2021年高考数学一模试卷(22)(含答案解析).pdf

2021年 高 考 数 学 一 模 试 卷(22)一、单 项 选 择 题(本 大 题 共 11小 题，共 55.()分)1.己 知 全 集 U=R,集 合 4=B=x|/=x,则 如 图 中 的 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 为()A.0,1 B.0 C.1 D.-1)2.已 知 复 数 z=4:，则|z|=A.4 B.3 C.5 D.23.若 数 列 即 满 足 即+i=即-9，且。3+%8=9,则 其 前 20项 的 和 S20=()A.60 B.80 C.90 D.1204.若 不 等 式 3x2-logM0对 任 意 xe(0,恒 成 立，则 实 数。的 取 值 范 围 为()A.5 1)B.邑,1)C.(0 i)D.(0,勺 5.保 险 公 司 新 推 出 A,B,C 三 款 不 同 的 储 蓄 型 保 险，已 知 购 买 这 三 款 保 险 的 人 数 分 别 为 600、400、300,公 司 为 增 加 投 保 人 数，现 采 用 分 层 抽 样 的 方 法 抽 取 26人 进 行 红 包 奖 励，则 从 购 买 C 款 保 险 的 人 中 抽 取 的 人 数 为()A.6 B.8 C6.阅 读 如 图 所 示 的 框 图，若 输 入 N 的 值 为 20,A.2B.3C.4D.510 D.12则 输 出 的 T 为 多 少（）/K v/、i,.I,L I m L/Cr/x 0A-则 目 标 函 数 z=4x+3y的 最 大 值 是()乙 4 I y 0 2x+3y 0)焦 点 尸 的 直 线/与 抛 物 线 交 于 B,C 两 点，/与 抛 物 线 准 线 交 于 点 A,且|力 用=6,布=2 而，则|BC|=()A.22 B.6 C.v2 D.811.在 正 方 体 4BC0-4B1GD1中，若 点 P 是 线 段 4久 的 中 点，则 异 面 直 线 CP与 BC1所 成 的 角 等 于()A.?B j C,D 了 二、填 空 题(本 大 题 共 4 小 题，共 20.0分)12.已 知 布=(1,-1),AC=(2,0)，则 向 量 近 在 正 方 向 上 的 投 影 为.13.等 比 数 列 斯 满 足 a.0，且 a2a&=4,则 log2%+log2a2+log2a3+log2a9=.14.若 曲 线/(x)=3x+a/在 点(l,a+3)处 的 切 线 与 直 线 y=6x平 行，则(1=.15.抛 物 线 y2=2px(p0)上 点 A 与 焦 点 产 距 离 为 2,以 AF 为 直 径 的 圆 与 y轴 交 于 点”(0,1),贝 UP=-三、解 答 题(本 大 题 共 7 小 题，共 82.0分)16.在 ABC中，b=2,cosC=ABC的 面 积 为 它.4 4(1)求 a 的 值；(2)求 sin2A 值.17.如 图，四 棱 锥 P-ABC。中，PA ABCD,底 面 A8CO是 直 角 梯 形，AADC=90,AD/BC,AB 1AC,AB=AC=鱼，点、E在 4。上，且 4E=2ED.(I)已 知 点 尸 在 BC 上，且 CF=2FB,求 证:平 面 PEF 1平 面 PAC-,(II)若 APBC的 面 积 是 梯 形 ABC。面 积 的%求 点 E 到 平 面 P8C的 距 离.18.对 某 地 区 儿 童 的 身 高 与 体 重 的 一 组 数 据，我 们 用 两 种 模 型 y=bx+a,y=cedx拟 合，得 到 回 归 方 程 分 别 为 夕=0,24x 8.81，夕=1.70e22x,作 残 差 分 析，如 表：身 高 x(cm)60 70 80 90 100 110体 重 y(kg)6 8 10 14 15 18A(l)0.41 0.01 1.21-0.19 0.41A(2)0.36 0.07 0.12 1.69 0.34-1.12（I）求 表 中 空 格 内 的 值；（n）根 据 残 差 比 较 模 型，的 拟 合 效 果，决 定 选 择 哪 个 模 型；（in）残 差 大 于 1版 的 样 本 点 被 认 为 是 异 常 数 据，应 剔 除，剔 除 后 对（n）所 选 择 的 模 型 重 新 建 立 回 归 方 程.（结 果 保 留 到 小 数 点 后 两 位）附：对 于 一 组 数 据 01，%）,（%2，乃），（Xn，%i），其 回 归 直 线 y=bx+a的 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 法 估 计 分 别 为 公=器 的 A19.己 知/（%）=e*-Qlnx-a,其 中 常 数 Q 0.当 a=e时，求 函 数/（x）的 极 值.20.已 知 椭 圆+=l（a 6 0）经 过 点 P（一 封，且 点 F（遮，0）为 其 右 焦 点.(1)求 椭 圆 的 方 程；(2)设 直 线/与 椭 圆 相 交 于 不 同 的 两 点 A,B.已 知 点 A 的 坐 标 为(一 见 0),点 Q(O,y0)在 线 段 A B的 垂 直 平 分 线 上，且 西.丽=4,求 的 值.2 1.在 直 角 坐 标 系 X。)，中,曲 线 C的 参 数 方 程 为(t为 参 数)，C与 坐 标 轴 交 于 A、B两 点.求|4B|;(2)以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，求 直 线 A B的 极 坐 标 方 程.2 2.已 知 a,6是 正 实 数，且 a+b=2,证 明:(l)V a+Vb 4.【答 案 与 解 析】1.答 案：B解 析：本 题 考 查 阴 影 部 分 表 示 的 集 合 的 求 法，考 查 交 集 定 义、维 恩 图 等 基 础 知 识，是 基 础 题.集 合 4=-1,1),B=(xx2=x)=0,1,阴 影 部 分 表 示 的 是 C B(A n B),由 此 能 求 出 结 果.解：.全 集 U=R,集 合 A=-1,1,B=(xx2=x=0,1,阴 影 部 分 表 示 的 是 4 c 8),A d B=1,则 C B(4 Cl B)=0,故 选：B.2.答 案：C解 析：本 题 考 查 复 数 的 运 算，求 复 数 的 模.解：z=4-=4+3i,Iz=V42 4-33=5，故 选 C,3.答 案：C解 析:解：,数 列 an满 足 由 i+i=册 一%.数 列 Qn为 等 差 数 列，+。20=3+。18=9，S20=y(ax+a2Q)=10 X 9=90,故 选：c.先 判 断 为 等 差 数 列，再 根 据 求 和 公 式 即 可 求 出.本 题 考 查 了 等 差 数 列 的 定 义 和 性 质 和 求 和 公 式，属 于 基 础 题 4.答 案：A解 析：本 题 是 恒 成 立 问 题，通 过 研 究 函 数 的 单 调 性，借 助 于 最 值 求 出 参 数 的 范 围.属 于 基 础 题.构 造 函 数 f(x)=3/,g(x)=-logax./i(x)=/(x)+g(x)(O%根 据 不 等 式 3 M 一 logM 0对 任 意 恒 成 立，可 得 发)工 9()从 而 可 得 0 Q V I 且 Q A M 即 可 求 出 实 数。的 取 值 范 围.解：构 造 函 数/(%)=3x2,g(x)=-logax,(0%1)不 等 式 3/-ogax 0对 任 意 G(0彳)恒 成 立，1 1J/尹 吟).-.3x|-loga10.7 O*。1且。舄，二 实 数。的 取 值 范 围 为 康 1).故 选：A.5.答 案：A解 析：本 题 主 要 考 查 分 层 抽 样 的 应 用，属 于 基 础 题.根 据 分 层 抽 样 的 定 义 即 可 得 到 结 论.解：由 分 层 抽 样 得 购 买 C 款 保 险 的 人 中 抽 取 的 人 数 为：26 X=6.600+400+300故 选 A.6.答 案：B解 析:本 题 主 要 考 查 含 循 环 结 构 的 程 序 框 图，属 于 基 础 题.顺 着 箭 头 方 向 计 算 即 可 求 解.解：依 题，N=20,i=2,T=0,g=1 0 是 整 数，T=0+1=1,i=2+l=35,g 不 是 整 数，i=3+l=45,输 出 3.故 选 B.7.答 案：C解 析：本 题 主 要 考 查 线 性 规 划 和 目 标 函 数 的 最 值 问 题，结 合 数 形 结 合 思 想 求 最 值 问 题.画 出 可 行 域 及 直 线 4%+3y=0,平 移 直 线 4x+3y=0,当 其 经 过 点 4（|,1）时，z取 最 大 值，即 可 求 得 答 案.解：根 据 约 束 条 件 画 出 可 行 域 及 直 线 4x+3y=0,如 图 所 示，4 Zv z=4%+3y,*.y=平 移 直 线 4x+3y=0,当 经 过 图 中 点 4 时，直 线 y=gx+（在 y轴 上 的 截 距 最 大，此 时，z取 得 最 大 值.由 普 亶:工，可 解 得 4 点 坐 标 为 或 1），（乙 人-r oy-o 4代 入 z=4x+3y中 可 得：z的 最 大 值 为 9.故 选 C.8.答 案：B解 析：本 题 考 查 正 方 体 中 的 截 面 问 题，考 查 学 生 空 间 想 象 能 力 和 计 算 能 力，属 中 档 题.根 据 已 知 条 件 画 出 过 点 E,F,G 的 截 面，求 周 长 即 可.【详 解】解：连 接 F G并 延 长 交 O C延 长 线 于 点”，连 接 E H交 8 c 于 点 M,连 接 GM,取 靠 近 点 儿 的 三 等 分 点 N,连 接 F N并 延 长 交 名 久 的 延 长 线 于 点。，连 接 Q E交 4 于 点 P,连 接 N P,则 六 边 形 EMG/W P即 为 过 点 E,F,G 的 截 面,由 G 为 棱 CC 靠 近 C 点 的 三 等 分 点，可 得 言 即 C H=?由 窦=；，知 点”为 靠 近 点 C 的 三 等 分 点，即 CM=：由 勾 股 定 理 得 GM=NP,FG=PE=B E 2 3 35 j9 4 6同 理 得 EM=FN=3 则 截 面 图 形 的 周 长 为 2+三 X 4=比 2，6 3 6 3故 选 8.9.答 案：A解 析：解：由 于 a=3,b=5,要 使 力 BC为 钝 角 三 角 形，且 4 c为 钝 角，则 34=a2+b2 c2,所 以 当 c=7,6 时 成 立，故 p 为 真 命 题.故 正 确，为 V c6 N*,C不 是 钝 角；正 确,错 误，为 m ceN*,C 不 是 钝 角.错 误.故 选：A.直 接 利 用 三 角 形 形 状 的 判 定，特 称 命 题 和 全 称 命 题，命 题 的 否 定 的 应 用 判 定 的 结 论.本 题 考 查 的 知 识 要 点：三 角 形 形 状 的 判 定，特 称 命 题 和 全 称 命 题，命 题 的 否 定，主 要 考 查 学 生 的 运 算 能 力 和 转 换 能 力 及 思 维 能 力，属 于 基 础 题.10.答 案：A解 析：本 题 考 查 抛 物 线 的 简 单 性 质，考 查 抛 物 线 的 定 义，考 查 学 生 的 计 算 能 力，比 较 基 础.求 出|8川=3,设|C F|=x,则 由 抛 物 线 的 定 义 得 到 比 例 式，即 可 得 出 结 论.解：由 题 意 可 知 18H=3,设|C F|=x,则 由 抛 物 线 的 定 义 可 得|=等，3:，X=-,29 BC=CF+B F=l，故 选 A.11.答 案：D解 析：解 析:作 图，由 题 意，点 P 是 线 段 A&的 中 点，连 接 BC 所，可 得 力 D J/B G，异 面 直 线 C P与 B Q所 成 的 角 的 平 面 角 为 4 cp 4 在 小 CP4中 利 用 边 长 关 系 即 可 求 解.本 题 考 查 异 面 直 线 所 成 角 的 求 法，是 基 础 题，解 题 时 要 认 真 审 题，注 意 向 量 法 的 合 理 运 用 解 析：解：由 题 意，点 P 是 线 段 AD1的 中 点，连 接 BC】所，可 得 ADJ/BC1异 面 直 线 C P与 B G所 成 的 角 的 平 面 角 为/C24连 接 A C,在 ACPA中，设 正 方 体 的 边 长 为“，可 得 4P2AC=V2a过 P 作 的 垂 线 交 A Q于 E,可 得 PE=3a；连 接 EC,可 得 EC=/PC2=EC2+PE2=a.2在 A CPA中，由 P6?2+PA2=4。2,故 得 NCP4=90故 选：D.12.答 案：1解 析：由 条 件 可 知，希 前=1 义 2+(1)X 0=2，|前|=2，所 以 向 量 存 在 前 方 向 上 的 投 影 为 僚=1.故 答 案 为：1.根 据 投 影 公 式 甯 进 行 计 算 即 可.14cl本 题 考 查 了 投 影 的 概 念 以 及 利 用 平 面 向 量 数 量 积 进 行 投 影 计 算，属 于 基 础 题.13.答 案：9解 析：解：根 据 题 意，等 比 数 列 斯 的 各 项 都 是 正 数，%CI9=a2=CI4,。6=磺=%则=2,则 log2al+log2a2+log2a9=log2(&2。9)=log2(29)=9，故 答 案 为：9.根 据 题 意，由 等 比 数 列 即 的 性 质 可 得 由 CI9=&2。8=。3,=磺=4,同 时 可 得 CI5=2,再 利 用 对 数 的 运 算 法 则 有 log2al+log2a2+log2a9=log2(cii,a2.a9)=log2。，计 算 即 可 得 答 案.本 题 考 查 等 比 数 列 的 性 质，涉 及 对 数 的 运 算 性 质，熟 练 运 用 等 比 数 列 的 性 质 是 解 题 的 关 键.14.答 案：1解 析：解：/(x)=3尤+a/的 导 数 为 1(X)=3+3a/,即 有 在 点(l,a+3)处 的 切 线 斜 率 为 k=3+3a,由 切 线 与 直 线 y=6x平 行，可 得 3+3a=6,解 得 a=1.故 答 案 为：1.求 出/(x)的 导 数，求 出 切 线 的 斜 率，由 两 直 线 平 行 的 条 件：斜 率 相 等，解 方 程 可 得 a=1.本 题 考 查 导 数 的 运 用：求 切 线 的 斜 率，考 查 两 直 线 平 行 的 条 件：斜 率 相 等，考 查 运 算 能 力，属 于 基 础 题.15.答 案：2解 析：本 题 考 查 圆 与 抛 物 线 的 综 合，抛 物 线 焦 半 径 公 式 及 抛 物 线 定 义，考 查 运 算 求 解 能 力，是 中 档 题.由 抛 物 线 方 程 求 得 焦 点 坐 标，再 由 已 知 可 得 A 点 横 坐 标，结 合 A 在 抛 物 线 上 及 标.德=0,即 可 求 得 A 的 纵 坐 标，把 A 的 坐 标 代 入 抛 物 线 方 程 求 解 p 值.解：抛 物 线 y2=2px(p0)的 焦 点 Fg,0),根 据 点 A 与 焦 点 产 距 离 为 2,可 得 A 点 横 坐 标 为 2 二 4点 纵 坐 标 y满 足 y2=2p(2-)=4 p-p 2；再 由 以 AF 为 直 径 的 圆 与 y轴 交 于 点 得 近.前=0，得 到 7-y l=0.联 立 解 得 y=2,把 点(2 一 2)代 入 抛 物 线 方 程，得 4=2P(2-9，解 得 P=2.故 答 案 为：2.16.答 案：解：(1)v cosC=sinC=V1 cos2C=4,b=2,ABC的 面 积 为 C=-absinC=-x a x 2 x.4 2 2 4 角 帛 得：a=1.3(2)v cosC=a=1,b=2,由 余 弦 定 理 可 得：c=Va2+b2 2abcosC=Jl+4 2 x 1 x 2 x；=鱼，由 正 弦 定 理 可 得：$m 4=吧 叱=避=且，C V2 8由 余 弦 定 理 可 得：cosA=小 二 Q=生 弓=越，2bC 2X2XV2 8 s.m2o A=2o si.nAA cosAA、V14 5V2 5V7=2 x x=8 8 16解 析：(1)由 已 知 利 用 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式 可 求 s in C,利 用 三 角 形 面 积 公 式 可 求 的 值.(2)由 余 弦 定 理 可 得 c 的 值，由 正 弦 定 理 可 得 s in A,由 余 弦 定 理 可 得 cosA的 值，根 据 二 倍 角 的 正 弦 函 数 公 式 即 可 计 算 得 解.本 题 主 要 考 查 了 同 角 三 角 函 数 基 本 关 系 式，三 角 形 面 积 公 式，余 弦 定 理，余 弦 定 理，二 倍 角 的 正 弦 函 数 公 式 在 解 三 角 形 中 的 综 合 应 用，考 查 了 计 算 能 力 和 转 化 思 想，属 于 基 础 题.17.答 案：(1)证 明：4 8 1 4。，AB=AC,A Z4CB=45,底 面 A8C。是 直 角 梯 形，AADC=90,AD/BC,/.ACD=4 5,即 4 0=0,BC=y2AC=2 4 0,2AE=2ED,CF=2FB,AE=BF=-AD,3四 边 形 ABFE是 平 行 四 边 形，则 4B EF,AC EF,-PA _ L底 面 ABCD,：.PA 1EF,PA AC=A,EF J_平 面 PAC,：EF u 平 面 PEF,平 面 PEF _ L平 面 PAC.(II)解：v PA 1,底 面 A B C D,且 A8=AC,PB=PC,取 B C的 中 点 为 G,连 接 A G,则 A G J.BC,AG=CD=1设 P4=x,连 接 P G,则 PG=Q T 7，侧 面 P B C 的 面 积 是 底 面 A B C D 的 g倍，.-.ix 2-P G=|x|x(l+2),即 PG=2,求 得 x=V5，AD/BC,E到 平 面 PB C的 距 离 即 时 A到 平 面 PBC的 距 离,A-PBC=P-A B C S 4PBe=2 S&ABC，：.E到 平 面 PB C的 距 离 为 L pa=乌 2 2解 析：(I)已 知 点 F 在 BC上，且 CF=2FB,证 明 EF 1平 面 PAC,即 可 证 明：平 面 PEF JL平 面 PAC-,(H)E到 平 面 PB C的 距 离 即 时 A到 平 面 尸 B C的 距 离，利 用 L PBC=VP-ABC 求 点 E 到 平 面 PB C的 距 离.本 题 考 查 线 面 垂 直、面 面 垂 直 的 证 明，考 查 点 到 平 面 的 距 离 的 求 法，是 中 档 题，18.答 案：解：(I)根 据 残 差 分 析，把 x=80代 入 夕=o,24x 8.81得 y 1)=10.39.10 10.39=-0.3 9.所 以 表 中 空 格 内 的 值 为-0.39.(n)模 型 残 差 的 绝 对 值 和 为 0.41+0.01+0.39+1.21+0.19+0.41=2.62,模 型 残 差 的 绝 对 值 和 为 0.36+0.07+0.12+1.69+0.34+1.12=3.7.2.62 式 s M y),2=、一 务 X.得 回 归 方 程 为 丫=0.24乂-8.76.雁 式 所 乃 2解 析：(I)根 据 残 差 分 析，把 x=80代 入 夕=o.2 4 x-8.81得 少=10.39.10-10.39=-0.3 9，即 可 求 表 中 空 格 内 的 值；(H)求 出 残 差 的 绝 对 值 和，即 可 得 出 结 论；(ID)确 定 残 差 大 于 I奴 的 样 本 点 被 剔 除 后，剩 余 的 数 据，即 可 求 出 回 归 方 程.本 题 考 查 回 归 方 程、残 差 分 析，考 查 学 生 的 计 算 能 力，属 于 中 档 题.19.答 案：解：函 数/(x)的 定 义 域 为(0,+8),当 a=e时，/(x)=ex elnx e,f(x)=ex-p而/(x)=e*-?在(0,+8)上 单 调 递 增，又(1)=0,当 0 x 1时,f(x)1时,f(x)f(x)=0,则 f(x)在(1,+8)上 单 调 递 增,则/(X)有 极 小 值/(l)=0,没 有 极 大 值.解 析：本 题 考 查 导 数 的 运 用：求 函 数 的 极 值，属 基 础 题.先 求 出 a=e时 函 数 的 导 数，求 出 单 调 区 间,即 可 求 得 极 值.20.答 案：解：(l)r F(遮,0)为 其 右 焦 点，且 椭 圆 过 点 P(-8),c=/3 FZ-晨 Z 1 V 1 7 1 二。=-呼，2 a=U(vZ3+vz3)+J+2=2+2=4 a-22v a2=b2+C29 9-b2=1,故 椭 圆 方 程 为 二+y2=i.4(2)由 可 知 4(2,0).设 8 点 的 坐 标 为(刈,y i),直 线/的 斜 率 为 七 则 直 线/的 方 程 为 y=k(x+2).(y=k(x+2)于 是 A,B两 点 的 坐 标 满 足 方 程 组 一,+y=1由 方 程 组 消 去 y 并 整 理,得 刃+4 1)去+1 6/x+(1 6/一 4)=0.由 2%-16k搭 得 X=妇 会.从 而 y 1,1 l+4/c2 1 l+4k2 l+4k2设 线 段 4 8 的 中 点 为 M,则 M 的 坐 标 为(一 盖，器),以 下 分 两 种 情 况：当 k=0时，点 8 的 坐 标 为(2,0),线 段 AB的 垂 直 平 分 线 为 y轴，于 是 西=(-2,_ y()，证=(2,_ y().由 丽.证=4，得 y()=2&,当 k K 0时，线 段 A B 的 垂 直 平 分 线 方 程 为 y 一 高=_ 2+得).令 x=0,解 得 尢=-搐 由 9=(-2,一 如)，QB=(x1,y i-y0).QA-QB=-2x1-y0(y1-y0)=+-6 k、4(16 4+15 2-1)_1+4 H)(l+4 k2)2-整 理 得 7k2=2,故 k=+且.-7所 以 y=土 雪 综 上，yQ=2或 或=土 解 析：本 题 考 查 椭 圆 的 概 念 及 标 准 方 程，直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系，属 于 较 难 题.(1)利 用 已 知 条 件 F(g,O)为 其 右 焦 点，且 椭 圆 过 点 P(-6,，求 出 a,c;(2)由(1)可 知 4(一 2,0),根 据 题 意 设 直 线/的 方 程 为 y=k(x+2),联 立 得 到 方 程，求 解 即 可.(_ 2-t21.答 案：解：(1)在 一 色；(t为 参 数)中，令 t=l,解 得 4&,0),令 t=2,解 得 B(0),网=肾+(乎 亭(2)由 4 0,0),得 直 线 4 B 的 直 角 坐 标 方 程 为 x+y=1,X x=pcosd,y=p sin d,直 线 A B的 极 坐 标 方 程 为 pcosJ+psind-1=0.解 析：本 题 考 查 简 单 曲 线 的 极 坐 标 方 程，考 查 参 数 方 程 化 普 通 方 程，是 基 础 题.(1)在 曲 线。的 参 数 方 程 中，分 别 取 t=l 和 2 求 得 A,B 的 坐 标，再 由 两 点 间 的 距 离 公 式 求|4 8|；(2)写 出 过 A B的 直 角 坐 标 方 程，结 合 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 公 式 可 得 直 线 A B的 极 坐 标 方 程.22.答 案：证 明：(l),a,b 是 正 实 数，a+Z?2Vab,Vab 1,A(yfa+VF)2=Q+b+2ab 4，A Va 4-VF 2ab,2(Q2+b2)a2+62+2ab=(Q+b)2=4,a2-+-b2 2,A(a+b3)(a3+b)=a4+-4+a33+时 a4+64 4-2a2b2=(a2+b2)2 4,当 且 仅 当 a=b=1时，取.解 析：本 题 考 查 不 等 式 的 证 明，综 合 法 的 应 用，基 本 不 等 式 的 应 用，属 于 中 档 题.(1)利 用 基 本 不 等 式 证 明 即 可.(2)利 用 综 合 法，通 过 基 本 不 等 式 证 明 即 可.