【人教A版】2018版必修二第1章《空间几何体》导学案一.pdf

第 一 章 空 间 几 何 体 1.1空间几何体的结构第 1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征 学习目标1.通过对实物模型的观察，归纳认知简单多面体棱柱、棱锥、棱台的结构特征2能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来判断、描述现实生活中的实物模型.尹知识梳理 自主学习知 识 点 一 空 间 几 何 体1.概念：如果只考虑物体的形状和大小,而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的窒间图形叫做空间几何体.2.多面体与旋转体类别定义图示D曜d4CA多面体由若干个平面多边形围成的几何体4 JJrA旋转体由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形/*岫成的封闭几何体，其中定直线叫做旋转体的轴知 识 点 二 棱 柱、棱锥、棱台的结构特征多面体定义图形及表示相关概念分类棱柱有 两 个 面 互 相 壬红，其余各面都是四边形,并 且 每 相邻两个四边形的公或r 1）“如图可记作：棱柱底面（底）：两个互相平行的面.侧面：其余各面.按底面多边形 的 边 数分：三棱柱、四 棱共边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱.ABCDEF-A B C1 D E F侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与底面的公共*柱、棱锥有 一 个 面 是 多 边及，其余各面都是有一个公共顶点的三 角形,由 这 些 面所围成的多面体叫做棱锥.点&2-/；D v 帧 面AH如图可记作，棱锥S-ABCD底面（底）：多边形面.侧面：有公共顶点的各个三角形面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：各侧面的公共顶点.按底面多边形 的 边 数分:三棱锥、四 棱锥、棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.是:皿如图可记作：棱台ABCD-A B CD上底面：原棱锥的截面.下底面：原棱锥的底面.侧面：其余各面.侧棱：相邻侧面的公共边.顶点：侧面与上（下）底面的公共顶点.由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫 做 三 棱台、四棱台、五棱台思 考（1）棱柱的侧面一定是平行四边形吗？（2）棱台的上下底面互相平行，各侧棱延长线一定相交于一点吗？答（1）根据棱柱的概念侧棱平行、底面平行可知，棱柱的侧面一定是平行四边形.（2）根据棱台的定义可知其侧棱延长线一定交于一点.题 型 探 究 重点突破题 型 一 棱 柱 的 结 构 特 征例 1下列说法中，正确的是（）A.棱柱中所有的侧棱都相交于一点B.棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C.棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D.棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形答 案 D解析 A 选项不符合棱柱的特点；B 选项中，如图，构造四棱柱/BCD小81Go 1，令四边 形 是梯形，可知平面N85 小平面。CGO”但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图，底 面 可 以 是 平 行 四 边 形；D 选项是棱柱的特点.故选D.反 思 与 感 悟 棱柱的结构特征：(1)两个面互相平行：(2)其余各面是四边形；(3)每相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时，首先看是否有两个平行的面作为底面，再看是否满足其他特征.跟踪训练1下列关于棱柱的说法塔送的是()A.所有的棱柱两个底面都平行B.所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面每相邻面的公共边互相平行C.有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱D.棱柱至少有五个面答 案 C解 析 对于A、B、D,显然是正确的；对于C,棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互/相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱，所以C 错误.题 型 二 棱 锥、棱台的结构特征例 2下列关于棱锥、棱台的说法：棱台的侧面一定不会是平行四边形；由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其 中 正 确 说 法 的 序 号 是.答 案 解 析 正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥./反 思 与 感 悟 判断棱锥、棱台形状的两个方法举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.(2)直接法:棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2 下列说法中，正 确 的 是()棱锥的各个侧面都是三角形；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥;四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；棱锥的各侧棱长相等.A.B.C.D.答 案 B解析 由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故错;四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故错.题型三多面体的表面展开图例 3 画出如图所示的几何体的表面展开图.(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型.在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图.(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图.跟踪训练3如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？解由几何体的侧面展开图的特点,结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示:所以（1）为五棱柱；（2）为五棱锥；（3）为三棱台.解题技巧截面周长最小问题例 4如图所示，在侧棱长为2小的正三棱锥/一48。中，过 点/作 截 面 4 E F 分别交，8,-C 于点E,F,求截面/1尸 周长的最小值.分析 将正三棱锥沿侧棱弘展开一 求截面周长转化为求线段长-利用正三棱锥的性质求解解 将三棱锥/一/8 C 沿侧 棱 阳 剪开，将其侧面展开图平铺在一个平面上，如图所示，则的周长=4E+EF+E4i.因为Z E+E/+物 /小，所以线段力小（即E,F,小 四点共线时）的长即为所求 ZEF周长的最小值.作以）U 4,垂足为点。.由VAVA,知。为/小 的中点.由已知N 4-8=/8 W=N C l|=4 0。,得乙4以)=60.p;在 R tA jr a 中，AD=VAsm 60=23 X-=3,即 AA=2AD=6.所 以 截 面 周 长 的 最 小 值 是6.解 后 反 思 求几何体表面上两点间的最小距离的步歌(1)将几何体沿着某棱剪开后展开，画出其侧面展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果.当堂检测 自查自纠1.下列命题中，真命题是()A.顶点在底面上的投影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正三棱锥B.底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥C.顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心的三棱锥是正三棱锥D.底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥答 案D解 析 对于选项A,到三角形各顶点距离相等的点为三角形外心，该三 P角形不一定为正三角形，故该命题是假命题；对于选项B,如图所示，/“浮 48C 为正三角形，若 R 4=PB=A B=B C=A C rPC,*8,P2C,I)R1C都是等腰三角形，但它不是正三棱锥，故该命题是假命题；对于选项C,顶点在底面上的投影为底面三角形的垂心，底面为任意三角形皆可，故该命题是假命题；对于选项D,顶点在底面上的正投影是底面三角形的外心，又因为底面三角形为正三角形,所以外心即为中心，故该命题是真命题.2.下列三个命题：用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是菱形的多面体是棱台；有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台.其中，正确的有()A.0个 B.1个 C.2个 D,3个答 案A解析 中的平面不一定平行于底面，故错；中侧面是菱形，所以侧棱互相平行，延长后无交点，故错；用反例验证(如图)，故错.3.如图所示，不是正四面体（各棱长都相等的三棱锥）的展开图的是（)A.B.C.D.答 案C解 析 可选择阴影三角形作为底面进行折叠，发现 可折成正四面体，不论选哪一个三角形作底面折叠都不能折成正四面体.4.下列几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台（仅填相应序号）.答 案 解 析 结合棱柱、棱锥和棱台的定义可知是棱柱，是棱锥，是棱台.5.如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体的形状是.答 案 四 棱 柱解 析 由于倾斜角度较小，所以倾斜后水槽中水形成的几何体的形状应为四棱柱.|-课堂小结-11 .棱柱、棱锥、棱台的关系在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来 以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.顶点拓展为与下底面平行，相似但不全等的面上底面馆小为一个点2 .（1）各种棱柱之间的关系棱柱的分类j去J正棱柱棱柱（直址柱 一般的直棱柱 斜棱柱常见的几种四棱柱之间的转化关系一 面 是 平 行 四 边 形 平行六面体1 横 垂 直 于 底 面M 回I 枝*jti底 国.O棣 柱|底面是平行B边 于底 足 姐*|“I各枝长相一一 11 长万体1 叶正万体1（2）棱 柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表 直平行1六面体名称底面侧面侧棱高平行于底面的截面棱柱斜棱柱平行且全等的两个多边形平行四边形平行且相等与底面全等直棱柱平行且全等的两个多边形矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等正棱柱平行且全等的两个正多边形全等的矩形平行、相等且垂直于底面等于侧棱与底面全等棱锥正棱锥一个正多边形全等的等腰三角形有一个公共顶点且相等过底面中心与底面相似其他棱锥一个多边形三角形有一个公共顶点与底面相似棱台正棱台平行且相似的两个正多边形全等的等腰梯形相等且延长后交于一点与底面相似其他棱台平行且相似的两个多边形梯形延长后交于 点与底面相似产课时精练一、选择题1.下列四个命题中，真命题有（）底面是平行四边形的四棱柱是平行六面体;底面是矩形的直平行六面体是长方体；直四棱柱是直平行六面体；直平行六面体是长方体.A.1 个B.2 个C.3 个D,4 个答 案 B解析 根据平行六面体的定义，知为真命题；根据长方体的定义，知为真命题；直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，所以其底面必是平行四边形，而直四棱柱的底面不一定是平行四边形，所以为假命题；同理，长方体是底面为矩形的直平行六面体，所以为假命题.2 .一般棱台不具有的性质是（）A.两底面相似 B.侧面都是梯形C.侧棱都相等 D.侧棱延长后都交于一点答 案 C解 析 当棱台是斜棱台时其侧棱不全相等.3 .在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数为（）A.2 0 B.1 5 C.1 2 D.1 0答 案 D解 析 正五棱柱任意不相邻的两条侧棱可确定一个平面，每个平面可得到正五棱柱的两条对角线，5个平面共可得到1 0 条对角线，故选D.4 .某棱台的上、下底面对应边之比为1:2,则上、下底面面积之比是（）A.1 ：2 B.1 ：4 C.2 ：1 D,4 ：1答 案 B解 析 因为棱台的上下底面相似，所以上下底面面积之比等于边长比的平方.5 .用一个平行于棱锥底面的平面去截这个棱锥，截得的棱台上、下底面的面积比为1：4,且截去的棱锥的高是3 m,则棱台的高是（）A.1 2 c m B.9 c m C.6 c m D.3 c m答 案 D解析 由棱锥、棱台的性质可知，棱台的上、下底面相似.又因为上、下底面的面积比为1 :4,所以上、下底面的边长比为1 ：2,所以截去的小棱锥与原大棱锥的高之比为1：2,则棱台的高是3 c m.6 .某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为（）答 案A解析 两个 国 不 能并列相邻，B、D错误；两个区 不能并列相邻，C错误，故 选A.也可通过实物制作检验来判定.7.如图，往透明塑料制成的长方体A B C D-A.B D,容器内灌进一些水，将容器底面一边8 C固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列三个说法：水的部分始终呈棱柱状；水面四边形E F G H的面积不改变；当EG441时，/E+8尸是定值.其中，正确的说法是（）A.B.C.D.答 案D解析 显然水的部分呈三棱柱或四棱柱状，故正确；容器倾斜度越大，水面四边形的面积越大，故不正确；由于水的体积不变，四棱柱4 8 一O C G H的高不变，所以梯形/2 R E的面积不变，所以4 E+8 F是定值，故正确.所以四个命题中正确.故选D.二、填空题8.如图，M是棱长为2 cm的正方体N8CQ-小8 1 G 2的棱C G的中点，沿正方体表面从点力到点M的最短路程是 cm.答案解析 由题意，若以2 c为轴展开，则M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 c m,故两点之间的距离是 15 cm.若以8丛 为轴展开，则/,A/两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是，行 cm.故沿正方体表面从点力到点M 的最短路程是仃 cm.9.下 列 叙 述 正 确 的 是.（只填序号）四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形；三棱锥的四个面都可以是直角三角形；用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台.答 案 解析 如图，当四棱锥的底面是一个矩形，并且一条侧棱垂直于底面时，四棱锥的四个侧面就可以都是直角三角形，所以是正确的；如图，当三棱锥满足侧棱N D,底面。C8（其中BCD中，/8CZ）是直角）时，三棱锥的四个面就都是直角三角形，所以是正确的；中的平面不一定平行于底面，所以是错误的；若中多面体的侧棱延长后不能交于一点，则相应的多面体就不是棱台，所以是错误的.10.在正方体上任意选择4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的4 个顶点，这些几何体是.（写出所有正确结论的编号）矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体.答 案 解析 在正方体A B C D T B C Q i上任意选择4 个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：矩形，如四边形N C G 4；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如/一小8D；每个面都是等边三角形的四面体，如/每个面都是直角三角形的四面体，如/一小。C,所以填.11.如图所示，在三棱锥 S-/8 C 中，SA=SB=SC=,Z A S B=Z A S C=ZBSC=3 0,一只蚂蚁从点/出发沿三棱锥的表面爬行一周后又回到/点，则蚂蚁爬过的最短路程为.答 案 也解析 如图所示，将三棱锥S-4 8 C 沿 S 4剪开，连接,则/，为最短距离，Z AS A=9 0,S A=S A=1,：.A A=也.三、解答题1 2.如图，在边长为2 a 的正方形4 5 C C 中，E,F 分别为4B,8。的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点4、B、C重合，重合后记为点P.问：（1）折起后形成的几何体是什么几何体？（2）这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？（3）每个面的三角形面积为多少？解（1）如图，折起后的几何体是三棱锥.（2）这个几何体共有4个面，其中）所 为等腰三角形，尸为等腰直角三角形，X D P E和。尸尸均为直角三角形._ _i _ 2SAO尸尸=SAOPE=5X 2 a X1 3.长方体N8CDY囚 GG（如图所示）中，AB=3,B C=4,小4 =5,现有一甲壳虫从4出发沿长方体表面爬行到G 来获取食物，试画出它的最短爬行路线，并求其路程的最小值.解把长方体的部分面展开，如图所示.AB对甲、乙、丙三种展开图利用勾股定理可得A Q的长分别为 晒、市 5、病,由此可见乙是最短线路,所以甲壳虫可以先在长方形小 内 由4 到E,再在长方形B C C B内由E 到G，也可以先在长方形A A D内由4 到F,再在长方形O C G A 内由尸到G,其最短路程为第 2 课 时 圆 柱、圆锥、圆台、球及简单组合体的结构特征 学习目标1.认识圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.2.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.知识梳理 自主学习知识点一圆柱的结构特征1.定义：以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的面所围成的重转体叫做圆柱.2.相关概念（图1）.3.表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示,图中圆柱表示为圆柱O O.-例 而一母线思 考 圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？答圆柱的母线有无数条；相互平行.知 识 点 二 圆锥的结构特征1.定义：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.2.相关概念（图2）.3.表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示,图中圆锥表示为圆锥SO.思 考 圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？答等腰三角形.知 识 点 三 圆台的结构特征1.定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.2.相关概念（图3）.3.表示法：圆台用表示轴的字母表示,图中圆台表示为圆台0。.底面)r&h喧圆 台图3思 考 圆台的两条母线所在的直线一定相交吗？答一定.由于圆台是由圆锥截得的，故两条母线所在的直线一定相交.知识点四球的结构特征1 .定义：以半圆的直饯所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.2 .相关概念(图4).3 .表示法：球常示表示球心的字母表示,图中的球表示为建图4思 考 球能否由圆面旋转而成？答能.圆面以直径所在的直线为旋转轴，旋转半周形成的旋转体即为球.知识点五简单组合体1 .概念：由简里州体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、球等几何结构特征的物体组成的.2 .基本形式：一种是由简单儿何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.声 题型探究 重点突破题型一旋转体的结构特征例 1 判断下列各命题是否正确：(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.解(1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示.(3)正确.(4)错.应为球面.反 思 与 感 悟 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.2.只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.跟踪训练1下 列 命 题 正 确 的 是.(只填序号)以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180。形成的曲面围成的几何体是圆锥；球面上四个不同的点一定不在同一平面内；球的半径是球面上任意一点和球心的连线段；球面上任意三点可能在一条直线上；用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.答 案 解 析 以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；它们的底面为圆面；正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故错误；根据球的半径定义，知正确；球面上任意三点一定不共线，故错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故正确.题 型 二 简单组合体的结构特征例 2如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？(1)(2)解旋转后的图形如图所示.其中图是由一个圆柱和两个圆台。2。3，。3。4组成的;图是由一个圆锥。5。4,一个圆柱。3。4及一个圆台。|。3中挖去圆锥0 2a组成的.反 思 与 感 悟 1.平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成.2.必要时作模型培养动手能力.跟踪训练2 已知A B是直角梯形A B C D中与底边垂直的腰，如图所示.分别以AB,BC,CD,D A所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.A D解(1)以边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图所示.(2)以8C边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图所示.(3)以 8边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图所示.(4)以A D边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图所示.题型三有关几何体的计算问题例 3如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1 ：1 6,截去的圆锥的母线长是3 c m,求圆台O O的母线长.解 设圆台的母线长为/c m,由截得圆台上、下底面面积之比为1 ：1 6,可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r.过轴SO 作截面，如图所示.则SO A S/S O 4,SA=3 cm.S A，0，ASA=OA-3 _rJ,*3+/_4r_4-解得/=9(cm),即圆台的母线长为9 cm.反思与感悟 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解.跟踪训练3圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 c m,母线长48=20 c m,从圆台母线的中点河拉一条绳子绕圆台侧面转到点4求：(1)绳子的最短长度;(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.解(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短距离为侧面展开图中,.八 10-5的长度，8=f 乂360。=90。.设 OB=Lf,贝L=2 0 cm.OA=40 cm,0M=30 cm.A AM=ylOA2+O =50 cm.即绳子最短长度为50 cm.(2)作力”于点0,交瓠B B 于点P,则尸0 为所求的最短距离.*；OAOM=AMOQ,/.00=24 cm.故尸0=O 0 O P=24-2O=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4cm.歹当堂检测 自查自纠1.下列几何体是台体的是()ABD答 案 D解析 台体包括棱台和圆台两种，A 的错误在于四条侧棱没有交于一点，B 的错误在于截面与圆锥底面不平行.C 是棱锥，结合棱台和圆台的定义可知D 正确.2.给出下列说法：直线绕直线旋转形成柱面；曲线平移一定形成曲面；直角梯形绕一边旋转形成圆台；半圆绕直径所在直线旋转一周形成球.其中正确的个数为()A.l B.2 C.3 D.0答 案 A解 析 错，当两直线相交时，不能形成柱面；错，也可能形成平面；错，若绕底边旋转，则形成组合体；根据球的定义知正确.3.向高为的水瓶中以恒定的速度注水，注满为止，如果注水量-与水深”的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是()解析 令 h=?由图象知此时注水体积大于几何体体积的一半，所以B 正确.4.一个圆锥的母线长为20 c m,母线与轴的夹角为30。，则圆锥的高为 cm.答 案 1所解析 =20cos 30。=1()V(cm).5.若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为 出,则 这 个 圆 锥 的 母 线 长 为.答 案 2解析 如图所示，设等边三角形N 8C 为圆锥的轴截面，由题意知圆锥的母.故正线 长 即 为 的 边 长，且 以 谢=冷 炉，.5=%小,确答案为2.|-课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.上底廿X至与下底面交易上底缩J顶点猫从为与底面平行但不全等的上底馆小2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.处理组合体问题常采用分割思想.4.重视圆柱、圆锥、圆台的轴裁面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.歹课时精练一、选择题1用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体可能是（）A.圆 柱 B.圆 台 C.球 体 D.棱台答 案 D解 析 圆柱、圆台和球体无论怎样截，截面可能是曲面，也可能是矩形（圆柱），不可能截出三角形.只有棱台可以截出三角形，故选D.2.过球面上任意两点力、8 作大圆，可能的个数是（）A.有且只有一个 B.一个或无穷多个C.无数个 D.以上均不正确答 案 B解析 当过4 8 的直线经过球心时，经过4 8 的截面所得的圆都是球的大圆，这时过48 作球的大圆有无数个；当直线4 8 不经过球心。时，经过4 B,。的截面就是一个大圆，这时只能作出一个大圆.3.一个正方体内接于一个球，过球心作-截面，则截面可能的图形是（）A.B.C.D.答 案 C解析 当截面平行于正方体的一个侧面时得，当截面过正方体的体对角线时得，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得，但无论如何都不能截出.4.一平面截球O 得到半径为小cm 的圆面，球心到这个平面的距离是2 c m,则球的半径是)A.9 c m B.3 c m C.l c m D.2 c m答 案B解析 设球的半径为凡根据勾股定理，有（右）2+2 2=3（c m）.5.过半径为2的球。表面上一点A作球O的截面，若0A与该截面所成的角是6 0,则该截面的面积是（）A.n B.2 7 r C.3 7 t D.2y 3 T C/答 案A（o解析 如图，可知NO/。=6 0,.O A=O A =1,即截面圆的半 .?一”径 是i,则该截面的面积是兀 弋6.已知球的两个平行截面的面积分别为5兀和8兀，它们位于球心的同一侧，且距 离 为1,那么这个球的半径是（）A .4 B.3 C.2 D.0.5答 案B解 析 如图所示，.两个平行截面的面积分别为5兀、8兀，.两个截面圆的半径分别为r I=小，/2=2啦.f.球心到两个截面的距离4=、*片,d 2=F=9，:.小 一（1 2=邓2-5一7 W-8=,：.R2=9,：.R=3.7.一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（）答 案B解析 由组合体的结构特征知，球只与正方体的上、下底面相切，而与两侧棱相离，故正确答案为B.二、填空题8.若母线长是4的圆锥的轴截面的面积是8,则 该 圆 锥 的 高 是.答 案2啦解析 设圆锥的底面半径为r,则圆锥的高/.由题意可知去2厂 qRT/=8,.2=8,:.h=2 9.一个三棱锥的各棱长均相等，其内部有一个内切球，即球与三棱锥的各面均相切（球在三棱锥的内部，且球与三棱锥的各面只有一个交点），过一条侧棱和对边的中点作三棱锥的截面，所得截面是下列图形中的，（填序号）答 案 解析 易知截面是一个非等边的等腰三角形，排除；等腰三角形的底边是正三棱锥的一条棱，这条棱不可能与内切球有交点，所以排除；而等腰三角形的两条腰正好是正三棱锥两个面的中线，且经过内切球在两个面上的切点，所以正确答案是.10.一个无盖的正方体盒子展开后的平面图如图所示，A,B,C 是展开 I|图上的三点，则在正方体盒子中N4BC=.B答 案90解析 如图所示，将平面图折成正方体.很明显点4 B,C 是上底面正方形的三个顶点，则/Z 8 C=9 0。.11.在 半 径 为 1 3 的 球 面 上 有/、B、C 三 点、,其 中 N C=6,8 c=8,/8=1 0,则球心到经过这 三 个 点 的 截 面 的 距 离 为.答 案12解 析由线段的长度知/B C 是 以 4 8 为斜边的直角三角形，所以其外接圆的半径r=等=5,所以 M=i2.三、解答题12.圆台的两底面面积分别为1,49,平行于 底 面 的 截 面 面 积 的 2 倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.解 将圆台还原为圆锥，如图所示.02,a,O 分别是圆台上底面、截面和下 V底面的圆心，是圆锥的顶点，令 力 2=，。2。1=，Q O =后，h+h1+鱼h Fy4949+1所以h=4h,/2=2/?,即 hx:比=2 :1.13.如图所示，已知圆锥SO中，底面半径厂=1,母线长/=4,M 为母线SN 上的一个点，且 SM=x,从 点 M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4.求：(1)绳子的最短长度的平方/X)；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3 次x)的最大值.解将圆锥的侧面沿S4展开在平面上，如图所示，则该图为扇形,弧 N T 的长度L就是圆。的周长,L=2.7tf 2.T t.L 2 7 1 Z AS M=7T-j X 360X 3 6 0=9 0 .2 兀/2TIX4(1)由题意知绳子长度的最小值为展开图中的其值为/=#/+16(0 W x W 4).人 )=工 序=2+i 6(0 W x W 4).(2)绳子最短时，在 展 开 图 中 作 垂 足 为 R,则 S R 的长度为顶点S到绳子的最短距离，在中，SSAM=SA S M=A M S R,.C S A S M 4 x ,八与氏一二应一一炉干出(x W 4),即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4 x+6(0 W x W 4).(3)；_ A x)=x 2+16(0 W x W 4)是增函数,/(X)的最大值为4)=3 2.空间几何体2空间几何体的三视图和直观图1.2.1 中心投影与平行投影1.2.2 空间几何体的三视图I学习目标1.了解中心投影和平行投影2能画出简单空间图形的三视图.3.能识别三视图所表示的立体模型.h知识梳理 自主学习知识点一投影的概念及分类1.投影的定义由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体影子的屏幕叫做投影面.2.投影的分类I-中心投影：光山点向外散射形成的投影平行投影；在一一 束 平行光线照射下形成的投影正投影：投影线正时着投影面时的投影斜投影：投影线斜对着投影而时的投影3.当图形中的直线或线段不平行于投影线时，平行投影都具有下述性质：直线或线段的平行投影仍是直线或线段;平行直线的平行投影是平行或重合的直线;平行于投影面的线段，它的投影与这条线段平行且等长;与投影面平行的平面图形，它的投影与这个图形全等;在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比.知识点二三视图的概念及特征1.定义：光线从几何体的前面向卮面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的正视图;光线从几何体的左面向方面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的侧视图；光线从几何体的上面向上面正投影，得到投影图，这种投影图叫做几何体的俯视图.几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图,三视图是正投影.2.基本特征：一个几何体的侧视图和正视图高度一样，俯视图与正视图性度一样，侧视图与俯视图宽度一样.思 考 画三视图时一定要求光线与投影面垂直吗？答是.由画三视图的规则要求可知光线与投影面垂直.h题 型 探 究 重点突破题型一中心投影与平行投影例 1下列说法中：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线相交于一点;空间图形经过中心投影后,直线还是直线，但平行线可能变成了相交的直线；两条相交直线的平行投影是两条相交直线.其中正确的个数为（）A.O B.l C.2 D.3答 案 B解析 由平行投影和中心投影的定义可知正确；空间图形经过中心投影后，直线可能变成直线，也可能变成一个点，如当投影中心在直线上时，投影为点；平行线有可能变成相交线，如照片中由近到远物体之间的距离越来越近，最后相交于一点，不正确；两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线，不正确.反思与感悟 判断一个几何体的投影是什么图形，先分清楚是平行投影还是中心投影，投影面的位置如何，再根据平行投影或中心投影的性质来判断.跟踪训练1已知N 8 C,选定的投影面与N8C所在平面平行，则经过中心投影后所得的4 B C1 与AABCl）A.全等 B.相似C.不相似 D.以上都不对答 案 B解 析 本题主要考查对中心投影的理解.根据题意画出图形，如图所示.由图易得0 4，=*B=C 8，=8，C，=，=/，C，则B C .题型二画空间几何体的三视图例2如图是按不同方式放置的同一个圆柱，阴影面为正面，画出其三视图.解三视图分别如图所示.反 思 与 感 悟 画三视图应遵循的原则和注意事项：(1)务必做到“长对正，高平齐，宽相等”.(2)三视图的排列方法是正视图与侧视图在同一水平位置，且正视图在左，侧视图在右，俯视图在正视图的正下方.(3)在三视图中，要注意实、虚线的画法.(4)画完三视图草图后，要再对照实物图来脸证其正确性.跟踪训练2螺栓是棱柱和圆柱构成的组合体，如图，画出它的三视图.奥 祖 一正视解该物体是由一个正六棱柱和一个圆柱组合而成的，正视图反映正六棱柱的三个侧面和圆柱侧面，侧视图反映正六棱柱的两个侧面和圆柱侧面，俯视图反映该物体投影后是一个正六边形和一个圆（中心重合）.三视图如图所示.题型三由三视图还原空间几何体例3根据以下三视图想象物体原形，并画出物体的实物草图.解（1）此几何体上面可以为圆柱，下面可以为圆台，所以实物草图可以如图.（2）此几何体上面可以为圆锥，下面可以为圆柱，所以实物草图可以如图.反 思 与 感 悟 由三视图还原空间几何体的步骤:跟踪训练3已知如下三视图，试分析该几何体结构特征并画出物体的实物草图.解由三视图可知该几何体为四棱锥，对应空间几何体如图:数学思想数形结合思想例4某几何体的一条棱长为巾，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为。的线段,在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为加和b的线段，求/+/的值分 析 本题考查某几何体的一条棱长和它在三视图中的投影长的关系，这种关系比较抽象，不易理解，我们可以结合长方体的体对角线在三个面上的投影来理解这个问题.解 如图所示，设长方体的长、宽、高分别为“，n,k,体对角线长为巾，体对角线在三个相邻面上的投影长分别为 6,h.则由题意，得勺加2+/+炉=木,7$+必=*,解得加=i 或?=-i(舍去),3 +1=仇所以(d 1)+(/1)=6,即/+6 2=8.解后反思 本题主要是根据题意利用数形结合思想构造一个长方体，通过长方体把巴。集中在方程中求解.易错点画出所给几何体的三视图例 5画出如图所示物体的三视图.分 析 首先正视图与侧视图的高要相等，其次侧视图的宽与俯视图的宽一致.解该几何体的三视图如图所示:解后反思 本例的侧视图中有一条看不到的棱，在绘图时应用虚线，常见错误是将此虚线误绘成实线，这一点在绘制三视图时尤其要重视.产当堂检测自查自纠C.射线D.直线、射线或点答 案 D解 析 当直线与投影线平行时，投影是一个点；当直线与投影线垂直时，投影是一条直线;当直线与投影线相交，但不垂直时，投影是一条射线.2.若一个几何体的正视图和侧视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，则这个几何体可能是()A.圆 柱 B.三 棱 柱 C.圆 锥 D.球体答 案 C解 析 由圆锥的三视图可知这个几何体可能是圆锥.3.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A BC D答 案 D解析 从左往右看，主体的轮廓是一个长方形，长方体的对角线可以看见，且该对角线是从左下角往右上角倾斜的.4.如图所示，正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）Z8C小囱G 的正视图