同济大学线性代数第六版课后答案(全).pdf

第 一 章 行 列 式1 .利用对角线法则计算下列三阶行列式:2 0 1(1)1 -4 -1；-1 8 32 0 1解 1 4 1-1 8 3=2 x(-4)x 3+0 x(-1 )x(-1)+1 x 1 x 8-0 x lx 3-2 x(-l)x 8-lx(-4)x(-l)=-2 4+8+1 6-4=-4.,cQbcabbe。be。46c2)解ZIVAM1c2cIb2b1Q2l gx y x+y(4)y x+y x.x+y x yx y x+y解 y x+y xx+y x y=x(x+y)y+yx(x+y)-x+y)yx-y3-(/户1仆+1）.=（T尸口”川+1 加4(71-1)+一+1=(-1)2,(-1)n(1)n+liyl=l o+1户1bn(4)02.=瓦4qG9dn解a44An=（按第1行展开）nn0Cln-bn-+(T心a bc d再 按 最 后 一 行 展 开 得 递 推 公 式D2n=andnD2nH bn C n D 2tL 2,即 D 2fl=(ad-bt于 是 D2n=立(q 4 -%)。2 .z=2而 D2v3=叫一姐,q un所 以 4=口(44.占1(5)仄d et(a)，其 中 旬=吃1；解为=吃1,9=d e t z 0=1234.-.32102101*1012*0123-n-n-2 n-3 一4 0oooo*.000-2-OO-2-2)222.o-n 2-3 2w-4 2n5 n=(T)”T(1)2 W1+q 1 1(6)。=1 1+出 1,其中a色 9 1 1 1+a”解D=1+4111+4111A-C2C2 C31 1+%q00 001一%a20 001:0一5%001 000,*an-an-1000.0an1+%aax1 0 0 0 0-1 1 0 0 01 0 0 .0 0 可10 1 0 0 0 勾0 0 1 0 0 团一a 1a2 40 0 0 0 1 a：一10 0 0 0 0 1+力婷/=1 1=()(1+8.用克莱姆法则解下列方程组:X1+X2+X3+J4=51、)玉+2%毛+4%=-2 .U2X1-3X2-XJ-5X4=-2,3%+工2 +2毛 +1 1 X 4 =0解 因 为111-25-2-2O11233，勺414-11A1-2112-315I-2I-O2JA00065006510651011OMUCUJnMU11510005X14-6X2=1X1+5X2+6X3=0X24-5X3+6X4=0刍+55+6x5=0X4+5X5=1=1507,D、(2)00065006510651065100/51000为-因。解000650065106510651010A-A00065-lx0651065100510000006500651c-nJ65100510002-0065106510651005100015解系数行列式为2 1 1D=1 =jn-pX.1 2 令60,得从=0或2=1.于是，当尸0或2=1时该齐次线性方程组有非零(T)1 0.问2取何值时，齐次线性方程组2%+(玉+9有非零解？解系数行列式为1 A,2 4D=2 3-2 11 1 1-21 A,-3+22 1 A,1 0411?!=(1 -A)3+(2-3)-4(1 -2)-2(1 -2)(-3-2)=(1 A)+2(1 3.令D=0f得2=0,2=2 或 2=3.第二章矩阵及其运算1 .已知线性变换：=2y+2y2+y3%2=3凹+2+5%，x3=3y+2y2+3y3求从变量X i,X2,X3到变量乃,歹2,乃的线性变换.解 由 已 知：7M%VA153yx=-7 x(-4X2+9X3*y2=6 x,+3 x2-7 x3.y3=3 x1+2 x2-4 x3故2 .已知两个线性变换卜i=2 y+必 x.=2 v,+3以 +2以一y i=_ 3 Z+Z 2 v,=2 z,+z-所以有(-6、1 3丫41 2 -4 9 z2,(T O -i 1 6 3J玉=_6Z +Z2+3Z3X2=12Z1-4Z2+9Z3XJ=-10Z-Z2+16Z3fl 1 13.设 4=1 1 -1U T 1解(12 3)5=-1 -2 4 ,求 3A B-：I。5 1J3四 2 JU-i1Y 1 2 3、f l 1-1-1-2 4 -2 1 1l A o 5 1J U -1(-2 13 22)=-2-17 20、4 29 -2,r5ITO2-25341roo2、5-598604.计算下列乘积:2113o3-2721A!/(4 3 1Y 7)(4 x 7+3x 2+lx l、，35、解(1 2 3)2=(lx 3+2x 2+3x l)=(10).1 (-1 2)；(2x(1)2x 211x(-1)1x 21 2.解下列矩阵方程：仔:y=c解应筒1厂 也战如优o12TYA1T3o4I2XX解o2Y1AA1-3oYA-4121112-71io11-4/mk=o2YA6o63112f l-4 3、=2 0-1U-2 o j1 0、(0 0、0 0 X0 0 10 1)0 1 0；f O(4)1I。r o i O T Y i解X=1 0 0 2(0 0 1 11-4 3 丫1 0 O Y0-1 0 0 1-2 0 A 0 1 0)OM-2T3o11-clOOIloo3-1O-4O-211211coloorolo13.利用逆矩阵解下列线性方程组:%+2 +3 毛=1(1)2N+2W+5毛=2;3毛+5 毛+毛=3解 方 程 组 可 表 示 为n 2 3丫吟 m西=1从 而 有%2=仇壬=0(2)2%,x2 3x,=l.3X1+2X2-5X3=0解方程组可表示为123/(-l1351o+4+衣 +/J)(E-Z),故(ET)T(E 4)=(E+4+/+叶才-1)(一4),两端同时右乘3-4尸，就有(E-4)T(E-4)=E+4+/+.+/一1.1 5.设方阵4满足/T_2E=O,证明力及4+求4及(4+2)。证明 i A2-A-2E=O1一4=2瓦 即4(4一)=2瓦或 A-A-E)=E,由定理2推论知4可逆，且由 A2-A-2E=O 得A2-A-6E=-4E,即(4+2)(4 3)=4瓦或(A+2E)(3E-A)=E由定理2推论知(力+2为可逆，且(N+2E)T=；(3E-所以4可逆，而 4+2E=/,|4+2 02卜2/0,故/由 -A-2E=O n A(A-E)=2E=/4(4 _ E)=M 听=-=1(J-),又由 A2-A-2E=O (A+2E)A-3(A+2E)=-4E=(A+2E)(A-3E)=-4 E,所 以(4+2)7(4+2)(4-3)=-4(4+2 E)(A+2Ey=(3E-A).16.设力为3 阶矩阵，|4|=；,求|(24 尸 一 5 4*|.解 因 为 4-1=64*,所以M l|3)T 5 4*H%一5|4|加 国 加 一 十 2 41 卜(-2)3|不|=-8 M J17.设 矩 阵A可 逆，证 明 其 伴 随 阵A(4*尸=(4-1产证明由 加 端4*,得/*=|4|4 工所以当/(N*)T=|/以=MI18.设阶矩阵力的伴随矩阵为4*,证明:(1)若=0,则以*|=0;证明用反证法证明.假设M*殴 则有4*(矛尸A=A 4*(.*)-1=晔(4*尸=0,所以4*=O,这与四|M 矛盾，故 当|力|=0时，有M 由 于 心 汽/*,则A A*=A E,取行列式得 四=匹若。0,则|4*|=MT；若恒卜0,由(I)知依*|=0,此时命题也成立.因此(0 31 9.设/=1 11-123)0 ,A B=A+2B,求旦V翩 rti A/7-J-L?r A 卅解 由 AB+E=+B得(A-E)B=/_E,即(4 =(4-)(4+).0 0 1因为|/-后卜0 1 0=-1 0 0,所以(4-)可逆，1 o q(2 0 HB=A+E=030.U 0 2；2 1.J=d iag(l,-2,1),A*BA=2BA-E,求 8解由 A*B4=2B4-8E 得(A*-2E)BA=8E,B=_8(/*_2 E)-才=-8 4(4*-2 )=-8(A 4*-2 J)-1=一8(|4|-2 4尸=-8(-2 -2 4尸=4(E+4)T=4 d iag(2,-l,2)-1AA；c/1 1 1 解 由M*|=|Z|3=8,得=2.由 ABA-X=BA-X+3E 得AB=B+3A,3=3(4 )7 4=3/(E ZT)以=3(E-A*Y=6(2E-A*y(i o o o yO 1O O-1 0 10lo 3 0 -6,A7oo0-1006006030062 3.设 L*=A,其中尸=(1一)，A=(1 ;解 由产、AP=A,得 A=P W,所以All=A=1R,产=（力,o24oo24oA而nnJ38762-4-31-31-31-37kO211To411*故=diag(l,1,58)diag(12,0,0)=12diag(1,0,0).队A)=P 虱 A)X=淄尸。(A)尸*fl 1 1Y1 o OY-2-2-21=-2 1 0-2 0 0 0-3 0 3U-1 认0 0 0人-1 2-1Jfi i n=4111.l l l l j2 5.设矩阵A、B及 A+B都可逆，证明求其逆阵.证 明 因 为4T(4+3一 1+八/+/，而 是 三 个 可 逆 矩 阵 的 乘 积，所以A 即G+5-I可逆.(4 1+3 T)T=4 T(Z+B*T T=5(4+B)-1 410 3 r l0 1 2-10 0-2 3.0 0 0-3j12 1026.计算；0 0 0 3所以(2(4 EE 4 4+与_ o i(o 4人。B2)O A.B2 J-o o-lo oB n102021001oooo1oo1ooo32202439524021001ooo27.LA=B=-C=D=验证A Bc aB _D10 10o10 1101001_0=12 0 0 00 2 0 0-i b i d0-1 0 1_2 di o_-0 20 l-1 00 1解AC而制I=0,故A BJA Bic Dfc|D|-28.设4=(3 44-3oO2 0，求，|及/.闯 8=106.A4=4 o、=I。段 f54 0 10 54 o 24 0(0 26 24J2 9.设”阶矩阵力及s阶矩阵B都可逆，求(1)0 AB 0o凡纥o则U7QqGGzd=kT_XH74。o5rk设解GG1，7Mfoo斤-cqGCGG7.、7s/IVooE.40GQGG08JJ5Dn/_Il得此由斤。O1J-z-_1-dH74oo8以所ono42 c&if.;J/、一(A D。加(A OY1 _(R所以C B)_1一方CR3 0.求下列矩阵的逆阵:0032008521002ONXI/321200zfmk=!,I7032085loo200Z/OO是于则1104231O 4C1zdO 28-K0040312121121IX4设解(1 2=2180 0 0、；0 0-1 1 06 35 1 12 4 1 2 4)第三章矩阵的初等变换与线性方程1.把下列矩阵化为行最简形矩阵：n o 2（1）2 0 3 1 ；（3 0 4-3）（10 2-P解 2 0 3 1 （下一步:2+（-2）外3+（-3）小）（3 0 4-3）8 0 2 r 0 0 1 3（下一 步 2+（-1），-3*-2）.）（0 0-2 0J门 0 2-1、0 0 1 3（下一步:3-0）（0 0 1 oj-f-3（下一步:一+3.）V-1、3（下一步:2+3 3）1J,10 2-1、0 0 1 0（下一 步:八+（2出,八+凤）210ooO1oO,乂21,OooO1oO/I 0 2 -3 r解 0 3 -4 3 (下一步 r 2 x 2+(-3)r/3 H-2”.)(0 4 -7 -11oO1310314200(下一步:打+3r i+3r2.)0 2 0 1 0、0 0 1 3 (下一步:口+2.)(0 0 0 0,fo 1 0 5-0013.(0 0 0 0,-1 3 -4 3)3-35-4 1 .2 -2 3 -2 0 、3 -3 4 -2 -1 J(下一步:乃十(-4),小 4-3),4+(3860二T4860一13435ooOZ/oo(4)(213232-2-31 -30-28 37 4-7)403j解仅31 23-2(2-31087一7)-40（下一步：乃 一 2r2,rj-3f2,为 一 2rz.）f0-1 11 2 00-8 8(0-7 70-1 11 0 20 0 0(0 0 0fl 0 20 1 -10 0 0(0 0 0fl 0 20 1 -10 0 0(0 0 00 1 0、1421一111298(下一步:r i+2r,r3-8ri,r7n.)1011-24V(下 一 步:zzx(-l),r4-r3.)0 一2）-1-14（下一步:2+为.）0 0,oO1O/1-174OO11Z2o no 1 0 是初等矩阵E(1,2(D),其逆矩的00 1E(l,2(-1)=0I。rolI-I7701O1Or1oOL369、/401528417147O AOU6 Y39 Aloo-q0=1J4 5 211 2 2(7 8 2)1oO258O1OO1O3.试利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆(3 2 1 1 0解 3 15 0 1、3 2 3 0 0(3 2 0 3/2-0-1 0 1(0 0 2-1f 1 0 0 7/60、(30 lJ01 2 10142300z/nk/221TO1O2/3-3/2)1 1-10 10o17o1o/21/27/-1/OOIg-12102)3010/fmk2221o2.721解301(1001(1001(1001(100-2-22142-2100-21000 -12 1-3 -22 1-3 -22 19 52 11 0 0 0)0 1 0 00 0 1 00 0 0 1,0 0 1 0)0 0 0 110-300 10 0212210-211 1-21110 0 10 0 01 0 -30 1 0103-6ooo10012OTooo11oo3o1o14o一T2461 1故 逆 矩 阵 为?!-I-1:2 1-2 4、0 -13 6-6 -1 0 J(44.(1)设 4=1 一2 12 1 ,1 -1 Jn -3)B=2 2,求X使(3司解 因 为(4B)=11zfOOO52O121UO-(1 0 2、所以 X=A-B=-1 5-3I 时 4O22413(2)设4=4,J 求X使,解考虑因为 0(加,9)=22 -3 1-13 23-4 32-3Vrfl 0 0 2-010-1,0 0 1 -1所以 X=(即尸=(2 4-1 7f-1 -1 0 1 -1 0、(A-2E,A)=0 -1 -1 0 1 -11 0 -1 -1 0 1,fl 0 0 0 1 -0-010-1 0 1 ,k0 0 1 1 -1 o j(0 1-1、所以 X=(A-2E)-XA=-1 0 1.I i-i o j6 .在秩是的矩阵中，有没有等于。的广1 防等于0的厂阶子式？解 在秩是r 的矩阵中，可能存在等于0 的，可能存在等于0的r 阶子式.(1 0 0 0)例如，4=0 1 0 0 ,R(4)=3.1 0 0 1 0；入入是等于0的2阶子式，1 0 0 是等于0的u V 0 1 07 .从矩阵/中划去一行得到矩阵凡问4 8样?(1,0,1,0,0),(1,-1,0,0,0).解 用已知向量容易构成一个有4 个非零行矩阵：0 0 0 0、1-1 0 0 01 0 10 0,0 0 0 1 0(0 0 0 0 oj此矩阵的秩为4,其第2 行和第3 行是已知向量.9.求下列矩阵的秩，并求一个最高阶非零子(3 1 0 2)1 一 1 2-1;U 3-4 4)(3 1 0 2、解 1 1 2 1 (下 一 步:外 必)U 3-4 4)T24204u -i 2-r 0 4 6 5（下 一 步:力 一 冷.）(3 2-1 -3 -n(2)2-13 1 -3 ;(7 0 5-1 -8 J(3 2-1 -3 -2、解 2 1 3 1 3 (下一 步 1-2,2-2|3-7八.)(7 0 5-1 -8)ZZ4 411O131394 4oO7O95OO3 2矩阵的秩是2,2 _ 广-7 是一个最高阶非零33782805313207500解(22311-3-2750037828053（下一步:八一2%，2-24,r3-3r4.）=7 0。0 是一个最高阶非零二7100-1OO220031ooOroooJ07102ToO3200o1oo1ooo-50o78205矩阵的秩为3,31 0.设 4、占都是m x n矩阵，证明A B的充R(A)=R(B).证明 根据定理3,必要性是成立的.充分性.设R(A)=R(B),则力与8的标准形为与B的标准形为D,则有，Z),D B.由等价关系的传递性，有A B.(1 -2 3 GH.设4=-1 2k-3，问左为何值，可使，2 3；当 后1且 后 2 吐 R(4)=3.12.求解下列齐次线性方程组:+4-2-4=0(1)2%+/+为 一 工 4=；2%+2 马 +电+2%=0解 对系数矩阵力进行初等行变换，有(1 1 2-CA=1 T 0 1 3-1,1 V0 0 1 4/3)于是4石=铲4X2=-3X44，西=铲4为=%4故方程组的解为4-3-341 3(k为任意常数).xl=-2x2+x4于是%2=九2Xj=O9故方程组的解为 七、x2*3kX4=攵，一2、10I oj 1+k2 g的，左 2为任意常数）.U12%+3%2一七+5%=03%+9+2再一7工4=0.|4X1+X,-3X+6X4=0,%-2+4天-7X4=0解 对系数矩阵4进行初等行变换，有4r23431125)-7-V(00001000010阴001 J4234-9是于r、oooo-故方程组的解为(4)3%+4 z 5毛 +7%=02x,-3X2+3XJ-2X4=0+1 lx2-B xj+16X4=0 7Xj-2X2+3X4=0解 对系数矩阵4进行初等行变换，有(3 4-52-3 34 11-13(7-2 17)117 170 00 oj一2 o16 173)0(001003”、17 1719 20于是/O /依1 17又13172017故方程组的解为口、17需（瓯后为任意常数;0!7846-3-311o-1300/IoI7 Io843n 1/1Do-于是R(4)=2,而 R(B)=3,故方程组无解.2x+3y+z=4mx-2y+4z=-5.U，3x+8y_2z=134x-y+9z=-6解 对增广矩阵4 进行初等行变换，有8-r214536一1一14292O/r2007001oOooO34328于是x=-2z 1 y=z+2,z=z即yZJ(k为任意常数).2x+y-z+yv=l(3)4x+2y-2z+vv=2;2x+y-z-w=l初 如 增广4B跳 a 世衿知笺行亦城看内,k2为任意常1-2Z+1-2y+1-2yz=0=_一=Xyzwr是于1-20oo/I+J1-2o11o/I+、1/1-21oo,I占x-yzwrzk2x+yz+w=3x-2y+z-3w=4.x+4y-3z+5w=-2解 对增广矩阵4 进行初等行变换，有、7142(0 0 1(0 0-1/7-1/7-5/7 9/7-0 06-75-7w+呼1-79-7+-zZ1-75-7Z-%vzZ是于w=w2401+2310为通解的齐次线性方程组.解 根 据 已 知，可得与此等价地可以写成0+-q%-3GC2-/,J或或%-2%5+工4=0%+3/-4工4二0这就是一个满足题目要求的齐次线性方程组.、/14九IX 111111 1115解r(1 2矛、0 A-l 1-2 2(1-2).10 0(1-2)(2+2)(1-2)(2+1)27(1)要使方程组有唯一解，必须R(%)=3.因此时方程组有唯一解.(2)要使方程组无解，必须R(A)0,所以当4/且2。10时，方程组有唯一解.要使方程组无解，必须即必须(1-2)(10-2)=0 K(l-2)(4-20,所以当4=10时，方程组无解.要使方程组有无穷多解，必须R(A)=R(B).20.设/为 m x 矩阵，证明：若4K 且R证明 由4 三4K 得力(7)=0.因为R(4)=程力(X y)=o只有零解，即先自O,也就是心工第 四 章 向 量 组 的 线 性 相 关 性1.设的=(1,1,0)1 V2=(O,1,1)7,为=(3,4,(3V4-2V2-V3.解 1,0)-(0,1,1)r=(1-0,l-l,0-l)r=(1,0,-l)r.3V1+2V2-V3=3(1,1,0 y+2(0,1,1右一(3,4,(=(3xl+2x0-3,3xl+2xl-4,3x(=(0,1,2)r.2.设 3(。一。)+2(畋+)=5(。3+。)，求 a,其中 外：畋=(10,1,5,10)7,03=(4,1,-1,1)7.解 由 3(“1-)+23+。)=5(的+。)整理得a=(M+物-%)O=43(2,5,L 3)+2(10,1,5,107-5(4,1,-6=(1,2,3,4)2TT326 8二031 21oO441 3021 1(4 0=21 1 2230 1301 2f 1 0 3 11 0 1-6-10 0 20 5(0 0 4 14)-7255J(1100(00 31-60 40 0知R(4)=R(4 5)=3,所以5组能由4组线性表示.由8知R(B)=2.因为R(B)oR(B,A),所以A组不能由L4.已知向量组4 az0,1,1),出=(1,1,0尸；B：仇=(一1,0,l)r,必=(1,2,1)1 仇=(3,2,-1证明4组与B组等价.证明由5 .已知 R(“i,的)=2,R(a2,3,4)=3,证明(1)外能由败，的线性表不；(2)。4 不能由田,敢,。3 线性表示.证 明 由R(。力的，4)=3 知畋，的，。4 线性:也 线 性 无 关.又 由 也。2,%)=2知 1,2,的线性由。2,“3 线性表示.(2)假如如能由 i,2,的线性表示，则因为a性表示，故。4能由 2,。3 线性表示，从而。2,。3,a,盾.因此。4不能由。3 线性表示.6 .判定下列向量组是线性相关还是线性无关(-1,3,1 尸,(2,1,0 尸,(1,4,第(2,3,0)1 (-1,4,0)1(0,0,2)7.解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为4 E11O210700-7172272oO141210-7.问。取什么值时下列向量组线性相关？i=(a,1,l)r,。2=(1,a,l)r,。3=(1,T,a)解以所给向量为列向量的矩阵记为4由|J|=|1 a-1=a(a-l)(a+l)知，当e l、0、1时，&3,此时向量组线性用8 .设外,畋线性无关,外+“处工线性相关，求线性表示的表示式.解 因为a+b,g+b线性相关，故存在不全广使4 1 (。1+5)+22(。2+)=,由此得4+4 4+4 4-设。一备，则4+七if=c a1-(l+c)a 2,c e R.对+%=(1,Z)7+%=(0,1)7,02+岳=(2,4)4(0,而外+仇,a2+b2的对应分量不成比例，是线性无关1 0.举例说明下列各命题是错误的：(1)若向量组 i,畋,%，是线性相关的，则斯线性表示.解 设 1=1=(1,0,0,0),。2 4 3=a=,%线性相关，但1不能由2,即线性表示.(2)若有不全为0的数兄1,而 ,心使为。1+一+Amam+A b+一+An ibm=0成立，则“2,4m线性相关,b,成 ，域亦解 有不全为零的数九 2,一心使01+Anf im+A b+4”i=0：原式可化为Ai(fl+i)+A,m(am+b m)=(i.取 a=e=-b,a尸一b&,ani=em=-bm,其 目为单位坐标向量，则上式成立，而1,畋,一,金不解 由于只有当为，而 ，心全为o时，等m由 4ii+一+2,mam+A b+,一+A,mbm=0加线性相关,b l,砥.b m决有不全为0的数,4 1,4 2，,有使%1。+卷41=0,+/*=(同时成立.解。尸(1,0)1 丸1=2 2=0,与题设矛盾.二 仇 一 岳+优 一 力4+1,从而 仇-62+63-64=0,这说明向量组玩坛仇,以线性相关.12.设 仇=。1,力2=。1+畋，瓦 W+“2+4。2,一，外线性无关，证明向量组b l,岳,一，耳 线 十证明已知的个等式可以写成1 r(4也，q).1.二 1X、0 0-1 上式记为3=X K.因为K blM,K可逆，所以H(B)向量组瓦,西,一，瓦线性无关.13.求下列向量组的秩，并求一个最大无关到(l)i=(l,2,-1,4)畋=(9,100,10,4)。3=(-2,解 由(1 9 一2、门 9 2、(解 由1347-、f i 4 n(4 0-9-540 -9 -5(0 -1 8 -1 0 j I10 -007知R(aJ,aj,的7)=H(供,a2,a3)=2.因 为 向 量 与c比例，故力1 线性无关，所以。/，畋 是一个最1 4.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组74313213448734015521442399355552772:组关为因解3110025000号)74335517233ooOmk-34-3S132I134I48 J734015521442399355552772所以第1、2、3列构成一个最大无关组.1 1 221)f l 10 2 15-10 20 -2-1 -5 10 00 0 -2 2-2j1 0 0IT3T25T42130112o1i11o211zr(x所以第1、2、3列构成一个最大无关组.1 5 .设向量组Q 3,1)7,(2,6,3)7,(1,2,1 1,(2,3,1)的秩为2,求a,b.解 设 0尸伍,3,0 2=(2,b,3)1的=(1,2,1尸,为因II7b3“31qoov而而41,0 2,3,。4)=2,所以。=2,b=5.1 6 .设 败，一，。是一组维向量，已知量?.e”能由色们线性表7K.证明a i.a?.,可见M,所以K(g,从而Q i,做,0 线性关证法二 因为e i,2,e 能由。1,松,。第R(e i,2,呢)父(。1,。2,”)，而 R,%e”)=,R(ai,a2,，),所以 R(m从而ah电,一,。线性无关.1 7.设 丁,败,小是一组维向量,证明它充分必要条件是：任一 维向量都可由它们线性3证 明 必 要 性：设为任一 维向量.因为，性无关，而由，畋，%,。是n+l个n维向量，；所以。能由外,败,。线性表示，且表示式是吧充分性：已知任一维向量都可由。2,故单位坐标向量组61,2,e 能由01,02,是有n=R(ei,e2,en)R(ah a2,%)。即R(ai9 a2,an)=n,所以ah败，一，an线性无关数几1,%2,一，几处使为。1+丸2畋+%，尸0,而且；k,心,一,心不全为零.这是因为，如若不然1。0知几1=0,矛盾.因此存在人(2 的加)，使4工0,%+1=丸%+2=-/=0,于是4。+/1 2。2+,一+41 像=,为=-(1/4)(猫。1+/1 2。2+一+4-1 为-1),即以能 由。2,一,像-1线性表示.19.设向量组A仇,瓦能由向量组4 0 1，为(仇，一，6)=0,)K,其中K为sxr矩阵，且证明B组线性无关的充分必要条件是矩阵K的秩证 明 令 B=(bh ,瓦),A=(ah ,as),则有,必要性：设向量组8线性无关.C A n.KV-、/.-TT-F JLr-*l l-*.为K的标准形.于是（，,姐C=（a、,因为C可逆，所以RS1,瓦）=R 0,ar）=瓦线性无关.2 0.设px-%+%+%,2二 囚 +%+&4 =%+%+%+%T证明向量组a i,如,。与向量组力1,夕2,，片等证明将已知关系写成（0 1 1 -1 0 1 -0,一，瓦）=（%,%，4）1 1 0 1.J 二将上式记为B=4 K.因为0 11-11 n 1 .12 1 .已知3 阶矩阵/与3 维列向量x满足向量组x,4 c,线性无关.(1)记P=(x,Ax,A2X),求 3 阶矩阵民使AP=F解 因 为AP=A(x,Ax,A2X)=(Ax,A2X,A3X)=(&,A2X,3AX-A2X)”0 0、=(x,Ax,A2x)1 0 3,(0 1 -1 Jfo 0 o)所以8=1 0 3.(0 1 -1 J(2)求.解 由 A3X=3AK-A2X,得 A(3X-AX-A2X)=0.R线性无关，故 3 x-A c-/田o,即方程 小。有:R 3,|4|=0.2 2 .求下列齐次线性方程组的基础解系：%1-8 X2 +1 0X3+2 X4=0f石=一4七 3万+5电+4再-2x4=0.8M +7为+6乃-3X4=0解对系数矩阵进行初等行变换，有(2-3-2 1 )rA=3 5 4-2(8 7 6-3919“/O2141oOO1O于是得J石 二 一(2/19)巧+(1/19)4取 X _i=l,%1=历=%-2=0,得 Xn=-2.因此方程组的基础解系为 1=(1,0,0,.0,-n)T,%(0,1,0,0,-+1 尸，-1=(0,0,0,.,1,-2/.2 3.设4=仁 晨；江 求 一 个 4 x 2 矩阵5,今y-D Z o yR =2.解 显 然 B的两个列向量应是方程组A B=0关的解.因为AJ 2 -2 1 3 V fl 0-1/8 1/8)(9 -5 2 8；(0 1 -5/8所以与方程组48=0同解方程组为k=(l/8)xJ-(l/8)x4X7=(5/8)X1+(11/8)X/、T U O 81 58 0因此所求矩阵为3=24.求一个齐次线性方程组，使它的基础解用或=(0,1,2,3)042=(3,2,1,0)二解显然原方程组的通解为q1 2n-%W七及/k2+q21 a夕出消去鬲，心得2石-3为+工4=0jq-3x3+2x4=0 5此即所求的齐次线性方程组.25.设四元齐次线性方程组T.1石+%2=TT.卜2 r4=0,玉一工2+七=0 x2-x3+x4=04/1、一ft T I一 VT JLL-I F*hm-9/C、T I_*TT JLL I，！/n备=(0,0,1,0/,2=(-1,1,0,1/.由方程II得 产：f .产2 一七一/W3,x4)=(l,0)r,得(孙超)7=(0,1)7；W3,X4)r=(0,I)7,得即必)1-因此方程U 的基础解系为备=(0,1,1,0)7,%(-1,-1,0,I f(2)I 与 n 的公共解就是方程o-Ouo-z=_一+xz2xw2+-R(A+E-A)=R由此 R(A)+R(A-E)=n.2 7.设4为阶矩阵(后2),A*为 A的伴随阵,n 当 R(4)=R(4*)=1 当&(4)=一1.0 当夫(/)-2证明 当RA =n时,|4|M,故有4*|=必因|=即0,M*殴所以 R(A=n.当R(A)=n-吐=0,故有A 4*=P4|E=O,即心的列向量都是方程组4ao的解.因为R(A程 组 止0的基础解系中只含一个解向量，即基砒因此 R(4*)=L当R(A)n-2时，A中每个元素的代数余孑解对增广矩阵进行初等行变换，有*1312;oO11TOO1Oloo/ml51302201211113125-与所给方程组同解的方程为%1=-XJ-8 x2=Xj+1 3.产4=2当X3=0时，得所给方程组的一个解片（-8,1 3与对应的齐次方程组同解的方程为r石=_%3x2=再 x4=0当X3=l时，得对应的齐次方程组的基础解系 一 5马+2一 3 9=1 1(2)p x1+3 x2+6x-x4=-l .4+4马+乂+Z=-6解对增广矩阵进行初等行变换，有1 -5 2 -3 1 1 V 1 0 9/7-1/2 ：u c u 1 i l I A 1 1/*7 1/n0,0)T.与对应的齐次方程组同解的方程为J玉二-(9/7)再+(1/2)5X2=(1/7)A3-(1/2)X4,分别取(孙x4)r=(l,0)1 (0,1)1得对应的齐次解系备=(-9,1,7,O f -1,0,2)42 9.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的小,72,3是它的三个解向量.且%=(2,3,4,5)7,772+小=(1,2,3,4)1求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数，所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一471，72,小均为方程组的解，由非齐次线性方程组得2 1一(2+勿3)=(1 2)Xm一小)=(3,4,5,(2)向量能由向量组4线性表示，且表示式(3)向量b能由向量组A线性表示，且表示m一般表示式.-2解(。3，。2，勺，力)=1 1(4 52 P10 -1J-20 -10当a=-4,/M)时，&归?(4日 此时向量A线性表示.(2)当期-4时,R(=火(4 6)=3,此时向量组关，而向量组外,。2,的,分线性相关，故向量方能由表示，且表示式唯一.(3)当 a=-4,/M)时 H(4)=K(4 b)=2,此时向量4线性表示，且表示式不唯一.当 a=_ 4,3=0 时，-230O1OI-71oT-4210-215T14方程组Q,。2,ai)x=b的解为3 1.设 a=（ah a2,内尸,b=岳，岳）1 c=（cb c2,线/i：。工+如+。1=0,，2：。亦+6少+2=0,（4，+“2 0 0,i=l,/3：#+3+。3=0,相交于一点的充分必要条件为：向量组电 b线彻组仇c线性相关.证明 三直线相交于一点的充分必要条件为罕+如+4=0 平+4尸 一qa2x 4-4-c2=0,即 生x+a y n-c 2%x+3+。3=0 a3x+biy=-c3有唯一解.上述方程组可写为xa+yb=-c.因此三点的充分必要条件为。能由见唯一线性表示，唯一线性表示的充分必要条件为向量组a,b线他组加。线性相关.3 2 .设 矩 阵A=（ah畋，的，。4）,其中做，3,a=2a2-a3.向量 b=a+a2+a3+a4,求方程 Ax=b 的 式方 程 止 0 的基础解系中含一个解向量.因此(1方程出=0 的基础解系.方程4ab的通解为4c(1,-2,1,0)4(1,1,1,1)CGR3 3.设7 7*是非齐次线性方程组公=的一个价品 打是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，i(1切*,备2,，3 线性无关；(2)7*,*+备,77*+，,*+多一/线性无关.证明 反证法，假 设 备 3 2,4 一 线的,&T 线14 无关，而7 7*，&，盘,基 z线，性 杵由久品一，Ji 线性表示，且表示式是唯一的，齐次线性方程组的解，矛盾.(2)显 然 向 量 组*+4，*+么一，U n备，么一，,一可以相互表示，故这两个向量组学向量组*,备，么 一，基线性无关，所以向虐7 7*+/.7 7*+2 一曲续杵无.也是它的解.证明 因为仍，72,小都是方程组4 ab的477，=方（1=1,2,$）,从而 力（岛仍+42小+匕小）=自/仍+心力力=（向+后+ks）b=b.因此4自 1+422+尼/也是方程的解.3 5.设非齐次线性方程组止的系数矩阵的，77.5是它的一+1个线性无关的解.试证它示为X=无 1仍+无22+（其中 kI+k2+证明 因为771,7/2,小一什1均为A x=b的解，42=3-仍，&产 小 均 为 A x=b的解.用反证法证:官工2,扁 一，线性无关.设它们线性相关，则存在不全为零的数小，也得丸 1备+2 22+4 1 1”-产0,个基础解系.设x为正方的任意解，则X-仍为出=0的解备乡,4 2线性表出，设X-7 l=2f 1+2+一+此-HC-T=似772-77)+43(7731)+,+-r+-l(7n-X=7 1(l-23.一一 院 _什1)+422+后小+,-令斐=1-左2-左3 ,kn-r+,则左1+左2+43-1=1,4自小+42什一+院_汁1%_汁1.3 6.设Vx=x=(x x2,xn)r|xb 一，xt R 满足 X1+X2+=x=(x