 4-1)筋 若g(x)=/(x)在 1,2 上单调，求。的取值范围；(2)已知犬x)在x=l处取得极小值，求a的取值范围.解(1)由/(x)=l n x3 a r+3，即 g(x)=l n x 3 a x+3 a,无(0,+),g (x)=一3，g(x)在 1,2 上单调递增，.二；一3 2 0 对 1,2 恒成立，即对xe l,2 恒成立，得 V；g(x)在 1,2 上单调递减，:一3“0对 1,2 恒成立，即a与1寸xe l,2 恒成立，得a制,由可得a的取值范围为(一8,1 u +8).由知，当aW O时，/(x)在(0,+8)上单调递增，.x W(0,l)时，f(x)o,1x)单调递增，在x=l处取得极小值，符合题意；当0 畤 时，力1，又，(x)在(0,勤 上单调递增，.尤 仁(0,1)时，f(x)0,在(0,1)上单调递减，在(1,0 上单调递增，./U)在x=l处取得极小值，符合题意；当4=3 时，七=1，f(X)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，.x G(0,+8)时，/(x)W0,4 x)单调递减，不合题意；当 a :时，0 0,段)单调递增，当x e(i,+8)时，f wo,负 单调递减，.,JU)在 X=1 处取得极大值，不符合题意.综上所述，可得a的取值范围为(一8,；).2.(2 0 1 8河南省郑州外国语学校调研)已知函数,/(x)=a l n x e*.(1)讨论/(x)的极值点的个数；(2)若 a C N*,且负x)a rY A解(1)根据题意可得，(x)=f一炉=二一(尤 0),当“W 0时，0 时，令 f(x)=0 得 c iX C=0 y 即胧=4,又丫=&”在(0,+8)上是增函数，且当入一+8 时，x eA-+8,所以x e=a 在(0,+8)上存在一解，不妨设为沏,所以函数y=/(x)在(0,的)上单调递增，在(M，+8)上单调递减，所以函数 =兀)有一个极大值点，无极小值点.综上，当aW O时，无极值点；当a 0 时，函数y=(x)有一个极大值点，无极小值点.(2)因为“WN*0,由知，於)有极大值於o),且X。满足x()e*=a，可知火 X)m a x=y(M)=a l n%0 e*,要使兀v)0 恒成立，即 7(x o)=a l n XQ-e,“0，由可得e=?，M)代入得a n x o 0,所以皿司一；0,劭因为 In 1.7吉 0,且 y=l n x()士 在(0,+8)上是增函数.设加为y=l n M 一(的零点，则 z n (1 71.8),可知 0 x()m,由可得H n x o e。，当0 x()Wl 时，H n x o W O,不等式显然恒成立；e 当 1 4()O,an 9令 以式)=息，(1,m)，e fl n X-)则 g M =l n 0,所以g(x)在(1,加)上是减函数,1.81.7且成瓦乂2 9,i F 0-3 1,所以 1 0.2 9 g(/n)0,m(x)单调递增;当 x (e,+8)时，m(x)0,m(x)单调递减.Mx)有极大值二又.“()时，m a)w o；当 X (1,+8)时，0 m(x)1 时，hr(x)=f a)+g a)o 恒成立，即 In x+e2 a r+2 a e 0 恒成立，令 r(x)=l n x+ex2a x+2a e,J(x)=：+e 2 a,设夕(x)=：+e*-2 a,“(x)=e*_$,V x l,.*.ev e,?0,；.9(x)在(1,+8)上单调递增，即J(X)在(1,+8)上单调递增,(x)tf(D=l+e 2 mI +e当aW a-且时，/(x)2 0,t(x)=In x+e 2 a r+2a e 在(1,+8)上单调递增,.*.t(x)f(l)=O 成立，1 +e ,当a 2 一时，(l)=l+e-2 n 0,，存在即e(l,In 2a),满足/(x o)=O.(X)在(1,+8)上单调递增，.,.当 x G(l,沏)时，/(x)0,f(x)单调递减，f(x o)0 不恒成立.；实数a的取值范围为(-8,1)U(1,手.4.(2 0 1 8福建省百校模拟)已知函数外)=X-1 +a e(1)讨论./(X)的单调性：(2)设汨，初是兀t)的两个零点，证明：制+念4.解 f(x)=l+a eA,当a2 0时，f(x)0,则段)在R上单调递增.当 a 0,得 x l n(I)，则兀v)的单调递增区间为(一8,l n(一为，令/(x)l n(一),1 X(2)证 明 由4的=0得。=一丁1 x r 2设 g(x)=丁，贝(1g =-由 g，(x)0,得 x 0,得尤2.故 g(X)m in=g(2)=一 1 时，g(X)0,当 X0,不妨设XI4等价于必4一两,4一片2 且 g(x)在(2,+8)上单调递增，要证 xi+x2 4,只需证 g(X2)g(4一为)，g(xi)=g(x2)=m .只需证 g(xi)g(4x i),即 二 龙:一,e1 e 1即证 e2 4(%3)+xj 10；设 力。)=，4(x3)+x1,xW(l,2),则/?。)=-4(2工-5)+1,令加(九)=(X),则 向(x)=4 e*4 a-2),.”(1,2),：.mf(x)h(2)=0,/i(x)在(1,2)上单调递增，：.h(x)h(2)=09：.e2 x,-4(1-3)+|-1 4得证.5.(2018 长沙模拟)设函数yU)=xln(x+，T针).(1)探究函数7U)的单调性；(2)当时，恒有/U)W aA 试求。的取值范围；(3)令 =|Q 卜+q)2+(N*),试证明：a1+a2-an6当从而/?a)是 o,+8)上的减函数，注意到力(0)=0,则xNO时，a)WO,所以g (x)W0,进而g(x)是 0,+8)上的减函数,注意到g(0)=0,则x2 0 时，g(x)W O,即於亦小.(i i)当 0 悬 时，在 0,上，总有hr(x)0,从而知，当XG 0,才时，*X)以3；(i i i)当aW O时，/?(x)20,同理可知兀v)a?,综上，“的取值范围是修，+8)(3)证明 在(2)中，取=,则 Xw 0,坐)时，x-l n(x+-1 +f),艮碍3 +l n(x+、1 +A2)取 x=(：)2,6.己知函数r)=l n x o r+g a,b G R),且对任意x 0,都有_/(x)+；Q)=O.(1)用含a的表达式表示h；(2)若y(x)存在两个极值点由，M，且 142，求出”的取值范围，并 证 明 雅，0;(3)在(2)的条件下，判断y=/(x)零点的个数，并说明理由.解(1)根据题意，令X 1,可得4 1)+7 U)=O，所以 y u)=。+6=0,经验证，可 得 当 时，对任意心 0,都有段)+7(：)=。，所以b=a.(2)由(1)可知，J(x)=n x a x+t 且第 0,.1 a-o x2+x a所以/(尤)=1 _。_?=-p-，令 g(x)=-o?+x 一小 要使人 工)存在两个极值点X|,x2,则 y=g(x)有两个不相等的正实数根,S O,0,J=1 4r z 0,、g(0)=4，解得0“；或无解，所以”的取值范围为(0,，可得。巧由题意知，y(S=l n2 a3=21n a+yI n 2,2 d令/i(x)=21 n x+yI n 2,.2 2 3x2 3x4+4x 4贝”(x)=t 7=-2?一.而当x G(O,0 时，3x4+4x 4=-3x44(1 x)0,即(x)/j(y=-21n 2+4-I n 2y 131n e 0.即当0a 0.,1 a-a x2+x-a(3)因为/(x)=-a-p=-7-,g(x)=-a x +x a.人1 A/1 4a2 1 +A/1 4t z2令/(x)=0,侍 2a，M=2a 由(2)知，当 00,g(0)=l.又 X&=1,可得为1,此时，於)在(0,为)上单调递减，在(即，必)上单调递增，在(、2,+8)上单调递减，所以y=/U)最多只有三个不同的零点.又因为负1)=0,所以r)在(即，1)上单调递增，即当1)时,#%)0恒成立.根据(2)可知，器 卜)且 0y|,2 2所以会(内，1),即?e(0,X1),所以三 M6件，X1),使得兀Vo)=o.由04卬5 A(0)=0,即 er 1+x.而当 0,1)时,e 21x9 即J.(2)解 设 2(x)=/U)g。)=ex(x2+or 2x sin x+1),则 尸(0)=0,F(x)=e(2x+a Z r c os x _ 2sin x).要求F(x)20在 0,1)上恒成立，必须有尸(0)20.即 a W l.以下证明：当aWl时，0 对x 0,l)恒成立，又 夕(0)=0,所以2sin xx,从而不等式得证.2.(20 18 宿 州质检)设函数犬x)=x+a dn x(aG R).(1)讨论函数4 x)的单调性；(2)若函数兀0的极大值点为x=l,证明：犬 )5*+*2.(1)解 危)的定义域为(0,+),/(x)=l+a ln x+a,当 a 0 时，,/(x)=x,则函数4 x)在区间(0,+8)上单调递增；a+当 ”0 时，由/(x)0 得 x e ,a+由/(工)0 得 0ave。.所以/U)在区间(0,上单调递减，在区间(屋 拶，+8)上单调递增；a+当 a 0 得 0 x e ,a+l由，(x)e a,所以函数段)在区间(0,e受)上单调递增，在区间一仪，+8)上单调递减.综上所述，当。=0时，函数4 x)在区间(0,+8)上单调递增；当”0时，函数段)在区间(0,J个)上单调递减，在区间(e个,+8)上单调递增；当a0时，函数段)在区间(0,e.拶)上单调递增，在区间(e-：,+8)上单调递减.a+l(2)证 明 由 知。0),则/(x)=2+？一+1(x+l)(xe v)=7 .令 g(x)=xe 得函数g(x)在区间(0,+8)上单调递增.而 g(l)=l 一 0,g(0)=KO,所以在区间(0,+8)上存在唯一的实数沏，使得 g(M)=xo一广电=0,即沏=e，且 x C(0,松)时，g(x)0.故F(x)在(0,松)上单调递减，在(即，+8)上单调递增.,.e/尸(X)m in=2)=1 n 沏+一+入()-1.又e闻=的，卜(X)m in In X()+入0-1沏=-沏+1 +%o -1 =0.2(幻2/(劭)=0成立，即於)We+“2成立.+1+口3.(2018皖江八校联考)己知函数 r)=”2.二 若 心0,函数 的极大值为卷，求实数4的值；(2)若对任意的“W O,如 竽 D 在XG O,+8)上恒成立，求实数方的取值范围.解(1)由题意，f (J C)=(2O X+l)e r(a r2+j c+a)e =A a r2+(1 -2a)x+a 1 1 7.=e(x l)(a r+lt z).当。=0 时，f(x)=e-x(x 1),令/(x)0,得 Fl;令f (x)l,所以 U)在(-8,i)上单调递增，在(i,+8)上单调递减.所以危)的极大值为川)=今 ，不合题意.当 a 0 时，1一3 1，令r(x)0,得 1一十 4 1;令 f(x)0,得 x 1,所以_/U)在(1一 1)上单调递增，在(一 8,1J),(J,+8)上单调递减.所以负的极大值为1)=%-=2 e 得 a=2.综上所述6 7 =2.(x2+l)a .x(2)令 g()=-2-+菸，。(一8,0 ,L /+当 工0,+8)时，-7-0,i hn(x+1),l 上、一人十 7 c hn(x+1)则 g(a)寸 V oW(8,0 恒成立等价于 g()W g(O)彳 Y即fW M n(x+l)对 x d0,+8)恒成立.VY当6=0时，显然段W/?ln(x+l)在0,+8)上不恒成立.Y当长0 时，VA-6(0,+8),ln(x+l)0,Y此时产b ln(x+l),不合题意.Y当方 0 时，令力(尤)=+1)不，%e0,+),b-x-x b e+f 1则 (x)=K T(e 一屁 户(v+)e“，其中(x+l)e*0,Vx e0,+),令夕(犬)=加+/-1,%G 0,+8),则p(x)在区间0,+8)上单调递增，b2l 时，p(x)p(0)=b 120,所以对Vx G 0,+8),h(x)0,从而(x)在0,+8)上单调递增,所以对任意 XW O,+8),h(x)h(0)=0,即不等式目n(x+l)x e-*在0,+8)上恒成立.0 Xl 时，由 p(0)=匕-1 0 及p(x)在区间0,+8)上单调递增，所以存在唯一的沏(0,1),使得p(x o)=O,且 x G(0,X。)时，p(x)0.从而 x d(0,x o)时，h(x)0,所以力(x)在区间(0,X。)上单调递减，则 x d(0,的)时，A(x)/i(O)=O,即 b ln(x+l)Q.解 A/x/(J C)=ln x a y f x-x.令 t,.x t3(r 0).令/(?)=In t a t,则函数y=与y=/(x)的零点个数情况一致.(i)当 a W O 时，h(/)0,在(0,+8)上单调递增.又 (1)=一多20,ae3-2I-ae4+m-(1-a+N，le03-21-6 7此时有1个零点.(ii)当”0时，在(0,方)上单调递增，在 伍，+8)上单调递减.力 m a x =岛)=In 卷 一1.当E万 1即,元时，(五无零点，当In卷=1即时，从卷)=0个零点.当“弃1即0e l,(1)=一木4 0.又看一2=景1各点l_e)-21 一 看2 2令夕(q)=21 n五一五，,3a(2 1、2 26a“3)=2式-川+廿=寸0，二夕在(0,台 上单调递增，.”(a)，)=2-e 0,.,.此时有两个零点.2,综上，当。0或。=品 时，有1个零点；2当00,只需 证 器+2(2一1)外八令4i=根(0/)，只需证 :+22.In m ,1 -In 八令 加)=丁，t (m)=!0,.1(在(0,1)上单调递增,.,./(/n)Z(l)=0,.+2 0.5.(201 8.洛阳模拟)己知函数於)=(x-l)e”一52,其中fG R.(1)讨论函数负x)的单调性；(2)当r=3时，证明：不等式/(X|+x 2)一4为一X2)2x 2恒成立(其中X|W R,数0).(1)解由于/(x)=x e*fx=x(e*。.(i)当 t W O 时,eA-r 0,当x 0时，f(x)0,兀0单调递增,当x 0时，f(x)0时，由，(尤)=0得x=0或x=ln f.当 07 1 时，In/o时，f(x)o,y(x)单调递增，当In r令 0时，/(x)0,r)单调递减，当x 0,兀v)单调递增；当t=时，/。)0,4 x)单调递增；当 t 时，In r 0.当x 1 n/时，/(x)0,人 龙)单调递增，当0 x ln/时，f(x)0,4工)单调递减，当x 0,x)单调递增.综上，当f W O时，贝x)在(-8,0)上是减函数，在(0,+8)上是增函数；当07 (X|X2)(X1+X2)O/(X|+必)+但+检)习5 必)+(即一处)恒成立.设 g(x)=/U)+x,则上式等价于g(X+X2)g3 必)，要证明g(Xl+2)g(X X 2)对任意X|G R,x2e(o,+8)恒成立，即证明g a)=a I)F在R上单调递增，又 g a)=xe3x+l,只需证明把*一3无+1 2 0 即可.令/z(x)=evx 1,则 h(x)=e*1,当 x0 时，hr(x)0 时，hr(x)0,，无。温 1 =以 0)=0,即 e+l,那么，当 “2 0 时，xexx2+x,xe-3x+12 x22x+1 =(x1)2 0；当 x 0 时，eAO,.xe3x+1O恒成立.从而原不等式成立.6.已知函数J(x)=ax2+cos x(a R),记J(x)的导函数为g(x).(I)证明：当 a=；时，g(x)在 R 上为单调函数；(2)若/(X)在 x=0 处取得极小值，求”的取值范围；(3)设函数/(x)的定义域为。，区间(加，+8)=0.若/1。)在(/,+8)上是单调函数，则称在。上广义单调.试证明函数y=/(x)xlnx在(0,+8)上广义单调.证 明 当。=时，yu)=f+c o sx,所以，(x)=xsinx,即 g(x)=xsinx,所以 g(x)=lcosxNO,所以g(x)在 R 上单调递增.解 因为 g(x)=/(X)=2Q Xsinx,所以 g(x)=2。-cosx.当时，g(x)21cosx20,所以函数/(x)在 R 上单调递增.若 x 0,则/(x)7(0)=0;若 x o,则f(#0,则 f (x)f(0)=0,所以 2a,即 g(x)0,所以函数/(x)在(0,沏)上单调递减，所以/(x)0).若 0,注意到In x x,则 In x x 2 ,即 lnx 22a x-2 x 2=.一三黑也严.当 X(1+更 可2 时,h，w 0)所以当相=(1 要 王 1)时，函数(x)在(?，+8)上单调递增.若aWO,当尤1 时，h(x)=2 a r sin x 1 I n xWsin x 1 I n x 0,所以当机=1时，函数/z(x)在(如+8)上单调递减.综上所述，函数y=r)元 I n x 在区间(0,+8)上广义单调.中档大题规范练(一)三角函数与解三角形1.已知函数 fix)=sin X(c o s x+小 sin x).(1)求人)的最小正周期；(2)若关于X的方程y(x)=f 在区间 o,耳内有两个不相等的实数解，求实数f 的取值范围.解(1 1/U)=sin x c o s x+V 3 sin2x=/sin 2 1+牛(1 c o s 2 x)所以/U)的最小正周期丁=爹=兀.(2)因为 x e 0,W ,所以 2 x-p y j.JI令 U =2Xy因 为 尸 sin”在 一宗T T 方T T上是增函数，在 他 用 上是减函数，人 -兀 兀 5兀令 u=2 x-j=y 则所以於)在 o,招 上是增函数，在 愕，外上是减函数.JT由题意知，关于X的方程yw=f在区间|_ 0,内有两个不相等的实数解，等价于产加)与丫=r的图象在区间。，内有两个不同的交点，又因为负 0)=0,4 招)=1+坐 局=小,所以 也 令 1+坐，即,的取值范围是 小，i+*)2.在AABC中，角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知cos A=一 智，b=木,c=小.（1）求 a；（2）求 cos（5 A）的值.解（1）在ABC中，由余弦定理得，a2=b2+c22bccos A=2+5-2 X 6 X小 X（一 嚅）=9,.a=3（舍负）.（2）在ABC 中，由 cosA=一喘，得 A e（J 兀），sin A=7 1 cos2A=1 在4 B C 中，由正弦定理管扁=磊，同 3 也 .y5即/五），sin B s，3遮sin 510又 从右仔，兀），故 8 （0,3，Acos B=yj 1 sin2B=1/.cos（BA）=cos Bcos A+sin Bsin A=结/_迪 士 旦 述=地-5 10 J 十 5 10-10-3.（2018河北省衡水中学模拟）在ABC中，角 A,B,C 所对的边分别为小b,c,且cos2C=sin2AV3sin A-sin B.求 角 C；（2）若 A=聿,八钻。的面积为4#,M 为 A 3 的中点，求 CM的长.解（1）由 cos2Bcos2C=sin2AV3sin Asin B,得 sin2C sin2B=sin2A-/3sin Asin B.由正弦定理，得 c1b2=a2y3ab,即 a2+b2-c2=y3ab.-7人 在 Im Z B +层J /（山 小又由余弦定理，付 cos C 2川）=2ab=2 T T因为Oc7t,所以C=djr（2）因为 A=C=w，所以ABC为等腰三角形，且顶角8=华.故 S,AB C=2a n B=I2=4-3,所以 a=4（舍负）.在MBC中，由余弦定理，得C M2=M B2+B C1-2MB-B Ccos B=4+16+2X 2X 4x1=28,解得C M=2 币.4.（2018 重庆市恭江区调研）已知 a=（2cos x,2sin x）,b=（sin（x*），cosr-函数/（x）=c o s a,b.（1）求函数y（x）的零点；（2）若锐角A B C 的三个内角A,B,C 的对边分别是。，江 c,且A 4）=1，求 号 的 取值范围.解（1）由条件可知，a力=2cossin（x 聿）+2sinx.cos（x看）=2sin（2x一季），（i-b9 fix）=cos ,b=同 旬=s in&-富由2x一季=左 兀，k G Z,解得工=竽+有 kGZ,即函数尺0 的零点为xkRZ.sin B+sin C（2）由正弦定理得丁=sin A，由知，y（x