同济大学_第五版_线性代数课后习题解析.pdf

习题解答1.利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 01a b c(1)1 -4-1;(2)b c a*-1 83c a b1 1 1Xy x+y(3)a b c9(4)y x+y xa2 b2 c2x +y工 y解(1)原式=2 x (-4)X 3 +0 X (-1)x(-D+1 X 1 X 8-l x(-4)x(-l)-2 x(-l)x 8-0 x i x 3=-4；(2)原式=acb+bac+cba _ cJ-a3-63=3 abc a3-b3-c3;(3)原式 l*b*c2+l*c*a1+l,a*b2-l,b,a2-l,c b2-l,ac2=be2+ca2+ab2 ba1-cb2-ac2,=c2(b-a)+ab(b-a)c(b2-a2)=(a-b)(b c)(c-a)i(4)原式=x(x +j)y +j/x(.r+j)+(x +j)y r-(x +y)3-x3-yJ=-2(x3+/).2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：(1)1 2 3 4;(2)4 1 3 2;(3)3 4 2 1；(4)2 4 1 3;(5)1 3 (2n-1)2 4 (2)；(6)1 3 ,(2 n -1)(2 n)(2 n -2)2.解(1)此排列为自然排列，其逆序数为0;(2)此排列的首位元素的逆序数为0;第2位元素1 的逆序数为1;第3 位元素 3的逆序数为1 ;末位元素2的逆序数为2,故它的逆序数为0 +1 +1 +2 =4；(3)此排列的前两位元素的逆序数均为0;第 3位元素2的逆序数为2；末位元素1 的逆序数为3,故它的逆序数为0 +0+2 +3 =5；(4)类似于上面，此排列的从首位元素到末位元素的逆序数依次为0,0,2,1,故它的逆序数为0 +0 +2+1 =3；(5)注意到这2”个数的排列中，前 n位元素之间没有逆序对.第”+1位元素2与它前面的n-1 个数构成逆序对，故它的逆序数为n -1;同理，第”+2倍元素4的逆序数为”-2;；末位元素2 n的逆序数为0.故此排列的逆序数为（”-1）+（曾 -2）+0=:（”-1）;(6)与(5)相仿，此 排 列 的 前n+1位元素没有逆序对；第”+2位元索(2n-2)的逆序数为2;第”+3位 元 素2n-4与它前面的2”-3,2”-1,2n,2 -2构成逆序对,故它的逆序为4；末位元素2的逆序数为2(”-1),故此排列的逆序数为2+4+2(”-1)=-1).3.写出四阶行列式中含有因子。“牝3的项.解 由行列式定义知这项必还含有分别位于第3行 和 第4行的某两元案，而它们又分别位于第2列和第4列，即“32和a”或 和 注 意 到 排 列1324与1342的逆序数分别为1与2,故此行列式中含有。“即3的项为-a”a23a32。与 a23a34a4 2 4.计算下列各行列式:215解 D411001251202142071-12042361122-a h,bdbfac_ cdcfaede ef（4）a-1001b-101410021510221240710002-7-1512-4-2070001-1022=0(因第3、4行成比例);1 2 0 21 2 0 2011 7ry f1 5 r20 1170-15 2-20 +7。0 0 17 850-72-4,0 0 9 45D251510204636222=0(因有两行相同);ri v D=a d frj T ar f-bbb er b=abcdefT C11-1In+riabcdef,、ri+z(4)D=0100-1001+abb-10102a11+ab-10a-1ad12.0001d1 +cd0=4abcdef j按 展 开，、，、3（一 1）（一按门展开(-1)(-l)51 +ab-101+ab-1a 0c 11 dad1+cd=(1+a6)(l+cd)+ad.5.求解下列方程：2/1 1 =0X2)2 2 2-1 1 /1 a。x3 a3 b3互不相等.2=0,其中 a,b,c3C解（D左 式 二rt 4-(i+3)(x+3)12-11X+1101X+11 0 0,2-C|,、(1 r +3)2 x-1 1-1 2 x+1_/人工一1 1 ,-(Z+3)=(i+3)(1-3).I x+1于是方程的解为：I=-3,12=打,工3 =-百;(2)注意到方程左式为4阶范德蒙德行列式，由例1 2的结果得(x-a)(x-6)(x-c)(a-6)(a -c)(-c)=O.因a,6,c互不相等，故方程的解为：叫6 .证明：Q、工2=b(4)a22a1ab b2a+b 2b(a-b)3;3+63)az+bxax+byay+bzax+byay+bzaz+bx1ay+bzaz+bxax+bya2(a +1)2(a +2(a +3)2b2(6 +1)2(6 +2尸(b +3)2c2(c +l)2(c +2)2(C+3)2d2(d +l)2(d+2)2(d +3)21aa2bb2dd1112yzy zz x1 yab(a-6)(a-c)(a-d)(6 -c)(6 -d)(c-d)(a +6 +c +d);0000 x00=a.N.+QN+ao000证(1)左式a2-b22(a-6)0*ab-b2a b02b1ci-2 q(a-b)1 ah-b2b22b10400a-b0=(a-I)=右式;(2)将左式按第1列拆开得=aDi+bD2ax ay+bz az+,bxby ay+bz az+bx左式=ay az+bx ax+by十bz az+bx ajc+byaz cue+by ay+bzbx ax+by ay+bz其中.r ay+bzD|=y az+bxz ax byaz+bxax+byay+bzx ay+bz zy a z+bx xz ax+by yyD2=zJCaz+bxax+byay+bzaz+bxax byay+bzzxyay+bzaz+bxax+by于是n yD=aD,+hD2=+65)y zx=右式.(3)左式b2cl22a+126+12c+12d+12 +32 b+32c+324+32a+526+52 c+52 d+5z x y2a+1b2 +l2c+12d+122222222=0(因有两列相同);(4)左 式-1r j-ar2r?-art10001b-Qb(b-a)1a)b2(b2 a2)c2(c2 a2)d-ad(d -a)d2(d2 a2)1 1 1按c 展开-Q)-a)(c-a)(d-q)b c d各列提取公因子 b2(b a)c2(c a)d2(d+a)1 1 1r3-6(A+a)r j.-(6 -a)(c-a)(d -a)0 c-b d-br?-brt0 x yc-b d-b=(-a)(c -a)(d -a)9“y其中:工=，(0+)+b+y d2d+a)-W(6+a)=J(a +b+d)(d b).故c -6 d-b11=(c-b)(d-b)yc(a+6+c)d(a+6+d)=(c b)(d-b)d(a+b d)-c(a+6+c)=(c-6)(d-b)(d-c)(a +)+d2 c?=(c-6)(d -b)(d-c)(a+6+c +d),因此，左式=(6-a)(c-a)(d-a)(c-6)(d-6)(d-c)(a +6+c +d)=右式.(5)证一 递推法.按第1列展开，以建立递推公式，-1x-1 02.=工&+(-1 尸%。,*X-1=xD+(-l)2+2a0=xD+aQ.又，归纳基础为：D i=a.(注意不是z),于是D.|二 血+即=X(XDH-|+即)+。=x2 Dw-|+a x+a0=x-D)+a 工 +a(x+a0=a0+x+a2j：2+.证二 按最后一行展开得=a0+atx+a2x2+a,.|x+ax.7.设”阶将列式。=（与），把 D上下翻转、或逆时针旋转9 0、或依副对角线翻转,依次得a.i a,a,-a,明”a,D,=:,D2=:,D3=:,I n alh a n at aHl-au证明 D 1 =I）2 =（-D ,D3=D.证（1）先 计 算,为此通过交换行将D,变 换 成 D,从而找出D,与 D的关系.D,的最后一行是D 的 第 1 行，把它依次与前面的行交换，直至换到第1行,共进行-1次交换；这时最后一行是D 的第2行，把它依次与前面的行交换，直至换到第2行，共 进 行 -2 次交换；，直至最后一行是。的第”-1行,再通过一次交换将它换到第”-1 行，这样就把D,变换成D,共进行（-1）+（-2）+1 =y（H -1）次交换，故=注!,上述交换行列式的行（列）的方法，在解题时，经常用到.它的特点是在把最后一行换到某一行的同时，保持其余M-1个行之间原有的先后次序（但行的序号可能改变）.2,同理把D 左右翻转所得行列式为（-（2）计 算 注 意 到 D2的第1,2,，”行恰好依次是D的第叫n-1,，1 列,故若把D2上 下 翻 转 得 则 D2的 第 1,2,-,行依次是D 的 第 1,2,，”列，即方2 =。丁于是由（1）D2=（-1）T-=I i-j I;1 +以1 1 11 1 +a2 1(6)DM=.，其 中 即 以 4。01 1 1 +a”(1)解 一 把D.按第一行展开得0 aD.=a +(-l)J.a1 0按第一列展开a+-1尸.1.厂-2 =d-2(-1).(2)本题中D 是教材例8中行列式的一般形式，它是一个非常有用的行列式,在以后各章中有不少应用.解 利 用 各 列 的 元 素 之 和 相 同，提取公因式.=(x-a)*lx+(n-l)a.(3)解 把 所 给 行 列 式 上 下 翻 转，即为范德蒙德行列式，若再将它左右翻转，由于上下翻转与左右翻转所用交换次数相等，故行列式经上下翻转再左右翻转(相当于转180,，参看题7)其值不变.于是按范德蒙德行列式的结果，可得1 1 -1a-n a n+1 a.=(：-，):(4)解 本题与例11相仿，解法也大致相同，用递推法.由例io,J,、八O-.d,bnc 即有递推公式D2.=(.a,d.-b.c,)DI(.n.a.b,另一方面，归纳基础为=/心-d利用这些结果，递推得D2.=(a.d.-6,c.)(!-*|C|)=口(4 4 -btct).解(6)解 将原行列式化为上三角形行列式.为此,从第2 行起，各行均减去第 1行，得与例1.3相仿的行列式其中4=1 +曲+喀/=1 +与/于 是9.设 D=3 1-1 2-5 12 01 -53 4,D 的(i,j)元的代数余子式记作A“，求1 -13-3A31+3A 3 2 2A33+2A 3 4解 与例13相仿，A力+3AM-2 AJJ+2A”等于用1,3,-2,2 替换D 的第3 行对应元索所得行列式，即AJI+3AJJ-2AJJ+2A34=3-51113-53-2-133-2 0023-5-14-42-42-3-12-23-1-1=4J+C j0003-51rj-r(-2)拉 M开-21003-5-13-23100-2-140-1-13-1-23=24.10.用克拉默法则解下列方程组:(D i=011111解 D=1235-202-140-23-32111110000012100-1一2-2-13-54-5113814小 一2八10-5-3-2-1ill85333-200-7815-4-10-109335按C 3展开-27032-2-423-22-10-1-10-13099-273223-22=-142；151115115 =1-2-14一 八0一7-232-2-1-50-12-3-730211口-310-15-18-7-23230-13rt-2 r3-3-7330-31Q-3 r3-15-18-15-18按 t展开23-13=-284;33-31115 10 1-730-5-12-70-2 -15 8DJ=:125-214r i-h2-3-2-5rj-2rl31011r”-3r3+5小:115-7134+2r2。0-47800-29141 1-47 8=-426;0 1-29 1411151 2-1-2r?-ri11150 1 -2-70-5-3-120-2-1-15-13-47=142,-5-29l 2-33-1-21 2 01 1 10 1 -2n-2riL-3门5-7+2r20 0-13-470 0-5-2 9由克拉默法则，得二 Di 一 1 一 一 _ D?_ 勺 一。4 一 1工1 =方=1，工2 =万=2,孙 _ F _ 3,比4 -F -1;5 60005660(2)D=而065015106按门展开5 15615600515156056506156001=5=65;(*15150156 0 01 5 6=114,0 1 5于是 D=325-114=2U；60056001560按 Q 展开口=1515601050 66-55 10 06 05 6D2=按c2展开5100106000560115=-19+180=161；03=)=510065100065按C3展开=5-114=-109;5100651006511001由(*)式-1 +65=64.100100按 j 展开00610065065100510065510651065510+51065100651065065由克拉默法则，得_ D|_ 151X=D=_ 2 n,X 2=D-=2 n-J 3=2=-122方.2TT，_ 64万 一2Tr11.问 取 何 值 时，齐次线性方程组Ax|+x2+Xj=0,|+3c2+1 3=0,+2仪2+%=。有非零解？解 由定理5,此时方程组的系数行列式必须为0.A 1 11 10 0因D=故只有当=0或;1 =1时，方程组才可能有非零解.当=0,原方程组成为J AX|+12 +工3 =0，(X|十 3 =0，显 然 斗=1,工2 =1-入，4=-1是它的一个非零解；当a=1,原方程组成为x1+x2+Xj=0,X,+x3=0,x,+2LZ2+q =0,显然，工i=-1，l z=0,小=1是它的一个非零解.因此，当=0或4=1时，方程组有非零解.注 定理5(或定理5)仅表明齐次线性方程组要有非零解，它的系数行列式必为零.至于这条件是否充分将在第三章中予以解决，目前还是应验证它有非零解.下题也是同样情形.12.问A取何值时，齐次线性方程组(1-A)X|-2X2+4必=0,N=0或4=2或4=3,并且不难验证:当a=0时，皿=-2,工2 =1，N3=1；当A =2时，2 =-2,工2 =3,%=1；当4=3时，皿=-1,以=5,小=2均是该方程组的非零解.所以当入=0,2,3时方程组有非零解.习 题 解 答”(-1 ;a x+a 建 +013工3=(X),X2)|X J alx +aUx2+a23x3.即 3孙 +223X2+33 3 3x I=a II X|+a 2 1 2+a”i j i 3 +a n X j X|十 以 22%；十+A B+aux3x1+a 33X 3=aMx?+a12x+233X3+2al2x)x2 2anxlx3+2a23与 工 3 解AB1 1 11 1-11 -1 1于是 3AB-2A=3E006i n5-5915-15272-25340860.241805-591860-222,222-22-22-2 13-2-174 292220-2.因AT=A,BP A 为对称阵，故002A 7 B=AB=5-598603.已知两个线性变换121=2“+/，-2“+3%+2%，,%=4“+”+5”，求从Z|9Z2 9Z3到N.2，%的线性变换.解 依次将两个线性变换写成矩阵形式:V=-3与+%,”=2町 +力=一 的+3之3,X=A Y.Y=BZ,其中A=2-24031125,B=-3 1 02 0 10-1 3分别为对应的系数矩阵；X=阵形式为.在这些记号下，从到八，工2，工 的线性变换的矩这里矩阵C=ABX=AY=A(RZ)=(AB)Z=CZ,即有4.设 A=1123产 =-6 句 +x2+3Z3，工2 =12z1-4Z2+9与xy=-10z|N+1 6Z3.)-0(1)AB=BA吗？(2)(A+B)2=A2+2AB+B2吗？(A+B)(A-B)=A2-BM解（1）因AS=(I D C VC M T 3(二)(3 3 故 A-(2)(A+B)2=(A+B)(A+B)=A2 4-AB 4-BA+B2,但由(1),ABH 5A,故 AE+5A H 2A B,从而(A+B)2HAz+2AB+B1；(3)(A+B)(A-B)=A?+BA-AB-JJ2,但由(1),ABW BA,故 BA-ABN O,从而(A+B)(A-B)A2-B2.5.举反例说明下列命题是错误的：若 A,=O,则 4=O;(2)若 A?=A,则 A=O 或 A=E：(3)若 AX=AY,且 A声O,则 X=Y.解 取 A=(：有 T =O,但 AHO;(2)取 A=(：),有 A、A,但 A#O 且 A rE;取 A=C J*=(：J=(：J 有 A X 3,且“O,但 X K Y.6.设 4=(；),求 AA，A”.解 直 接 计 算 得*=（；扉:=（:制：一般可得(2.3)事实上，当女=1 时，（2.3）式显然成立;设当女二时，（2.3）式成立，那么当k 二 +1时,由归纳法，知（2.3）式成立.A 1 07,设 A=0 A 1 ,求 A”.0 0 A解 把 A 写成两个矩阵之和A000A000 10+0 0A0 001 =AE+B,0.0其中三阶矩阵6=0.01 00 0 10 1 满 足 谈=0 0 0,8 =O a 3).0 0j 10 0 0于是 A,=(AE+B)=C A E+C X lB+-+C：B=E+C，-B +C*zB?8.设4,B为”阶矩阵，且A为对称阵，证明A B也是对称阵.证根据矩阵乘积的转置规则,有(BTAB)T=BTAr(BT)T=BTAB(因 A 为对称阵)，故由定义，知BTA B为对称阵.9.设A,B都是”阶对称阵，证 明A B是对称阵的充要条件是AB=BA.证 B AT=A,BT=B,ftA B为对称阵0(4 8 )1=ABBA=A B.10.求下列矩阵的逆阵：1 2-1(3)3 4-2；5-4 1.cos 0(e g 解(1)由二阶方阵的求逆公式(教材例10)得:尚匕二H 一；T2 5c o s 6s i n 0-s i n 0c o s 01 I cos 0 s i n 0c o s2 9+s i n2 0 -s i n 0 c o s 0I c o s 0 s i n 0 -s i n 0 c o s 6 1-1-2 =2 W 0,故 A 可逆，并且11 2 因 I Al=3 45 -4M u =4 -42I=-4,M2I=2 -1=-2,MJI=24-1-2=0,-41%=35-21=1 3,Mi2=15-11=6,M 32=1312=1.M|3 =354-4=-3 2,M?3=152-4=-1 4,M 33=1324=-2,于是AM ii-Mu Mu=_|_A_|AA =_2L-M2Mn-Mn3-M”M.-2 1 0-4 20=J _-1 3 6-1=1 3 ,12 3 2,-3 2 1 4-2,-1 6 7 -1(4)因。逆2 故 4 W 0,1,2,，n.于 是 矩 阵B=d i a g（/，a，）是有意义的 并且因AB=d i a g(|,牝，a“)d i a g(W“d)=d i a g(l,l ，l)=E ,由定理1的推论，知 4 可逆，且 47=5=揄 8（=，；）注 本题结论值得记取，可当作公式用.1 1.解下列矩阵方程：,、/I -13(2)X 2 1 0 =4 3 21 1 -1 1 J解（1）因矩阵，;）的行列式=1,不为零，故它可逆，从而用它的逆矩阵左乘方程两边,得.(2)记矩阵方程为2det A=21故A可逆，用AT右乘方程的两边得X=BA*.又，M/MgA=-rA-lAl A于是 记A=Mn-M|2M,1/-6 6了(-8 151 4I 2)B =-MZ3-1 33 2-2-3-28 J(o03321-2-3i-2012T0 13-23 0_ J,则矩阵方程可写为2=_135AXB=C.因|A|=6H 0,|B|=2 0,故A,B均可逆.依次用4一,和5 T左乘和右乘方程两边得X=A C B 1-1犷:一;）（一;丁 北-:(C:)/I;1021 1I。0（4）本题与（3）相 仿.因 矩 阵1,01 01 10 0?00 00 1的行列式都是-1,故0 1J 01 0：均是可逆阵，并且0 1 01 0 0,0 0 110101 00 00 11 00 00 10100 00 11 0故 得X=12.利用逆矩阵解下列线性方程组:)xi+2%+3 j=1,(x,-x2-=2,2x)+2X2+5工3 =2,(2)2叫一工2 -3%=1，341+5必+%=3;3x1+2X2 5X3=0.解将方程组写作矩阵形式Ax=b,这里，A为系数矩阵，*=(，2，巧尸为未知数矩阵，b为常数矩阵.1 2 3 因|A|=2 2 5=15X0,故A可逆，于是3 5 1 ,即有1 因 I A l=23以=1，2=6xj+3X2-7X3,y3=3x|+2X2-4X3.14.设 A 为三阶矩阵，|降|=g，求|(2 4)T-5A I.解 因|A|=；#0,故 A 可逆.于是由A=I A I A =A，及(2A)1,得(2A)-5 A =1A-y A-1=-2 4-,两端取行列式得|(2A)-5A I=I-2A-”=(-2)l A L=-16.注 先 化 简 矩 阵，再取行列式，往往使计算变得简单.0 3 315.设 A=1 1 0,AB=A+2B,求 B.-1 2 3解 由 A5=A+2B=(A-2E)B=A.-2 3 3因A-2E=1-1 0，它的行列式det(A-2E)=2W0,故它是可逆阵.-1 2 1用(A-2 E)7左乘上式两边得0 3 31 1 0-1 2 316.设 A=0-22121 00 21 01016 61 0 3 3,4 6=-1 2 3.2 0J 1 1 1 0，且 AB+E=A2 +B,求 B.解 由方程Ab+E=A?+5,合并含有未知矩阵B的项，得(A-E)B=A2-E=(A-E)(A+E).0 0又,A-E=0 11 010，其 行 列 式det(A-E)=-1X 0,故A-E可逆，用0,(A-E)T左乘上式两边，即得2 0 1B=A+E=0 3 0.1 0 2.17.设 A=d iag(l,-2,l),A BA=2A-8E,求 B.解 由于所给矩阵方程中含有A及其伴随阵A，因此仍从公式A A-=IAIE着手.为此，用A左乘所给方程两边，得，AA*BA=2ABA-8A,又，|A|=-2H 0,故A是可逆矩阵，用 右 乘 上 式 两 边，得I A|B=2AB-8E=(2A+2E)B=8E=(A+E)B=4E.注意到 4+E=diag(l,-2,l)+diag(l,l,l)=diag(2,-l,2)是可逆矩阵，且(A+E L =diag传,-l,y j 于是 B=4(A+E)T=diag(2,-4,2).18.已知矩阵A的伴随阵A=由昵(1,1,1,8),且4碗7=5 4 7+3后,求B.解 先 由4来 确 定|4|.由 题 意 知4 T存 在，有A=|A|A，得I 1|=|A门=而I 1|=8,故|A|=2 .再化简所给矩阵方程A B A =B Al+3E=(A-E)5AT=3E=（4-E）B=3A=（E-A*）B=3E.由 I A I=2.知 A 1=*=-diag（1,1,1,8）=diagfy,y ,4E-A l=d i a g/y,y,y,-3 j-得（E-AT）-，=di ag（2,2,2,y于是 B=3（E-AT/=3 di ag（2,2,2,-）=di ag（6,6,6,-l）.1 9.设 P-AP =A 淇中 P=；）,求 A”.解 本题与教材例1 3相仿.因P T AP=A,故 A =P4 P-.于是 Al=PA P1=：）：）T：-：）,T；2：）（一；二）1 /1+2”4 +2 _ /2 7 3 1 2 7 3 2*3 （-1 -2n 4 2”1 -6 83 -6 84/20.设 A P =P A,其中 P=1求 W（A）=A 5E-6A+A2）:1 1 1解 因|P|=1 0-2=-6H 0,故P是可逆阵.于是，由A P =PA1 -1 1得A =P A P”，并且记多项式p（a）=zG-6N+Jr?）,有a（A）=P a（A）p T.因A是三阶对角阵，故3（A）=di ag（中（-1）,p（l）,p（5）=di ag（1 2,0,0）,于是3（A ）=1,110-11 0.p l AH A2I AM=-2 1 0 0*1 0 Oj （*1 1 1=4 1 1 1.1 1 1.注，由于夕(A)除(1,1)元外均是0,故在求P时，只需计算P的(1,1)元、(2,1)元、(3,1)元 的 代 数 余 子 式 和 A”.21.设 A*=O(左为正整数)，证 明E-A可逆，并且其逆矩阵(E-A)=E+A+A2+,+A-.证 由(E-A)(E+A+A?+二 +A*)=E+A+AT-A-A?一 一 A=E-O=E,由定理2 之推论知E-A 可逆，且其逆矩阵(E-A)t =E+A+.注 判断矩阵8 是否为A 的逆矩阵，能直接、最简单的方法就是验证AB(或者BA)是否等于单位矩阵，就像判断3 是否为右的逆只需验证等X3 是否等于 1 一样.下一题及例2.1都是这一思想的应用.22.设方阵A满足A2-A-2 E=O,(2.4)证明A 及A+2E 都可逆，并 求 及(A+2E)T.解 先证A 可逆.由(2.4)式得A(A-E)=2E,.也就是A 伐(A-E)=E.由定理2 之推论知A 是可逆的，且AT=：(A-E);再证A+2E 可逆.用例2.1 的解法，由(A+2E)(A-3E)=A2-A -6E =2E-6E=-4E,即(A+2 E):(3 E-4)=E,同理，知 A+2E 可逆，且(A+2E)T=：(3 E-A);23.设矩阵A 可逆,证明其伴随阵A 也可逆，且(A )T=(A7)，.证 因=I A|E 及lAlW O,由定理2 的推论知A,可逆，且(A,)1=-：A,I A I另一方面，因 A-(A T).=用A左乘此式两边得比较上面两个式子，即知结论成立.24.设”阶矩阵A的伴随阵为A ，证明:(1)若IAI=0,则IA*|=0;(2)|A*|=|A|-.证 因A A=lA lE,(2.5)当|A|=O时，上式成为A A=0.要证|A|=0,用反证法:设l/T IWO,由矩阵可逆的充要条件知，A是可逆矩阵，用(A )T左乘上式等号两边，得A=O.于是推得A的所有”-1阶子式，亦 即A的所有元素均为零.这导致A*=O.此 与A为可逆矩阵矛盾.这一矛盾说明，当|A|=O时，I/T 1=0.(2)分两种情形：情 形1：|A|=0.由，|/T|=0=|A|，结论成立；情形2：|A|#0.在(2.5)式的两边取行列式，得|A-|A|=|A-A|=|A|E,|=|A|-.于是|A|=|A|一.注 本 题(2)的结果值得记取.解 与教材例15相同，本题练习分块矩阵乘法.记Z1 2又 A“8口 +B22=（0：-2222=（0故原式3 4 0.4-3 026.设 A=0 0 20 0 2解 若 记A弋）（E?B12 _ /II 11 12+22 l O B2J O A22B22）,:）+:.;）=（卜；）f o 一:MT 小1 2 5 20 1 2-40 0-4 30 0 0-900D ,求|A I及 A.2.其 中“（：R，4 =G）则A成 为-个分块对角矩阵.于是AA：OO A；因 A：25 00 25=25E,故 A=5*E;A1-2(:川:心可参看习题6).代人即得A540000540000242600024.27.设 n 阶矩阵A 与s阶矩阵B 都可逆，求(1)OBAO(二C B解(1)因 A 和B 均可逆，作分块阵OO AB O工F 弋 卜由分块矩阵乘法规则,O 办，/于是OBAo尸 逆 屈oO B-A-1 OA OC B 求的逆阵，就是求”+s阶方阵X,使A OC BX=E.,.(2.6)为此，根据原矩阵的分块情况，对 X 作一样的分块,X=X“xl2X 21 X 22其 中 Xu,Xl l tX2l,X22是未知矩阵(为明确起见，它们依次是X x s,sX*$，$矩阵).把上式代入(2.6)式得到E.0 O EJ C b 八比较上式两端两个矩阵，有八it*2 1X1222AXI2CXn+BX2I CXI2+BXnAX”A X1 2CX叱cx于是得=O=X12=O;+BX12=E,=BX21=E,=X =B 1;+BX2,=O=BX2l=-CX”=-CA-,=X2I=B C A 1C犷X=-BAC A BO28.求下列矩阵的逆阵:(1)5200200008500321121021200310004解(1)将分块为A弋:卜其中一52832，因IA J =1,1 A?I=1,故它们均可逆.于是由分块对角矩阵的性质，有(2)记 A=A；OO A；1-200:卜-250013002-5:)00-38.BD力,其中2 11 2-S lB|=2,1 Cl=12,故 6,C 均是可逆阵.由27题（2）的结论，得B OD CB-C DB由 =y2 0-1 1=I2-244 0-3-1 3DB-=向2400 0-12120 0-12-48 0,3-5-2 6.12 4，得5习 题 解 答1.用初等行变换把下列矩阵化为行最简形矩阵:2340001 0 2(1)2 0 3,3 0 4-3 1-4 3;一7 一 1,1-13-4 32 3 1 -3 -73-35-4 11 20-2-4(3)；(4)2-23-2 03-2 8 3 03-34-2-12-3 7 4 31 0 2解2 0 3,3 0 436f2r2 X (-1)1 005门-2r 2001-3 ;，3 +2r 20000.0 2-3 1 0231)0 1 -1 2(2)0 3-4 30112 0 2-3 1.0 4 -7 -1.ri。01-3)1 0 0-1 -3.0112r 2 X ATXT=BT=*T=(AT)TBT,与 题 相 同，可用初等行变换先求得X二从而得*.计算如下：02-31213-431(AT,BT)=2-132-3,*0-711-4-513-431,02-3121 1 2(1)A=2 1 12 2 1-1 10-1-14y1 1 22-1r2X(-1)一二 10 1 3一3 4.+(-3)0 0 14,T34TJ1 0 -1 01 0 00 1 3-11 +尸30 1 040 0 1 -y小一3。0 0 1于是R(A)=3,故方程组有4-R(A)=1个自由未知数；与原方程组同解方程组为-守工,=0,+3工4 =0,X i 4 n-=0,取 N,为自由未知数，得4-34T1(c GR).得取358002 00 10 000.于o010ooo2720ooox4为自由未知数，得3,、2(4)A=4,7oo1o53021-27-25-2o5885-1-2r.r2oooooo-5-5222139-55-51-2-7-25-27-25-214-5-3 311-13-2 17-311-22-2|1 7-8 90-17 19-20了3-4rl0-17 19-20L 7rl0-51 57-60-83 13171009-2163.-8 919 2017 170 00 00 0.0 03 13)-17 1719 2017 17*0 00 0.取必和与为自由未知数，得同解方程组即得14.求解下列非齐次线性方程组:4 q+2工2 一 工3 =2,(1)4x+2y-2z+w=2,2z+y z w=I;12JC+y z+u=l,(4)3x-2y+z-3 w=4,l 7+4y-3z+5tu=-2.解 本题中分别以A和B表示方程组的系数矩阵和增广矩阵.4 2(1)B=3-141 3-1213210-r23-108,1133-3-8-10 11 34-30 33 96-3-821008.13-30101 1000-834-6因 R(A)=2,R(B)=3,R(A)#R(B),知方程组无解;(2)5=-2814-1(2 31 44-51 -2 4-5门1r 22 3 14-2 13-一3 8-2 139-64-1 9-6r：-2r10001000-24-5,2+71-24-57-71401-1214-1428rj-14 n00007-714,4-7。.000001002-100200因R(A)=R(B)=23,故方程组有无穷多解，并且有3-R(A)=l个自由未知数.选z为自由未知数，得到同解方程组:即得B24,2121n+21-1-2100.即得A-2。20.000-1000一 1000,/2 X(-1)00200200010200(4)B=选 为 自 由 未 知 数，得到同解方程组-3,c2 GR)；5-31-241n-3n 10(J53+(-叫o o-3 55 9F T0 00 J1 1T-T5 9T 70 067570.选z,卯为自由未知数，得同解方程组:(ci C2 R ).1w+|,7工=*+5-76-75-7OW-，一9-7+51-79-7O5-7-=2V-C、+smu.1-75-71xyz得即0015.写出一个以(3.3)为通解的齐次线性方程组.解 把（3.3）式改写为由此知所求方程组有2个自由未知数与，工,，且对应的方程组为 X.2X3 2xt 即x.i +2xt 0,x2=-3X3+4 x i,M +313-4工产0.它以（3.3）式为通解.注（1）有无限多个齐次方程组以（3.3）式为通解表示式，这里给出比较简单的一个，即系数矩阵为行最简形.(2)本题与习题四题22相仿，是同一问题的两种提法.1 6.4取何值时，非齐次线性方程组Axj+%=1，,+A x 2 +=，N +H 2+=A2(1)有惟一解；(2)无解；(3)有无穷多解？解 仿 照 教 材 例1 3,本题也有两种解法，且以行列式解法较为简单，故这里只用此法解之.系数矩阵A的行列式为(可参看习题一题8(2)1A11 1了1 +2+/3.1 =T(A+2)1r T(A +2)A 11 1A 11 A1 1(A +2)0 A-l0 00=(A -l)2(A+2).A-l当|A|0时，即当-2时，K(A )=3,方程组有惟一解;当;1 =1时，增广矩阵成为(1 1 1 11 11 1 11 1 1B=1-0 0 0U1 0100 00可见，在(4)=夫(5)=1 1.于是 R(A)=1.再证必要性.设A=(%).x“，R(A)=l,并不妨设a“#0.因R(A)=1,知A的所有二阶子式均为零，故 对A的任一元/)有。鲂 a*=，即 a”=a,MB-上 式 当i=4或，=2时也显然成立.于是，即a2t.(ak,ak2，酎)E”&=(4/%)n x”=以 肘4.at令a=；：,=(即，为2,，4.)，则 因。“r 0,故 叫 分别是非零aM ：.:,;列向量和非零行向量，且 有A=aby.20.设A为列满秩矩阵,A B=C，证明方程B x=0与Cx=0同解.证 若x满足Bx=0,则ABx=0,即Cx=0.若x满足Cx=0,即ABx=0,S A为列满秩矩阵，由定理4知 方 程Ay=0只有零解，故Bx=0.综上即知方程Bx=0与Cx=0同解.21,设A为m X”矩阵，证明方程A X=Em有解的充分必要条件是R(A)=m.证 按定理6知，方 程A*=E e有解R(A)=R(A,E.),，而(A,E.)含in 行，有 R(A,E 34帆；又 口(4逮,)1?(耳)=%因 此 R(A,E,)=m.所以，R(B),具体计算如下:.(20 4 0 3 2(1 11(B,A)=-2 4 1 0 3二0 1-11 1 200 001 3 3 2 11